精品解析：北京市朝阳区和平街第一中学2024-2025学年上学期八年级期中数学模拟试卷

2024-2025学年北京市朝阳区和平街一中八年级（上）期中数学模拟试卷 一、选择题（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度三条线段（单位：cm），能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 5，7，11 3. 将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知三条线段的长分别是5，5，x，若它们能构成三角形，则整数的最大值是( ) A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 5. 如图，，，，，则的度数为（　　） A B. C. D. 6. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 8. 如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 若，则_________． 10. 比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 11. 如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为__． 12. 如图，，，垂足分别为，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______．（写出一个即可） 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是_______． 14. 若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（4，4)处，两直角边分别与坐标轴交于点A和点B，则OA+OB的值为________. 16. 李老师制作了如图1所示学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的 ②当，时，可得到形状唯一确定的 ③当，时，可得到形状唯一确定的 其中所有正确结论的序号是______________． 三、计算题（本大题共10小题，共52分） 17. 如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 18. 已知：如图，D是的边BC上的一点，．求证：． 19. 计算：． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 22. 已知：如图，平分．求证：． 23. 我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；； ；． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式． （1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． （2）请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 24. 阅读理解: 借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题． （1）如图1是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，在如图2的几种用法中，能作出的平分线的有 (填写序号) （2）同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题如图3是小瑞设计出的三等分角的仪器--勾尺． 勾尺的直角顶点为P， (“宽臂”的宽度) ，勾尺的另一边为，且满足M，N，Q三点共线（所以）小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分； 第一步：如图4，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图5，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使边经过点B，同时让点R落在的边上； 第三步：如图6，标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图6，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程； 证明：垂直平分线段． ∴ ∵， ∴． (请继续完成后面的证明过程) 25. 如图，点A在∠O一边OA上．按要求画图并填空： （1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D． （2）∠CDB=________°； （3）如果OA=8，AB=6，OB=10，则点A到直线OB的距离为________． 26. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．若CD＝3cm，求EF的长． 27. 如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： （1）求证：； （2）点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 如图1，点P、Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， （1）连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时是直角三角形？ （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市朝阳区和平街一中八年级（上）期中数学模拟试卷 一、选择题（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 5，7，11 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A．1+2＜4，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵， ∴，即三角形不直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 3. 将一副直角三角板如图放置，使含角三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4. 已知三条线段的长分别是5，5，x，若它们能构成三角形，则整数的最大值是( ) A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：∵三条线段的长分别是5，5，x，它们能构成三角形， ∴， ∴， ∴整数x的最大值是9． 故选：B． 5. 如图，，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等的性质，得,，由三角形内角和定理，得，于是，. 【详解】解：∵， ∴,. ∵, ∴. ∴. ∴. 故选：A． 6. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法计算并判定A；根据幂的乘方计算并判定B；根据积的乘方计算并判定C；根据同底数幂的除法计算关判定D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法的运算法则是解题的关键． 7. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图——与设计作图，解题关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 8. 如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 所以在图中与成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选：D． 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 10. 比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方将两数变形后变形大小． 【详解】解：， ， ， ， 故． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为__． 【答案】3 【解析】 【分析】利用互余计算，利用30°角的性质即可即可 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， ， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，30°角所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 12. 如图，，，垂足分别为，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据题意直接由全等三角形的判定定理进行分析即可求解． 【详解】解：若添加，且，由“”可证； 若添加，且，由“”可证； 若添加，且，由“”可证； 若添加，且，由“”可证； 故答案为：或或或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 14. 若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为__________． 【答案】10或##或 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题由完全平方公式的含义可得，再解方程可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ， 解得：或． 故答案为：10或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（4，4)处，两直角边分别与坐标轴交于点A和点B，则OA+OB的值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】过P点作PM⊥x轴于M点，PN⊥y轴于N点，先证明出△PBN≌△PAM，然后得到BN=AM，进而可以得到OA+OB=OM+AM+OB=OM+OB+BN=OM+ON=8. 【详解】如图，过P点作PM⊥x轴于M点，PN⊥y轴于N点， 则∠PNB=∠PMA=90°，∠NPM=90°， ∵∠BPA=90°， ∴∠NPB=∠MPA=90°-∠BPM， ∵P（4,4） ∴PM=PN=OM=ON=4 在△PBN和△PAM中， ∠NPB=∠MPA，PN=PM，∠PNB=∠PMA ∴△PBN≌△PAM. ∴PB=PA，BN=AM ∴OA+OB=OM+AM+OB=OM+BN+ON=OM+ON=4+4=8. 故填8. 【点睛】本题主要考查全等三角形的证明与性质，解题关键在于能够做出辅助线找到全等三角形. 16. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定 ②当，时，可得到形状唯一确定的 ③当，时，可得到形状唯一确定的 其中所有正确结论的序号是______________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案． 【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误． 如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确． 如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确． 综上：②③正确． 故答案为：②③ 【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键． 三、计算题（本大题共10小题，共52分） 17. 如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 18. 已知：如图，D是的边BC上的一点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】证明：，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是根据三角形外角得出． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及二次根式性质． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程； （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1计算，然后检验即可得出结果； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1计算，然后检验即可得出结果； 【小问1详解】 解： 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 把系数化为1，可得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 把系数化为1，可得：， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 21. 如图，是边上的高，平分，若，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，属于简单题，熟悉三角形的内角和是是解题关键． 由三角形内角和定理可求得的度数，因是角平分线，有，在中，可求得的度数，再由可求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵是高，， ∴， ∴． 22. 已知：如图，平分．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．利用“边角边”证明，即可求证． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 23. 我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；； ；． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式． （1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． （2）请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）否， （2） 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法，掌握整体思想是解题关键． （1），故可继续分解； （2）设， 原式可分解为；将代入可继续分解． 【小问1详解】 解：设， 则原式 故答案为：否， 【小问2详解】 解：设， 则原式， ∴ 24. 阅读理解: 借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题． （1）如图1是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，在如图2的几种用法中，能作出的平分线的有 (填写序号) （2）同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题如图3是小瑞设计出的三等分角的仪器--勾尺． 勾尺的直角顶点为P， (“宽臂”的宽度) ，勾尺的另一边为，且满足M，N，Q三点共线（所以）小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分； 第一步：如图4，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图5，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使边经过点B，同时让点R落在的边上； 第三步：如图6，标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图6，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程； 证明：垂直平分线段． ∴ ∵， ∴． (请继续完成后面的证明过程) 【答案】（1）①③ （2）见解析；， 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质一一判断即可； （2）设与交于点J，与交于点T，过点P作于H，由角平分线的判定定理可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴， ∴， ∴是的平分线．符合题意； ②∵，， ∴垂直平分， ∴不能证明是的平分线．不符合题意； ③∵，，， ∴， ∴， ∴是的平分线．符合题意； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：如图6，设与交于点J，与交于点T，过点P作于H， ∵，，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线和射线是的三等分线， 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25. 如图，点A在∠O的一边OA上．按要求画图并填空： （1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D． （2）∠CDB=________°； （3）如果OA=8，AB=6，OB=10，则点A到直线OB的距离为________． 【答案】（1）见解析；（2）90；（3）4.8 【解析】 【分析】（1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D； （2）利用两直线平行同位角相等即可确定答案； （3）利用等积法即可求得线段AC的长. 【详解】解：（1）如图,   （2）∵CD∥OA， ∴∠CDB=∠OAB=90°； （3）AC==4.8． 【点睛】本题考查了基本作图的知识，正确的根据题意作出图形是解答本题的关键，难度不大. 26. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．若CD＝3cm，求EF的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解∠F的度数，易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵DEAB， ∴∠EDC＝∠B＝60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°−∠EDC＝30°； ∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°， ∴△EDC是等边三角形， ∴ED＝DC＝3， ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°， ∴DF＝2DE＝6， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形的性质，熟记30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 27. 如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： （1）求证：； （2）点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）补全图形见解析；之间的数量关系为：；证明见解析 【解析】 【分析】（1）过点E分别作，垂足分别为点F、G，则由角平分线性质定理得，从而可证明，得，再由三角形内角和定理即可求证； （2）依题补全图形即可；在线段上截取，先证明，得；再证明，得，再由即可证明． 【小问1详解】 证明：如图，过点E分别作，垂足分别为点F、G， ∵点E是平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点G， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：补全图形如下： 之间的数量关系为：． 证明如下： 如图，在线段上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵． 【点睛】本题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． 28. 如图1，点P、Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， （1）连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时是直角三角形？ （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】（1），不变 （2）当第秒或第秒时，为直角三角形 （3），不变 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得出，结合，证明，推出，进而可证； （2）设时间为t，则，分和两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质求解； （3）利用等边三角形的性质得出，推出，结合，证明，推出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：，不变 ∵等边三角形中，， 又由条件得， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设时间为t，则， ①当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得t； ②当时， ∵， ∴， ∴，得， 解得t ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 【小问3详解】 解：，不变． ∵在等边三角形中，， ∴， 又由条件得， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ， ， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $