培优专题03 二次函数实际问题建模题型归纳（专项训练） 数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过8类典型题型系统构建建模方法，强化从实际情境抽象函数关系的模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形问题|5题|矩形、三角形等图形面积最值|几何量→变量关系→二次函数表达式→最值求解| |动点问题|5题|点运动形成的面积/距离函数|运动过程分段→变量取值范围→函数图像分析| |拱桥/投球/喷水问题|各5题|抛物线型运动轨迹|坐标系建立→顶点/交点坐标→函数表达式→实际意义解读| |销售/增长率问题|各5题|利润、产量与价格/增长率关系|等量关系分析→二次函数模型→最值或特定值计算| |其它问题|5题|滑梯、飞机滑行等实际场景|实际问题抽象→函数建模→性质应用|

专题03 二次函数实际问题建模题型归纳 常考题型·精准突破 ◆题型1图形问题 1．C 2．B 3． 4． 5． 【详解】（1）解：①由题意得：， ； ②符合标准；理由如下： 停车位总面积为， ， 将①中代入，得 ， ∴ ， ∴， ∴或（舍去）， ， ∴符合标准. （2）解：设停车位的总面积为，由（1）可知：， ∴ ， ， ∵且， ∴， ∴当时，最大， 答：当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为． ◆题型2 动点问题 1．B 2．A 3．3 4．2 4 5． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． ◆题型3 拱桥问题 1．C 2．D 3． 4． 5． 货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． ◆题型4 销售问题 1．A 2．C 3．1690 4．5 5． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ∴与x之间的函数关系式为. （2）解: 根据题意得：，解得：， 由（1）得：， 配方得：， ， ∴此抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时， ， ∴销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，的最大值为2160元. ◆题型5 投球问题 1．C 2．D 3．5 4． 5 10 5． 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． ◆题型6 喷水问题 1．C 2．B 3． 4．不能 5． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. ◆题型7 增长率问题 1．A 2．D 3． 4． 5． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． ◆题型8 其它问题 1．B 2．C 3． 4．8 5． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂． （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）． ②可以达到预期效果 理由：， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果． 综合攻坚·知能拔高 1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．7 7．不能 8．4 9． 10．15 11． 12． 【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 13． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 14． 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 15． 【详解】（1）解：由题意，得：， ， ∴当时，有最大值为2250， 即与之间的函数关系式，最大利润为元； （2）解：①当销售量每月不小于150件时，即， 解得：， 由题意，得： ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元； ②销售量每月小于150件时，， 解得， 由题意 ， ∵， ∴时，w的最大值为1960， ∵， ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数实际问题建模题型归纳 常考题型·精准突破 题型1 图形问题 题型2 动点问题 题型3 拱桥问题 题型4 销售问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7 增长率问题 题型8 其它问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1图形问题 1．如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 2．如图1，王明用总长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形，设大矩形垂直于墙的一边长为，菜园的总面积为，关于的函数图象如图2，则的值是（   ） A．10 B．20 C．50 D．不能确定 3．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 4．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______． 5．根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如右图所示．已知，． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即，且停车位的宽度不小于，其余部分是等宽的通道． (1)任务1：①设停车位的宽度为，通道的宽度为，求与之间的函数关系式； ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． (2)任务2：若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． ◆题型2 动点问题 1．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终回到点A，设点P的运动时间为，线段的长度为，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，分别到达点，后停止运动，那么当的面积取得最大值时，出发时间的值是_____． 4．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间___________时，的面积最大，为___________． 5．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． ◆题型3 拱桥问题 1．图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（     ） A．门的最大高度为 B．门的底部宽度为 C．离地面处的门的水平宽度为 D．当门的水平宽度为时，门的高度为 2．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 3．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 4．如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 5．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． ◆题型4 销售问题 1．中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 3．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 4．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 5．某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)直接写出与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． ◆题型5 投球问题 1．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 2．如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 4．如图所示，是一个学生推铅球时，铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）的函数图象，观察图象，铅球到达最高点时距离地面________米，铅球被推出的距离是________米． 5．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． ◆题型6 喷水问题 1．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．喷泉水流从垂直于水池底面的水管喷出，米．水流在各个方向上沿抛物线路径落入水池内．水流的落点到的水平距离为米．水流喷出的高度（米）与水平距离（米）满足关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 4．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 5．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ ◆题型7 增长率问题 1．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 2．红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 3． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 4．某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为________（要求化成一般式）． 5．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ ◆题型8 其它问题 1．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 2．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 3．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 4．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 5．某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 2．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（为常数，）运动，其中（单位：）是铅球离初始位置的水平距离，（单位：）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①； ②铅球运动的高度可以是； ③铅球掷出的水平距离为； ④当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（  ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图1，四边形是矩形，动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿折线向点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．当点运动到的中点时，的值为（     ） A．9 B．10 C．12 D．16 4．如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（     ） A． B． C． D． 5．在校园趣味运动会上，投沙包比赛中沙包的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，如图是某位同学投沙包时沙包的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象，已知出手点A的高度为1.5m，当沙包水平飞出2m时到达最高处2.5m，位于点处设置有篮筐（可看作一点），得分规定如下表，则该同学此次可获得分数为（参考数据；）（    ） 分值 沙包落地点与篮筐之间的水平距离 3 水平距离 2 水平距离 1 水平距离 0 水平距离 A．3 B．2 C．1 D．0 6．某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 7．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 8．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 9．某公园的圆形喷水池中心有一个高的喷水管，向四周喷水时，水柱从喷水管喷出路径形状可以看作是抛物线的一部分，如图所示，以喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，喷泉的落水点距喷水管的水平距离为，则喷水管喷水的最大高度为______． 10．已知某商品每件利润为10元时，每天可销售80件．如果每件商品每涨价1元，日销售量就减少2件，则每件商品涨价______元时，每天总利润达到最大． 11．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 12．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 13．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 14．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 15．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数实际问题建模题型归纳 常考题型·精准突破 题型1 图形问题 题型2 动点问题 题型3 拱桥问题 题型4 销售问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7 增长率问题 题型8 其它问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1图形问题 1．如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 2．如图1，王明用总长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形，设大矩形垂直于墙的一边长为，菜园的总面积为，关于的函数图象如图2，则的值是（   ） A．10 B．20 C．50 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得到大矩形的另一边长，进而由面积得二次函数，结合函数图象当时函数值为25，即可求得a的值． 【详解】解：由题意得，大矩形的另一边为， 则， 由函数图象知，当时，函数值为25， 即， 解得：， 故选：B． 3．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【答案】 【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】解：设为，则， 则窗户的面积 当时，取得最大值为． 4．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由，得到，利用三角形的面积公式即可得到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解最大值． 【详解】解：， ， 的底边长为，边上的高为，它的面积为， ， ， 当时，有最大值，为． 5．根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如右图所示．已知，． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即，且停车位的宽度不小于，其余部分是等宽的通道． (1)任务1：①设停车位的宽度为，通道的宽度为，求与之间的函数关系式； ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． (2)任务2：若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 【答案】(1)①； ②符合标准；理由如下： 停车位总面积为， ， 将①中代入，得 ， ∴ ， ∴， ∴或（舍去）， ， ∴符合标准. (2)当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为. 【分析】（1）①设停车位的宽度为，通道的宽度为，根据图形可知：，进而得到，②根据停车位总面积为，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于进行判断即可； （2）设停车位的总面积为，面积公式表示出，配方法求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得：， ； ②略 （2）解：设停车位的总面积为，由（1）可知：， ∴ ， ， ∵且， ∴， ∴当时，最大， 答：当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为． ◆题型2 动点问题 1．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 2．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终回到点A，设点P的运动时间为，线段的长度为，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分点在上运动三种情况，进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，当时，点P在上，，为一段上升的线段； 当时，点P在上， ∴， ∴，其函数图象是y随x的增大而增大，且不是线段； 当时，点P在上， ∴，为一段下降的线段； 故符合题意的只有选项A. 3．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，分别到达点，后停止运动，那么当的面积取得最大值时，出发时间的值是_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识．根据题意得到，，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意有：，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故S关于t的函数解析式为； ∵， ∵， ∴当时，的面积S有最大值． 故答案为：3． 4．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间___________时，的面积最大，为___________． 【答案】 2 4 【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2， 5．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． ◆题型3 拱桥问题 1．图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（     ） A．门的最大高度为 B．门的底部宽度为 C．离地面处的门的水平宽度为 D．当门的水平宽度为时，门的高度为 【答案】C 【分析】以抛物线的解析式为基础，通过代入或解方程，分别验证每个选项里门的高度和水平宽度是否符合计算结果，从而找出错误选项． 【详解】解：选项：当，，即门的最大高度为，正确； 选项：，令可得，解得或，即点的坐标为，点的坐标为，故，正确； 选项：，令可得，解得或，故离地面处的门的水平宽度为，错误； 选项：当门的水平宽度为，此时，当，，即门的高度为，正确． 2．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 3．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 4．如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 5．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 ◆题型4 销售问题 1．中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 2．第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用总利润单个玩偶的利润销售量，分别表示出单个玩偶的利润和销售量，即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：设每个涨价元，则现在的售价为元，单个利润为元， 由于售价每上涨元，每周少卖个， 则涨价元后，每周的销售量为个， 根据题意得：． 3．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 4．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 5．某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)直接写出与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据利润(售价-进价) 售量，代入数据化简即可得与x之间的函数关系式. （2）根据（1）的解析式，进一步配方后，结合二次函数性质即可得此抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据的取值范围即可得出时， 元，即可得答案. 【详解】（1）解：根据题意得： ， ∴与x之间的函数关系式为. （2）解: 根据题意得：，解得：， 由（1）得：， 配方得：， ， ∴此抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时， ， ∴销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，的最大值为2160元. ◆题型5 投球问题 1．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 2．如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，求出当时对应的的值，即可得到实心球掷出的水平距离． 【详解】解：为， 点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，可得：， 解得：，（舍去）， 所以实心球掷出的水平距离为米． 3．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 4．如图所示，是一个学生推铅球时，铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）的函数图象，观察图象，铅球到达最高点时距离地面________米，铅球被推出的距离是________米． 【答案】 5 10 【分析】由图知，图象的最高点（顶点）的纵坐标代表铅球行进过程中的最大高度，图象与x轴的交点（时）的横坐标代表铅球落地时的水平距离，进而判断即可得解． 【详解】解：①观察函数图象，铅球行进的高度y随水平距离x的变化而变化，图象的最高点即为抛物线的顶点． 由图象可知，顶点的坐标为，其中，横坐标4表示铅球在水平距离为4米时达到最高点，纵坐标5表示此时的高度为5米，所以，铅球到达最高点时距离地面5米． ②铅球被推出的距离是指铅球落地时与起点的水平距离．当铅球落地时，其高度可为0． 观察图象，抛物线与x轴（即的直线）的交点坐标为，这表示当水平距离x为10米时，高度y变为0，即铅球落地，所以，铅球被推出的距离是10米． 5．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． ◆题型6 喷水问题 1．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出点B的坐标，可得到点A的坐标，即可求解． 【详解】解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵水流是关于轴对称的两条抛物线， ∴点A，B关于y轴对称， ∴点， ∴． 2．喷泉水流从垂直于水池底面的水管喷出，米．水流在各个方向上沿抛物线路径落入水池内．水流的落点到的水平距离为米．水流喷出的高度（米）与水平距离（米）满足关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数的性质，首先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数的顶点坐标公式求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可知，点的坐标是，点的坐标是， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 水流喷出的最大高度是， 水流喷出的最大高度是米． 故选：B． 3．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 4．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 5．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. ◆题型7 增长率问题 1．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 2．红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 3． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 4．某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为________（要求化成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键． 每年的增长率都为，第一年后的产量是件，即可得第二年后的产量是，即可求解． 【详解】解：根据题意，第一年后的产量是件， 第二年后的产量．即． 故答案为：． 5．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． ◆题型8 其它问题 1．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 2．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 3．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 【答案】 【分析】飞机滑行到停止时滑行距离达到最大，对二次函数配方求顶点，即可得到停止时的滑行时间和总滑行距离． 【详解】解：将函数解析式整理配方，， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，取得最大值，此时飞机停止滑行， 即飞机着陆后停下来滑行的时间是，滑行的总距离是． 4．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 5．某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 【答案】(1)10分钟 (2)①320人 ②可以达到预期效果 理由：， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果． 【分析】（1）令，解方程求解即可； （2）①设等待排队有名学生，则，求函数的最值即可． ②设等待排队有名学生，则．求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂． （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）． ②略 综合攻坚·知能拔高 1．如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】设长为米，由图可得，横档的长为米，表示出透光面积并结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为米， 由图可得，横档的长为米， ∴透光面积为 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 2．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（为常数，）运动，其中（单位：）是铅球离初始位置的水平距离，（单位：）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①； ②铅球运动的高度可以是； ③铅球掷出的水平距离为； ④当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（  ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用抛出时，求出，得到抛物线解析式，再结合二次函数最值，解方程逐个判断4个结论正误． 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得，①正确； 抛物线的关系式为， 当时，， 铅球运动的高度可以是，②正确； 当时，， 解得（舍），， 铅球掷出的水平距离为，③正确； 当时，， 解得，， 它离初始位置的水平距离是或，④错误， 所以正确的有①②③共3个． 3．如图1，四边形是矩形，动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿折线向点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．当点运动到的中点时，的值为（     ） A．9 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据题意得：，，当点P运动到点A处时，，此时，结合面积得出，，当点Q运动到的中点时，画出图形，然后利用面积和差求解即可． 【详解】解：根据题意得：，． 当点P运动到点A处时，， 此时， ∴，解得（负值已舍去）． ∴，． 当点Q运动到的中点时，如图所示： 运动时间为：秒， ∴， ∴， ∴． ∴． 4．如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定抛物线的对称轴为直线，解方程，结合已知求解即可； 【详解】解：因为抛物线关系式为， 所以抛物线的对称轴为直线， 因为点P在抛物线上，且在对称轴的右侧， 所以点P的横坐标大于32， 因为点P到x轴的距离为， 所以， 整理，得， 解得，24小于32，24舍去； 故点P到y轴的距离为； 5．在校园趣味运动会上，投沙包比赛中沙包的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，如图是某位同学投沙包时沙包的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象，已知出手点A的高度为1.5m，当沙包水平飞出2m时到达最高处2.5m，位于点处设置有篮筐（可看作一点），得分规定如下表，则该同学此次可获得分数为（参考数据；）（    ） 分值 沙包落地点与篮筐之间的水平距离 3 水平距离 2 水平距离 1 水平距离 0 水平距离 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．先根据已知条件求出二次函数解析式，再令，结合实际，求出沙包落地点对应的点坐标，结合篮筐在地面上的位置所对应的点坐标为，求出沙包落地点与篮筐之间的水平距离，最后估算出该距离并与表格中的得分标准进行对比，得出该生应得分数． 【详解】解：设该抛物线的解析式为：， ∵出手点A的高度为1.5m， ∴点A坐标为， 又∵沙包水平飞出2m时到达最高处2.5m， ∴抛物线顶点坐标为， 即抛物线解析式为：且该抛物线过点， 将代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 解得：，， 根据题意，沙包落地点对应的点坐标为，篮筐在地面上的位置所对应的点坐标为， ∴沙包落地点与篮筐之间的水平距离为：， ∴该同学此次可获得分数为0分． 6．某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 7．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 8．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 9．某公园的圆形喷水池中心有一个高的喷水管，向四周喷水时，水柱从喷水管喷出路径形状可以看作是抛物线的一部分，如图所示，以喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，喷泉的落水点距喷水管的水平距离为，则喷水管喷水的最大高度为______． 【答案】 【分析】先根据待定系数法求出抛物线解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 代入，得， 解得， ∴ ， ∵， ∴当时，y有最大值为， ∴喷水管喷水的最大高度为． 10．已知某商品每件利润为10元时，每天可销售80件．如果每件商品每涨价1元，日销售量就减少2件，则每件商品涨价______元时，每天总利润达到最大． 【答案】 【分析】直接利用每件商品的利润销量总利润，进而得出关系式，再根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：设每件商品涨价元，总利润为， 根据题意可得： ， 则每件商品涨价元时，每天的总利润达到最大． 11．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 【答案】 【分析】设出解析式，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 故抛物线的函数关系式是. 12．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】(1)①；② (2)年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【分析】（1）①根据题意列出关系式即可； ②根据总收入列一元二次方程计算； （2）根据题意列出不等式，结合换元法、二次函数的性质解题． 【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 13．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【答案】(1)； (2)小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）略． 14．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】(1)； (2)当时，面积取最大值为 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 15．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 【答案】(1) 函数关系式为，最大利润为元 (2) 定价为元时，新产品每月可获得最大销售利润，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润=单件利润×数量，即可解答，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）分两种情形①当销售量每月不小于150件，政府部门给予每件3元的补贴，则利润=（定价-成本价+补贴）×销售量，从而列出关系式；运用二次函数性质求出结果．②当销售量每月小于150件，求出W的最大值，比较两种情形的最大值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意，得：， ， ∴当时，有最大值为2250， 即与之间的函数关系式，最大利润为元； （2）解：①当销售量每月不小于150件时，即， 解得：， 由题意，得： ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元； ②销售量每月小于150件时，， 解得， 由题意 ， ∵， ∴时，w的最大值为1960， ∵， ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $