2.2 平方根与立方根（第4课时 估算）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦无理数估算核心知识点，通过旧知回顾开方运算，结合长方形荒地面积问题导入，衔接平方根、立方根知识，搭建从精确计算到估算的学习支架。 以生活情境（如环保主题公园、梯子稳定问题）驱动探究，通过夹逼法、乘方逆运算掌握估算方法，体现数学眼光与思维。实例中圆形花圃半径估算用方程模型解决问题，发展数感与应用意识，帮助学生形成估算习惯，为教师提供分层教学策略。

2.2.4 估算（第4课时） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 【新教材】北师版·八年级上册 2.2.4 估算（第4课时） 教学目标 1．了解估算的基本方法。 2．会估算一个无理数的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识，发展数感。 3．能通过估算比较两个数的大小，体会估算在实际生活中的意义和应用。 教学重点 会估算一个无理数的大致范围，掌握估算方法，能通过估算比较两个数的大小。 教学难点 根据实际问题确定估算的精确度，并选择恰当的方法比较无理数的大小，形成自觉的估算意识。 教材分析 本课是北师版八年级上册第二章实数中“2.2 平方根与立方根”的第4课时，核心内容为“估算”。教材以实际生活情境为背景，引导学生利用乘方与开方互为逆运算，估计无理数的大致范围；通过判断计算结果的合理性、估算立方根的大小、比较无理数的大小，掌握估算的基本方法，体会估算在现实生活中的广泛应用。 本节内容是在学生已经学习算术平方根、平方根、立方根的概念及开方运算之后，进一步培养估计意识与数感。教材从“长方形荒地面积求宽”出发，让学生通过夹逼法估计的范围；再通过“圆形花圃半径”问题，将估算精确到1 m，体现估算的实用价值。随后借助“判断计算结果是否正确”和“比较与的大小”等活动，引导学生学会用乘方、平方法、作差法、移因式入根号内等方法比较无理数大小。教学重点是掌握估算无理数大小范围的基本方法，能通过估算比较两个数的大小，形成估算意识；教学难点是在实际问题中合理确定精确度并选择恰当的估算策略。 学情分析 学生已经学习了平方根、立方根、算术平方根等概念，掌握了开平方、开立方的基本运算，也具备了解一元一次方程和简单勾股定理应用的能力，这为本节课估算无理数的大小提供了运算基础。但估算对学生而言是一种较新的思维方式，他们习惯于精确计算，容易认为估算不“准确”、不“严谨”，因此需要借助生活情境激发估算兴趣。具体来看，辨析平方根与立方根等概念难度不大，但将实际问题转化为数学表达式并选择合适的估算策略，对学生来说有一定困难。比较无理数大小的方法多样，学生常不知道选哪种方法，或在取近似值时忽略精确度要求。教学时应引导学生从“找相邻整数”入手，逐步体会夹逼法，并通过小组交流优化估算策略，突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【旧知回顾】 【情景引入】某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 。 （1）公园的宽大约是多少？ 解：设公园的宽大约为 m，由题意得 所以 。 它有1000m吗？怎么比较 与1000的大小关系？ 因为 ，，，可知 在400和500之间，所以公园的宽大约几百米，没有1000m。 通过复习三类开方运算，唤醒学生已有认知；以实际建园问题引出“无理数怎样估算”的学习需求，激发探究兴趣，明确本课目标。 探究点1：估算无理数的大致范围 【问题引入】某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000. （2）如果要求结果精确到10m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流. 分析：估算到个位上的数字 解：因为 ，， 199809 < 200000 < 202500， 所以447 < 公园的宽 < 450， 所以公园的宽大约是450米. （3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800，你能估计它的半径吗？（结果精确到1m） 解：设圆形花圃的半径是 m，则 ， 所以 。 因为 ，， 且 ， 所以 。 因此花圃的半径大约是16m。 【思考交流】(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流. ① ； ② ； ③ 。 方法一：两数同时乘方 方法二：有理数化作带根号的形式 通过“精确计算”可比较两个数的大小关系 （2）你能估算 的大小吗？（结果精确到1） 解：因为 ， 所以 又因为900更接近1000，所以 。 【归纳总结】估算无理数大小的方法：(1) 利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2) 根据所要求的误差确定小数部分. 通过“先判断、再验证”的活动，让学生体会乘方与开方互为逆运算，学会用乘方估计立方根的整数部分，避免盲目猜测。 探究点2：用估算法比较无理数的大小 【问题引入】宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较 与 的大小吗？你是怎么想的？ 小明： 与 的分母相同，只要比较分子就可以了。因为 ，所以 ，因此 。 你认为小明的想法正确吗？正确。 【师生活动】教师追问：还有不同的做法吗？引导学生用“平方比较法”说明。 解：因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 。 【归纳总结】两个带根号的无理数比较大小的结论： （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 或； （3）若 都为正数，则 。 【题型探究】例1.生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定.现有一长为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6 m 高的墙头吗? 解：设梯子稳定摆放时的高度为 m。 此时梯子底端离墙的距离为 m。 由勾股定理，得 即 ，所以 。 因为 ， 所以 。 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头。 方法技巧：估算无理数大小的方法：(1) 利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2) 根据所要求的误差确定小数部分. 例2：通过估算，比较下面各组数的大小： （1） 与 ； （2） 与 。 解：（1）因为 ，所以 ， 所以 ，所以 。 （2）因为 ，所以 。 方法技巧：比较两数大小常用方法有：作差比较法；求值比较法；移因式于根号内，再比较大小；利用平方法比较无理数的大小等。 【新知探究】 （1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到 0.0001）：① ；② 。 ① ； ② 从“黄金矩形”的审美情境抽象出无理数比较，经历从“看分子”到“平方比较”的优化，归纳出比较大小的一般结论。 课堂小结 板书设计 2.2.4 估算（第4课时） 探究点1：估算无理数的大致范围 探究点2：用估算法比较无理数的大小 随堂练习 1.估计的值(　　) A. 在3到4之间　　B. 在4到5之间　　C. 在5到6之间　　D. 在6到7之间 【答案】C 2.通过估算，比较 ， 的大小. 解： 因为， 所以。 因为， 所以。 所以。 3.如图，一旗杆高10米，旗杆顶部A与地面一固定点B之间要拉一根笔直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是7米，一工人准备了长约12.5米的铁索，你认为这一长度够吗？ 解：∵BC=7m，AC=10m ∴AB= 12.5 所以准备的铁索长度够 教学反思 本课教学目标基本达成。学生能从生活情境中主动提出估算需求，并通过平方、立方运算确定无理数的大致范围，估算意识和数感得到一定提升。通过计算器结果辨析和比较大小练习，学生对“估算不是猜数，而是有依据的近似”理解较好。但学生学习难点依然集中在：将实际问题转化为“平方或立方估算”的数学模型，例如圆形花圃半径、梯子稳定高度问题，部分学生不会主动列式；对“精确到10 m”“精确到1 m”的处理，容易出现“只写范围、不取近似值”的情况。改进方向：可增加小组合作列方程并相互检验的环节，让学生充分暴露估算思维过程；设计分层变式，强化“实际问题—数学式子—夹逼估算—近似取值”的完整路径；对比较大小增加学生板演，帮助归纳平方法、作差法、移因式入根号法等策略，进一步提升数感与应用能力。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $