专题02 三角形（期中真题汇编，北京专用）八年级数学上学期

专题02 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）在中，若，则是（   ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 2．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为且，在x轴上确定一点P，使为等腰三角形．则符合题意的点P共（     ）有个． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）下列线段长度能构成三角形的是（     ） A. 2，4，6 B. 3，3，7 C. 2，3，4 D. 1，2，3 2．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）现有两根长度分别3cm和7cm的木棒．若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（          ） A. 4cm B. 7cm C. 10cm D. 13cm 3．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）若一个三角形的三条边长分别为，，，则的长可以是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 3，4，7 B. 5，6，10 C. 2，3，6 D. 5，6，11 5．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）在日常生活中，三角形的形状随处可见，工程建筑中经常采用三角形的钢结构，如图是析架式公路桥工程实例图片，其中的道理是（     ） A. 图形的对称性 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 6．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（       ） A.  B.  C.  D. 或 8．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·北京大兴·期中）三角形的两边长分别为2和7，则第三边的长可能是（       ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 10．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）下列各组线段能组成一个三角形的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 8，6，5 B. 3，4，8 C. 4，6，10 D. 3，3，6 12．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是（     ） A.  B.  C. 或 D. 以上都不正确 13．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）若三角形三边长分别是2、5、x，则x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三边长不可能是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）若 一个等腰三角形的两边长分别为2、4，则其周长为　　　　． 19．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）三角形三边长分别为2、5和x，x的取值范围是　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·北京大兴·期中）用一条长的绳子围成一个等腰三角形，若一边长为，求腰长． 21．（25-26学年八上·北京延庆·期中）已知等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　　　　　． 23．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）已知a，b，c是的三边． （1）化简； （2）若a和b满足方程组 ，且c为偶数，求这个三角形的周长． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·北京大兴·期中）下列图形中，作的边上的高，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，的边上的高是（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）画中边上的高，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）下列各图中，作边上的高，正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）阅读材料解决问题： 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向；杂技演员在表演转盘的时候，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动；飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操纵性能等等． （1）简单平面图形的重心位置 我们学习了三角形的重心，知道三角形的重心是三条中线的交点．我们可以用平衡法、悬挂法等方法确定这些简单平面图形的重心位置，发现重心位置都位于它们的几何中心． 任务一、作出图1、图2的重心， （2）合平面图形的重心位置 在平面内，图形A与图形B拼成一个图形（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上．根据这一结论，我们可以确定两个简单平面图形拼成的图形重心位置．例如：要确定图3的重心G的位置，可以将图3用两种方法分割成两个简单图形（如图4、图5），则重心G在这两个基本图形的重心M，所连线段上，所以图3的重心为线段的交点（如图6）． 任务二、作出图7的重心 （3）跳高是一种需要技巧和力量的运动，常见的方法有跨越式、滚式和背越式，如图 任务三、如果将不同方法的运动员体态抽象为平面图形，请根据材料中内容，解释为什么跳高运动员采用“背越式”成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”更好． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）在中，，，　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）若一个三角形的三个内角的度数之比是，求最小内角的度数． 5．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）中，若，则　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）已知：如图，AD是△ABC中BC边上的高，∠ABC=42°，AE平分∠BAC，∠ACB=70°，则∠DAE=　　　　　　　　　度． 7．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，中，，，将折叠，使点A落在边上A处，折痕为，则　　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图， ，则　　　　　　　　．（用含α的式子表示） 9．（25-26学年八上·北京大兴·期中）在中，，分别平分，，与相交于点，．求的度数． 10．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在中，，按图中虚线将剪去后，　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为　　　　　　 12．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）（1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，把两个直角三角板叠放在一起，已知，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，将直尺和角的三角尺叠放在一起，则和之间的关系为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，①线段BG是△ABD边AD上的中线；②线段CH是△ACH中AH边上的高；③△ABG与△BDG面积相等；④AB﹣AC＝BF；⑤∠2+∠FBC+∠FCB＝90°，其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 5．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，一条船从海岛出发，向正北航行到达海岛处．从，看灯塔，测得，，则从海岛看海岛，灯塔两处的视角的大小为（       ） A. 127 B. 43 C. 42 D. 41 6．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 7．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，在中，的平分线交于点．求的度数． 8．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，，与相交于点，，．则的度数是　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·北京延庆·期中）将一副三角板按如图方式叠放，那么等于　　　　　　． 10．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）如图，直线，则　　　　　　　度． 11．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应　　　　　　　　　　　（填“增加”或“减少”）　　　　　　　　　　　度． 12．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点重合），连接交于点． （1）若是中线，，求与的周长差； （2）若是高，，求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）在中，若，则是（   ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】 解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 2．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为且，在x轴上确定一点P，使为等腰三角形．则符合题意的点P共（     ）有个． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【分析】 根据等腰三角形的定义，分类画图解答即可． 本题考查了等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握定义和分类思想是解题的关键． 【详解】 解：在x轴上使为等腰三角形的点P，如图即为所求； 时，有2个； 时，有1个； 时，有1个； 符合题意的点P共有4个， 故选：A 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）下列线段长度能构成三角形的是（     ） A. 2，4，6 B. 3，3，7 C. 2，3，4 D. 1，2，3 【答案】C 【分析】 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，不能构成三角形，故B不符合题意； C、，能构成三角形，故C符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选： 2．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）现有两根长度分别3cm和7cm的木棒．若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（          ） A. 4cm B. 7cm C. 10cm D. 13cm 【答案】B 【分析】 根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值． 【详解】 解：根据三角形的三边关系，得 第三边应大于两边之差，即7-3=4；而小于两边之和，即3+7=10， 即4＜第三边＜10， 下列答案中，只有B符合条件． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了三角形中三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 3．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）若一个三角形的三条边长分别为，，，则的长可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可求解． 【详解】 解：一个三角形的三条边长分别为，，， ，即， 的长可以是， 故选：C． 4．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 3，4，7 B. 5，6，10 C. 2，3，6 D. 5，6，11 【答案】B 【分析】 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】 解：A、3＋4=7，不能构成三角形； B、5＋6＞10，能构成三角形； C、2＋3＜6，不能构成三角形； D、5＋6=11，不能构成三角形． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 5．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）在日常生活中，三角形的形状随处可见，工程建筑中经常采用三角形的钢结构，如图是析架式公路桥工程实例图片，其中的道理是（     ） A. 图形的对称性 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的形状随处可见，工程建筑中经常采用三角形的钢结构，故其中的数学道理是三角形的稳定性，即可作答． 【详解】 解：依题意，工程建筑中经常采用三角形的结构，如析架式公路桥工程实例图片， ∴其中的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：B． 6．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围． 【详解】 解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∴A、B之间的距离不可能是， 故选：D． 7．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为等腰三角形的两边分别为4和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】 解：当4为底时，其它两边都为8，则4、8、8可以构成三角形，周长为20； 当4为腰时，其它两边为4和8，因为，所以不能构成三角形，故舍去． 故选：C． 8．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】 解：设它的第三条边长为， ∴， 解得：， ∴选项中不在此范围内，符合题意， 故选：． 9．（25-26学年八上·北京大兴·期中）三角形的两边长分别为2和7，则第三边的长可能是（       ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】B 【分析】 本题考查三角形三边关系的应用．根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的范围，从而得到答案． 【详解】 解：三角形的两边长分别为2和7，设第三边为c， 则，即， 故选：B． 10．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）下列各组线段能组成一个三角形的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】 解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能组成三角形，不符合题意； C．，能组成三角形，符合题意； D． ，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以． 11．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 8，6，5 B. 3，4，8 C. 4，6，10 D. 3，3，6 【答案】A 【分析】 根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断． 【详解】 A、，能组成三角形，符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意． C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可． 12．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是（     ） A.  B.  C. 或 D. 以上都不正确 【答案】A 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，“分类讨论”的数学思想是解题关键．分情况讨论：腰长为，底为；腰长，底为，先判断是否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】 解：当腰长为，底为，能构成三角形，周长为：； 当腰长为，底为，不能构成三角形，舍去， 故选A． 13．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）若三角形三边长分别是2、5、x，则x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；利用这一关系列出不等式求解即可． 【详解】 解：∵三角形三边长为2、5、x， ∴由三角形三边关系定理： ①，得； ② ，得； ∴ x的取值范围为； 故选：B． 14．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三边长不可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】 解：设第三边长为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得：， 故选项中不满足条件的只有． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 15．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是　　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 根据等腰三角形的性质，三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可． 【详解】 解：（1）当2为腰长时，三边分别为2、2、7，因为2+2=4＜7，根据三角形三边关系得，此三边不能组成三角形． （2）当7为腰长时，三边分别为2、7、7，根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形．所以三角形的周长=7+7+2=16； 综上，此三角形的周长为16． 故答案为：16 【点睛】 本题主要考查等腰三角形三边关系，解题的关键是先分类讨论确定腰长，再根据三角形任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，最后算出周长即可． 16．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是　　　　　　　　　　． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】 根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】 解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 17．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　　　　　　　　　　． 【答案】稳定性 【分析】 本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】 解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 18．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）若 一个等腰三角形的两边长分别为2、4，则其周长为　　　　． 【答案】10 【分析】 根据等腰三角形的性质可分两种情况讨论：① 当2为腰时② 当4为腰时;再根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，再计算三角形的周长，即可求出； 本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及了三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解题关键． 【详解】 解：① 当2为腰时，另两边为2、4，，不能构成三角形，舍去; ② 当4为腰时，另两边为2、4，，能构成三角形， 此时三角形的周长为 故答案为：10． 19．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）三角形三边长分别为2、5和x，x的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解． 【详解】 解：根据三角形的三边关系，得，即． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·北京大兴·期中）用一条长的绳子围成一个等腰三角形，若一边长为，求腰长． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．分两种情况：① 若腰长为，则这个等腰三角形的底边长为，不满足三角形的三边关系；② 若底边长为，则这个等腰三角形的腰长为，满足三角形的三边关系，由此即可得． 【详解】 解：① 若腰长为，则这个等腰三角形的底边长为， 此时等腰三角形的三边长分别为，，，不满足三角形的三边关系（），舍去； ② 若底边长为，则这个等腰三角形的腰长为， 此时等腰三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系（）； 所以这个等腰三角形的腰长为． 21．（25-26学年八上·北京延庆·期中）已知等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，掌握其定义，三角形三边数量关系是解题的关键． 根据三角形三边数量关系，等腰三角形的定义确定等腰三角形的三边的长，由此即可求解． 【详解】 解：等腰三角形的两边长为和， 当腰长是5时，，符合题意， 此时周长为：； 当腰长是9时，，符合题意， 此时周长为； ∴该三角形的周长为或， 故答案为：或 ． 22．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　　　　　． 【答案】10或11 【分析】 分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：① 3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4， ∵此时能组成三角形， ∴周长＝3+3+4＝10； ② 3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长＝3+4+4＝11． 综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11． 故答案为：10或11． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键． 23．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）已知a，b，c是的三边． （1）化简； （2）若a和b满足方程组 ，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】（1）     （2）11或13      【分析】 （1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． (1) 小问详解： ∵a，b，c是的三边， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解方程组 ，得 ， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为偶数， ∴或6， ∴这个三角形的周长为或． 【点睛】 本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查垂线段最短，高、中线、角平分线的定义，熟练掌握连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．利用垂线段最短即可解决． 【详解】 解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 可得最短， 故选：A． 2．（25-26学年八上·北京大兴·期中）下列图形中，作的边上的高，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角板作三角形高的基本操作方法，解决本题的关键在于理解如何利用三角板的直角边确保所作的高与底边垂直． 作的边上的高，需由点A向边上做垂线，由此判断选项即可． 【详解】 解：A选项，需由点A向边上做垂线，故A错误； B选项，是点A向边上做垂线，故B正确； C选项，是的边上的高，故C错误； D选项，是的边上的高，故D错误． 故选：B ． 3．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，的边上的高是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的高，根据三角形的高的概念求解即可． 【详解】 解：由图可知：， ∴的边上的高是， 故选：D． 4．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）画中边上的高，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】 解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 5．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）下列各图中，作边上的高，正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】 解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角，  垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 6．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）阅读材料解决问题： 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向；杂技演员在表演转盘的时候，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动；飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操纵性能等等． （1）简单平面图形的重心位置 我们学习了三角形的重心，知道三角形的重心是三条中线的交点．我们可以用平衡法、悬挂法等方法确定这些简单平面图形的重心位置，发现重心位置都位于它们的几何中心． 任务一、作出图1、图2的重心， （2）合平面图形的重心位置 在平面内，图形A与图形B拼成一个图形（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上．根据这一结论，我们可以确定两个简单平面图形拼成的图形重心位置．例如：要确定图3的重心G的位置，可以将图3用两种方法分割成两个简单图形（如图4、图5），则重心G在这两个基本图形的重心M，所连线段上，所以图3的重心为线段的交点（如图6）． 任务二、作出图7的重心 （3）跳高是一种需要技巧和力量的运动，常见的方法有跨越式、滚式和背越式，如图 任务三、如果将不同方法的运动员体态抽象为平面图形，请根据材料中内容，解释为什么跳高运动员采用“背越式”成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”更好． 【答案】任务一：重心、如图所示： ； 任务二：重心G，如图所示： 任务三：背越式能让人体重心尽可能低于横杆，而跨越式、滚式的重心更接近甚至高于横杆，相同弹跳能力下，背越式需要克服的重力做功更少，因此能跳过更高高度． ① 跨越式/滚式：运动员过杆时，身体呈“跨”或“滚”的姿态，重心始终在身体几何中心附近，且整体处于横杆上方（类似矩形重心在对角线交点，始终在物体内部），过杆时重心必须高于横杆，需要更强的弹跳力抬升身体． ② 背越式：运动员过杆时身体呈“反弓形”（背向横杆），重心会落在身体几何中心之外——处于背部下方的空当中，形成“重心低于身体”的特殊状态．此时横杆可高于人体重心，相当于用相同的弹跳高度，“额外”获得了重心与横杆之间的高度差，大幅降低了过杆难度． 简单类比：跨越式是“举着重心过杆”，背越式是“让重心从横杆下方‘钻’过去”． 【分析】 本题考查了重心及其应用，作平面图形的重心，读懂材料是解题的关键； （1）任务一：作出三角形两边的垂直平分线，其交点便是重心；连接长方形两条对角线，其交点便是长方形的重心； （2）任务二：按照题干中的方法找重心即可； （3）任务三：分析三种跳高方法中重心的位置即可． 【详解】 任务一：略 任务二：略 任务三：略 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：， 故选：D． 2．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查直角三角形的判定，掌握三角形内角和是关键；通过三角形内角和为，分别验证各选项是否能推出一个角为；选项A、B、C均能推出直角三角形，选项D计算后无角，故不能确定． 【详解】 解：选项A：∵ ，且 ， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项B：设，则， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项C：∵ ， ∴， 又， ∴ ，能确定直角三角形； 选项D：设，则，， ∴， ∴，，不能确定直角三角形； 故选：D． 3．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）在中，，，　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和为180度列式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）若一个三角形的三个内角的度数之比是，求最小内角的度数． 【答案】 【分析】 本题考查三角形的内角和定理及比例分配问题． 已知三角形内角和为，三个内角度数比为，最小角对应比例中的2份，通过比例计算即可求解． 【详解】 解：∵ 三角形的内角和为，三个内角度数之比为， ∴ 总份数为份， 最小内角对应的份数为2份， ∴ 最小内角的度数为． 故最小内角的度数为． 5．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）中，若，则　　　　　　　　　． 【答案】<度 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和为这一性质建立等式求解． 根据三角形内角和定理得到，再结合已知条件，代入求解． 【详解】 在中，， 又已知， 将代入到中， 可得， 即， 解得， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）已知：如图，AD是△ABC中BC边上的高，∠ABC=42°，AE平分∠BAC，∠ACB=70°，则∠DAE=　　　　　　　　　度． 【答案】14 【分析】 先利用三角形的内角和求出∠BAC，根据三角形的高、角平分线的性质，求出∠ADC、∠BAE，再利用外角和内角的关系先求出∠AEC，再求出∠EAD． 【详解】 解：∵∠ABC=42°，∠ACB=70°， ∴∠BAC=68°． ∵AD是△ABC中BC边上的高， ∴∠ADC=90°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=34°． ∵∠AEC=∠B+∠BAE =42°+34° =76°， ∠ADC=∠EAD+∠AEC， ∴∠EAD=90°-∠AEC =90°-76° =14°． 故答案为：14． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理及推论，掌握三角形的内角和是180°，三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和是解决本题的关键． 7．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，中，，，将折叠，使点A落在边上A处，折痕为，则　　　　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，即可利用三角形外角的性质求出答案． 【详解】 解：∵中，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，正确求出和的度数是解题的关键． 8．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图， ，则　　　　　　　　．（用含α的式子表示） 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的内角和定理，等边对等角，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质和定理． 根据垂直得出直角三角形，表示出，利用等边对等角得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·北京大兴·期中）在中，，分别平分，，与相交于点，．求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了利用三角形内角和与角平分线的性质来求解，准确计算是解题的关键．根据角平分线的性质得到与、与的关系，求出的度数，再根据内角和定理计算即可． 【详解】 解：，分别平分，， ，， ， ， ， ． 10．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在中，，按图中虚线将剪去后，　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理与四边形内角和定理，解题关键是利用三角形内角和求出，再结合四边形内角和推导，易错点是对多边形内角和定理的概念混淆，解题思路为：先由三角形内角和求，再根据四边形内角和计算． 【详解】 解：∵在中，； ∴； ∵剪去后，形成一个四边形，四边形的内角和为； ∴； ∴； 故答案为：． 11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为　　　　　　 【答案】H度 【分析】 本题主要考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质得到，再利用内角和定理即可求出，便可求出答案． 【详解】 解：设， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）（1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 【答案】（1），理由如下： 如图1，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）或或 【分析】 （1）先证明，得出，，即可得出结论； （2）先证明，得出，，即可得出结论； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等可知：，而，的长由，的位置决定，故需要对，的位置分三种情况讨论：当E在上，D在上时，即时；当E在上，D在上时，即时；当E到达A，D在上时，即时；分别根据建立一元一次方程，解方程即可求出t的值． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）分三种情况： 当E在上，D在上时，即时， ，， ，， ， 以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ， ， 解得：； 当E在上，D在上时，即时， 此时D与E重合， ，， ， ， 解得：； 当E到达A，D在上时，即时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【点睛】 本题主要考查了等式的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并在动点问题中运用分类讨论思想是解题的关键． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，把两个直角三角板叠放在一起，已知，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形外角的性质及直角三角板的特殊性. 根据直角三角板的特殊性和三角形外角即可求出的度数. 【详解】 解：根据直角三角板的特殊性，，   故选： D． 2．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用， 首先根据三角形外角性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 ∵， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 3．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，将直尺和角的三角尺叠放在一起，则和之间的关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，延长交于点，由平行线的性质得，进而由得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：． 4．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，①线段BG是△ABD边AD上的中线；②线段CH是△ACH中AH边上的高；③△ABG与△BDG面积相等；④AB﹣AC＝BF；⑤∠2+∠FBC+∠FCB＝90°，其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【分析】 根据三角形的高，中线的定义，三线合一定理，直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质进行逐一判断即可得到答案. 【详解】 解：① 因为G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确； ② 因为CF⊥AD于H，所以CH是△ACH中AH边上的高，故正确； ③ 因为G为AD中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确； ④ 因为∠1＝∠2，CF⊥AD，可知∠AFC＝∠ACF，根据等角对等边得AF＝AC，故AB﹣AC＝BF正确， ⑤ 因为∠1＝∠2，CF⊥AD于H，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，∠1+∠AFH＝∠1+∠FBC+∠FCB＝90°，所以∠2+∠FBC+∠FCB＝90°，故正确． 所以正确的个数是5个． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了三角形的高，中线的定义，三线合一定理，直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 5．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，一条船从海岛出发，向正北航行到达海岛处．从，看灯塔，测得，，则从海岛看海岛，灯塔两处的视角的大小为（       ） A. 127 B. 43 C. 42 D. 41 【答案】D 【分析】 本题考查三角形外角的性质．根据是的外角，利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】 解：∵是的外角， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°， ∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°， 故选C． 【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是利用了三角形的外角的性质． 7．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，在中，的平分线交于点．求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形角的相关知识是解题的关键． 先根据，，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质，求出即可． 【详解】 解：∵，． ． ∵是的平分线， ， ∴． 8．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，，与相交于点，，．则的度数是　　　　　　　　． 【答案】35 【分析】 本题考查了平行线的性质，以及三角形的外角和定理，解决本题的关键是求解的度数． 根据，可得，再根据三角形的外角和定理可得，再根据，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 故答案为：35 ． 9．（25-26学年八上·北京延庆·期中）将一副三角板按如图方式叠放，那么等于　　　　　　． 【答案】i度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】 解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）如图，直线，则　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】 解：∵直线， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应　　　　　　　　　　　（填“增加”或“减少”）　　　　　　　　　　　度． 【答案】① 减少    ② 10 【分析】 先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】 解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：① 减少；② 10． 【点睛】 本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 12．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点重合），连接交于点． （1）若是中线，，求与的周长差； （2）若是高，，求的度数． 【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题考查了三角形的周长、角平分线的应用、三角形外角的性质： （1）直接写出两个三角形的周长进行作差即可； （2）根据角平分线求出，根据三角形的外角性质可得． (1) 小问详解： 解：∵的周长的周长， ∴与的周长差为： ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴与的周长差为1； (2) 小问详解： 解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．C 2．A 考点02 三角形的边 1．C 2．B 3．C 4．B 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B 10．C 11．A 12．A 13．B 14．A 15．【答案】16 【分析】 根据等腰三角形的性质，三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可． 【详解】 解：（1）当2为腰长时，三边分别为2、2、7，因为2+2=4＜7，根据三角形三边关系得，此三边不能组成三角形． （2）当7为腰长时，三边分别为2、7、7，根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形．所以三角形的周长=7+7+2=16； 综上，此三角形的周长为16． 故答案为：16 【点睛】 本题主要考查等腰三角形三边关系，解题的关键是先分类讨论确定腰长，再根据三角形任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，最后算出周长即可． 16．【答案】三角形具有稳定性 【分析】 根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】 解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 17．【答案】稳定性 【分析】 本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】 解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 18．【答案】10 【分析】 根据等腰三角形的性质可分两种情况讨论：① 当2为腰时② 当4为腰时;再根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，再计算三角形的周长，即可求出； 本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及了三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解题关键． 【详解】 解：① 当2为腰时，另两边为2、4，，不能构成三角形，舍去; ② 当4为腰时，另两边为2、4，，能构成三角形， 此时三角形的周长为 故答案为：10． 19．【答案】 【分析】 此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解． 【详解】 解：根据三角形的三边关系，得，即． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．分两种情况：① 若腰长为，则这个等腰三角形的底边长为，不满足三角形的三边关系；② 若底边长为，则这个等腰三角形的腰长为，满足三角形的三边关系，由此即可得． 【详解】 解：① 若腰长为，则这个等腰三角形的底边长为， 此时等腰三角形的三边长分别为，，，不满足三角形的三边关系（），舍去； ② 若底边长为，则这个等腰三角形的腰长为， 此时等腰三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系（）； 所以这个等腰三角形的腰长为． 21．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，掌握其定义，三角形三边数量关系是解题的关键． 根据三角形三边数量关系，等腰三角形的定义确定等腰三角形的三边的长，由此即可求解． 【详解】 解：等腰三角形的两边长为和， 当腰长是5时，，符合题意， 此时周长为：； 当腰长是9时，，符合题意， 此时周长为； ∴该三角形的周长为或， 故答案为：或 ． 22．【答案】10或11 【分析】 分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：① 3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4， ∵此时能组成三角形， ∴周长＝3+3+4＝10； ② 3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长＝3+4+4＝11． 综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11． 故答案为：10或11． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键． 23．【答案】（1）     （2）11或13      【分析】 （1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． (1) 小问详解： ∵a，b，c是的三边， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解方程组 ，得 ， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为偶数， ∴或6， ∴这个三角形的周长为或． 【点睛】 本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．A 2．B 3．D 4．D 5．D 6．【答案】任务一：重心、如图所示： ； 任务二：重心G，如图所示： 任务三：背越式能让人体重心尽可能低于横杆，而跨越式、滚式的重心更接近甚至高于横杆，相同弹跳能力下，背越式需要克服的重力做功更少，因此能跳过更高高度． ① 跨越式/滚式：运动员过杆时，身体呈“跨”或“滚”的姿态，重心始终在身体几何中心附近，且整体处于横杆上方（类似矩形重心在对角线交点，始终在物体内部），过杆时重心必须高于横杆，需要更强的弹跳力抬升身体． ② 背越式：运动员过杆时身体呈“反弓形”（背向横杆），重心会落在身体几何中心之外——处于背部下方的空当中，形成“重心低于身体”的特殊状态．此时横杆可高于人体重心，相当于用相同的弹跳高度，“额外”获得了重心与横杆之间的高度差，大幅降低了过杆难度． 简单类比：跨越式是“举着重心过杆”，背越式是“让重心从横杆下方‘钻’过去”． 【分析】 本题考查了重心及其应用，作平面图形的重心，读懂材料是解题的关键； （1）任务一：作出三角形两边的垂直平分线，其交点便是重心；连接长方形两条对角线，其交点便是长方形的重心； （2）任务二：按照题干中的方法找重心即可； （3）任务三：分析三种跳高方法中重心的位置即可． 【详解】 任务一：略 任务二：略 任务三：略 考点04 三角形的内角 1．D 2．D 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和为180度列式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 本题考查三角形的内角和定理及比例分配问题． 已知三角形内角和为，三个内角度数比为，最小角对应比例中的2份，通过比例计算即可求解． 【详解】 解：∵ 三角形的内角和为，三个内角度数之比为， ∴ 总份数为份， 最小内角对应的份数为2份， ∴ 最小内角的度数为． 故最小内角的度数为． 5．【答案】<度 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和为这一性质建立等式求解． 根据三角形内角和定理得到，再结合已知条件，代入求解． 【详解】 在中，， 又已知， 将代入到中， 可得， 即， 解得， 故答案为：． 6．【答案】14 【分析】 先利用三角形的内角和求出∠BAC，根据三角形的高、角平分线的性质，求出∠ADC、∠BAE，再利用外角和内角的关系先求出∠AEC，再求出∠EAD． 【详解】 解：∵∠ABC=42°，∠ACB=70°， ∴∠BAC=68°． ∵AD是△ABC中BC边上的高， ∴∠ADC=90°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=34°． ∵∠AEC=∠B+∠BAE =42°+34° =76°， ∠ADC=∠EAD+∠AEC， ∴∠EAD=90°-∠AEC =90°-76° =14°． 故答案为：14． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理及推论，掌握三角形的内角和是180°，三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和是解决本题的关键． 7．【答案】度 【分析】 先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，即可利用三角形外角的性质求出答案． 【详解】 解：∵中，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，正确求出和的度数是解题的关键． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的内角和定理，等边对等角，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质和定理． 根据垂直得出直角三角形，表示出，利用等边对等角得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了利用三角形内角和与角平分线的性质来求解，准确计算是解题的关键．根据角平分线的性质得到与、与的关系，求出的度数，再根据内角和定理计算即可． 【详解】 解：，分别平分，， ，， ， ， ， ． 10．【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理与四边形内角和定理，解题关键是利用三角形内角和求出，再结合四边形内角和推导，易错点是对多边形内角和定理的概念混淆，解题思路为：先由三角形内角和求，再根据四边形内角和计算． 【详解】 解：∵在中，； ∴； ∵剪去后，形成一个四边形，四边形的内角和为； ∴； ∴； 故答案为：． 11．【答案】H度 【分析】 本题主要考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质得到，再利用内角和定理即可求出，便可求出答案． 【详解】 解：设， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．【答案】（1），理由如下： 如图1，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）或或 【分析】 （1）先证明，得出，，即可得出结论； （2）先证明，得出，，即可得出结论； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等可知：，而，的长由，的位置决定，故需要对，的位置分三种情况讨论：当E在上，D在上时，即时；当E在上，D在上时，即时；当E到达A，D在上时，即时；分别根据建立一元一次方程，解方程即可求出t的值． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）分三种情况： 当E在上，D在上时，即时， ，， ，， ， 以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ， ， 解得：； 当E在上，D在上时，即时， 此时D与E重合， ，， ， ， 解得：； 当E到达A，D在上时，即时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【点睛】 本题主要考查了等式的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并在动点问题中运用分类讨论思想是解题的关键． 考点05 三角形的外角 1．D 2．C 3．A 4．A 5．D 6．C 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形角的相关知识是解题的关键． 先根据，，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质，求出即可． 【详解】 解：∵，． ． ∵是的平分线， ， ∴． 8．【答案】35 【分析】 本题考查了平行线的性质，以及三角形的外角和定理，解决本题的关键是求解的度数． 根据，可得，再根据三角形的外角和定理可得，再根据，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 故答案为：35 ． 9．【答案】i度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】 解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】 解：∵直线， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 11．【答案】① 减少    ② 10 【分析】 先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】 解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：① 减少；② 10． 【点睛】 本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 12．【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题考查了三角形的周长、角平分线的应用、三角形外角的性质： （1）直接写出两个三角形的周长进行作差即可； （2）根据角平分线求出，根据三角形的外角性质可得． (1) 小问详解： 解：∵的周长的周长， ∴与的周长差为： ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴与的周长差为1； (2) 小问详解： 解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $