专题 2.6 二次根式概念性质综合讲义【知识储备+题型精析+同步检测】- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册　

该初中数学二次根式概念性质综合讲义通过知识框架系统梳理核心内容，涵盖意义、双重非负性、两大性质三大要点，按“基础概念-性质辨析-综合应用”递进呈现，明确标注易错重难点如双重非负性和性质辨析。 讲义亮点在于分层题型设计，基础夯实部分包含纯根式、根式分式复合等基础题型，综合提升部分设置非负性组合求值、复合型二次根式等高阶题型，培养学生运算能力和推理意识。同步检测分选择、填空、解答题，满足不同层次学生需求，教师可据此实施精准复习教学。

专题 2.6 二次根式概念性质综合讲义【知识储备+题型精析+同步检测】 目录 一.知识储备 1 【知识要点一】 二次根式的意义 1 【知识要点二】 二次根式双重非负性（高阶培优核心） 2 【知识要点三】 二次根式两大核心性质（易错重难点） 2 二、题型精析（基础夯实） 2 【题型1】纯根式求取值范围 2 【题型2】根式分式复合型 4 【题型3】双根式叠加型 5 【题型4】根式零次幂复合型 7 【题型5】 二次根式基础性质辨析与简单化简 9 三、题型精析（综合提升） 10 【题型6】 二次根式有意义隐含条件求值 11 【题型7】 非负性组合求值（双根式或根式+平方或根式+绝对值） 14 【题型8】 复合型二次根式 15 四、同步检测 18 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 18 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 22 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 25 一.知识储备 【知识要点一】 二次根式的意义 1. 定义：形如的式子叫做二次根式，核心判定标准：根指数为2、被开方数非负。 2. 本质核心：二次根式有意义⇔被开方数a≥0，无意义⇔被开方数a＜0。 3. 培优四大必考题型（全覆盖）：纯根式型、根式+分式复合型、双根式叠加型、根式+零次幂复合型，所有题型均需联立多重限制条件，取公共解集，规避分母、零次幂底数为0的陷阱。 【知识要点二】 二次根式双重非负性（高阶培优核心） 1. 双重非负性：若有意义，则同时满足：被开方数、根式结果。 2. 初中三大非负数模型：、、，核心结论：若干个非负数的和为0，则每一项均为0。 3. 高阶考查形式：双根式组合、根式+平方组合、根式+绝对值组合、配方隐藏非负性（无直白和为0条件），侧重整体代入、代数式求值培优考法。 【知识要点三】 二次根式两大核心性质（易错重难点） 1. 性质一： 核心说明：先开方、后平方，必须满足被开方数非负，结果等于被开方数本身，多用于根式化简、简单求值。 2. 性质二： 核心说明：先平方、后开方，无需提前限定a的取值，运算结果一定非负，是含字母、数轴背景根式化简的核心公式，也是全书最高频易错点。 3. 性质辨析关键：与形式相似、适用条件不同，时两者相等，时前者无意义、后者有意义。 二、题型精析（基础夯实） 【题型1】纯根式求取值范围 【例题1】（2025八年级上·北京·专题练习）若二次根式有意义，求x的取值范围，并求出当时，二次根式的值． 【答案】x的取值范围：；当时，值为 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，二次根式的化简，根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数计算即可得出x的取值范围，将代入二次根式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 当时，， 故x的取值范围：；当时，值为． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“二次根式被开方数为非负数”列不等式即可求解的取值范围． 解：∵二次根式有意义的条件是被开方数 ， ∴对于二次根式，可得不等式 ， 解不等式得． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）当_________时，式子在实数范围内有意义． 【答案】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到结果． 解：若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数满足 ， 解得． 【变式3】（26-27八年级上·全国·课前预习）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2）    ． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数求解即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件求解即可． （1）解：由得； （2）由得． 【题型2】根式分式复合型 【例题2】（2025八年级上·北京·专题练习）若代数式有意义，求x的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的、分式的分母不等于0求解即可得． 解：∵代数式有意义， ∴，且， ∴且． 【变式1】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）使代数式有意义的的取值范围是（     ）． A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数为非负数和分式分母不为，即可求解的取值范围． 解：∵代数式有意义， ∴，解得：且 ∴的取值范围是且． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）在实数范围内，函数的自变量的取值范围是________． 【答案】且 【分析】函数同时含二次根式和分式，需满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零，据此求解即可． 解：由题意得，， 解得且． 【变式3】（第04讲二次根式及其性质（4知识点 4大核心考点 过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024））设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件及解一元一次不等式组． （1）根据题意得，解不等式组即可； （2）根据题意得，解不等式组即可． （1）解：要使式子有意义，则x应满足， 解得：； （2）解：要使式子有意义，则x应满足， 解得：． 【题型3】双根式叠加型 【例题3】（25-26八年级下·北京·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，再求出，最后代入所求代数式计算即可． 解：要使和有意义，被开方数必须非负，因此： 解得， 将代入， 得； 将，代入式子： ． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，则的平方根是（   ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】利用二次根式有意义的条件得出，即可求出，代入求出，再求出的值，然后求平方根即可． 解：∵， ∴， 解得：， 代入，得， ∴， ∴的平方根是． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，则________． 【答案】/0.125 解：由题意得， 解之得， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·吉林松原·期中）已知函数，求的值． 【答案】 解：由题意得，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【题型4】根式零次幂复合型 【例题4】（25-26八年级上·全国·单元复习）求下列函数中自变量x的取值范围． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）x是任意实数；（2）且；（3） 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据对任意的实数，整式都有意义即可求解； （2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围； （3）根据0的0次幂无意义即可求解． （1）解：由题意得：x为任意实数； （2）解：根据题意得：， 解得：且； （3）解：根据题意得：， 解得：． 【变式1】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据分母有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式组求解即可． 解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 即且． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·二模）如果代数式有意义，则的取值范围是___________ 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出关于x的不等式，再解不等式即可解答． 解：∵代数式有意义， ∴且，即且． 【变式3】（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列函数中自变量的取值范围： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）全体实数；（2）；（3）；（4）且． 【分析】（）根据为整式时自变量取值范围是全体实数； （）根据含有分式时，分母不能为零即可； （）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零即可， （）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零，零指数幂底数不能为零即可； 本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，分式和零指数幂有意义的条件是解题的关键． 解：（1）根据题意可得，自变量的取值范围是全体实数； （2）由题意，得， 解得； （3）由题意，得， 解得； （4）由题意，得， 解得且． 【题型5】 二次根式基础性质辨析与简单化简 【例题5】（24-25八年级下·浙江湖州·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）0；（2） （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用算术平方根的非负性快速排除部分错误选项，再验证剩余选项的运算结果． 解：A、C选项：，，选项均错误． B选项：，选项错误． D选项：，选项正确． 故答案为D． 【变式2】（2025八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）计算：_______；________． 【答案】 【分析】利用二次根式的基本性质计算即可，用到性质和． 解： ；． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）计算并化简：． 【答案】当时，结果为；当时，结果为；当时，结果为 【分析】运用完全平方公式将式子变形为，再讨论的取值范围，结合绝对值和二次根式的性质计算即可得出结果． 解：， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，结果为；当时，结果为；当时，结果为． 三、题型精析（综合提升） 【题型6】 二次根式有意义隐含条件求值 【例题6】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展提升】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． （1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 【变式1】（2025九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知实数a满足，那么的值是（     ） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【答案】D 【分析】本题先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再去掉绝对值符号化简等式，最后整理得到的值． 解：∵有意义， ∴，即， ∴， ∴， 将代入原等式得： 整理得 两边同时平方得 移项得． 【变式2】（2025九年级上·上海奉贤·竞赛）已知实数满足，则的值为________________； 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再化简绝对值，然后两边平方可得答案． 解：由题意得，， ， ， ， ， ， . 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算求值： （1）已知a，b为实数，且，求a，b的值． （2）已知实数m满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可． （1）解：（1）和均有意义， 且， 即且， ， 当时，， 可得， ，即， ，； （2）有意义， ， ， 因此，可变为， 即， ， 即， 的值是2025． 【题型7】 非负性组合求值（双根式或根式+平方或根式+绝对值） 【例题7】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知的三边a、b、c满足 ，求最长边上的高h． 【答案】4.8 【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出a、b、c的值，用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形，再根据面积法求出高h． 解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【变式1】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出的值，代入计算即可得出答案． 解：， ， ， ． 【变式2】（2025·西藏昌都·三模）若实数x，y满足，则_____． 【答案】 【分析】先根据求出x，y的值，再根据算术平方根的定义即可求解． 解：∵， ，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·湖北十堰·期末）若是的三边长，且满足． （1）求的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1），，；（2）是直角三角形． 【分析】根据“几个非负数的和为，则每个非负数都为”求出的值； 计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． （1）解：∵且，，， ∴，，， 解得，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，，其中是最长边， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【题型8】 复合型二次根式 【例题8】（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）计算：． 【答案】 【分析】先对两个根号内的多项式配方，将其整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，化简过程去绝对值符号再运算即可． 解：， ， ∴原式． 【变式1】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 解：， 原式 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）化简 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 四、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到的取值范围． 解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求， 即， 解不等式得． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）计算：（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 解：． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负，即， 解得． 5．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断、的大小关系，确定的符号，利用二次根式的性质及绝对值的性质进行化简． 解：由数轴可知． ∴ ∴． 7．（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）已知关于x的方程 有一个实数根是，那么m的值为（     ） A．5 B．4 C．5或4 D．一切实数 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，结合二次根式的非负性求解即可得到的值． 解：∵原方程的一个实数根为， ∴将代入， 得 整理得 根据二次根式的性质，被开方数非负，二次根式结果非负，得 ， 解得 ． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可． 解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 9．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 解： ， 故选：D． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 解：原式 ， 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）当_____时二次根式有最小值． 【答案】12 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的被开方数为非负数，二次根式的最小值为0，据此列方程求解x即可． 解： 二次根式的被开方数满足非负要求， ， 的最小值为，此时， 解得， 即当时二次根式有最小值． 12．（26-27九年级·全国·暑假作业）二次根式有意义，则的取值范围是______；若，则的值为______． 【答案】 解：已知二次根式有意义， 所以，解得． 因为二次根式和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0， 已知， 因此，， 解得，， 所以． 13．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）化简：___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 解： 14．（23-24八年级上·上海·阶段检测）如果 ，那么 ________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的非负性求出的值，再代入式子求出的值，最后即可求解． 解：∵， ∴据题意可得，，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴． 15．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知，则的值是____． 【答案】2027 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再化简绝对值，整理等式后两边平方变形，即可求出的值． 解：根据二次根式的定义，被开方数非负，可得， 解得， 因此，根据绝对值的性质，可得， 将代入原方程得， 移项整理得， 两边同时平方得， 移项得． 16．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_______． 【答案】 解：∵， ∴ ． 17．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在中，x的取值范围为______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 解：要使有意义，需同时满足以下条件： 且， 解不等式，得. 解不等式，得. ∴的取值范围是且． 18．（23-24八年级上·上海·阶段检测）当________时，有意义． 【答案】 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列出不等式组，求解不等式组即可． 解：∵有意义， ∴ 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东江门·期中）已知为实数，且满足． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；（2）的平方根为． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，，即可得的值； （2）由（1）得，结合已知可得，可得，即可得的平方根． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·全国·课后作业）当为何值时，下列各式有意义？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）取任意实数 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据被开方数非负得到不等式求解即可； （2）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可； （3）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可； （4）根据二次根式有意义的条件求解即可． （1）解：， 即， 所以当时，有意义； （2）解：，即， 所以当时，有意义； （3）解：，即且， 所以当且时，有意义； （4）解：因为，所以取任意实数，都有意义． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东珠海·期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 （1）仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; （2）根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】（1），,；（2）①；② 【分析】主要利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可． 解：（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． （1）例：已知，求的值． 解：由得，________，________，________； （2）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：________； （3）拓展创新：已知，求的值． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）解不等式组中的两个不等式可求出x的值，进而可求出y的值，最后可得的值； （2）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，进而得到y的取值范围，再化简即可； （3）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于m的不等式组，解不等式组求出m的值，进而求出n的值，再代入求值即可． （1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴ ． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）化简下列各式． （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的化简法则，先把分母有理化，再合并即可解答； （2）先对式子进行平方，再开算术平方根即可． （1）解：原式 ； （2）解： ， 又， ． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·甘肃白银·阶段检测）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． （1）解：①； ②； （2）解：∵（n为正整数） ， ∴ ． （3）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.6 二次根式概念性质综合讲义【知识储备+题型精析+同步检测】 目录 一.知识储备 1 【知识要点一】 二次根式的意义 1 【知识要点二】 二次根式双重非负性（高阶培优核心） 2 【知识要点三】 二次根式两大核心性质（易错重难点） 2 二、题型精析（基础夯实） 2 【题型1】纯根式求取值范围 2 【题型2】根式分式复合型 3 【题型3】双根式叠加型 3 【题型4】根式零次幂复合型 3 【题型5】 二次根式基础性质辨析与简单化简 4 三、题型精析（综合提升） 4 【题型6】 二次根式有意义隐含条件求值 4 【题型7】 非负性组合求值（双根式或根式+平方或根式+绝对值） 5 【题型8】 复合型二次根式 5 四、同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 7 一.知识储备 【知识要点一】 二次根式的意义 1. 定义：形如的式子叫做二次根式，核心判定标准：根指数为2、被开方数非负。 2. 本质核心：二次根式有意义⇔被开方数a≥0，无意义⇔被开方数a＜0。 3. 培优四大必考题型（全覆盖）：纯根式型、根式+分式复合型、双根式叠加型、根式+零次幂复合型，所有题型均需联立多重限制条件，取公共解集，规避分母、零次幂底数为0的陷阱。 【知识要点二】 二次根式双重非负性（高阶培优核心） 1. 双重非负性：若有意义，则同时满足：被开方数、根式结果。 2. 初中三大非负数模型：、、，核心结论：若干个非负数的和为0，则每一项均为0。 3. 高阶考查形式：双根式组合、根式+平方组合、根式+绝对值组合、配方隐藏非负性（无直白和为0条件），侧重整体代入、代数式求值培优考法。 【知识要点三】 二次根式两大核心性质（易错重难点） 1. 性质一： 核心说明：先开方、后平方，必须满足被开方数非负，结果等于被开方数本身，多用于根式化简、简单求值。 2. 性质二： 核心说明：先平方、后开方，无需提前限定a的取值，运算结果一定非负，是含字母、数轴背景根式化简的核心公式，也是全书最高频易错点。 3. 性质辨析关键：与形式相似、适用条件不同，时两者相等，时前者无意义、后者有意义。 二、题型精析（基础夯实） 【题型1】纯根式求取值范围 【例题1】（2025八年级上·北京·专题练习）若二次根式有意义，求x的取值范围，并求出当时，二次根式的值． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）当_________时，式子在实数范围内有意义． 【变式3】（26-27八年级上·全国·课前预习）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2）    ． 【题型2】根式分式复合型 【例题2】（2025八年级上·北京·专题练习）若代数式有意义，求x的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）使代数式有意义的的取值范围是（     ）． A．且 B． C．且 D． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）在实数范围内，函数的自变量的取值范围是________． 【变式3】（第04讲二次根式及其性质（4知识点 4大核心考点 过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024））设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2）． 【题型3】双根式叠加型 【例题3】（25-26八年级下·北京·期中）已知，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，则的平方根是（   ） A． B．5 C． D．2 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，则________． 【变式3】（25-26八年级下·吉林松原·期中）已知函数，求的值． 【题型4】根式零次幂复合型 【例题4】（25-26八年级上·全国·单元复习）求下列函数中自变量x的取值范围． （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式2】（2026·黑龙江绥化·二模）如果代数式有意义，则的取值范围是___________ 【变式3】（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列函数中自变量的取值范围： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型5】 二次根式基础性质辨析与简单化简 【例题5】（24-25八年级下·浙江湖州·阶段检测）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）计算：_______；________． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）计算并化简：． 三、题型精析（综合提升） 【题型6】 二次根式有意义隐含条件求值 【例题6】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展提升】 （3）若，求的值． 【变式1】（2025九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知实数a满足，那么的值是（     ） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【变式2】（2025九年级上·上海奉贤·竞赛）已知实数满足，则的值为________________； 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算求值： （1）已知a，b为实数，且，求a，b的值． （2）已知实数m满足，求的值． 【题型7】 非负性组合求值（双根式或根式+平方或根式+绝对值） 【例题7】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知的三边a、b、c满足 ，求最长边上的高h． 【变式1】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·西藏昌都·三模）若实数x，y满足，则_____． 【变式3】（25-26八年级下·湖北十堰·期末）若是的三边长，且满足． （1）求的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【题型8】 复合型二次根式 【例题8】（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）计算：． 【变式1】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）化简 （1）； （2）； （3）． 四、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）计算：（     ） A． B．3 C． D．9 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）已知关于x的方程 有一个实数根是，那么m的值为（     ） A．5 B．4 C．5或4 D．一切实数 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）当_____时二次根式有最小值． 12．（26-27九年级·全国·暑假作业）二次根式有意义，则的取值范围是______；若，则的值为______． 13．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）化简：___________． 14．（23-24八年级上·上海·阶段检测）如果 ，那么 ________． 15．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知，则的值是____． 16．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_______． 17．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在中，x的取值范围为______． 18．（23-24八年级上·上海·阶段检测）当________时，有意义． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东江门·期中）已知为实数，且满足． （1）求的值； （2）求的平方根． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·全国·课后作业）当为何值时，下列各式有意义？ （1） （2） （3） （4） 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东珠海·期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 （1）仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; （2）根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． （1）例：已知，求的值． 解：由得，________，________，________； （2）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：________； （3）拓展创新：已知，求的值． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）化简下列各式． （1）； （2） 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·甘肃白银·阶段检测）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $