3.3勾股定理的简单应用（分层作业，17大题型）数学新教材苏科版八年级上册

分层作业 3.3 勾股定理的简单应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 旗杆高度问题 题型02 梯子滑落问题 题型03 小鸟飞行问题 题型04 大树折断问题 题型05 杯中筷子问题 题型06 航海问题 题型07 勾股定理逆定理的实际应用 B组 能力进阶 题型01 勾股定理与网格问题 题型02 勾股定理与折叠问题 题型03 河流宽度问题 题型04 台阶长度问题 题型05 是否超速问题 题型06 受台风影响问题 题型07 选址问题 题型08 最短路径问题 C组 思维拔高 题型01 勾股定理综合计算与证明 题型02 利用勾股定理探究无理数表示的规律 旗杆高度问题题型01 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题． 【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形， 由题意知：米，米， （米） 故选：． 2．强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，则旗杆折断之前的高度是_______． 【答案】8m##8米 【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方即可得出结果． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为4m，旗杆离地面3m折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为（m）， 所以旗杆折断之前高度为m． 故答案为：8m． 【点睛】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键． 3．八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出来吗？ 【答案】12米 【详解】试题分析：本题考查了勾股定理的实际应用，由题可以知道,旗杆,绳子与地面构成直角三角形,根据题中数据,用勾股定理即可解答. 设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m， ∵旗杆垂直于地面， ∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形， 由题意列式为x2+52=（x+1）2， 解得x=12m，             所以旗杆的高度为12米． 4．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度． 【答案】17米 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得 ，，，在中利用勾股定理可求出． 【详解】解：如图所示 设旗杆高度为 ，则 ，，， 在中， 解得：， 答：旗杆的高度为m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形． 5．综合实践：阅读下列材料，解答问题． 任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）． 工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）． 李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）： 测量过程： 步骤1：测得多出一小段绳子的长度为； 步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离． 部分求解过程： 设旗杆高度， ∵在中，， ． ∵， (1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度　　（用含a，b的代数式表示）； (2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是　　； (3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示） 【答案】(1) (2)勾股定理 (3) 测量方案如下： 先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点处，将绳结举至离旗杆远，此时绳结离地面远， 解答过程：作 垂足为点E，如图： 由测量得， ， 在中， ， ， 【分析】本题考查勾股定理的应用，把所求线段放在直角三角形中利用勾股定理求解是解决本题的关键． （1）把整理后可得h的值； （2）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是勾股定理； （3）可构造一个以旗杆高为斜边的直角三角形求解，先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点D处，将绳结举至离旗杆远，此时绳结离地面远，根据勾股定理可得旗杆的高度． 【详解】（1）解：设旗杆高度， ∵在中，， ． ∵， ， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：在（1）中知，在中，，根据勾股定理得： ，即， ∴所用到的几何知识是勾股定理， 故答案为：勾股定理． （3）略 梯子滑落问题题型02 1．（24-25八年级下·广西柳州·期末）把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理． 根据勾股定理，将梯子、地面和墙面构成的直角三角形中的已知边长代入公式求解． 【详解】解：梯子斜靠于墙时，与地面和墙面形成直角三角形．梯子长度5米为斜边，底端离墙4米为一条直角边． 设梯子顶端到地面的垂直距离为米， 由勾股定理得： （米） 因此，梯子顶端到地面的距离为3米， 故选：B． 2．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD＝BC＝12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？    【答案】此消防车的云梯至少应伸长15 m. 【分析】根据题意可知：△PAD为直角三角形，已知PC、AD和DC的长，要求PA的长； 接下来结合题目已知，PD＝PC－DC，在△PDC中，由勾股定理即可求得PA的长. 【详解】因为CD＝AB＝3.8 m， 所以PD＝PC－CD＝9 m. 在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋PD2， 得AP＝15 m. 所以此消防车的云梯至少应伸长15 m. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是关键 3．如图一架云梯斜靠在一面墙上，梯子的底端B离墙根O的距离长为7米，梯子的顶端A到地面的距离为24米． (1)求这个梯子的长； (2)如果梯子的顶端A下滑4米到点，梯子的底端B向右滑动到点，试求的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）根据勾股定理即可求解； （2）先求出，再根据勾股定理求出米，即可求解． 【详解】（1）解：在中，米，米， 根据勾股定得米 ∴米； （2）解：米， 在中，根据勾股定理得， 所以米， 所以米． 4．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯脚B到墙壁OC的距离为0.7m．当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点时，点B沿水平地面向外滑动到点． (1)当时，与的长度相等吗？请说明理由． (2)如果梯子与地面的夹角小于30°，梯子就会滑倒，那么在第（1）问中，梯子会滑倒吗？请说明理由． 【答案】(1) 解：与的长度不相等． 理由：在中，． 因为，所以． 在中，， 所以， 所以与的长度不相等． (2) 解：梯子不会滑倒．理由如下： 设墙壁上有一点，地面上有一点，使， 则在中，． 因为，所以（1）中的梯子与地面的夹角大于，所以梯子不会滑倒． 【分析】（1）线段的长度与线段的长度不相等．在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． （2）设梯子顶端从处下滑米，点B向外也移动米，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了勾股定理的性质，熟练掌握相关特点即可解答． 5．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？ 【答案】7米 【分析】设BC=xm，则CD=（x+8）m，利用勾股定理分别表示出、，∵AB=ED，∴，求出x的值即可完成. 【详解】解：根据题意，AC=24m，AE=4m，BD=8m，则EC=20m 设BC=xm，则CD=（x+8）m 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵AB=ED ∴ 解得： 滑动前梯子底端与墙的距离CB是7米. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，难度较低，灵活运用勾股定理是解题关键. 小鸟飞行问题题型03 1．（25-26八年级·江西南昌·质检）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 2．如图，有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意可知两树的垂直高度相差5米，水平距离相差12米，然后利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：两树的垂直高度相差5米，水平距离相差12米， 则根据勾股定理可得：两树顶之间的距离米． 故选C 3．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 4．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 5．如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)风筝距离地面的高度AB为12米 (2) 如图，点D为所求作的点． 【分析】本题考查勾股定理、角平分线、尺规作图、一元一次方程等基础知识， （1）设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度． （2）根据尺规作图即可； 【详解】（1）解：依题意：在中，，米，． 设米，则米． 在中，根据勾股定理，，    即． 化为，解得． 所以风筝距离地面的高度AB为12米． （2）略 大树折断问题题型04 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 2．一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 3．如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是_____．    【答案】##16米 【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，    由题意得， 在直角三角形中，根据勾股定理得：（米）． 所以大树的高度是（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 4．《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 【答案】4.55尺 【分析】设尺，则尺，由勾股定理可列式，求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理，得 ， 解得， ∴ 折断处离地面4.55尺． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构建直角三角形是解题关键． 5．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【答案】19米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：延长，过点C作延长线于点D， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 杯中筷子问题题型05 1．如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是勾股定理在实际生活中的应用，把花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键．圆柱形花器内容下的花茎最长时，花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 为圆柱形花器底面直径，是圆柱形花器高， ∴， ∴线段的长度就是圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度， ∴． 故圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出斜边的长度．首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时最大，此时最大值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时最小，在中，运用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，本题是立体图形，要注意找出直角三角形，根据勾股定理求解． 两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为， 这根吸管经过矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形， 吸管的总长度为． 故选：C． 4．如图所示的一只玻璃杯，高为8厘米，将一根筷子插入其中，伸出杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是多少厘米（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】设玻璃杯的内径为 厘米，根据筷子竖直插入杯中时，在杯内长度8厘米，斜插入杯中，底端在杯底边缘，上端靠在对面杯口边缘时，在杯中长度为10厘米．利用勾股定理求出玻璃杯的内径． 【详解】解：由题意可知，筷子竖直插入杯中时，在杯内长度最短，等于杯子高度，为8厘米； 筷子斜插入杯中，底端在杯底边缘，上端靠在对面杯口边缘时，在杯中长度最长，为（厘米）． 设玻璃杯的内径为 厘米， 根据勾股定理得：， 解得 （负值舍去）． 5．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 【答案】水深尺，芦苇长尺 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， 即水深尺，芦苇长尺． 航海问题题型06 1．如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接，根据题意可得：（海里），（海里），（海里），，然后利用勾股定理逆定理得，从而得，再利用平角的定义计算，最后根据方向角的概念可得答案． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：（海里），（海里），（海里），， ∵，即， ∴， ∴， ∴乙船航行的方向是南偏西方向， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴在中，海里， （海里）， ∵，， ∴， ∵， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：（海里/小时）． 故选：B 3．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距______海里． 【答案】30 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图，由已知得，海里，海里， 在中，由题意得，， 由勾股定理得， 即， （海里）． 故答案为：30． 4．（24-25八年级下·新疆·月考）一艘船从A港出发向正北方向航行，每小时航行16海里，1小时后到达B港，再向正东方向航行12海里到达C港，求此时船离A港的直线距离． 【答案】20海里 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：海里，海里， 根据勾股定理，海里， 答：此时船离A港的直线距离为20海里． 5．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 勾股定理逆定理的实际应用题型07 1．（25-26八年级·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（    ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解：∵小淇同学握住第7个结， ∴小惠和小淇之间有6个单位长度， ∵6，8，10是一组勾股数，且， ∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形， 故选：C． 3．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板_______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用，根据“”可判断三角形木板为直角三角形，故可得结论． 【详解】解：∵木板的三边长分别为，，， ∴， 而， ∴， ∴三角形木板为直角三角形， 故答案为：合格． 4．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面__________（填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】不垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形，否则不是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理，通过计算电线杆高度和水平距离的平方和与拉线长度的平方是否相等，判断电线杆与地面是否垂直． 【详解】解：∵， ， ∴不满足勾股定理的逆定理， ∴电线杆，地面水平距离，拉线，不能构成直角三角形， ∴电线杆与地面不垂直． 故答案为：不垂直． 5．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 【答案】(1)； (2)符合安全标准． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得： 答：的长度为． （2）解：∵，， ∴ ∴是直角三角形，且，即与的夹角为 答：该婴儿车设计符合安全标准． 勾股定理与网格问题题型01 1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、都是格点，则线段的长度为（　　） A．5 B．6 C．7 D．25 【答案】A 【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可． 【详解】解：如图所示： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理可求的长，利用割补法求出的面积，由三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．    【答案】45° 【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解． 【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图， 根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2， 由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB， 则∠ABD+∠CBE=∠MAB， 在Rt△ANB中，有， 同理可求得：， ∵， ∴△ABM是直角三角形，且AM=BM， ∴∠MAB=45°， 即：∠ABD+∠CBE=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键． 4．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．试判定△ABC的形状． 【答案】△ABC是直角三角形 【分析】由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：AC2=42＋22= 20， BC2=22＋12 =5， AB2=33＋43= 25， ∴AC2＋BC2= AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形； 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 5．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．    操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． (1)在图1中，小颖所画的的面积为________，边上的高为________． (2)解决问题：已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)如图所示；的面积为 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，割补法求图形面积，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据网格，运用割补法求解三角形的面积，运用勾股定理得到的值，再根据等面积法即可求解高； （2）运用网格，勾股定理得到图形，运用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：的面积； 设边上的高为， ∵，， ∴， ∴边上的高为； （2）解：的面积． 勾股定理与折叠问题题型02 1．（25-26八年级·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 2．如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ， 解得：． ∴． 故答案为：． 5．在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用． （1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出． （2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：， ∴在中， 设，则， 即 解得：， 即． （2）在， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 设，则，， 则， 解 解得：， 即． 河流宽度问题题型03 1．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得，又量得，，则A、B两点之间的距离为（　　） A．10m B． C．12m D．13m 【答案】C 【分析】根据勾股定理计算直角三角形的直角边即可． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理，熟记9，15，12勾股数． 2．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是________． 【答案】480 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， 即该河处的宽度是； 故答案为：480． 3．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴水潭的宽度为米． 4．如图，某渡船从点处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点与欲到达地点相距70米，结果发现比河宽多10米，求该河的宽度．（两岸可近似看作平行） 【答案】240米 【分析】根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． 【详解】解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得：， 解得， 答：河宽240米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是关键． 5．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度． 【答案】15m 【分析】根据题意画出示意图，过点C作CE⊥AD于点E，设BE=x，则在RT△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性质可得出BC，继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值，也可得出CE的长度． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E， 由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°， ∴∠ACB=∠CAB=30°． ∴AB=BC=30m． 设BE=x，在Rt△BCE中，可得CE=x， 又∵BC2=BE2+CE2，即900=x2+3x2， 解得：x=15． ∴CE=15m． 答：小丽自家门前的小河的宽度为15m． 台阶长度问题题型04 1．要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米．    A．17 B．13 C．12 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，观察图形，得到红地毯的长度为楼梯的水平长度加上竖直高度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可得楼梯的水平长度为米， 至少需要红地毯米， 故选：A． 2．如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，由勾股定理及平移的思想可进行求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得米， ∵米， ∴米， ∴则米， 故选：B． 3．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是______． 【答案】 【分析】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形，求其斜边即可． 【详解】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形， 所以最短距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理，熟练掌握展开图，勾股定理是解题的关键． 4．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 是否超速问题题型05 1．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”） 【答案】超速 【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案． 【详解】在中，，所以. 因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，. 2．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 3．限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米时，一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判断此车是否超速．    【答案】此车没有超速 【分析】在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断． 【详解】解：在中，，， 米， 在中，，， 米， 米， 汽车从A到B的平均速度为米秒， 米秒千米时千米时， 此车没有超速． 【点睛】本题考核知识点：勾股定理的应用. 解题关键点：把问题转化为在直角三角形中的问题. 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)新路长度是120米 (2) 解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）略 5．（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该车超过了的限制速度 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ． （2）解：在中， ，， ． 在中， ，， ， ， ， 该车的速度为， 该车超过了的限制速度． 受台风影响问题题型06 1．如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？ 【答案】台风中心经过小时从点移到点． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 【详解】在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 时，， 答：台风中心经过小时从点移到点． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】(1)； (2)学校会受噪声影响 理由如下：过点作于点， 根据三角形面积公式可得， ； 压路工程车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答； （2）根据三角形面积公式求得的值，即可解答； （3）在上取一点，使，连接，求得的长即可解答． 【详解】（1）解：点与直线上两点，的距离分别为和，， ，． 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：在上取一点，使，连接， ， 当压路工程车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在中， ，． ，（分钟）， 答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 3．中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西方向距离米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东方向的公路前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（） 【答案】消防车不需要改道行驶，理由如下： 如图所示，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴，则， 在直角中，， ∴， ∴由勾股定理得： ， ∵消防车的警报声传播半径为400米，且， ∴消防车不需要改道行驶． 【分析】本题主要考查方位角与含角的直角三角形的性质的综合运用，掌握方位角的数量关系，勾股定理，垂线段最短的知识是解题的关键． 如图，作，根据方位角可得是含角的直角三角形，根据勾股定理可求出的值，结合垂线段最短即可求解． 【详解】略 4．（25-26八年级上·甘肃酒泉·月考）如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 【答案】走私艇最早在时分进入我国领海 【分析】先通过三边关系判断三角形形状，再利用三角形面积公式和勾股定理求出走私艇到领海线的最短距离，结合速度算出时间，进而确定最早进入我国领海的时间．本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握从实际问题中整理出几何图形并运用勾股定理相关知识求解是解题的关键． 【详解】解：设与相交于，则， ， 为直角三角形，且， ∵， ∴走私艇进入我国领海的最短距离是， 由，得海里， 由，得海里， （分）， 时分分时分． 答：走私艇最早在时分进入我国领海． 5．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 选址问题题型07 1．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 【答案】A 【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置． 【详解】解：如图 ∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000 ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴活动中心P应在斜边AB的中点． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形． 2．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_____km． 【答案】10 【详解】试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离. 考点：勾股定理 3．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 4．两个村庄C、D在河的同侧，已知，C、D两村到河的距离分别为，．现在要在河边建一水厂，向C、D两村送自来水，铺设水管的费用为每千米2万元，请在上选择水厂位置E，使水厂到两村庄距离相等． (1)请用圆规和直尺在图中作出水厂E的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求铺设水管的总费用． 【答案】(1) 如图所示，点E即为所求； (2)铺设水管的总费用80万元． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，垂直平分线的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）连接，根据题意作出的垂直平分线交于点E，即为所求； （2）设，则，首先根据勾股定理列方程求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）设，则 ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴， ∴（万元）． ∴铺设水管的总费用80万元． 5．（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) ∵ ， 整理得： (2) (3) 点P即为所求， 的距离为16千米 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. （3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：略； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. （3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得 最短路径问题题型08 1．（24-25八年级下·湖北·期末）如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况： （1）沿，，，剪开，得图 ； （2）沿，，，，，剪开，得图 ； （3）沿，，，，，剪开，得图 ； 综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即． 故选：B． 2．如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是______________cm. 【答案】130 【分析】只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】将台阶展开，如图： 因为BC=30×3+10×3=120，AC=50， 所以AB2=AC2+BC2=16900， 所以AB=130（cm）， 所以壁虎爬行的最短线路为130cm． 故答案是：130． 【点睛】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键． 3．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______． 【答案】20 cm##20厘米 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解∶如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离． 根据勾股定理，得 ． 故答案为：20cm． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 4．如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边上的P处有一个激光发射器，红外线从点P发射后，经平面镜、反射后到达“感应区”，若米，激光途经的最短路线长____米． 【答案】## 【分析】本题主要考查了最短路径问题．解题关键是熟练掌握轴对称性质，利用勾股定理求线段长． 由光的反射规律可知，物体和像是关于平面镜对称．设半圆的圆心为O，作半关于对称的半，点P关于在对称点，连接，分别交、、于点E、F、H，连接交于点G，由轴对称性质知，，得到最短路线为：，由正方形性质知，,，得到, ，由勾股定理得到，即得． 【详解】设半圆的圆心为O， 作半关于对称的半，点P关于对称点，连接，分别交、、于点E、F、H，连接交于点G， 则，， 激光途经的最短路线为：， 正方形中，,， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴激光途经的最短路线为米． 故答案为：． 5．如图，圆柱高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，求从点爬到点的最短路程．（作出展开图再求） 【答案】从点爬到点的最短路程为 【分析】本题考查了平面展开——最短路线问题，勾股定理，解题的关键是明确的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程． 沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出斜边即可． 【详解】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， 则，，， 由勾股定理得：， 故从点爬到点的最短路程为． 勾股定理综合计算与证明题型01 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 【答案】A 【分析】运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法即可求解． 【详解】解：、，能构成直角三角形，符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 2．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是  _______ ． 【答案】 【分析】设绳子长为，再根据直角三角形的勾股定理列方程，解方程即可． 【详解】解：设绳子长为， 在中， ， ，， ， 根据题意列出方程：， 解得：， 绳索的长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题． 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面2米，即米，梯子底端距右墙底端米，即米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，即米，则小巷的宽度为多少米？ 【答案】米 【分析】分别在，中求出，，即可． 【详解】解：在中，，米，米， 米， 在中，，米，米， 米， 米， 答：小巷的宽度为米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，有一块四边形的土地，，，，，，求该四边形土地的面积． 【答案】四边形土地的面积为204平方米 【分析】连接AC，在中应用勾股定理求出AC的长，根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，最后根据四边形土地的面积进行求解． 【详解】解：连接，在中， ， ， 解得，， 在中，，，， ， 为直角三角形， ∴四边形土地的面积（平方米）， 答：四边形土地的面积为204平方米． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，将四边形ABCD的面积转化为两个直角三角形的面积和是解题的关键． 5．（25-26八年级上·浙江 杭州·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） (2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： (3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 【答案】(1)直角 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够灵活应用相关知识点． （1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，再设，最后利用勾股定理列方程求解即可； （3）先求得，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：点为的中点，，，， ． ， 是直角三角形． 故答案为：直角． （2）解：平分，，， ． ， ． 设，则， 在中，， ， 解得，， 即． 答：的长为． （3）解：如图， 连接， ， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． 设，则， ， ， ，． 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，， 即． 答：线段的长为． 利用勾股定理探究无理数表示的规律题型02 1．如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯，平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围．照此规律，的长度为（为正整数）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了找规律，以及勾股定理，根据勾股定理分别表示出、、的长度，然后研究之间存在的规律，即可解题． 【详解】解：小正方形的边长为1 ， 根据勾股定理可得： ， ， ， 依此类推， ， 故选：A． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 【答案】(1)①17，②16，③ (2)， (3)81 【分析】（1）观察表格可得三边满足，，，代入相应，即可求出空格． （2）用勾股定理和完全平方公式验证． （3）“最短边可种株花”说明最短边长为米；由于必为偶数，最短边只能是，从而列方程求出，，再按“封闭图形种花”模型求总株数． 【详解】（1）解：，，， 当，时，， ①； 当，时，， ②； 当，时，， 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 勾股定理的简单应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 旗杆高度问题 题型02 梯子滑落问题 题型03 小鸟飞行问题 题型04 大树折断问题 题型05 杯中筷子问题 题型06 航海问题 题型07 勾股定理逆定理的实际应用 B组 能力进阶 题型01 勾股定理与网格问题 题型02 勾股定理与折叠问题 题型03 河流宽度问题 题型04 台阶长度问题 题型05 是否超速问题 题型06 受台风影响问题 题型07 选址问题 题型08 最短路径问题 C组 思维拔高 题型01 勾股定理综合计算与证明 题型02 利用勾股定理探究无理数表示的规律 旗杆高度问题题型01 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 2．强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，则旗杆折断之前的高度是_______． 3．八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出来吗？ 4．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度． 5．综合实践：阅读下列材料，解答问题． 任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）． 工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）． 李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）： 测量过程： 步骤1：测得多出一小段绳子的长度为； 步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离． 部分求解过程： 设旗杆高度， ∵在中，， ． ∵， (1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度　　（用含a，b的代数式表示）； (2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是　　； (3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示） 梯子滑落问题题型02 1．（24-25八年级下·广西柳州·期末）把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD＝BC＝12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？    3．如图一架云梯斜靠在一面墙上，梯子的底端B离墙根O的距离长为7米，梯子的顶端A到地面的距离为24米． (1)求这个梯子的长； (2)如果梯子的顶端A下滑4米到点，梯子的底端B向右滑动到点，试求的长． 4．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯脚B到墙壁OC的距离为0.7m．当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点时，点B沿水平地面向外滑动到点． (1)当时，与的长度相等吗？请说明理由． (2)如果梯子与地面的夹角小于30°，梯子就会滑倒，那么在第（1）问中，梯子会滑倒吗？请说明理由． 5．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？ 小鸟飞行问题题型03 1．（25-26八年级·江西南昌·质检）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 2．如图，有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高____． 4．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 5．如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 大树折断问题题型04 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 2．一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 3．如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是_____．    4．《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 5．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 杯中筷子问题题型05 1．如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的一只玻璃杯，高为8厘米，将一根筷子插入其中，伸出杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是多少厘米（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 航海问题题型06 1．如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 3．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距______海里． 4．（24-25八年级下·新疆·月考）一艘船从A港出发向正北方向航行，每小时航行16海里，1小时后到达B港，再向正东方向航行12海里到达C港，求此时船离A港的直线距离． 5．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 勾股定理逆定理的实际应用题型07 1．（25-26八年级·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（    ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A．13 B．14 C．15 D．16 3．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板_______（填“合格”或“不合格”）． 4．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面__________（填“垂直”或“不垂直”）． 5．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 勾股定理与网格问题题型01 1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、都是格点，则线段的长度为（　　） A．5 B．6 C．7 D．25 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为_____． 3．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．    4．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．试判定△ABC的形状． 5．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．    操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． (1)在图1中，小颖所画的的面积为________，边上的高为________． (2)解决问题：已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 勾股定理与折叠问题题型02 1．（25-26八年级·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 5．在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 河流宽度问题题型03 1．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得，又量得，，则A、B两点之间的距离为（　　） A．10m B． C．12m D．13m 2．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是________． 3．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 4．如图，某渡船从点处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点与欲到达地点相距70米，结果发现比河宽多10米，求该河的宽度．（两岸可近似看作平行） 5．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度． 台阶长度问题题型04 1．要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米．    A．17 B．13 C．12 D．5 2．如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 3．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是______． 4．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 是否超速问题题型05 1．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”） 2．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 3．限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米时，一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判断此车是否超速．    4．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 5．（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 受台风影响问题题型06 1．如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？ 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 3．中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西方向距离米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东方向的公路前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（） 4．（25-26八年级上·甘肃酒泉·月考）如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 5．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 选址问题题型07 1．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 2．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_____km． 3．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 4．两个村庄C、D在河的同侧，已知，C、D两村到河的距离分别为，．现在要在河边建一水厂，向C、D两村送自来水，铺设水管的费用为每千米2万元，请在上选择水厂位置E，使水厂到两村庄距离相等． (1)请用圆规和直尺在图中作出水厂E的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求铺设水管的总费用． 5．（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 最短路径问题题型08 1．（24-25八年级下·湖北·期末）如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（    ） A． B． C． D． 2．如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是______________cm. 3．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______． 4．如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边上的P处有一个激光发射器，红外线从点P发射后，经平面镜、反射后到达“感应区”，若米，激光途经的最短路线长____米． 5．如图，圆柱高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，求从点爬到点的最短路程．（作出展开图再求） 勾股定理综合计算与证明题型01 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 2．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是  _______ ． 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面2米，即米，梯子底端距右墙底端米，即米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，即米，则小巷的宽度为多少米？ 4．如图，有一块四边形的土地，，，，，，求该四边形土地的面积． 5．（25-26八年级上·浙江 杭州·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） (2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： (3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 利用勾股定理探究无理数表示的规律题型02 1．如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯，平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围．照此规律，的长度为（为正整数）（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $