专题06有理数的乘方与混合运算精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方与混合运算核心知识点，系统梳理乘方的意义、底数指数幂的概念、符号规律，辨析(-a)^n与-a^n等易混淆形式，明确三级运算优先级，搭建从乘法运算到复杂代数计算的学习支架。 该资料通过“高频坑”辨析、实际应用案例（如折纸对折问题）和13类分层题型，培养学生抽象能力、运算能力与模型意识。课中助力教师突破符号、括号等难点，课后学生可借解题思路与易错点分析查漏补缺，建立严谨计算习惯。

专题06有理数的乘方与混合运算精讲学案 核心立意： 本节是初中计算能力的关键分水岭。理解乘方的意义，分清底数、指数、幂；掌握乘方的符号规律；辨析几组极易混淆的乘方形式；学会把乘方还原为乘法进行检验；了解乘方在倍增类实际问题中的应用；明确一、二、三级运算的优先级；规范有理数混合运算的完整步骤；攻克括号、符号、运算顺序三类高频丢分点，建立严谨的计算习惯。 乘方的有关概念【必背】 ❶ 求 n 个相同因数的积的运算，叫作乘方；乘方的结果叫作幂。 ❷ an中，a 是底数，n 是指数；读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”。 ❸ 特殊读法：指数为 2，读作平方；指数为 3，读作立方。 ❹ 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如 7=71；指数 1 通常省略不写。 ❺ ⚠️ 红线：如果底数是负数或者分数，书写时必须加上括号。 ❻ 乘方只是乘法的简便写法；拿不准结果时，可以还原成乘法算式验算。 乘方的符号法则【必背】 ❶ 正数的任何次幂都是正数。 ❷ 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 ❸ 0 的任何正整数次幂等于0。 ❹ 1 的任意次幂等于 1。 ❺ -1 的偶次幂等于 1，-1 的奇次幂等于 -1。 三组极易混淆的乘方形式【高频坑】 ❶ (-a)n：底数是 -a，表示 n 个 -a 相乘。 ❷ -an：底数是 a，表示 a^n 的相反数。 ❸ ()k：底数是；不要错误写成 。 ❹ 示例：(-2)4=16,-24=-16,()2=。 特殊的幂与平方的非负性【高频考点】 ❶ 平方等于它本身的数：0, 1。 ❷ 立方等于它本身的数：-1,0, 1。 ❸ 任意有理数的平方都是非负数：a20。 ❹ 若几个平方项相加等于 0，则每一个平方项都必须等于 0。 乘方的实际应用【了解】 ❶ 折纸对折、细胞分裂、层数倍增等重复倍增问题，可以用乘方列式。 ❷ 找准重复的次数作为指数，列出乘方算式。 三级运算与有理数混合运算顺序【必背】 ❶ 一级运算：加减；二级运算：乘除；三级运算：乘方。优先级：三级 > 二级 > 一级。 ❷ 先算乘方；再算乘除；最后算加减。 ❸ 有括号时，先算括号里面的；顺序：小括号 → 中括号 → 大括号。 ❹ 同级运算，从左到右依次进行。 运算律的使用规则【提升】 ❶ 加法、乘法的五个运算律在有理数混合运算中仍然成立。 ❷ 优先组合互为相反数、便于约分的项，简化运算。 ❸ 运算律只能改变同级运算的运算顺序，不能打破三级运算的优先级。 重点辨析 ❶ 乘方是一种运算，幂是运算的结果，不要把二者混为一谈。 ❷ 括号决定底数：有没有括号，代表完全不同的乘方。 ❸ a20 是重要的隐藏条件，是很多求值题的突破口。 ❹ 最致命错误：先算乘除，后算乘方。一定要记住：乘方优先于乘除。 ❺ 不要滥用运算律。除法没有分配律，不要强行拆分除数。 ❻ 运算律可以简算，但不能随意去掉括号，尤其括号前面是负号时。 1. 混淆 (-a)n 与 -an，看错底数，符号算反。 2. 底数是负数、分数时，漏写括号，导致底数判断错误。 3. 把 32 错误算成 32，不理解乘方是多个相同因数相乘。 4. 在较长的混合运算中，忽略乘方项是否带有括号。 5. 忽略平方的非负性，忘记 a20。 6. 混合运算颠倒顺序，先算乘除，后算乘方。 7. 同级运算不按从左到右的顺序，随意添加括号结合计算。 8. 使用分配律时漏乘，忽略负号。 9. 倍增应用题中，指数数错，多 1 或者少 1。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★★ 题型二 有理数的乘方运算 ★★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★ 题型八 算 “24” 点 ★★★★ 题型九 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型十 程序流程图与有理数计算 ★★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：有理数幂的概念理解 解题思路：⓵ 判断式子是否含括号，括号内的整体为底数。⓶ 无括号时，负号不属于底数，代表乘方结果的相反数。⓷ 区分乘方是运算，幂是运算的结果。 1．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 2．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 3．下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，以及正负数的概念，对于①，根据一个数的平方是非负数进行判断；对于②、③，根据零的平方是零，零既不是正数也不是负数，据此分析；对于④，根据负数的平方是正数，负数小于正数，即可举例作出判断. 【详解】解：没有平方得的数，①正确； 时，，不是负数，②错误； 时，，不是正数，③错误； ，，④错误． 综上所述，正确的有1个， 故选：A． 题型二：有理数的乘方运算 解题思路：⓵ 把乘方改写为相同因数的连乘积。⓶ 依据底数符号与指数奇偶性确定结果符号。⓷ 计算因数绝对值的乘积。⓸ 合并符号与数值，得到答案。 4．_________． 【答案】 【分析】将各数化为的次方的形式，进而计算即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 5．下列计算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：A、，，故，本选项不合题意； B、，，故，本选项不合题意； C、，，故，本选项不合题意； D、，，故，本选项符合题意． 6．若与互为相反数， 则的值为____________ 【答案】1 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质：两个非负数的和是0，因而每个数的值都是0，根据互为相反数的定义，得到与的和为零，再利用绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，最后代入代数式计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． 又 ∵，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 7．若n为正整数，且为整数，则满足条件的n有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整除，有理数乘方运算，根据要使为整数，则必须使为整数，再根据，得出，2，3时符合题意，即可得出答案． 【详解】解：要使为整数，则必须使为整数， ∵， ∴，2，3时符合题意， 当时，； 当时，； 当时，； ∴满足条件的正整数n有3个． 故选：B． 题型三：有理数乘方逆运算 解题思路：⓵ 依据乘方定义，反推可以得到已知结果的因数。⓶ 正数的平方有正负两个解；立方仅有一个解。⓷ 将解代入乘方验算，验证正误。 8．若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 9．已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值和乘方的性质求出和的值，再根据得到和同号，分类讨论求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴和同号， 当时，; 当时，; 综上，的值为， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值和乘方的性质，解题的关键是根据题意得到和同号． 10．若∣a|＝7、b＝4，且∣a－b∣＝∣a∣＋∣b|，则a＋b的值为__________ 【答案】 【分析】根据绝对值的性质求出a与b的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：∵|a|＝7，b2＝4， ∴a＝±7，b＝±2， 当a＝7，b＝2时， ∴|a−b|＝5，|a|＋|b|＝9，不符合题意，舍去． 当a＝7，b＝−2时， ∴|a−b|＝9，|a|＋|b|＝9，符合题意， ∴a＋b＝5． 当a＝−7，b＝2时， ∴|a−b|＝9，|a|＋|b|＝9，符合题意． ∴a＋b＝−5, 当a＝−7，b＝−2时， ∴|a−b|＝5，|a|＋|b|＝9，不符合题意，舍去． 故答案为：±5． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是求出a与b的值后，分类讨论各种情况，本题属于基础题型． 11．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 题型四：乘方运算的符号规律 解题思路：⓵ 先确定底数并判断正负。⓶ 正数的任意次幂为正。⓷ 负数偶次幂为正，奇次幂为负。⓸ 0 的正整数次幂是 0。 12．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方以及绝对值的性质，根据偶次方以及绝对值具有非负性来解即可． 【详解】且 解得： 故答案为：． 13．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 14．已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于_______． 【答案】9 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵|m+3|与（n-2）2互为相反数， ∴|m+3|+（n-2）2=0， ∴m+3=0，n-2=0， 解得m=-3，n=2， 所以，mn=（-3）2=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 15．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 题型五：乘方的应用 解题思路：⓵ 确定每一次的变化倍数。⓶ 确定变化次数作为指数，注意不要计入初始状态。⓷ 列出乘方算式。⓸ 核对次数，防止多算或者少算。 16．如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：，请将十进制数20转换成八进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据十进制换算成八进制的方法计算即可． 【详解】解：∵， ∴十进制数20换算成八进制数是24． 17．将一根长绳对折再对折再对折，，连续对折次后，从对折后绳子的中间位置剪断则原来的绳子被截成了_____段． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义得绳子连续对折次后，层数为层，沿对折后的绳子中间剪开，会在原绳子上产生个剪点，从而将绳子分成段，熟记乘方的定义是解题的关键． 【详解】解：由对折次后，层数为层，剪开时在原绳子上产生个剪点， 所以段数为：， 故答案为：． 18．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数为（    ） A．1035 B．369 C．365 D．75 【答案】B 【分析】本题考查进位制的转换，解题的关键在于理解满七进一的计数规则． 将结绳计数的结果转换为十进制数，进行求解即可． 【详解】解：从右到左，第一位的权重是1，第二位的权重是，第三位的权重是，第四位的权重是， 最右边第一位有5个结，其对应的数值为， 第二位有个结，其对应的数值为， 第三位有0个结，其对应的数值为0， 第四位有个结，其对应的数值为， 将每一位对应的数值相加，可得孩子自出生后的天数为． 故选：B． 题型六：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：⓵ 取 a 满足 1a<10。⓶ 指数 n=整数位数-1。⓷ 原数为负时，负号置于整个式子之前。⓸ 校验 a 的取值范围。 19．某种芯片上集成了15300000000个晶体管，形成一个复杂的网络，以实现高性能和低功耗．数据15300000000用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 20．赫兹是频率的单位，常用的频率单位还有“千赫、兆赫、吉赫”．某国产芯片的频率为，其中一兆赫等于一百万赫兹．则该芯片的频率用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，有理数的乘法的实际应用，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 答：该芯片的频率用科学记数法可表示为． 故选：C． 21．2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为万人，将万用科学记数法可表示为________． 【答案】 【分析】先将带单位“万”的数改写为普通整数，再根据科学记数法的要求确定和的值，科学记数法形式为，满足，为整数． 【详解】解：万． 题型七：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：⓵ 将 a 的小数点右移 n 位。⓶ 位数不足时补 0。⓷ 保留正负号，去掉 10n，写出原数。 22．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 23．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【答案】7 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 24．一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 【答案】5280 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题数据“”中的a=5.28，指数n等于3，所以，需要把5.28的小数点向右移动3位，就得到原数了． 【详解】=， 故答案为：5280． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 题型八：算 “24” 点 解题思路：⓵ 遵守规则：每个数字只用一次。⓶ 优先构造乘积为 24 的数对，如 3 和 8、4 和 6、2 和 12。⓷ 使用四则运算、乘方、括号调整运算顺序。⓸ 变换数字与符号尝试。⓹ 按运算顺序验算结果。 25．玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为（答案不唯一）． 26．如图，小飞从一副扑克牌中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．所列式子为___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解： 故答案为：． 27．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 题型九：含乘方的有理数混合运算 解题思路：⓵ 优先计算所有乘方。⓶ 乘除同级，从左至右运算。⓷ 最后计算加减，灵活使用运算律，留意符号。⓸ 有括号先算括号内的部分。⓹ 每步先定符号，再算数值。 28．计算：____ 【答案】 【详解】解：． 29．定义新运算：，例如：☆，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 30．下列四个算式中，值与的值最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．根据有理数混合运算的运算法则计算判断即可． 【详解】解： ， 接近， 非常接近， 的值最接近的是， 故选：C 31．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数． 如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是（   ） A．147 B．298 C．508 D．343 【答案】C 【分析】本题考查了七进制数转化为十进制数的应用，解题的关键是准确识别图②中从右到左每根绳子的打结数，并对应到的幂次进行计算． 【详解】解：图２中从右到左的绳子打结数依次为、、、，对应、、、的权重， 总天数为 此计算结果对应选项C． 故选：C． 题型十：程序流程图与有理数计算 解题思路：⓵ 读懂流程图中的运算指令。⓶ 将输入值代入第一步运算。⓷ 根据条件选择对应分支。⓸ 遇到循环，将输出作为新输入重复计算，直至退出。⓹ 不跳步，注意符号。 32．如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先根据已知条件中的，按照程序图的步骤进行计算，直到满足输出条件即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴最后输出的结果是15， 故选：C． 33．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为64，我们发现第一次输出的结果为32，第二次输出的结果为16，......，则第2024次输出的结果为__． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值、数字规律探索，理解题意、弄清程序框图是解答此题的关键．先计算前几次输出的结果，进行归纳推理得出一般性的规律即可确定第2024次输出的结果． 【详解】解：若开始输入的值为64， 第1次输出的结果为32， 第2次输出的结果为16， 第3次输出的结果为8， 第4次输出的结果为4， 第5次输出的结果为2， 第6次输出的结果为1， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， 第10次输出的结果为， 第11次输出的结果为， …… 除了前面6次外，以后的每项都是按，，的顺序，输出结果循环出现， 由， 故第2024次输出的结果为． 故答案为：． 34．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值，熟练掌握该知识点是关键． 根据题意列式计算，直至结果小于输出结果即可． 【详解】解：若开始输入的值为， 则,返回继续运算： ,返回继续运算； ． 故选：． 题型十一：求一个数的近似数 解题思路：⓵ 确定精确到的数位。⓶ 观察该数位的后一位数字。⓷ 后一位大于或等于 5 则进一，否则舍去。⓸ 大数可先写成科学记数法再取近似值。 35．用四舍五入法将0.06029精确到十分位，得到的是（     ） A．0.1 B．0.060 C．0.06 D．0.0603 【答案】A 【详解】解：将0.06029精确到十分位，观察百分位数字为6，向十分位进1，得0.1． 36．一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 【答案】 【分析】根据“五入”法则逆推原数各数位即可得到结果． 【详解】解：根据题意可知，由五入得到近似数， 千分位向百分位进、百分位向十分位进，使百分位和十分位变成，则原来是， 个位进后是，则原来个位是， 千分位最小取，得到． 37．用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：精确到百分位的结果为， 故答案为：． 38．用四舍五入法对1.8045取近似值，若精确到0.01，则下列各数中，正确的是（　　） A．1.80 B．1.81 C．1.804 D．1.805 【答案】A 【分析】对千分位数字4四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法对1.8045取近似值，精确到0.01为1.80， 故选：A． 【点睛】本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 题型十二：求近似数的精确度 解题思路：⓵ 普通小数：看末位有效数字的数位。⓶ 科学记数法：还原成原数，判断 a 的末位对应的数位。⓷ 带单位的数：结合单位判断精确数位。 39．由四舍五入得到的近似数万是精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的法则． 需先将以“万”为单位的近似数还原为普通整数，再根据最后一个有效数字所在的数位确定精确到的数位． 【详解】解：∵万， ∴近似数万中最后一个有效数字8位于百位， 即该近似数精确到百位， 故选：C． 40．用四舍五入法把3.8963精确到百分位是________． 【答案】3.90 【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可． 【详解】解：3.8963≈3.90（精确到百分位）． 故答案为：3.90． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 41．下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 【详解】解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 【点睛】掌握近似数的精确度及四舍五入规则． 题型十三：近似数推断取值范围 解题思路：⓵ 确定精度单位。⓶ 下限 = 近似数 精度单位。⓷ 上限 = 近似数 +精度单位。⓸ 包含下限，不包含上限。⓹ 写出不等式并校验边界。 42．近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． 43．一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 【答案】 【分析】分“四舍”和“五入”两种情况讨论近似数，“四舍”得到的近似数比原数小，对应原数的最大值；“五入”得到的近似数比原数大，对应原数的最小值． 【详解】解：若原数是通过“四舍”得到近似值，则原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需小于，千分位最大取，因此最大原数为； 若原数是通过“五入”得到近似值，则进位后得到，原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需大于等于，千分位最小取，因此最小原数为． 44．四舍五入得到的近似数表示的精确数x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】近似值是通过四舍五入得到的， 可以由大于或等于的数，4后面的一位数字，满5进1得到．或由小于的数，舍去5后的数字得到，因而 ． 【详解】解∶近似数表示的精确数x的范围是． 故选∶B． 【点睛】本题主要考查对近似数概念的理，解熟练掌握四舍五入法是解题的关键． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 . 3．阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 4．先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【分析】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【详解】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 5．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)或 【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06有理数的乘方与混合运算精讲学案 核心立意： 本节是初中计算能力的关键分水岭。理解乘方的意义，分清底数、指数、幂；掌握乘方的符号规律；辨析几组极易混淆的乘方形式；学会把乘方还原为乘法进行检验；了解乘方在倍增类实际问题中的应用；明确一、二、三级运算的优先级；规范有理数混合运算的完整步骤；攻克括号、符号、运算顺序三类高频丢分点，建立严谨的计算习惯。 乘方的有关概念【必背】 ❶ 求 n 个相同因数的积的运算，叫作乘方；乘方的结果叫作幂。 ❷ an中，a 是底数，n 是指数；读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”。 ❸ 特殊读法：指数为 2，读作平方；指数为 3，读作立方。 ❹ 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如 7=71；指数 1 通常省略不写。 ❺ ⚠️ 红线：如果底数是负数或者分数，书写时必须加上括号。 ❻ 乘方只是乘法的简便写法；拿不准结果时，可以还原成乘法算式验算。 乘方的符号法则【必背】 ❶ 正数的任何次幂都是正数。 ❷ 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 ❸ 0 的任何正整数次幂等于0。 ❹ 1 的任意次幂等于 1。 ❺ -1 的偶次幂等于 1，-1 的奇次幂等于 -1。 三组极易混淆的乘方形式【高频坑】 ❶ (-a)n：底数是 -a，表示 n 个 -a 相乘。 ❷ -an：底数是 a，表示 a^n 的相反数。 ❸ ()k：底数是；不要错误写成 。 ❹ 示例：(-2)4=16,-24=-16,()2=。 特殊的幂与平方的非负性【高频考点】 ❶ 平方等于它本身的数：0, 1。 ❷ 立方等于它本身的数：-1,0, 1。 ❸ 任意有理数的平方都是非负数：a20。 ❹ 若几个平方项相加等于 0，则每一个平方项都必须等于 0。 乘方的实际应用【了解】 ❶ 折纸对折、细胞分裂、层数倍增等重复倍增问题，可以用乘方列式。 ❷ 找准重复的次数作为指数，列出乘方算式。 三级运算与有理数混合运算顺序【必背】 ❶ 一级运算：加减；二级运算：乘除；三级运算：乘方。优先级：三级 > 二级 > 一级。 ❷ 先算乘方；再算乘除；最后算加减。 ❸ 有括号时，先算括号里面的；顺序：小括号 → 中括号 → 大括号。 ❹ 同级运算，从左到右依次进行。 运算律的使用规则【提升】 ❶ 加法、乘法的五个运算律在有理数混合运算中仍然成立。 ❷ 优先组合互为相反数、便于约分的项，简化运算。 ❸ 运算律只能改变同级运算的运算顺序，不能打破三级运算的优先级。 重点辨析 ❶ 乘方是一种运算，幂是运算的结果，不要把二者混为一谈。 ❷ 括号决定底数：有没有括号，代表完全不同的乘方。 ❸ a20 是重要的隐藏条件，是很多求值题的突破口。 ❹ 最致命错误：先算乘除，后算乘方。一定要记住：乘方优先于乘除。 ❺ 不要滥用运算律。除法没有分配律，不要强行拆分除数。 ❻ 运算律可以简算，但不能随意去掉括号，尤其括号前面是负号时。 1. 混淆 (-a)n 与 -an，看错底数，符号算反。 2. 底数是负数、分数时，漏写括号，导致底数判断错误。 3. 把 32 错误算成 32，不理解乘方是多个相同因数相乘。 4. 在较长的混合运算中，忽略乘方项是否带有括号。 5. 忽略平方的非负性，忘记 a20。 6. 混合运算颠倒顺序，先算乘除，后算乘方。 7. 同级运算不按从左到右的顺序，随意添加括号结合计算。 8. 使用分配律时漏乘，忽略负号。 9. 倍增应用题中，指数数错，多 1 或者少 1。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★★ 题型二 有理数的乘方运算 ★★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★ 题型八 算 “24” 点 ★★★★ 题型九 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型十 程序流程图与有理数计算 ★★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：有理数幂的概念理解 解题思路：⓵ 判断式子是否含括号，括号内的整体为底数。⓶ 无括号时，负号不属于底数，代表乘方结果的相反数。⓷ 区分乘方是运算，幂是运算的结果。 1．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 3．下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：有理数的乘方运算 解题思路：⓵ 把乘方改写为相同因数的连乘积。⓶ 依据底数符号与指数奇偶性确定结果符号。⓷ 计算因数绝对值的乘积。⓸ 合并符号与数值，得到答案。 4．_________． 5．下列计算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．若与互为相反数， 则的值为____________ 7．若n为正整数，且为整数，则满足条件的n有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 题型三：有理数乘方逆运算 解题思路：⓵ 依据乘方定义，反推可以得到已知结果的因数。⓶ 正数的平方有正负两个解；立方仅有一个解。⓷ 将解代入乘方验算，验证正误。 8．若，则______． 9．已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 10．若∣a|＝7、b＝4，且∣a－b∣＝∣a∣＋∣b|，则a＋b的值为__________ 11．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 题型四：乘方运算的符号规律 解题思路：⓵ 先确定底数并判断正负。⓶ 正数的任意次幂为正。⓷ 负数偶次幂为正，奇次幂为负。⓸ 0 的正整数次幂是 0。 12．若，则的值为_____． 13．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于_______． 15．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型五：乘方的应用 解题思路：⓵ 确定每一次的变化倍数。⓶ 确定变化次数作为指数，注意不要计入初始状态。⓷ 列出乘方算式。⓸ 核对次数，防止多算或者少算。 16．如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：，请将十进制数20转换成八进制数是（   ） A． B． C． D． 17．将一根长绳对折再对折再对折，，连续对折次后，从对折后绳子的中间位置剪断则原来的绳子被截成了_____段． 18．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数为（    ） A．1035 B．369 C．365 D．75 题型六：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：⓵ 取 a 满足 1a<10。⓶ 指数 n=整数位数-1。⓷ 原数为负时，负号置于整个式子之前。⓸ 校验 a 的取值范围。 19．某种芯片上集成了15300000000个晶体管，形成一个复杂的网络，以实现高性能和低功耗．数据15300000000用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 20．赫兹是频率的单位，常用的频率单位还有“千赫、兆赫、吉赫”．某国产芯片的频率为，其中一兆赫等于一百万赫兹．则该芯片的频率用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 21．2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为万人，将万用科学记数法可表示为________． 题型七：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：⓵ 将 a 的小数点右移 n 位。⓶ 位数不足时补 0。⓷ 保留正负号，去掉 10n，写出原数。 22．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 23．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 24．一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 题型八：算 “24” 点 解题思路：⓵ 遵守规则：每个数字只用一次。⓶ 优先构造乘积为 24 的数对，如 3 和 8、4 和 6、2 和 12。⓷ 使用四则运算、乘方、括号调整运算顺序。⓸ 变换数字与符号尝试。⓹ 按运算顺序验算结果。 25．玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 26．如图，小飞从一副扑克牌中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．所列式子为___________． 27．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 题型九：含乘方的有理数混合运算 解题思路：⓵ 优先计算所有乘方。⓶ 乘除同级，从左至右运算。⓷ 最后计算加减，灵活使用运算律，留意符号。⓸ 有括号先算括号内的部分。⓹ 每步先定符号，再算数值。 28．计算：____ 29．定义新运算：，例如：☆，则_____． 30．下列四个算式中，值与的值最接近的是（　　） A． B． C． D． 31．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数． 如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是（   ） A．147 B．298 C．508 D．343 题型十：程序流程图与有理数计算 解题思路：⓵ 读懂流程图中的运算指令。⓶ 将输入值代入第一步运算。⓷ 根据条件选择对应分支。⓸ 遇到循环，将输出作为新输入重复计算，直至退出。⓹ 不跳步，注意符号。 32．如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 33．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为64，我们发现第一次输出的结果为32，第二次输出的结果为16，......，则第2024次输出的结果为__． 34．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D．12 题型十一：求一个数的近似数 解题思路：⓵ 确定精确到的数位。⓶ 观察该数位的后一位数字。⓷ 后一位大于或等于 5 则进一，否则舍去。⓸ 大数可先写成科学记数法再取近似值。 35．用四舍五入法将0.06029精确到十分位，得到的是（     ） A．0.1 B．0.060 C．0.06 D．0.0603 36．一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 37．用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数是_____． 38．用四舍五入法对1.8045取近似值，若精确到0.01，则下列各数中，正确的是（　　） A．1.80 B．1.81 C．1.804 D．1.805 题型十二：求近似数的精确度 解题思路：⓵ 普通小数：看末位有效数字的数位。⓶ 科学记数法：还原成原数，判断 a 的末位对应的数位。⓷ 带单位的数：结合单位判断精确数位。 39．由四舍五入得到的近似数万是精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 40．用四舍五入法把3.8963精确到百分位是________． 41．下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 题型十三：近似数推断取值范围 解题思路：⓵ 确定精度单位。⓶ 下限 = 近似数 精度单位。⓷ 上限 = 近似数 +精度单位。⓸ 包含下限，不包含上限。⓹ 写出不等式并校验边界。 42．近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 43．一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 44．四舍五入得到的近似数表示的精确数x的范围是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 4．先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 5．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $