2.3 有理数的乘除运算（第3课时 有理数的除法）（教学设计）数学新教材北师大版七年级上册

2.3 有理数的乘除运算（第 3 课时）教学设计 课题 2.3 有理数的乘除运算第 3 课时 单元 第二章 有理数及其运算 学科 初中数学 （北师大版） 年级 七年级上 学习目标 1.理解有理数除法是乘法的逆运算，掌握有理数除法两条法则，能准确识别倒数，规范读写除法算式；熟练完成整数、小数、分数、连除、带括号除法运算，清晰区分两种除法法则的适用场景；会运用有理数除法解决气温变化等实际问题，能用除法批量计算一组数字. 2.借助乘法逆运算推导除法计算结果，经历 “观察算式 — 归纳规律 — 总结法则” 的抽象过程，体会化除为乘的简化思想；通过对比正数除法、有理数乘除法，自主归纳除法符号规律，提升类比、归纳推理能力. 3.感受乘除运算内在统一性，体会数学运算转化的便捷性；规范符号运算书写步骤，养成严谨区分符号、规避 0 作除数的计算习惯. 教材 分析 北师大版（新教材）七年级上册第二章 “有理数及其运算” 2.3 有理数的乘除运算第 3 课时：有理数的除法.核心内容包括：有理数除法是乘法的逆运算，有理数除法法则（同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何非 0 数都得 0，0 不能作除数），化除为乘的法则（除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数），以及乘除混合运算的简化方法. 本节是在学生掌握有理数乘法法则和倒数概念的基础上，进一步研究有理数除法.概念形成逻辑为：先借助 “除法是乘法的逆运算”，由乘法算式反推除法结果，观察正负号规律，归纳出第一条法则；再通过对比除法与乘法算式，发现 “除以一个数等于乘这个数的倒数”，得到第二条法则，从而实现 “化除为乘”，将除法运算统一到乘法运算中.这样既沟通了乘除运算的内在联系，又简化了混合运算.知识价值在于：一是完善了有理数运算体系，二是渗透了转化思想，三是为后续学习整式乘除、分式运算等奠定基础.教学重点：有理数除法法则的掌握与运用，以及乘除混合运算的正确进行. 学情 分析 学生已系统学习了小学正数四则运算，掌握了分数的乘除法，并在本单元前两课时学习了有理数乘法法则、倒数概念，具备了类比正数除法、借助乘法逆运算探究除法法则的知识基础.七年级学生思维活跃，乐于参与观察、归纳活动，但抽象概括和符号表达能力尚在发展初期，容易在以下方面出现困难：一是对负数参与的除法符号判断不准，尤其是连除时负号个数影响结果；二是将除法转化为乘法时，倒数求错或漏掉负号；三是面对小数、分数及带括号的混合运算时，运算顺序和格式不规范；四是受乘法分配律负迁移影响，错误使用 “除法分配律”，只有被除数可以分配，除数不能分配.因此，本节课的教学难点为：有理数除法法则的归纳与灵活运用，特别是乘除混合运算中 “化除为乘” 的转化和符号的准确确定，区分乘法分配律与除法运算.教学中应通过多组对比算式引导学生发现规律，并设计分层练习强化算理和书写规范，增设错例辨析突破分配律负迁移问题. 教学 重点 理解并掌握有理数除法两条法则，能正确进行有理数除法及乘除混合运算. 教学 难点 除法法则的归纳与灵活运用，尤其是乘除混合运算中 “化除为乘” 的处理，以及运算中符号的准确确定；辨析除法没有分配律，防止出现被除数分配、除数分配的典型错误. 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【创设情境，引入新课】 【生活情境】某登山队测得山脚气温为 ，山顶气温为 .已知海拔每上升 ，气温约下降 .山顶相对山脚升高了多少千米？ 气温变化为 ； 每升高 ，气温变化为 ； 所以高度为 （km）. 教师顺势出示教材问题： 学生结合乘法算式 ，可以直接说出： 教师追问： 1.小学只学正数除法，引入负数后，同号、异号数字相除该如何计算？ 2.多个数连除怎么简化运算？ 3.除法是否像乘法一样具备分配律？ 设计意图：从气温变化这一实际情境引入，让学生感受有理数除法的现实意义；再由教材核心问题引发认知冲突，明确本课学习方向，激发探究兴趣. 1. 阅读学习目标，明确本节课学习任务； 2. 结合水位变化情境，独立写出加法算式，并尝试改写为乘法算式； 3. 对比小学正数乘法，思考引入负数之后乘法会发生哪些变化，积极举手发言. 新知 探究 探究点 1：有理数除法的运算法则（一） 问题引入：借助乘法逆运算计算 根据 “除法是乘法的逆运算” 计算下列各式： （1）因为 ，所以 ； （2）因为 ，所以 ； （3）因为 ，所以 ； （4）因为 ，所以 ； 【师生活动】 学生独立计算，并观察每个除法算式中被除数、除数的符号与商的符号关系； 小组交流后归纳：同号两数相除得正，异号两数相除得负； 教师追问：0 作除数可以吗？学生结合 “0 不能作除数” 进行辨析.教师举例： 找不到一个数，使这个数乘 0 等于 5，故 0 作除数无意义. 新知导出：有理数除法法则（一） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0 除以任何不等于 0 的数，都得 0. 注意：0 不能作除数，0 可以作被除数. 计算要领：先确定符号，再计算绝对值. 适用场景：多用于两个整数、小数相除，方便直接做绝对值相除. 1. 结合水位情境独立列式，思考负号代表的实际意义； 2. 跟随教师推导过程，利用分配律理解 “负负得正”，自主尝试推导； 3. 小组合作，补充列举多组有理数乘法算式，观察算式结果，交流符号与绝对值的变化规律； 4. 小组代表展示讨论成果，归纳有理数乘法法则，完成符号判断的思考练习，做好课堂笔记. 新知 探究 探究点 2：有理数除法的运算法则（二）—— 化除为乘 问题引入：比较除法和乘法 比较下列各组数计算结果，能得到什么结论？ （1） 与 因为； 所以结果相等. （2） 与 ； 因为, 所以结果相等. （3） 与 , 因为,所以结果相等. 【师生活动】 学生分组计算，比较每组算式的被除数、除号和除数发生了什么变化； 教师引导学生观察：每组中的 “÷” 都变为 “×”，除数都变为它的倒数； 学生尝试用自己的语言归纳结论. 新知导出：有理数除法法则（二） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示： 口诀：除号变乘号，除数变成它的倒数. 适用场景：分数、带分数、乘除混合运算，便于约分简化计算. 1. 理解倒数定义，记录求不同类型数倒数的方法要点； 2. 参与辨析讨论，思考 0 的特殊性，判断命题 “的倒数是” 是否正确，并说明理由； 3. 独立完成即时练习，求出给定数的倒数，同桌之间互相核对答案，纠正易错点. 例题精讲 例 1 计算： （1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； （3） 解：原式 ； （4） 解：原式 . 进行有理数的除法运算时，应先确定商的符号，再确定商的绝对值. 设计意图：通过 “乘法逆运算” 计算除法，让学生经历 “观察算式 — 归纳规律 — 总结法则” 的抽象过程，自主得出除法符号法则；例 4 进一步巩固 “先定符号，再算绝对值” 的运算步骤. 例 2 计算： （1） 解：原式 ； （2） 解：原式 . 归纳总结与思考交流 1.有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算. 2.乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算. 重要提醒：除法没有分配律！只有被除数可以拆分分配，除数不能拆分分配.例如 ；. 思考： （1）将除法转化为乘法有什么好处？ 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算，便于约分处理分数运算. （2）有理数的乘除法与小学时学过的乘除法相比较，有哪些相同点和不同点？ 相同点：有理数的乘除法与小学的乘除法一样，都是基于整数和分数的运算，绝对值运算规则与小学完全一致. 不同点：有理数的除法引入了负数，计算时需要额外判断符号，遵循 “先定符号，再算绝对值”. 设计意图:通过对比 “除法” 与 “乘以其倒数” 的计算结果，引导学生自主发现 “化除为乘” 的合理性和简便性，体会转化思想；例 2 巩固乘除混合运算中 “变除为乘、先定符号、再约分计算” 的方法；补充除法分配律易错辨析，破解典型错误. 1. 独立动笔完成例题计算，严格按照 “先定符号，再算绝对值” 的步骤书写； 2. 对照教师板书订正自己的解题过程，标记自己出错的地方； 3. 观察 (3)(4) 小题的计算结果，思考乘积为 1 的两个数的关系，主动举手回答教师设问. 4. 留意乘除混合运算顺序，标记运算易错点. 课堂 练习 1.若两个数的商为 ，则这两个数（ ） A. 都是 　　B. 都是 　　C. 是一对倒数　　D. 是一对非零相反数 【答案】D 2.若对于任何有理数 、 定义运算 “” 如下：，如则 的值为（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】C 3.计算： （1）； 解：原式 . （2）； 解：原式 . （3）； 解：原式 . （4）； 解：原式 . （5）； 解：原式 . （6）； 解：原式 . 4.数学老师布置了一道题：“计算：.” 小英的解法：. 小李的解法：原式结果的倒数为 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步，原文档此处计算结果书写错误，修正：） 所以原式 . 分析两名同学的解法，请你回答下列问题： （1）两名同学的解法中，小李的解法正确；小英错误原因：错误使用除法分配律，除数为，不能拆分分配. （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是；乘法对加法的分配律 （3）用一种你喜欢的方法计算：. 解：（1）小李；补充错误原因：小英误用除法分配律，除数不能拆分分配 （2）乘法对加法的分配律 （3）原式结果的倒数为 . 所以原式 . 【补充设问】为什么可以求倒数计算？当被除数简单、除数是加减混合式，直接计算麻烦，利用倒数转化，把除数变为被除数，才可以使用分配律. 1. 跟随教师引导，自主口头复述本节课的知识点； 2. 梳理有理数乘法运算步骤和求倒数的注意事项； 3. 尝试简单梳理知识框架，反思自己本节课学习的薄弱点. 课堂 小结 本节课系统学习有理数除法：通过乘法逆运算推导出法则一 “两数相除，同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何非 0 数都得 0，0 不能作除数”；通过对比除法与乘法互为倒数的关系，提炼出法则二 “除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数”，即 ，实现 “化除为乘”.同时掌握乘除混合运算需从左到右依次计算，有括号先算括号，一般先将除法转化为乘法，再确定符号、最后求值.倒数规律强调：正数倒数为正，负数倒数为负，分数倒数颠倒分子分母，小数、带分数先化为假分数再求倒数. 重点易错回顾： 1.0 不能作除数，但 0 可以作被除数； 2.除法没有分配律，除数不能拆分； 3.运算顺序：先括号，再乘除，从左向右； 4.先定符号，再算绝对值. 设计意图：帮助学生梳理课时核心知识，突出两条法则的适用场景与易错点，形成结构化的知识体系，专门点出除法分配律误区. 1. 课后独立完成教材习题与巩固练习，计算题必须写明符号判断步骤； 2. 完成求倒数的习题，重点练习小数、带分数求倒数的转化方法； 3. 完成探究作业，总结两数乘积正负与因数符号之间的关系. 作业 布置 1.习题 2.3 第 4 题：巩固有理数除法基础运算； 2.习题 2.3 第 5 题：强化倒数概念与求法. 选做题（学有余力） 1.习题 2.3 第 6 题：进行批量数字除法运算，提升计算熟练度； 2.习题 2.3 第 8 题：运用有理数除法解决气温变化等实际问题. 板书 设计 课题：2.3 有理数的乘除运算（3）—— 有理数的除法 一、有理数除法法则一 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0 除以任何非 0 数都得 0，0 不能作除数（0 可作被除数）. 适用：整数、小数直接相除. 二、有理数除法法则二（化除为乘） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 口诀：除号变乘号，除数变倒数 适用：分数、乘除混合运算，方便约分. 三、乘除混合运算 1.从左到右依次计算，有括号先算括号里； 2.先将除法化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果. 四、倒数规律 正数倒数为正，负数倒数为负； 分数倒数颠倒分子分母；小数、带分数先化为分数再求倒数；0 没有倒数. 五、易错提醒 ①符号判断；②0 不能作除数；③倒数符号； ④运算顺序；⑤除法没有分配律，除数不可拆分；⑥分数书写格式. 7/7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $