专题01 认识实数及运算难点题型专训（2个知识点+13大题型+自我检测）-2026-2027学年北师大版 八年级数学上册

该初中数学讲义围绕“认识实数及运算”主题，通过梳理无理数、实数及分类两大核心知识点，以定义解析、性质归纳、分类框架等形式呈现知识脉络，结合即时训练巩固基础，清晰展现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型覆盖无理数识别、估算等13类，提高题型聚焦综合问题与规律探究，如“勾股定理与无理数”结合几何直观培养抽象能力，“新定义运算”发展推理意识，自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题01 认识实数及运算重难点题型专训（2个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、无理数 1 题型二、无理数的大小估算 2 题型三、实数概念理解 3 题型四、实数的分类 4 题型五、实数的性质 5 题型六、实数与数轴 6 题型七、实数的大小比较 7 题型八、勾股定理与无理数 8 题型九、程序设计与实数运算 9 题型十、实数的混合运算 10 题型十一、新定义下的实数运算 11 题型十二、实数运算的实际应用 12 题型十三、与实数运算相关的规律题 13 第二部分·练提高题型 题型一、无理数估算综合问题 1 题型二、实数的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（2026·宁夏银川·三模）下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、∵ 是开方开不尽的数，为无理数，∴ 仍是无理数，故此选项符合题意； B、∵ 是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、∵ ，是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、∵ 是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）写出两个无理数，使它们的和为0，__________． 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．写出互为相反数的两个无理数即可满足题意． 【详解】解： 为无理数，也为无理数， 且， 故答案为：和（答案不唯一） 知识点02 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在，、，，，，（相邻两个8之间依次多一个1）中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先化简开立方运算，再根据定义判断各数，计数即可得到结果． 【详解】∵ ，是整数，属于有理数， 整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数， 逐个判断得： 有理数有 ，，，，，共个， 无理数有 ，（相邻两个之间依次多一个），共个， ∴ 有理数的个数为． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）从，0，，3.14，8这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是______． 【答案】/ 【分析】根据有理数的定义可找出在从，0，，3.14，8这5个数中只有0、3.14和6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率． 【详解】解：∵在，0，，3.14，8这5个数中只有0、3.14和6为有理数， ∴从，0，，3.14，8这5个数中随机抽取一个数， 抽到有理数的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有理数的个数是解题的关键． 【基础题型一 无理数】 【例1】（25-26七年级下·湖南娄底·期末）在，，，，（相邻两个之间逐次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】无理数的定义：无限不循环小数是无理数，逐一判断给出的数即可得到结果． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； （相邻两个1之间逐次增加一个5）是无限不循环小数，属于无理数。 因此无理数的个数有个． 【例2】（25-26八年级上·河南开封·期中）请写出一个比大，且比小的无理数：________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的大小比较以及无理数的定义，根据无理数的定义，写出一个在和之间的无理数即可． 【详解】解：，，， ，且是无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26八年级下·全国·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．3，4， D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：根据勾股数定义，逐项判断： A选项：∵ ，，，∴1，1，2不是勾股数，不符合题意； B选项：∵ 1.5和2.5不是正整数，不满足勾股数定义要求，∴1.5，2，2.5不是勾股数，不符合题意； C选项：∵ 不是正整数，不满足勾股数定义要求，∴3，4，不是勾股数，不符合题意； D选项：∵ ，，即，且三个数均为正整数，∴8，15，17 是勾股数，符合题意． 2．（25-26八年级上·山东·课后作业）下列各数中：①面积为3的正方形的边长；②体积为8的正方体的棱长；③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线长，其中是无理数的是 ______（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了无理数的定义，勾股定理．分别计算各数，判断是否为无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此即可得解． 【详解】解：①面积为3的正方形的边长为，是无理数； ②体积为8的正方体的棱长为，2是有理数； ③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长为，是无理数； ④长为3、宽为2的长方形的对角线长为，是无理数， 综上所述，其中是无理数的是①③④． 故答案为：①③④． 3．（25-26七年级下·全国·课前预习）判断下列各数是有理数还是无理数． （每相邻两个1之间逐次增加一个0），． 【答案】无理数：（每相邻两个1之间逐次增加一个0）；有理数：， 【分析】本题主要考查了实数分类，无理数和有理数定义，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．根据无理数是指无限不循环小数，整数和分数统称为有理数进行求解即可． 【详解】解：无理数：（每相邻两个1之间逐次增加一个0）； 有理数：，． 【基础题型二 无理数的大小估算】 【例1】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）估计在哪两个整数之间（     ） A．24与25 B．3与4 C．4与5 D．5与6 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，再根据不等式性质得到的范围，即可得到结果． 【详解】解： ，即 不等式三边同时加1，得 因此在和之间， 故选D． 【例2】（2026·河南南阳·二模）已知，且是整数，则的一个值为________． 【答案】2（或3或4，答案不唯一） 【分析】先估算无理数的取值范围，再结合已知条件确定整数的所有可能值，写出任意一个即可． 【详解】解：， ， 即． 又 ，且是整数， 满足条件的整数可以为（或3或4）． 1．（2026·云南楚雄·二模）学校要修建一个长为12米，宽为7米的矩形花坛，规划时需要确定花坛对角线长度来安排灌溉管道走向．通过计算，对角线的长度为米．以下对该对角线长度的估计，正确的是（    ）． A．在13米和14米之间 B．在14米和15米之间 C．在15米和16米之间 D．在16米和17米之间 【答案】A 【分析】找到与193相邻的两个完全平方数，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴， 即， 因此对角线长度在13米和14米之间． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】通过估算无理数的近似值，得到黄金分割比的取值范围，再与比较大小即可． 【详解】解： ， ． ∴． ∴． 又 ，且 ， ． 3．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 【基础题型三 实数概念理解】 【例1】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）实数π的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用实数a的相反数是进行求解． 【详解】解：由题意得，实数π的相反数是， 故选：A． 【点睛】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 1．（2026·安徽阜阳·二模）实数的绝对值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据正数的绝对值是它本身即可得出结果． 【详解】解：根据绝对值的性质可知， 是正实数，正数的绝对值等于它本身， 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）数轴上、两点所对应的实数分别为2，5，点是线段的中点，则点所对应的实数为________． 【答案】 【分析】数轴上，若点是线段的中点，则对应的实数等于、对应实数的平均数．先设出点对应的实数，再根据中点性质列出方程，最后解方程求出点对应的实数． 【详解】解：设点所对应的实数为． ∵点是线段的中点，且、对应的实数分别为、， ∴根据中点性质可得：． 解得． 即点所对应的实数为． 3．（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解； （2）按照（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和， ∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21， 所以横线上的实数分别为， （2）由（1）可知第8个数为， ∴第9个数为， 第10个数为， 第11个数为， 第12个数为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键． 【基础题型四 实数的分类】 【例1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分数属于有理数，故正确表示它们之间的关系是A选项图形． 【例2】（25-26七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是_____ ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查实数、有理数、无理数，根据实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：无理数包括开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数等，故①错误； 实数包括无理数、有理数，因此无理数都是实数，故②正确； 两个无理数的和不一定是无理数，如，故③错误； 循环小数是有理数，故④正确； 综上可知，错误的序号是①③， 故答案为：①③． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数和有理数的分类，关键是掌握各个知识点． 根据实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，即可解答． 【详解】解：按定义分：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，故A符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号写入相应的集合中：①，②，③，④，⑤8，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）． 整数集合{_______．．．}；无理数集合{_______．．．}． 【答案】②⑤⑦；④⑧⑩ 【分析】无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环． 【详解】解： ∴整数有： 、、 无理数有：、、 故答案为：②⑤⑦；④⑧⑩ 【点睛】本题考查了实数的分类．掌握无理数的定义是解题关键． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： ，，，，，，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：{　　　　　　}； “分数”席：{　　　　　　}． 【答案】(1)3 (2)； 【分析】本题主要考查了无理数的定义，有理数的分类，即无限不循环小数是无理数，有理数包括整数和分数， 对于（1），根据无理数的定义解答； 对于（2），根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：（每两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数，一共3个， 所以主办方需要准备3个“无理数”的席位； 故答案为：3； （2）解：， “整数”席：； “分数”席：， 故答案为：；． 【基础题型五 实数的性质】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）实数的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据初中数学中相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， 实数的相反数是． 【例2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）绝对值等于的实数是______，的相反数是______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值意义、相反数定义，根据绝对值意义及相反数定义：只有符号不同的两个数直接求解即可得到答案，熟记绝对值意义、相反数定义是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值等于的实数是；的相反数是； 故答案为：；． 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（　　） A．打开电视，中央台正在播放“神舟十九号发射成功”的新闻是必然事件 B．“从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》”是随机事件 C．“从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级”是不可能事件 D．“（是实数）”是随机事件 【答案】B 【分析】本题考查事件类型的判断， 需理解必然事件、随机事件和不可能事件的含义，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：选项A：打开电视时，中央台不一定正在播放“神舟十九号发射成功”的新闻，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件，因此A错误； 选项B：从四本不同的书中随机抽取一本，有可能抽到《三国演义》，也有可能抽到其他三本，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，因此B正确； 选项C：根据抽屉原理，从两个班级中任选三名学生，必然会有至少两名学生来自同一个班级，该事件一定发生，属于必然事件，不是不可能事件，因此C错误； 选项D：对于任意实数，恒成立，因此“(是实数)”一定不会发生，属于不可能事件，不是随机事件，因此D错误． 故选：B． 2．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）若式子有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】全体实数 【分析】本题考查的是代数式中字母的取值范围，掌握整式中字母的取值范围是全体实数是解本题的关键． 【详解】解：式子有意义，则实数x的取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数 3．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据正数及零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，可得答案． 【详解】解：， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了实数的绝对值， 理解绝对值的意义是解题的关键． 【基础题型六 实数与数轴】 【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，在数轴上最接近数对应的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算，再根据数轴找出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上最接近数对应的点是M． 【例2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 【答案】 【详解】解：∵点从原点滚动到点， ∴， ∴点对应的数为， ∴点对应的数的相反数是． 1．（2026·甘肃平凉·三模）如图，数轴上点A表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定其取值范围，再结合无理数的大小比较进行判断 【详解】解：由数轴可知，点表示的数在和之间，且靠近， ， 选项A不符合题意； ， 选项D不符合题意； ， 又点靠近， 点表示的数可能是． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点B表示的数是_______． 【答案】/ 【分析】先把两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形面积为2，可得小正方形对角线长为，再根据题意即可得点B表示的数． 【详解】解：如图，由两个小正方形拼成正方形，则的面积为2， ∴， ∵以表示数的点为圆心，正方形对角线的长为半径画半圆，交数轴于点A和点B， ∴点B表示的数为． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“”连接． 0，，， ________________________． 【答案】， 各数表示在数轴上为， 【分析】本题主要考查了数轴，实数的大小比较，熟练掌握如何把实数表示在数轴上是解题的关键． 先把各数表示在数轴上，然后把各数按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接起来即可． 【详解】解：根据数轴可知． 故答案为：． 【基础题型七 实数的大小比较】 【例1】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）下列四个数中最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将四个数进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最小的数是． 【例2】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在中，最大的数是__________． 【答案】 【详解】解：根据实数大小比较法则：负数小于，小于正数，且，即 则， 因此最大的数是． 1．（2026·山东日照·二模）若，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算及有理数的大小比较；解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算出各数的值后再进行大小比较． 【详解】解：先分别计算a，b，c，d的值： ；；；． 比较大小：，即． 2．（25-26七年级下·广东汕头·期末）在低温实验中，甲设备的温度下限是℃，乙设备的温度下限是 ℃，比较：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】先比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的法则，判断与的大小关系． 【详解】解：， ，即， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【答案】 在数轴上表示各数如图： 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由数轴可知：． 【基础题型八 勾股定理与无理数】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江·阶段检测）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求正方形对角线的长，再根据点的位置进行判断． 【详解】解：由题意知，正方形对角线为：， ∵点在数轴负半轴， ∴点表示． 【例2】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． 【答案】 【详解】解：由图可知， 即数轴上的点表示的数是． 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与无理数的几何意义，解题的关键是利用勾股定理计算出线段长度，结合数轴确定点表示的实数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和； 由勾股定理得，斜边长为； 数轴上点在原点右侧，且到原点的距离为， 则点表示的实数为； 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴点表示的实数为， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案． （2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点． 【详解】（1）解：∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． （2）解：∵，，， ∴， ∴点即为所求． 【基础题型九 程序设计与实数运算】 【例1】（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图所示的是一个数值转换器． 当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为______． 【答案】100 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据输出的结果可知第一次取算术平方根后的运算结果，再把这个运算结果平方即可得到答案． 【详解】解：∵经过两次取算术平方根运算，输出的y值为， ∴第一次输入取算术平方根运算的结果为 ∴第一次输入的数为，输入的的值为100， 故答案为：100． 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）根据以下程序，当输入时，输出的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】判断输入的的值与1的大小，再将代入正确的关系式计算即可．本题主要考查程序框图的应用，解题的关键在于正确判断输入的值与1的大小关系，从而将的值代入正确的关系式． 【详解】解：， ． 故选：D． 2．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）小王利用电脑设计了一个程序：当输入实数x时，输出的数比x的平方小1，若输入，则输出的数是______． 【答案】17 【分析】本题考查了实数的运算，解决此题的关键是列出等式． 根据题意列出等式，设输入的数为x，输出的数为y，则，将代入即可． 【详解】解：设输入的数为x，输出的数为y，则， 将代入得：， 故答案为：17． 3．（25-26七年级下·河南商丘·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)所有满足要求的的值为0，1．理由见解析 (3)3，9（答案不唯一） 【分析】（1）根据流程图进行求解即可； （2）根据题意，得到的算术平方根等于其本身，即可得出结果； （3）根据一次计算的结果为和二次计算的结果为，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：为无理数，输出， 故输出的值为； （2）解：由题意，的算术平方根等于其本身， 即或1； （3）解：当输入3时，输出结果为； 当输入9时，是无理数，输出； 故的值可以为3或9. 【基础题型十 实数的混合运算】 【例1】（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）计算的结果为（    ） A．11 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：． 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）计算的结果是________． 【答案】 【详解】解：． 1．（25-26七年级下·北京·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．无限小数一定是无理数 B．两个无理数的和一定是无理数 C．的平方根是 D．64的立方根是 【答案】C 【分析】根据无理数、平方根、立方根的定义，逐一判断选项即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，该项错误． 选项B：举反例，和都是无理数，，是有理数，该项错误． 选项C：，，即的平方根是，该项正确． 选项D：，64的立方根是4，不是，该项错误． 2．（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算的结果是________． 【答案】 【详解】解： ． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【基础题型十一 新定义下的实数运算】 【例1】（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定（     ） A．1 B． 2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定，再根据新定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）定义新运算为，则___________． 【答案】 【分析】根据题目中给定的新运算规则，先计算括号内的结果，再计算括号外的运算即可得到最终答案． 【详解】解：∵新运算规则为， ∴． 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定对应法则代入计算，化简算术平方根和立方根即可得到结果． 【详解】解：由题意得，运算中， ，满足， 按定义得， 代入计算. 2．（2026·四川眉山·模拟预测）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，由实数与虚数单位组合起来得到的数叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：，则请计算______． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式化简，再利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料，即可解决； （2）先确定循环周期为4，将指数2027除以4求得余数为3，可知，即可求解； （3）先算一个周期的和为0，再用总项数2027除以4得到506个周期余3项，可知剩余项为，根据总和＝周期和×周期数＋剩余项和，即可求解； （4）先确定总项数为12，再用总项数12除以4得到3个完整周期，根据每个周期的和为0 ，即可求解． 【详解】（1）解：，则的平方根为； （2）解：∵，，，，，，… ∴循环周期为4， ∴， ∴， （3）解：∵一个周期内4项和为：，且从到共2027项， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：∵从到共项， ∴， ∴． 【基础题型十二 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为_________． 【答案】 【分析】根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算． 【详解】解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为； 有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 2．（25-26八年级下·全国·单元测试）小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是_________． 【答案】23% 【分析】根据增长率=今年的增加的支出÷去年的支出总数即可求出． 【详解】去年的支出总数=3600+1200+7200=12000元， 则今年的增加的支出=3600×10%+1200×20%+7200×30%=2760元， ∴小明家今年的总支出比去年增长的百分数=2760÷12000=23%． 故答案为23%． 【点睛】本题考查了增长率的计算．增长率=今年的增加的量÷去年的总量． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 【基础题型十三 与实数运算相关的规律题】 【例1】（25-26八年级下·云南文山·期末）有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第个数的通用表达式，再代入计算即可得到结果． 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 【例2】（2026·山东德州·模拟预测）观察下列等式： …… 则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）观察下列有规律的等式： ；；；；； …… 则第个等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为规律探究题，分别观察等式各部分与序号的关系，归纳得到规律，即可得到结果． 【详解】观察给出的等式： 第1个等式中，根号内被减数为1，分数分子为1，分母为，等式右边系数为1， 第2个等式中，根号内被减数为2，分数分子为2，分母为，等式右边系数为2， 第3个等式中，根号内被减数为3，分数分子为3，分母为，等式右边系数为3， 依此类推，可得第个等式中，根号内被减数为，分数分子为，分母为，等式右边系数为，根号内分数为， 第个等式为， 即选项A正确． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，． 定义：，， ，…，按此规律类推， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝________． 【答案】 【解析】略 3．（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为 （n为正整数） (3)根据你的猜想，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出第四个式子即可； （2）找到题中规律即可写出第n个等式； （3）根据规律变形，再计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为，即； （2）解：根据题意可得第n个等式为； （3）解：， ， ． 【提高题型一 无理数估算综合问题】 【例1】（2026·北京海淀·二模）如图，在数轴上对应的点可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是点． 【例2】（2026·安徽·一模）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且最小，则用该方法计算的值约为____． 【答案】5.2 【分析】先确定与27最接近的完全平方数，从而得出a和r的值，再代入给定的近似公式计算即可． 【详解】解：因为，且， 所以取正整数，此时， 根据题目中的近似公式， 将，代入得：（或）． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可； （2）根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·江西南昌·期末）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 【提高题型二 实数的规律探究问题】 【例1】（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察得出被开方数是连续自然数，且第k行有个数，先计算前6行的总个数，第7行从左向右数第8个数的被开方数，化简后即可得到结果． 【详解】解：观察数阵可知，被开方数是从1开始的连续自然数，且第行共有个数， ∴前6行的数的总个数为， ∴第7行从左向右数第8个数是整个数阵的第个数，即被开方数为50， ∴所求数为． 【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）下列各个图形中，“·”的个数是a，“○”的个数用b表示，如：当时，，；当时，，；当时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为_________． 【答案】 【详解】解：当时，，， 当时，，， 当时，，， …．． ∴，， 当时．，， ∴． 1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 2．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 3．（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，求平方根的方法解方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为，据此求出2026除以4的余数即可得到答案； （2）根据题目中给出的运算方法进行计算即可； （3）根据题目中给出的运算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ……， 以此类推，可知，（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为， ∵， ∴； （2）解： ； ； （3）解：∵， ∴， ， ， 1．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 【答案】D 【分析】先化简，再结合无理数定义、实数与数轴的关系、无理数估算、正方形周长公式逐一判断选项，找出错误叙述即可． 【详解】∵是无限不循环小数，属于无理数，∴A叙述正确； ∵所有实数都能在数轴上找到对应点，是实数，∴B叙述正确； ∵，，且 ，∴ ，C叙述正确； ∵周长为8的正方形，边长为 ，∴D叙述不正确． 2．（2026·福建·模拟预测）将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：D． 3．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，点O表示有理数O，点A表示有理数3；过点A作数轴的垂线，以A为圆心，2个单位长度的长为半径画弧交于点B；连接，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C；数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．3.8 D． 【答案】D 【分析】本题考查作图、实数与数轴、勾股定理．首先利用勾股定理计算出的长，然后再由题意可得，从而可得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数为3， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C， ∴， ∴点C表示的数为． 故选：D． 4．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则下列说法中正确的有（　　） ①；②；③；④正方形与正方形的面积之和为29． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】首先求出重合部分小正方形的边长为，然后表示出，得到，即可判断③；然后表示出和即可判断①②；然后根据长方形的面积与各个部分面积之间的关系得到，整理后求出，进而求解即可． 【详解】解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为 ∵ ∴，故③错误； ∵ ∴；故①正确； ∵ ∴，故②错误； 由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 代入得， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有2个． 5．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（　　） 1        第一排                                  第二排                           1       第三排        1                  1       第四排                                          …… …… 第四列   第三列   第二列   第一列 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】观察数列可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据实数的运算，可得答案． 【详解】解：由题意可得： 每三个数一循环，1、、，则前7排共有个数， 在排列中是第个数， ， 表示的数正好是第10轮的最后一个，即表示的数是， 前2014排共有个数，而， 表示的数正好是第676369轮的第一个数，即表示的数是1， ， 与表示的两个数的积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了数字的变化类，实数的运算，根据题意得出每三个数一循环是解题的关键． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）“若a是实数，则”这一事件是______．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】随机事件 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断判断即可． 【详解】解：∵a是实数， ∴， ∴“若a是实数，则”这一事件是随机事件， 故答案为：随机事件． 7．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 8．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，，以点O为圆心，以的长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数为__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出线段长度，然后结合数轴进行求解． 【详解】解：由勾股定理得， ∴点A表示的数为． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 10．（2026·安徽芜湖·一模）对于整数，根据整数的符号，分以下三种情况得到另一个整数：若为正数，则；若为负数，则；若为，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，为正数，则，对4进行一次变换得到的数为为负数，则，对进行二次变换得到的数为；为负数，则，对进行三次变换得到的数为． （1）对整数进行三次变换，得到的数为_____； （2）若对整数进行二次变换得到的数为，则所有满足条件的的值之和为_____． 【答案】 【分析】（）因为要对整数进行三次变换，所以先判断的符号，根据正数对应的变换公式得到一次变换结果；再判断该结果的符号，用对应公式得到二次变换结果；最后判断二次变换结果的符号，用对应公式得到三次变换结果； （）因为已知二次变换结果为，所以需要逆向推导，先设一次变换的结果为，根据的符号分三种情况，利用变换公式列方程求出的可能值；再针对每个的值，设原整数为，同样根据的符号分三种情况，利用变换公式列方程求出的所有可能值；最后将所有满足条件的的值相加． 【详解】解：①对三次变换的结果， 根据变换规则逐步计算： 一次变换：是正数，； 二次变换：是负数，； 三次变换：是正数，； 因此三次变换得到的数为； ②已知二次变换结果为，逆推求解： 求第一次变换的结果 对变换得到，分情况讨论： 若为正数：，解得，符合正数前提； 若为负数：，解得，符合负数前提； 若：变换结果为，舍去； 因此的可能值为或； 当时： 为正数：，解得，不符合正数前提，舍去； 为负数：，解得，符合负数前提，保留； ：变换结果为，舍去； 当时： 为正数：，解得，符合正数前提，保留； 为负数：，解得，符合负数前提，保留； ：变换结果为，舍去； 所有满足条件的为， 和为：． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）试比较与的大小． 【答案】 【分析】求出的近似值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴． 12．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）如图，，，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴上点C左侧于点． (1)写出数轴上点A表示的数并说明理由； (2)在数轴上作出所对应的点．（不写作法，标上所需线段长度） 【答案】(1) 点A表示的数是 在中， ， 所以， 所以点A表示的数是； (2) 如图所示， 点M即为所求作的点． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而得出的长，据此可解决问题． （2）根据题意，构造出直角边长分别为1和2的直角三角形即可解决问题． 本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征及勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2) 证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 14．（25-26七年级下·福建莆田·期中）在学习二次根式后，某数学爱好小组探索的近似值的过程如下： ∵， ∴， ∵面积为的正方形的边长是， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断，设，画出示意图，得，当时，可忽略，可得，求得，即可求解； （2）设，正方形的面积为，当时，可忽略，可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 面积为的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图，如图所示， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴， 当时，可忽略，得， 解得， ∴． （2）解：设， 如图所示，    正方形的面积为， ∵， 当时，可忽略，则，即， ∴， ． 15．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，实数的简便计算，找出分数的分母与n的关系是解题关键． （1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据前后两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 认识实数及运算重难点题型专训（2个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、无理数 1 题型二、无理数的大小估算 2 题型三、实数概念理解 3 题型四、实数的分类 4 题型五、实数的性质 5 题型六、实数与数轴 6 题型七、实数的大小比较 7 题型八、勾股定理与无理数 8 题型九、程序设计与实数运算 9 题型十、实数的混合运算 10 题型十一、新定义下的实数运算 11 题型十二、实数运算的实际应用 12 题型十三、与实数运算相关的规律题 13 第二部分·练提高题型 题型一、无理数估算综合问题 1 题型二、实数的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（2026·宁夏银川·三模）下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）写出两个无理数，使它们的和为0，__________． 知识点02 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在，、，，，，（相邻两个8之间依次多一个1）中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）从，0，，3.14，8这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是______． 【基础题型一 无理数】 【例1】（25-26七年级下·湖南娄底·期末）在，，，，（相邻两个之间逐次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（25-26八年级上·河南开封·期中）请写出一个比大，且比小的无理数：________． 1．（25-26八年级下·全国·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．3，4， D．8，15，17 2．（25-26八年级上·山东·课后作业）下列各数中：①面积为3的正方形的边长；②体积为8的正方体的棱长；③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线长，其中是无理数的是 ______（填序号）． 3．（25-26七年级下·全国·课前预习）判断下列各数是有理数还是无理数． （每相邻两个1之间逐次增加一个0），． 【基础题型二 无理数的大小估算】 【例1】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）估计在哪两个整数之间（     ） A．24与25 B．3与4 C．4与5 D．5与6 【例2】（2026·河南南阳·二模）已知，且是整数，则的一个值为________． 1．（2026·云南楚雄·二模）学校要修建一个长为12米，宽为7米的矩形花坛，规划时需要确定花坛对角线长度来安排灌溉管道走向．通过计算，对角线的长度为米．以下对该对角线长度的估计，正确的是（    ）． A．在13米和14米之间 B．在14米和15米之间 C．在15米和16米之间 D．在16米和17米之间 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 3．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【基础题型三 实数概念理解】 【例1】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）实数π的相反数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 1．（2026·安徽阜阳·二模）实数的绝对值是（   ） A． B．3 C． D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）数轴上、两点所对应的实数分别为2，5，点是线段的中点，则点所对应的实数为________． 3．（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 【基础题型四 实数的分类】 【例1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是_____ ． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号写入相应的集合中：①，②，③，④，⑤8，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）． 整数集合{_______．．．}；无理数集合{_______．．．}． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： ，，，，，，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：{　　　　　　}； “分数”席：{　　　　　　}． 【基础题型五 实数的性质】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）实数的相反数是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）绝对值等于的实数是______，的相反数是______． 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（　　） A．打开电视，中央台正在播放“神舟十九号发射成功”的新闻是必然事件 B．“从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》”是随机事件 C．“从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级”是不可能事件 D．“（是实数）”是随机事件 2．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）若式子有意义，则实数x的取值范围是__________． 3．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【基础题型六 实数与数轴】 【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，在数轴上最接近数对应的点是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 1．（2026·甘肃平凉·三模）如图，数轴上点A表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点B表示的数是_______． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“”连接． 0，，， ________________________． 【基础题型七 实数的大小比较】 【例1】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）下列四个数中最小的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在中，最大的数是__________． 1．（2026·山东日照·二模）若，，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东汕头·期末）在低温实验中，甲设备的温度下限是℃，乙设备的温度下限是 ℃，比较：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【基础题型八 勾股定理与无理数】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江·阶段检测）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为_______________． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【基础题型九 程序设计与实数运算】 【例1】（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图所示的是一个数值转换器． 当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为______． 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）根据以下程序，当输入时，输出的值为（    ） A． B． C． D．4 2．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）小王利用电脑设计了一个程序：当输入实数x时，输出的数比x的平方小1，若输入，则输出的数是______． 3．（25-26七年级下·河南商丘·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【基础题型十 实数的混合运算】 【例1】（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）计算的结果为（    ） A．11 B． C．1 D． 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）计算的结果是________． 1．（25-26七年级下·北京·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．无限小数一定是无理数 B．两个无理数的和一定是无理数 C．的平方根是 D．64的立方根是 2．（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算的结果是________． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【基础题型十一 新定义下的实数运算】 【例1】（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定（     ） A．1 B． 2 C．3 D．4 【例2】（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）定义新运算为，则___________． 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川眉山·模拟预测）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，由实数与虚数单位组合起来得到的数叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：，则请计算______． 3．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 【基础题型十二 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为_________． 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·单元测试）小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是_________． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【基础题型十三 与实数运算相关的规律题】 【例1】（25-26八年级下·云南文山·期末）有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山东德州·模拟预测）观察下列等式： …… 则的值为________． 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）观察下列有规律的等式： ；；；；； …… 则第个等式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，． 定义：，， ，…，按此规律类推， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝________． 3．（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为 （n为正整数） (3)根据你的猜想，计算： 【提高题型一 无理数估算综合问题】 【例1】（2026·北京海淀·二模）如图，在数轴上对应的点可能是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·安徽·一模）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且最小，则用该方法计算的值约为____． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 2．（25-26七年级下·江西南昌·期末）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 3．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【提高题型二 实数的规律探究问题】 【例1】（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）下列各个图形中，“·”的个数是a，“○”的个数用b表示，如：当时，，；当时，，；当时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为_________． 1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 2．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 3．（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 1．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 2．（2026·福建·模拟预测）将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，点O表示有理数O，点A表示有理数3；过点A作数轴的垂线，以A为圆心，2个单位长度的长为半径画弧交于点B；连接，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C；数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．3.8 D． 4．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则下列说法中正确的有（　　） ①；②；③；④正方形与正方形的面积之和为29． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（　　） 1        第一排                                  第二排                           1       第三排        1                  1       第四排                                          …… …… 第四列   第三列   第二列   第一列 A． B． C． D．1 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）“若a是实数，则”这一事件是______．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 7．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 8．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，，以点O为圆心，以的长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数为__________． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    10．（2026·安徽芜湖·一模）对于整数，根据整数的符号，分以下三种情况得到另一个整数：若为正数，则；若为负数，则；若为，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，为正数，则，对4进行一次变换得到的数为为负数，则，对进行二次变换得到的数为；为负数，则，对进行三次变换得到的数为． （1）对整数进行三次变换，得到的数为_____； （2）若对整数进行二次变换得到的数为，则所有满足条件的的值之和为_____． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）试比较与的大小． 12．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）如图，，，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴上点C左侧于点． (1)写出数轴上点A表示的数并说明理由； (2)在数轴上作出所对应的点．（不写作法，标上所需线段长度） 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 14．（25-26七年级下·福建莆田·期中）在学习二次根式后，某数学爱好小组探索的近似值的过程如下： ∵， ∴， ∵面积为的正方形的边长是， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 15．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $