专题04 轴对称（期中真题汇编，北京专用）八年级数学上学期

专题04 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）观察下列图形，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京大兴·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京隆重举行，天安门广场举行的盛大阅兵仪式引发全球关注．下面是阅兵车牌号中的四个数字，其中是轴对称的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）在我国传统的祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（     ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 8．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）在以下四个图标中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开,则剩余部分展开后得到的图形是（       ）    A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“谷雨”“芒种”“白露”，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，在中，，点D边在上，将其沿折叠，点B落在边上的点处，，则　　　． 13．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则、的数量关系是　　　　　　  ． 14．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有　　　　　　个． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为23，，则的周长为（     ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 2．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（       ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 26 3．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）下列说法错误的是（　　） A. 直角三角形两锐角互余 B. 有三组角分别相等的两个三角形全等 C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 5．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，，于D，于，下列结论错误的是（　　） A.  B. 平分 C.  D. 垂直平分 6．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D， 交于点E．若，的周长为8，则的周长为　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（            ）（填推理的依据）                         ． ，             ． ． ． ．（            ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 8．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 9．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 10．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　　　　　　　　，该逆命题是　　　　　　（填真、假）命题． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（       ）．（形状相同的图形算作同一种） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 7种以上 7．（25-26学年八上·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知点，关于轴对称的点的坐标为　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）的面积为______； （3）请你在轴上找一点，使得，请你直接写出点的坐标． 10．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为　　　　　　． 11．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． （2）如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 12．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为．    （1）若与关于轴对称，画出； （2）若直线上存在点，使最小，则点的坐标为___________，的最小值为___________． 13．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点． （1）作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为； （2）四边形的面积为          ； （3）若规定在平面直角坐标系中，将一个图形先关于直线m对称，再向下平移2个单位长度记为1次“R变换”， 内有一点，经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为______． 15．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）在平面直角坐标系中，作直线l垂直x轴于点，已知点，点，以为斜边作等腰直角三角形，点C在第一象限,关于直线l对称的图形是．给出如下定义：如果点M在的内部或边上，那么称点M是关于直线l的“称心点”． （1）当时，在点，，中，关于直线l的“称心点”是　　； （2）当的边上只有1个点是关于直线l的“称心点”时，直接写出a的值； （3）点H是关于直线l的“称心点”，且总有的面积大于的面积，求a的取值范围． 16．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是A、B、C的对应点，不写画法）； （2）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有       个． 17．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点(m，0)，且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点，称为点P的一次反射点；将点关于直线l的对称点，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M(3，2)的一次反射点为(3，－2)，点M关于直线l：x＝1的二次反射点为(－1，－2)． 已知点A(－1，－1)，B(－3，1)，C(3，3)，D(1，－1)． （1）点A的一次反射点为                    ，点A关于直线：x＝2的二次反射点为                    ； （2）点B是点A关于直线：x＝a的二次反射点，则a的值为                    ； （3）设点A，B，C关于直线：x＝t的二次反射点分别为，，，若△与△BCD无公共点，求t的取值范围． 18．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）已知；如图所示． （1）作出关于y轴对称的； （2）点坐标为______． （3）在轴上画出点，使最小． 19．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线 （1）作出关于x轴对称的；若在x轴上存在一点P，使得最小，直接写出点P的坐标______； （2）作出关于直线l成轴对称的，并写出各顶点的坐标：______；观察图形和坐标找规律：对内部任一点，它关于直线l轴对称的点的坐标是______． 20．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． （1）已知与关于轴对称，请直接写出三个顶点的坐标，并在坐标系中画出； （2）在轴上找一点，使得的周长最小，请在坐标系中画出点的位置，并直接写出点的坐标． 21．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）作图题： （1）作出与关于y轴对称的图形； （2）若图中一个小正方形边长为一个单位长度，请写出各点的坐标：       ；        ；        ； （3）求的面积． （4）若点P为x轴上一点，请在图中画出使的周长最小时的点P，标出点P． 22．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）为了迎接国庆，小区准备将已有的正方形花坛进行改造．请在下面4×4的棋盘网格中画出你的设计图．要求：沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．（请用阴影将全等的两部分区分开；经旋转、对称操作后能够重合的情况，视为同一种作图方式．）（备注：如图1与图2视为一种作图方式） 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，，点E在边上，，则的度数为（       ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 2．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在中，，将沿E折叠，使点C落在边上点D处，若，则的度数为（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 4．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（     ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 5．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，点P在的平分线上，于点C，，交于点D，，且．则线段的长度为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄正好与水面成夹角，测得长，则长为　　　　　　． 8．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，垂足为点D，，垂足为点E，且．求证：． 9．（25-26学年八上·北京大兴·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是　　　　　　． 10．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，，交于点．若，求的长． 11．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，，交于点O，，． 求证：． 12．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，交BC于点E，交AC于点D． （1）求证：； （2）若，，求AC的长． 13．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）将一个含角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是　　　　　　． 14．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点有　　　　　　　　　个. 15．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 17．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）已知，如图，在中，是的中点，于，于，且，求证：是等腰三角形． 18．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是　　　　　　　　．（填“只有甲”或“只有乙”或“甲乙都对”或“没有对的”） 19．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在四边形中，，是的中点，平分． 求证：． 20．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在等边中，平分，，若，则的长为　　　． 21．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，中，，过点作，垂足为点．求证：． 22．（25-26学年八上·北京延庆·期中）在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 方法一 方法二 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． 证明：延长到，使得，连接． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 23．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 24．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，在矩形中，，E为上一点，于点F，且，连接．下列结论：①平分；②为等腰三角形；③的面积为4；④；⑤．其中正确结论的序号是 　　　　　　　　（把你认为所有正确的都填上）． 25．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，在中，，，若是的角平分线，则的度数为　　　　　． 26．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图：在中，已知，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N． （1）求证：； （2）设与相交于点E，若点E是的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 27．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD. 29．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，中，，CD平分，于点E，于点D，且与BE交于点H，于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边平行于轴，， （1）①当时，点的坐标为_______________； ②当，直线经过原点时，点与轴距离为________； ③若上所有点到轴的距离都不小于3，则的取值范围是_________． （2）当为等腰直角三角形时，直线过点且与轴平行，若直线上存在点，并存在等腰直角三角形上一点，满足，直接写出的取值范围． 32．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，在中，，，点是上任意一点，作射线，在上取一点，使得，连接：过点作于点． （1）依题意补全图形； （2）并求出的度数（用含的式子表示）； （3）用等式表示，，之间的数量关系．并证明． 33．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）在中，，射线的夹角为．过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在内部．在直线上取一点，使得，连接，请补全图1并证明． （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 34．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）综合与实践： 如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点，斜边交轴于点．    问题解决：（1）如图①，，点的坐标为，求点的坐标 变式探索：（2）如图②，若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点． 拓展与应用：（3）如图③，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 35．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在中，，，为直线上一动点，连接，以为边作等边（，，按顺时针方向排列），连接交直线于点． （1）如图1，当点在的延长线上时， ①在图1中补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）当的长度取到最小值时，请直接写出此时的长度． 36．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）在中，，，为的中线，点E是射线上一动点，连接，作，射线与射线交于点F． （1）如图1，当点E与点D重合时，求证：； （2）如图2，当点E在线段上，且与点A，D不重合时， ①依题意，补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （3）当点E在线段的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段之间的数量关系． 37．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A.；B.；C.；D. ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． （2）【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． （3）【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． （4）【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 38．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）已知，如图A在x轴负半轴上，，点在射线上， （1）求证：点A为的中点； （2）在y轴正半轴上有一点F，使，求点F的坐标； （3）如图，点M、N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，，点I为的内角平分线的交点，分别交y轴正半轴、x轴正半轴于P、Q两点，于H，求证：． 39．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）已知，点，且．若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”． （1）当时，在点，，，中，“3线镜像点”在轴上的点是______； （2）已知点，点，若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______； （3）当时，已知点，点的“5线镜像点”分别是点，．如图1，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有3个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（       ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 2．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．若求五边形的周长，则只需知道（       ） A. 的周长 B. 的周长 C. 四边形的周长 D. 的周长 3．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，已知等边的边长为2，点为边上一个动点，作于点，延长至点，使得，连接交于点，则的长为（       ） A.  B.  C. 1 D.  5．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则的长为　　　　　　． 6．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，A、B分别为、的中点， 于点A， 于点B．求的度数． 7．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，等边的边长为5，点E在上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，的长为　　　　　　． 8．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （1）依题意补全图形； （2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （3）直接写出∠AEB的度数； （4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． 9．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，和均为等边三角形，点C，M，N在同一条直线上．    （1）求证：； （2）求的度数； （3）若点M是的中点，求证：． 10．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，是等边三角形，E是边上的点，且，．判断的形状，并说明理由． 11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．则　　　　　　度． 12．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，在正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上． （1）画出关于直线对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； （2）若D为直线上一点，则_______；（填“>”“<”或“=”） （3）在直线上找一点P，使得最小．（不写作法，保留作图痕迹） 13．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，是等边三角形，是边上的一个动点（点与点，不重合），且，．给出下面四个结论： ①； ②是等边三角形； ③点，，三点可能在同一条直线上； ④存在点，使得是等腰三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，为等边三角形，分别延长、至点、，使，连接、． （1）以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接． ①请你依据题意，补全图形； ②求证：； （2）在（1）的条件下，取的中点，连接、，请你猜想的大小，并证明． 15．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点、．    （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 16．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）在中，，，点是直线上一点，点关于射线的对称点为点. 作直线交射线于点，连接CF． （1）如图，点在线段上，补全图形，求的大小（用含的代数式表示）； （2）如果∠°． ①如图，当点在线段上时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图，当点在线段的延长线上（不与点重合）时，直接写出线段，，之间的数量关系． 17．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在等腰中，顶角，点为边所在直线上一点，以为边构造等边，连接． （1）的度数为　　　　　； （2）当取最小值时，的度数为　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 9．A 10．B 11．B 12．【答案】$度 【分析】 根据折叠的性质可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解． 【详解】 解：由题意得：， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了图形的折叠，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 13．【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，根据把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则，又结合，进行整理得，即可作答． 【详解】 解：把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处， ， ∵， ， ∴， 故答案为：． 14．【答案】4 【分析】 本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】 解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 考点02 线段的垂直平分线 1．D 2．A 3．A 4．B 5．D 6．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质，得到，，再结合的周长，得到，即可求出的周长． 【详解】 解：垂直平分，， ，， 的周长为8， ， 的周长为， 故答案为： 7．【答案】（1） 如图所示，即为所求：      （2）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边      【分析】 本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质： （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． (1) 小问详解： 解：作法：① 以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交， ②连接两个交点得直线交于点， ③ 连接， (2) 小问详解： 略 8．【答案】（1） 如图， 点即为所求．     （2），垂直平分线的性质，      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及垂直平分线的性质，准确分析证明是解题的关键． （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：连接，，，，． ， ∴点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴．（垂直平分线的性质）（填推理的依据） ∴； 即的周长等于． 9．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角；      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线和线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．【答案】① 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等    ② 假 【分析】 先写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】 解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，是假命题． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 【点睛】 本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．C 3．A 4．B 5． 6．B 7．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化-轴对称，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】 解：点关于x轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标取相反数， ∴对称点的坐标为． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 9．【答案】（1） 解：如图所示： 的坐标为：；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了坐标与图形的相关知识点，掌握相关定义即可； （1）确定关于轴的对称点即可； （2）利用“割补法”即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接，直线与轴的交点即为点； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接，直线与轴的交点即为点； 如图所示： 点的坐标为； 10．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化——轴对称，关于轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可求解． 【详解】 解：由题意得：， ∴， 故答案为： 11．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）或或．      【分析】 （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据全等三角形的判定确定点的位置，即可得出答案． 本题考查作图 轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． (1) 小问详解： 解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图，结合网格特征以及全等三角形的性质， 即点，，均满足题意， ∴点的坐标是或或． 故答案为：或或． 12．【答案】（1） 解：如图，即为所求；         （2）      【分析】 （1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，点即为所求．，最小值为5， 故答案为：，5． 【点睛】 本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 13．【答案】 【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标是. 故答案为. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 14．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）21     （3）      【分析】 本题考查作图——轴对称变换、规律型∶点的坐标，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据轴对称的性质作图即可．（2）根据梯形的面积公式计算即可．（3）根据题意可知每经过2次“R变换”为一次循环，根据，可知经过2025次“R变换”后的对应点与经过1次“R变换”后的对应点的坐标相同，进而可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形的面积为； 故答案为：21 (3) 小问详解： 解：根据题意得：经过1次“R变换”后的对应点的坐标为， 经过2次“R变换”后的对应点的坐标为， ∴每经过2次“R变换”为一个循环， ∵， ∴经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为． 故答案为： 15．【答案】（1）D、E     （2）3     （3）或      【分析】 （1）作出关于y轴的对称图形，描出点D、E、F观察可得； （2）作出图形，直观观察可得结果； （3）作，作轴交于，延长至，使，作，作轴，交于，根据平行线之间的距离相等，分别找出点C和点B关于的对称点，使其和构成的三角形面积相等时的临界，从而得出总大于的结果． (1) 小问详解： 解：如图1， 从图中可知：D、E是关于直线l的“称心点”； (2) 小问详解： 解：如图2， 从图可知：； (3) 小问详解： 解：如图3， 作，作轴交直线于，延长至，使，作，作轴，交于， 当点C与点是对称点时，，此时， 当点B与是对称点时，，此时， ∴当或时，总有的面积大于的面积． 【点睛】 本题是阅读理解题，考查了轴对称作图和性质，平行线之间的距离等知识，解决问题的关键理解题意，画出图形，数形结合思想的运用． 16．【答案】（1） 解：如图，即为所求． ．      （2）10      【分析】 本题考查了画轴对称图形、等腰三角形的定义，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的定义分别画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先以点为圆心、长为半径画圆得到与坐标轴的交点，再以点为圆心、长为半径画圆得到与坐标轴的交点，然后将两圆的交点连接可得的垂直平分线，从而可得到与坐标轴的交点，由此即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以为腰的等腰； 以点为圆心、长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以为腰的等腰； 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，与坐标轴的交点有2个，则有2个以为底的等腰； 综上，所有符合条件的点有10个， 故答案为：10． ． 17．【答案】（1）(－1，1)；(5，1)；（2）-2；（3）＜－2或＞1． 【分析】 （1）根据一次反射点和二次反射点的定义求解即可； （2）根据二次反射点的意义求解即可； （3）根据题意得，，，分＜0和＞0时△与△BCD无公共点，求出t的取值范围即可． 【详解】 解：（1）根据一次反射点的定义可知，A（-1，-1）一次反射点为（-1，1）， 点A关于直线：x＝2的二次反射点为（5，1） 故答案为： (－1，1)；(5，1)．    （2）∵A(－1，－1)，B(－3，1)，且点B是点A关于直线：x＝a的二次反射点， ∴ 解得， 故答案为： －2． （3）由题意得，(－1，1)，(－3，－1)，(3，－3)，点D(1，－1)在线段上． 当＜0时，只需关于直线＝的对称点在点B左侧即可，如图1． ∵当与点B重合时，＝－2， ∴当＜－2时，△与△BCD无公共点． 当＞0时，只需点D关于直线x＝的二次反射点在点D右侧即可，如图2， ∵当与点D重合时，＝1， ∴当＞1时，△与△BCD无公共点． 综上，若△与△BCD无公共点，的取值范围是＜－2，或＞1． 【点睛】 本题考查了轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解． 18．【答案】（1） 如图所示，即为所求； ；     （2）     （3） 如图所示，点P即为所求．      【分析】 此题主要考查了画轴对称图形，利用轴对称求最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于y轴对称的点的性质得出各对应点位置，顺次连接即可； （2）根据点的位置，写出点坐标即可； （3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，点坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 略 19．【答案】（1） 如图所示， 即为所求作的三角形．      （2） 如图所示，即为所求作的三角形， ，，；      【分析】 本题考查了坐标与轴对称，画轴对称图形，两点间线段最短等知识，掌握轴对称的性质是关键； （1）作出A、B、C三点关于x轴的对称点，并依次连接即可；连接交x轴于点P，则满足条件，由此可求出此点的坐标； （2）作出A、B、C三点关于直线轴的对称点，并依次连接即可，即可写出这三点的坐标；利用关于直线对称的性质可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：连接点A及点C关于x轴的对称点， 则与x轴的交点即为P点， 所以点P的坐标为 故答案为：； (2) 小问详解： 解：各顶点的坐标为：，， 因为点在内部， 则，， 所以， 所以点的坐标为 故答案为：，，； 20．【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查坐标轴对称的点的特征，利用轴对称求线段最小值，熟练掌握坐标系中对称点的特征是解题的关键， （1）利用坐标系中对称点的特征得到的坐标，依次连接即可得到； （2）利用坐标系中对称点的特征得到的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，从而得到点的坐标． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴关于轴的对称点为：，，， 故依次连接即可得到，如图所示： (2) 小问详解： 解：∵， ∴关于轴的对称点为：， 连接，交轴于点，由两点之间线段最短知，最短， 由轴对称的性质可知，， ∴此时的周长最小， ∴点的坐标为：． 21．【答案】（1） 如图，即为所求作；      （2）；；；     （3）     （4） 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长，此时的周长最小． 【分析】 本题考查了轴对称作图。坐标与图形，割补法求面积，轴对称求最短线段，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据（1）的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求面积即可； （4）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由轴对称的性质可知，，则当、、三点共线时，有最小值为的长，此时的周长最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，；；， 故答案为：；；； (3) 小问详解： 解：的面积． (4) 小问详解： 略 22．【答案】图形如图所示： 【分析】 本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义； 能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【详解】 略 考点04 等腰三角形 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，角所对直角边为斜边的一半．由题意可得的度数，根据直角三角形的性质可得． 【详解】 解：在中，，， ∴， ∵， 则， 故答案为：． 8．【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质；证明，得到，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】 略 9．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】 解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键． 由题可得，，根据，得到，，根据外角定理可得，可得，即可得解； 【详解】 ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 11．【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，先根据等角对等边证明，再证明即可． 【详解】 略 12．【答案】（1）证明：∵AE是∠BAC的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）12 【分析】 （1）由题意易得，，进而问题可得证； （2）由题意易得，则有∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，由（1）可证DE=CD，进而问题可求解． 【详解】 证明：（1）略 （2）∵，AE是∠BAC的平分线， ∴， ∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°， 由（1）得，∠CAE=∠DEA，AD=DE， ∴∠C=∠CED， ∴DE=CD， ∴AD=DE=CD， ∵DE=6， ∴AC=AD+CD=12． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 13．【答案】2 【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图， 由题意可得：，，， ∴， 作于，则， ∴，即直尺的宽度是， 故答案为：． 14．【答案】5 【分析】 利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC， 同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC． 【详解】 如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P， 如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC， 如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC， 故答案为:5. 【点睛】 考查等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在解题中的应用. 15．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，进而得到，再证明垂直平分，得到，，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ，， ，， ，， ， 点D是的中点， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 16．【答案】证明：延长到点G，使，连接， 为中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 延长到点G，使，连接，可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，，由，得，可推导出，得，所以． 【详解】 略 17．【答案】证明：∵D是的中点， ∴， ∵于E，于点F， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定与性质是解题的关键． 先用证明，则有，即，是等腰三角形． 【详解】 略 18．【答案】甲乙都对 【分析】 本题考查了平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图是解题关键．甲：根据同位角相等，两直线平行即可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可得，从而可得，然后根据同位角相等，两直线平行即可判断乙所用方法正确． 【详解】 解：如图，甲所用方法正确． 由作图可知，， 则． 如图，乙所用方法正确． 由作图可知，，是角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所用方法正确的是甲、乙， 故答案为：甲乙都对． 19．【答案】证明：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴即． 【分析】 先证,再利用等角对等边即可得证． 【详解】 略． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边以及角平分线的定义，熟记性质是解题的关键． 20．【答案】6 【分析】 根据等边三角形的性质和平分，可得，，在中，根据含直角三角形的性质可得，进而在中，根据含直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】 解：在等边三角形中，，， ∵平分， ∴，，即， 在中，，，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 21．【答案】证明：过点作交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直定义，直角三角形性质，掌握知识点的应用是解题的关键．过点作交于，由等腰三角形性质可得，然后由，，故有，，进而得，然后即可求证． 【详解】 略 22．【答案】方法一：证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ∴， ∵平分， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：证明：延长到，使得，连接． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键： 方法一：角平分线的性质，得到，中线得到，证明，得到，进而得到，即可得证； 方法二：证明，得到，，进而求出，进而得到，进而得到，即可． 【详解】 略 23．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）12      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 24．【答案】① ② ③ ⑤ 【分析】 根据矩形的性质，可得，，，根据全等三角形的判定方法可得，推出，，由此即可求解． 【详解】 解析：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴平分；故① 正确； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰三角形；故② 正确； ∴的面积为；故③ 正确； ；故④ 错误； ∵， ∴， ∴ ∴；故⑤ 正确． 综上所述，正确的结论有① ② ③ ⑤ ， 故答案为：① ② ③ ⑤ ． 【点睛】 本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定方法，掌握以上知识是解题的关键． 25．【答案】度 【分析】 此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由角平分线得到，由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 26．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴≌；     （2）， 证明：由（1）≌可得， ∵， ∴为等腰直角三角形，， 过点作于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． （1）先得到，则，再由垂直得到，最后根据两角及夹边相等的两个三角形全等即可证明． （2）由（1）可得，作于点F，则为等腰直角三角形，再证明，推出，，再根据线段和差即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，延长交延长线于E，可证明得到，，、证明，则可求出． 【详解】 解：如图所示，延长交延长线于E， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∵与互补， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．【答案】证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD． 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD （SAS）， ∴AD=ED，∠A=∠BED． ∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°， ∴∠C=∠CED， ∴CD=ED， ∴AD=CD． 【详解】 试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可． 试题解析：略 点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度． 29．【答案】① ③ ④． 【分析】 根据∠ACB＝45°，BE⊥AC可得出BE＝CE，利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△HCE，从而得出EH＝AE，AB＝CH．则CE＝AE+BH；再利用AAS判定Rt△BCD≌Rt△ACD，得出AD＝DB＝AB． 【详解】 解：∵BE⊥AC，∠ACB＝45°， ∴∠ACB＝∠EBC＝45°， ∴BE＝CE．故①正确； 在Rt△ABE和Rt△HCE中， ∵∠ABE＝90°﹣∠DHB，∠DCA＝90°﹣∠EHC，且∠BHD＝∠EHC， ∴∠ABE＝∠DCA． 又∵∠AEB＝∠CEH＝90°，BE＝CE， ∴△ABE≌△CHE． ∴CH＝AB；EH＝AE． ∵BE＝EH+BH， ∴；故④正确； 在Rt△ACD和Rt△BCD中 ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB． 又∵CD＝CD，∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ACD≌Rt△BCD（ASA）． ∴BD＝AD＝AB． ∵CH＝AB， ∴；故③正确； ∵CG≠CH 故②错误， 故答案为：① ③ ④． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键是准确把握已知条件，证明三角形全等． 30．【答案】3 【分析】 利用含30°角的直角三角形的性质分别求解AC，AB的长，再利用BD=AB-AD计算可求解． 【详解】 解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60° ∵CD⊥AB ∴∠ACD=30° ∵AD=1 ∴AC=2 ∴AB=4 ∴BD=AB-AD=4-1=3． 故答案为3． 【点睛】 本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，求解AC，AB的长是解题的关键． 31．【答案】（1）①；②2；③或     （2）的取值范围为．      【分析】 本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题． （1）① 根据点与点关于直线对称解决问题即可； ② 利用待定系数法求出直线的解析式为，据此即可求解； ③ 由题意，，根据题意构建不等式即可解决问题； （2）由题意，由是以为斜边的等腰直角三角形，推出点A到的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题． (1) 小问详解： 解：∵等腰三角形的底边平行于轴，，， ∴点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， ① 当时，点的坐标为； ② 当，则， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴点与轴距离为2； ③ ∵，， 由题意得或，即或， ∴的取值范围是或； (2) 小问详解： 解：如图所示: ∵，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴点A到的距离为1， ∴当点A在上方时，若直线m上存在点P，上存在点K，满足，则． 当点A在下方时，若直线m上存在点P，上存在点K，满足，则． 综上所述，的取值范围为． 32．【答案】（1） 画图如下      （2）     （3） 证明：． 在上截取，连接． ， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． ． 即． 在和中， ， ， ． ， ．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定和性质．掌握等腰三角形是关键 （1）依题意作垂线； （2）由三角形内角和及直角三角形两锐角互余可求出的度数； （3）在上截取，连接．由等腰三角形三线合一得出，，则，可得，由三角形全等可得，则可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ． ，， ． ，，，， ． ， ． ． ． (3) 小问详解： 略 33．【答案】（1） 解：如图， ∵，， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． ；     （2） ； 证明：如图，在直线上取一点，使得，连接， ∵，， ∴，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）先根据题意补全图形，然后证明，即可得． （2）在直线上取一点，使得，连接，设，证明，即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．【答案】（1）    （2）证明: ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿着折叠, ∴， ∴， ∴， ， 又 ，， ， ， ∴点是的中点； （3）的长度不变， 【分析】 （1）由“”可证, 可得，可求解； （2）由折叠的性质可得 ，由“”可证，可得，可得结论； （3）由“”可证，可得，由可证 ，可得 【详解】 （1）如图， 过点作轴于点，    ∵点的坐标为， ， ∵， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中, ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴点的坐标为； （2）略 （3）的长度不会改变，理由如下： 过点作轴于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 35．【答案】（1）① 补全图形见解析；②     （2）      【分析】 （1）① 根据题意补全图形即可． ② 如图，在上取点，使，连接，，证明，可得，证明，可得． （2）如图，在上取点，使，连接，，，，过作交于，同理可得：为等边三角形，，，可得，，，，，，证明，，可得，可得在直线上运动，当时，最小，此时，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：① 补全图形如图所示： ② 如图，在上取点，使，连接，， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：如图，在上取点，使，连接，，，过作交于， ∴，， 同理可得：为等边三角形，，， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在直线上运动， ∴当时，最小，此时， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 36．【答案】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴,， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）如图： ，证明： 如图2，在线段上取点G，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等腰三角形，为的中线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）当时，,当时， 【分析】 （1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解； （2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）当时，如图3所示： 与（2）同理：在线段上取点H，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等腰三角形，为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4所示：当重合时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴当时， 在线段的延长线上取点N，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键． 37．【答案】（1）① B；②     （2） ①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②且     （3） ①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形； ② 6     （4）42000      【分析】 （1）①延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； ②由全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求出的取值范围； （2）①延长到点F，使得，连接，由第（1）问方法可证明，得出，，结合同角的补角相等可证，得出，即可证明结论； ②延长交于点P，延长使，连接，证明，得出，，证明，得出，，进而推导出；由，推导出，进而得到； （3）①作，交的延长线于H，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再依据偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，过点A作，交的延长线于M，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． (1) 小问详解： 解：①如图1，延长到点E，使， 是的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：B； ②， ， 在中，， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： ①略 ②；；理由如下： 如图3，延长交于点P，延长使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ， ， ， ， ； 综上所述，且； (3) 小问详解： ①略 ②延长到点H，使得，连接，如图5， ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， 偏等积三角形有与，与，与，与，与，与6组； 故答案为：6； (4) 小问详解： 如图6，过点A作，交的延长线于M， ， 点G为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （元）， 答：修建小路的总造价为42000元． 故答案为：． 38．【答案】（1） 证明：过点作轴于， ，， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点；     （2）点F的坐标为     （3） 如图3，连接、， 为内角平分线交点， 平分，平分， 在和中， ， ， 同理可得， ， 平分，平分，， ， ， ， 连接，作于， ，平分， ，，， 在上截取，连接， 则， ，， ， 则， ， ．      【分析】 （1）过点作轴于，证明，根据全等三角形的性质得到，即可得出结论； （2）过作交的延长线于，过作轴于，证，得，，求出，设，再由梯形面积关系求出即可． （3）连接、，根据角平分线的性质得到I为内角平分线交点，证，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过作交的延长线于，过作轴于，如图所示： 则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， ，，， ， ， 设， 梯形的面积梯形的面积梯形的面积， ， 解得：， 点的坐标为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、角平分线的判定与性质、梯形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 39．【答案】（1），；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了坐标的轴对称变换，解题的关键是得出“线镜像点”的坐标变换特征． （1）根据关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征结合坐标平移确定“线镜像点”的坐标变换特征，若点为则“线镜像点”为，逐个代入验证即可； （2）根据（1）得到的规律确定点，点，“线镜像点”，点，由题意可知线段与轴有交点，由此得出不等式组即可求解； （3）根据（1）得到的规律确定点，点的“线镜像点” 分别是点，，由，即可确定使得为等腰直角三角形的点坐标，根据关键点的坐标于区域的关系列不等式组即可解答． (1) 小问详解： 解：设点为， 如图： 以点为原点建立新平面直角坐标系，则在新的平面直角坐标系中，点为，点坐标为，即直线是新的坐标系第二、四象限的角平分线， ∵点关于直线的对称点为点， ∴由关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征可知：， ∴在原平面直角坐标系中点关于直线的对称点为点坐标为， ∴点的“3线镜像点”是，即，不在轴上， 的“3线镜像点”是，即，在轴上， ，的“3线镜像点”是，即，在轴上， ，的“3线镜像点”是，即，不在轴上， 综上所述：，的“3线镜像点”在轴上的点， 故答案为，； (2) 小问详解： 解：∵点， ∴它们的“线镜像点”为：点，即， 点 ∴轴， ∵线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上， ∴线段与轴有交点， ∴ ， 解得：， (3) 小问详解： 当时，点，点的“5线镜像点”分别是点，． ∴， 若为等腰直角三角形，则点坐标可能为：、、、、、， 易得：， ∴在区域中有且只有3个点，则在区域外、在区域内， ∴只需要保证在区域内，在区域外即可，交，第一、三象限角平分线于，则， ∴ 解得： 考点05 等边三角形 1．D 2．A 3．C 4．C 5．【答案】9 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：熟练掌握等腰三角形三线合一的性质． 根据等边三角形，等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解． 【详解】 解：是等边三角形，是边上的高， ，， ， ， 故答案为：9． 6．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质，得到，证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】 解：如图，连接， A、B分别为、的中点，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 是等边三角形， ， ． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．作E点关于的对称点，连接，则当三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再求出即可得到答案． 【详解】 解：作E点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等边的边长为5， ∴ ∵点E在上，，E点关于的对称点， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 8．【答案】（1） 依题意补全图形； （2）；（3）60°； （4）结论：. 在EB上截取，连接AF.                        ∵， ∴△AEF是等边三角形， ∴，. ∵△ABC是等边三角形，                               ∴，. ∴. ∴ .                             在△BAF 和△CAE中 ∵ ∴ △BAF≌△CAE（SAS）                                                 ∴ BF=CE（全等三角形的对应边相等）                          ∵点A和点D关于射线CP的对称， ∴ AE=DE.                                                                       ∴． 【分析】 （1）根据对称性即可补全图形； （2）连接CD，根据对称性得到，从而得到，再根据即可求解； （3）根据对称性可得=，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=，故可求解； （4）在EB上截取，连接AF，得到△AEF是等边三角形，根据△ABC是等边三角形得到，，进而证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，再根据对称性得到AE=DE，故可得到． 【详解】 （1）略 （2）解： 连接CD. ∵线段AC和DC关于射线CP的对称， ∴，. ∵△ABC是等边三角形， ∴，. ∴，. ∴. （3）根据对称性可得= ∵ ∴∠AEB==60° （4）略 【点睛】 此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用． 9．【答案】（1） 证明：和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ；     （2）     （3） 证明：点是的中点， ， 是等边三角形， ， 为等边三角形， ， 是的垂直平分线， ．      【分析】 （1）由等边三角形的性质得出，，，再证出，由即可证明． （2）由等边三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，再由平角定义即可得出结果； （3）由等边三角形的性质证出是的垂直平分线，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 为等边三角形， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 10．【答案】是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵在和中，，，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形． 【分析】 本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 根据条件由易证得，根据全等三角形的性质即可得到，， 接下来根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形的判定即可得到结论． 【详解】 解：略． 11．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由等边三角形的性质可得，，即可得，得到，再根据三角形的外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵为的一个外角， ∴， 故答案为：． 12．【答案】（1） 轴对称的原理：对称点连线垂直轴，对称点与轴等距，画图如下： 则即为所求．     （2）=     （3） 根据点A关于的对称点，连接，交于点P， 则点P即为所求．      【分析】 （1）根据对称点与对称轴是垂直等距原理画图即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，解答即可； （3）根据点A关于的对称点，连接，交于点P，点P即为所求． 本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，熟练掌握对称的原理，正确作图是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等， 得, 故答案为：=． (3) 小问详解： 略 13．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及等腰三角形的判定，证得是解题的关键，再逐项判断即可． 【详解】 对于① ，是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行），故① 正确； 对于② ，由① 知， ， ， ， 则是等边三角形，故② 正确； 对于③ ，， ， ， ， 所以点，，三点不可能在同一条直线上，故③ 错误； 对于④ ，， ， 若是等腰三角形，则， ， ， 故存在，当为中点时，是等腰三角形，故④ 正确； 故答案为：① ② ④ ． 14．【答案】（1） ① 如图，补全图形如下： ② 证明：∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由补图知， ， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 解：，证明如下： 延长到点G，使，连接， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴点E、D、G共线， ∵， ∴, ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等，熟练掌握以上判定与性质，添加辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． （1）① 以点D为圆心，长为半径画弧，交射线于点F，连接；② 由为等边三角形，推出，得是等边三角形，得，得，由，得，即得； （2）延长到点G，使，连接，证明，得，得，由，得点E、D、G共线，证明，得，得，是等边三角形，得，即得． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 15．【答案】（1） 解：补全图形如图所示：         （2）     （3） 解：， 证明：在上截取，如图所示，连接，    ，，， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 即．      【分析】 （1）按要求画图即可； （2）由轴对称可得，再由等腰三角形和等边三角形的性质即可得到结论； （3）在上截取，如图所示，连接，先证明为等边三角形，再证明，则，由此可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点、关于对称， 为中垂线， ，， ， 又为等边三角形， ， ， ，， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段是解答本题的关键． 16．【答案】（1） 补全图形；      （2） ① 证明：延长至点，使，连接AG ∵ ∴ ∴△为等边三形， 由（1）知 ∴△为等边三角形 ∴， ∴ 在△与△中， ∴△≌△ ()      ∴ ∴ ∵ ∴ ②．      【分析】 （1）根据题意画图，由点为点关于的对称点，得到，，设，解得，继而得到，据此解题； （2）①延长至点，使，连接AG，证明△≌△ () ，由全等三角形对应边相等得到，据此解题； ②连接AE，由对称的性质，解得，继而证明△≌△ () ，由全等三角形对应边相等得到，即可解题． (1) 小问详解： 连接AE， ∵点为点关于的对称点， ∴， 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ (2) 小问详解： ① 略 ②结论为：． 连接AE， ∵点为点关于的对称点， ∴，EF=FC, 设 ∴ ∵=AE ∴ ∴ ∵， ∴ 在BE上取点G,使得FG=FA, 连接AG ∴△为等边三角形 ∴， ∴ 在△与△中， ∴△≌△ ()      ∴ ∴ 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 17．【答案】①     ② 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得，据此解答即可； （2）如图将绕B点顺时针旋转至，构造等边三角形，可证，则当取最小值时，求的度数，即为当最小时，求的度数，作B点关于的对称点M，连接与交点即为点P，此时最小，利用轴对称的性质求出此时求的度数即为所求的度数． 【详解】 （1）解：在等腰中，顶角， ∴， 故答案为：； （2）解：如图将绕B点顺时针旋转至，连接， 则为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ，， 当取最小值时，求的度数，即当最小时，求的度数． 作B点关于的对称点M，连接与交点即为点P，此时最小，连接， ∵B、M关于对称， ∴， ∴， ， ， ， ∵B、M关于对称， ∴， ， ， ， ∵B、M关于对称， ， 又， ， ， ， ∴当取最小值时，的度数为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形性质，等边三角形性质，旋转，轴对称，全等三角形性质和判定，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）观察下列图形，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的概念求解即可．掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26学年八上·北京大兴·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京隆重举行，天安门广场举行的盛大阅兵仪式引发全球关注．下面是阅兵车牌号中的四个数字，其中是轴对称的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 根据轴对称图形的定义可知， A是轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形． 故选：A． 4．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）在我国传统的祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，逐一判断即可得到答案，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形在直线两旁的部分折叠后可重合是解题的关键． 【详解】 解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；   故选：C． 5．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】 解：选项B中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：B． 6．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（     ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 8．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）在以下四个图标中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，都不符合题意； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：B． 9．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开,则剩余部分展开后得到的图形是（       ）    A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 自己动手制作一个正方形纸片，再按题目进行操作，最后展开图形即可. 故选：A． 10．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“谷雨”“芒种”“白露”，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】 解：A原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.原图是轴对称图形，故本选项符合题意； C.原图既不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.原图不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 12．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，在中，，点D边在上，将其沿折叠，点B落在边上的点处，，则　　　． 【答案】$度 【分析】 根据折叠的性质可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解． 【详解】 解：由题意得：， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了图形的折叠，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 13．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则、的数量关系是　　　　　　  ． 【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，根据把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则，又结合，进行整理得，即可作答． 【详解】 解：把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处， ， ∵， ， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有　　　　　　个． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】 解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为23，，则的周长为（     ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】D 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为23，求出，由此即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 2．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（       ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 26 【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据三角形周长计算公式得到的值，再由线段垂直平分线的性质得到以及的长，进而求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】 解：∵的周长为22， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：A． 3．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】 解：连接，延长交于D， ， ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，， ， 故选：A． 4．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）下列说法错误的是（　　） A. 直角三角形两锐角互余 B. 有三组角分别相等的两个三角形全等 C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】B 【分析】 根据角平分线的性质定理，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定一一判断即可． 【详解】 解：A、直角三角形两锐角互余，正确，该选项不符合题意； B、有三组角分别相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，该选项符合题意； C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，该选项不符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握相关的性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，，于D，于，下列结论错误的是（　　） A.  B. 平分 C.  D. 垂直平分 【答案】D 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，由角平分线的性质定理可得，再证明，进而可得，；而，是无法证明是相等的，于是答案可得，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】 解：∵，，， ∴，故A正确； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故C正确， ∴平分，故B正确； 根据已知不能推出，， ∴不一定垂直平分，故D错误； 故选：D． 6．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D， 交于点E．若，的周长为8，则的周长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质，得到，，再结合的周长，得到，即可求出的周长． 【详解】 解：垂直平分，， ，， 的周长为8， ， 的周长为， 故答案为： 7．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（            ）（填推理的依据）                         ． ，             ． ． ． ．（            ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求：      （2）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边      【分析】 本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质： （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． (1) 小问详解： 解：作法：① 以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交， ②连接两个交点得直线交于点， ③ 连接， (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 【答案】（1） 如图， 点即为所求．     （2），垂直平分线的性质，      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及垂直平分线的性质，准确分析证明是解题的关键． （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：连接，，，，． ， ∴点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴．（垂直平分线的性质）（填推理的依据） ∴； 即的周长等于． 9．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角；      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线和线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　　　　　　　　，该逆命题是　　　　　　（填真、假）命题． 【答案】① 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等    ② 假 【分析】 先写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】 解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，是假命题． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 【点睛】 本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故选：A． 【点睛】 本题考查了关于x轴轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 2．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 根据轴对称图形的性质，分类讨论不同的对称轴求解即可． 【详解】 解：情况1：以垂直平分线为对称轴 情况2：以垂直平分线为对称轴 情况3：以直线为对称轴 情况4：以直线为对称轴 综上，符合条件的点共有4个． 3．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．掌握对称点的坐标规律是解决本题的关键． 根据平面直角坐标系中任意一点，关于y轴的对称点的坐标是即可得解答． 【详解】 解：点关于 轴的对称点的坐标是． 故选：A． 4．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：由题知，点和点关于轴对称， 因为点坐标为， 所以点的坐标为 故选：． 5．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为：． 6．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（       ）．（形状相同的图形算作同一种） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 7种以上 【答案】B 【分析】 本题考查对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．从轴对称图形等边三角形，正方形，菱形，等腰梯形分类探索解决． 【详解】 解：如图，加上题干中1种，共6种 第一个图：， 第二个图：， 第三个图：， 第四个图： 第五个图：， 故选：B． 7．（25-26学年八上·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化-轴对称，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】 解：点关于x轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标取相反数， ∴对称点的坐标为． 故答案为：． 8．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知点，关于轴对称的点的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）的面积为______； （3）请你在轴上找一点，使得，请你直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示： 的坐标为：；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了坐标与图形的相关知识点，掌握相关定义即可； （1）确定关于轴的对称点即可； （2）利用“割补法”即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接，直线与轴的交点即为点； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接，直线与轴的交点即为点； 如图所示： 点的坐标为； 10．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化——轴对称，关于轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可求解． 【详解】 解：由题意得：， ∴， 故答案为： 11．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． （2）如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）或或．      【分析】 （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据全等三角形的判定确定点的位置，即可得出答案． 本题考查作图 轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． (1) 小问详解： 解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图，结合网格特征以及全等三角形的性质， 即点，，均满足题意， ∴点的坐标是或或． 故答案为：或或． 12．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为．    （1）若与关于轴对称，画出； （2）若直线上存在点，使最小，则点的坐标为___________，的最小值为___________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；         （2）      【分析】 （1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，点即为所求．，最小值为5， 故答案为：，5． 【点睛】 本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 13．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标是. 故答案为. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 14．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点． （1）作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为； （2）四边形的面积为          ； （3）若规定在平面直角坐标系中，将一个图形先关于直线m对称，再向下平移2个单位长度记为1次“R变换”， 内有一点，经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）21     （3）      【分析】 本题考查作图——轴对称变换、规律型∶点的坐标，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据轴对称的性质作图即可．（2）根据梯形的面积公式计算即可．（3）根据题意可知每经过2次“R变换”为一次循环，根据，可知经过2025次“R变换”后的对应点与经过1次“R变换”后的对应点的坐标相同，进而可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形的面积为； 故答案为：21 (3) 小问详解： 解：根据题意得：经过1次“R变换”后的对应点的坐标为， 经过2次“R变换”后的对应点的坐标为， ∴每经过2次“R变换”为一个循环， ∵， ∴经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为． 故答案为： 15．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）在平面直角坐标系中，作直线l垂直x轴于点，已知点，点，以为斜边作等腰直角三角形，点C在第一象限,关于直线l对称的图形是．给出如下定义：如果点M在的内部或边上，那么称点M是关于直线l的“称心点”． （1）当时，在点，，中，关于直线l的“称心点”是　　； （2）当的边上只有1个点是关于直线l的“称心点”时，直接写出a的值； （3）点H是关于直线l的“称心点”，且总有的面积大于的面积，求a的取值范围． 【答案】（1）D、E     （2）3     （3）或      【分析】 （1）作出关于y轴的对称图形，描出点D、E、F观察可得； （2）作出图形，直观观察可得结果； （3）作，作轴交于，延长至，使，作，作轴，交于，根据平行线之间的距离相等，分别找出点C和点B关于的对称点，使其和构成的三角形面积相等时的临界，从而得出总大于的结果． (1) 小问详解： 解：如图1， 从图中可知：D、E是关于直线l的“称心点”； (2) 小问详解： 解：如图2， 从图可知：； (3) 小问详解： 解：如图3， 作，作轴交直线于，延长至，使，作，作轴，交于， 当点C与点是对称点时，，此时， 当点B与是对称点时，，此时， ∴当或时，总有的面积大于的面积． 【点睛】 本题是阅读理解题，考查了轴对称作图和性质，平行线之间的距离等知识，解决问题的关键理解题意，画出图形，数形结合思想的运用． 16．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是A、B、C的对应点，不写画法）； （2）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有       个． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． ．      （2）10      【分析】 本题考查了画轴对称图形、等腰三角形的定义，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的定义分别画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先以点为圆心、长为半径画圆得到与坐标轴的交点，再以点为圆心、长为半径画圆得到与坐标轴的交点，然后将两圆的交点连接可得的垂直平分线，从而可得到与坐标轴的交点，由此即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以为腰的等腰； 以点为圆心、长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以为腰的等腰； 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，与坐标轴的交点有2个，则有2个以为底的等腰； 综上，所有符合条件的点有10个， 故答案为：10． ． 17．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点(m，0)，且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点，称为点P的一次反射点；将点关于直线l的对称点，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M(3，2)的一次反射点为(3，－2)，点M关于直线l：x＝1的二次反射点为(－1，－2)． 已知点A(－1，－1)，B(－3，1)，C(3，3)，D(1，－1)． （1）点A的一次反射点为                    ，点A关于直线：x＝2的二次反射点为                    ； （2）点B是点A关于直线：x＝a的二次反射点，则a的值为                    ； （3）设点A，B，C关于直线：x＝t的二次反射点分别为，，，若△与△BCD无公共点，求t的取值范围． 【答案】（1）(－1，1)；(5，1)；（2）-2；（3）＜－2或＞1． 【分析】 （1）根据一次反射点和二次反射点的定义求解即可； （2）根据二次反射点的意义求解即可； （3）根据题意得，，，分＜0和＞0时△与△BCD无公共点，求出t的取值范围即可． 【详解】 解：（1）根据一次反射点的定义可知，A（-1，-1）一次反射点为（-1，1）， 点A关于直线：x＝2的二次反射点为（5，1） 故答案为： (－1，1)；(5，1)．    （2）∵A(－1，－1)，B(－3，1)，且点B是点A关于直线：x＝a的二次反射点， ∴ 解得， 故答案为： －2． （3）由题意得，(－1，1)，(－3，－1)，(3，－3)，点D(1，－1)在线段上． 当＜0时，只需关于直线＝的对称点在点B左侧即可，如图1． ∵当与点B重合时，＝－2， ∴当＜－2时，△与△BCD无公共点． 当＞0时，只需点D关于直线x＝的二次反射点在点D右侧即可，如图2， ∵当与点D重合时，＝1， ∴当＞1时，△与△BCD无公共点． 综上，若△与△BCD无公共点，的取值范围是＜－2，或＞1． 【点睛】 本题考查了轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解． 18．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）已知；如图所示． （1）作出关于y轴对称的； （2）点坐标为______． （3）在轴上画出点，使最小． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ；     （2）     （3） 如图所示，点P即为所求．      【分析】 此题主要考查了画轴对称图形，利用轴对称求最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于y轴对称的点的性质得出各对应点位置，顺次连接即可； （2）根据点的位置，写出点坐标即可； （3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，点坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 略 19．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线 （1）作出关于x轴对称的；若在x轴上存在一点P，使得最小，直接写出点P的坐标______； （2）作出关于直线l成轴对称的，并写出各顶点的坐标：______；观察图形和坐标找规律：对内部任一点，它关于直线l轴对称的点的坐标是______． 【答案】（1） 如图所示， 即为所求作的三角形．      （2） 如图所示，即为所求作的三角形， ，，；      【分析】 本题考查了坐标与轴对称，画轴对称图形，两点间线段最短等知识，掌握轴对称的性质是关键； （1）作出A、B、C三点关于x轴的对称点，并依次连接即可；连接交x轴于点P，则满足条件，由此可求出此点的坐标； （2）作出A、B、C三点关于直线轴的对称点，并依次连接即可，即可写出这三点的坐标；利用关于直线对称的性质可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：连接点A及点C关于x轴的对称点， 则与x轴的交点即为P点， 所以点P的坐标为 故答案为：； (2) 小问详解： 解：各顶点的坐标为：，， 因为点在内部， 则，， 所以， 所以点的坐标为 故答案为：，，； 20．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． （1）已知与关于轴对称，请直接写出三个顶点的坐标，并在坐标系中画出； （2）在轴上找一点，使得的周长最小，请在坐标系中画出点的位置，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查坐标轴对称的点的特征，利用轴对称求线段最小值，熟练掌握坐标系中对称点的特征是解题的关键， （1）利用坐标系中对称点的特征得到的坐标，依次连接即可得到； （2）利用坐标系中对称点的特征得到的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，从而得到点的坐标． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴关于轴的对称点为：，，， 故依次连接即可得到，如图所示： (2) 小问详解： 解：∵， ∴关于轴的对称点为：， 连接，交轴于点，由两点之间线段最短知，最短， 由轴对称的性质可知，， ∴此时的周长最小， ∴点的坐标为：． 21．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）作图题： （1）作出与关于y轴对称的图形； （2）若图中一个小正方形边长为一个单位长度，请写出各点的坐标：       ；        ；        ； （3）求的面积． （4）若点P为x轴上一点，请在图中画出使的周长最小时的点P，标出点P． 【答案】（1） 如图，即为所求作；      （2）；；；     （3）     （4） 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长，此时的周长最小． 【分析】 本题考查了轴对称作图。坐标与图形，割补法求面积，轴对称求最短线段，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据（1）的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求面积即可； （4）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由轴对称的性质可知，，则当、、三点共线时，有最小值为的长，此时的周长最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，；；， 故答案为：；；； (3) 小问详解： 解：的面积． (4) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）为了迎接国庆，小区准备将已有的正方形花坛进行改造．请在下面4×4的棋盘网格中画出你的设计图．要求：沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．（请用阴影将全等的两部分区分开；经旋转、对称操作后能够重合的情况，视为同一种作图方式．）（备注：如图1与图2视为一种作图方式） 【答案】图形如图所示： 【分析】 本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义； 能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【详解】 略 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，，点E在边上，，则的度数为（       ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】B 【分析】 由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到． 【详解】 ， ， ， ， ， ． 故选： B ． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由，得到，． 2．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在中，，将沿E折叠，使点C落在边上点D处，若，则的度数为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据等腰三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、折叠的性质、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的性质和折叠的性质得出是解题的关键． 3．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质可证得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可． 【详解】 解：∵， ∴BC=CE，∠ACB=∠DCE， ∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE， ∵， ∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°， 故选：C． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 4．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（     ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 根据折叠的性质得到，得到平分；于是得到故① 正确；根据折叠的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，由，得到，故② 错误；由，得到，根据三角形的外角的性质得到，故③ 正确；根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到的周长，故④ 正确． 【详解】 解：∵沿着直线折叠得到， ， 平分， ∴故① 正确； ∵沿着直线折叠得到， ， ， ， ， ， ， ， ∵沿着折叠得到， ， ， ， ， ∴，故② 错误； ∵， ∴， ∴，故③ 正确； ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∴的周长，故④ 正确， 故选：B． 【点睛】 本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 连接， ，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝，∠DAE＝，即可得出∠CAE＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝＝90°−． 【详解】 解：如图，连接，，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点恰好落在CD上， ∴AC垂直平分， ∴AB＝， ∴∠BAC＝∠， ∵AB＝AD， ∴AD＝， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝∠， ∴∠CAE＝∠BAD＝α， 又∵＝＝90°， ∴四边形中， ＝180°−α， ∴＝−＝180°−α−90°＝90°−α， ∴∠ACB＝＝90°−α， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 6．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，点P在的平分线上，于点C，，交于点D，，且．则线段的长度为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】 解：如图，过点P作于点E， ∵，点P在的平分线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】 此题考查了角平分线的性质定理，直角三角形所对的直角边等于斜边的一半的应用，等腰三角形的性质，掌握各定理是解题的关键． 7．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄正好与水面成夹角，测得长，则长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，角所对直角边为斜边的一半．由题意可得的度数，根据直角三角形的性质可得． 【详解】 解：在中，，， ∴， ∵， 则， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，垂足为点D，，垂足为点E，且．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质；证明，得到，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】 略 9．（25-26学年八上·北京大兴·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】 解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 10．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，，交于点．若，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键． 由题可得，，根据，得到，，根据外角定理可得，可得，即可得解； 【详解】 ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 11．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，，交于点O，，． 求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，先根据等角对等边证明，再证明即可． 【详解】 略 12．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，交BC于点E，交AC于点D． （1）求证：； （2）若，，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵AE是∠BAC的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）12 【分析】 （1）由题意易得，，进而问题可得证； （2）由题意易得，则有∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，由（1）可证DE=CD，进而问题可求解． 【详解】 证明：（1）略 （2）∵，AE是∠BAC的平分线， ∴， ∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°， 由（1）得，∠CAE=∠DEA，AD=DE， ∴∠C=∠CED， ∴DE=CD， ∴AD=DE=CD， ∵DE=6， ∴AC=AD+CD=12． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）将一个含角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图， 由题意可得：，，， ∴， 作于，则， ∴，即直尺的宽度是， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点有　　　　　　　　　个. 【答案】5 【分析】 利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC， 同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC． 【详解】 如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P， 如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC， 如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC， 故答案为:5. 【点睛】 考查等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在解题中的应用. 15．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，进而得到，再证明垂直平分，得到，，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ，， ，， ，， ， 点D是的中点， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】证明：延长到点G，使，连接， 为中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 延长到点G，使，连接，可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，，由，得，可推导出，得，所以． 【详解】 略 17．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）已知，如图，在中，是的中点，于，于，且，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵D是的中点， ∴， ∵于E，于点F， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定与性质是解题的关键． 先用证明，则有，即，是等腰三角形． 【详解】 略 18．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是　　　　　　　　．（填“只有甲”或“只有乙”或“甲乙都对”或“没有对的”） 【答案】甲乙都对 【分析】 本题考查了平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图是解题关键．甲：根据同位角相等，两直线平行即可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可得，从而可得，然后根据同位角相等，两直线平行即可判断乙所用方法正确． 【详解】 解：如图，甲所用方法正确． 由作图可知，， 则． 如图，乙所用方法正确． 由作图可知，，是角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所用方法正确的是甲、乙， 故答案为：甲乙都对． 19．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在四边形中，，是的中点，平分． 求证：． 【答案】证明：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴即． 【分析】 先证,再利用等角对等边即可得证． 【详解】 略． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边以及角平分线的定义，熟记性质是解题的关键． 20．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在等边中，平分，，若，则的长为　　　． 【答案】6 【分析】 根据等边三角形的性质和平分，可得，，在中，根据含直角三角形的性质可得，进而在中，根据含直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】 解：在等边三角形中，，， ∵平分， ∴，，即， 在中，，，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 21．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，中，，过点作，垂足为点．求证：． 【答案】证明：过点作交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直定义，直角三角形性质，掌握知识点的应用是解题的关键．过点作交于，由等腰三角形性质可得，然后由，，故有，，进而得，然后即可求证． 【详解】 略 22．（25-26学年八上·北京延庆·期中）在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 方法一 方法二 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． 证明：延长到，使得，连接． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 【答案】方法一：证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ∴， ∵平分， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：证明：延长到，使得，连接． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键： 方法一：角平分线的性质，得到，中线得到，证明，得到，进而得到，即可得证； 方法二：证明，得到，，进而求出，进而得到，进而得到，即可． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）12      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 24．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，在矩形中，，E为上一点，于点F，且，连接．下列结论：①平分；②为等腰三角形；③的面积为4；④；⑤．其中正确结论的序号是 　　　　　　　　（把你认为所有正确的都填上）． 【答案】① ② ③ ⑤ 【分析】 根据矩形的性质，可得，，，根据全等三角形的判定方法可得，推出，，由此即可求解． 【详解】 解析：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴平分；故① 正确； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰三角形；故② 正确； ∴的面积为；故③ 正确； ；故④ 错误； ∵， ∴， ∴ ∴；故⑤ 正确． 综上所述，正确的结论有① ② ③ ⑤ ， 故答案为：① ② ③ ⑤ ． 【点睛】 本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定方法，掌握以上知识是解题的关键． 25．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，在中，，，若是的角平分线，则的度数为　　　　　． 【答案】度 【分析】 此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由角平分线得到，由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 26．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图：在中，已知，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N． （1）求证：； （2）设与相交于点E，若点E是的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴≌；     （2）， 证明：由（1）≌可得， ∵， ∴为等腰直角三角形，， 过点作于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． （1）先得到，则，再由垂直得到，最后根据两角及夹边相等的两个三角形全等即可证明． （2）由（1）可得，作于点F，则为等腰直角三角形，再证明，推出，，再根据线段和差即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，延长交延长线于E，可证明得到，，、证明，则可求出． 【详解】 解：如图所示，延长交延长线于E， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∵与互补， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD. 【答案】证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD． 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD （SAS）， ∴AD=ED，∠A=∠BED． ∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°， ∴∠C=∠CED， ∴CD=ED， ∴AD=CD． 【详解】 试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可． 试题解析：略 点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度． 29．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，中，，CD平分，于点E，于点D，且与BE交于点H，于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】① ③ ④． 【分析】 根据∠ACB＝45°，BE⊥AC可得出BE＝CE，利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△HCE，从而得出EH＝AE，AB＝CH．则CE＝AE+BH；再利用AAS判定Rt△BCD≌Rt△ACD，得出AD＝DB＝AB． 【详解】 解：∵BE⊥AC，∠ACB＝45°， ∴∠ACB＝∠EBC＝45°， ∴BE＝CE．故①正确； 在Rt△ABE和Rt△HCE中， ∵∠ABE＝90°﹣∠DHB，∠DCA＝90°﹣∠EHC，且∠BHD＝∠EHC， ∴∠ABE＝∠DCA． 又∵∠AEB＝∠CEH＝90°，BE＝CE， ∴△ABE≌△CHE． ∴CH＝AB；EH＝AE． ∵BE＝EH+BH， ∴；故④正确； 在Rt△ACD和Rt△BCD中 ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB． 又∵CD＝CD，∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ACD≌Rt△BCD（ASA）． ∴BD＝AD＝AB． ∵CH＝AB， ∴；故③正确； ∵CG≠CH 故②错误， 故答案为：① ③ ④． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键是准确把握已知条件，证明三角形全等． 30．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 利用含30°角的直角三角形的性质分别求解AC，AB的长，再利用BD=AB-AD计算可求解． 【详解】 解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60° ∵CD⊥AB ∴∠ACD=30° ∵AD=1 ∴AC=2 ∴AB=4 ∴BD=AB-AD=4-1=3． 故答案为3． 【点睛】 本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，求解AC，AB的长是解题的关键． 31．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边平行于轴，， （1）①当时，点的坐标为_______________； ②当，直线经过原点时，点与轴距离为________； ③若上所有点到轴的距离都不小于3，则的取值范围是_________． （2）当为等腰直角三角形时，直线过点且与轴平行，若直线上存在点，并存在等腰直角三角形上一点，满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②2；③或     （2）的取值范围为．      【分析】 本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题． （1）① 根据点与点关于直线对称解决问题即可； ② 利用待定系数法求出直线的解析式为，据此即可求解； ③ 由题意，，根据题意构建不等式即可解决问题； （2）由题意，由是以为斜边的等腰直角三角形，推出点A到的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题． (1) 小问详解： 解：∵等腰三角形的底边平行于轴，，， ∴点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， ① 当时，点的坐标为； ② 当，则， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴点与轴距离为2； ③ ∵，， 由题意得或，即或， ∴的取值范围是或； (2) 小问详解： 解：如图所示: ∵，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴点A到的距离为1， ∴当点A在上方时，若直线m上存在点P，上存在点K，满足，则． 当点A在下方时，若直线m上存在点P，上存在点K，满足，则． 综上所述，的取值范围为． 32．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，在中，，，点是上任意一点，作射线，在上取一点，使得，连接：过点作于点． （1）依题意补全图形； （2）并求出的度数（用含的式子表示）； （3）用等式表示，，之间的数量关系．并证明． 【答案】（1） 画图如下      （2）     （3） 证明：． 在上截取，连接． ， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． ． 即． 在和中， ， ， ． ， ．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定和性质．掌握等腰三角形是关键 （1）依题意作垂线； （2）由三角形内角和及直角三角形两锐角互余可求出的度数； （3）在上截取，连接．由等腰三角形三线合一得出，，则，可得，由三角形全等可得，则可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ． ，， ． ，，，， ． ， ． ． ． (3) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）在中，，射线的夹角为．过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在内部．在直线上取一点，使得，连接，请补全图1并证明． （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：如图， ∵，， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． ；     （2） ； 证明：如图，在直线上取一点，使得，连接， ∵，， ∴，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）先根据题意补全图形，然后证明，即可得． （2）在直线上取一点，使得，连接，设，证明，即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）综合与实践： 如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点，斜边交轴于点．    问题解决：（1）如图①，，点的坐标为，求点的坐标 变式探索：（2）如图②，若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点． 拓展与应用：（3）如图③，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 【答案】（1）    （2）证明: ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿着折叠, ∴， ∴， ∴， ， 又 ，， ， ， ∴点是的中点； （3）的长度不变， 【分析】 （1）由“”可证, 可得，可求解； （2）由折叠的性质可得 ，由“”可证，可得，可得结论； （3）由“”可证，可得，由可证 ，可得 【详解】 （1）如图， 过点作轴于点，    ∵点的坐标为， ， ∵， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中, ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴点的坐标为； （2）略 （3）的长度不会改变，理由如下： 过点作轴于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 35．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在中，，，为直线上一动点，连接，以为边作等边（，，按顺时针方向排列），连接交直线于点． （1）如图1，当点在的延长线上时， ①在图1中补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）当的长度取到最小值时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1）① 补全图形见解析；②     （2）      【分析】 （1）① 根据题意补全图形即可． ② 如图，在上取点，使，连接，，证明，可得，证明，可得． （2）如图，在上取点，使，连接，，，，过作交于，同理可得：为等边三角形，，，可得，，，，，，证明，，可得，可得在直线上运动，当时，最小，此时，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：① 补全图形如图所示： ② 如图，在上取点，使，连接，， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：如图，在上取点，使，连接，，，过作交于， ∴，， 同理可得：为等边三角形，，， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在直线上运动， ∴当时，最小，此时， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 36．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）在中，，，为的中线，点E是射线上一动点，连接，作，射线与射线交于点F． （1）如图1，当点E与点D重合时，求证：； （2）如图2，当点E在线段上，且与点A，D不重合时， ①依题意，补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （3）当点E在线段的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段之间的数量关系． 【答案】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴,， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）如图： ，证明： 如图2，在线段上取点G，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等腰三角形，为的中线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）当时，,当时， 【分析】 （1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解； （2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）当时，如图3所示： 与（2）同理：在线段上取点H，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等腰三角形，为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4所示：当重合时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴当时， 在线段的延长线上取点N，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键． 37．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A.；B.；C.；D. ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． （2）【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． （3）【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． （4）【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 【答案】（1）① B；②     （2） ①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②且     （3） ①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形； ② 6     （4）42000      【分析】 （1）①延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； ②由全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求出的取值范围； （2）①延长到点F，使得，连接，由第（1）问方法可证明，得出，，结合同角的补角相等可证，得出，即可证明结论； ②延长交于点P，延长使，连接，证明，得出，，证明，得出，，进而推导出；由，推导出，进而得到； （3）①作，交的延长线于H，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再依据偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，过点A作，交的延长线于M，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． (1) 小问详解： 解：①如图1，延长到点E，使， 是的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：B； ②， ， 在中，， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： ①略 ②；；理由如下： 如图3，延长交于点P，延长使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ， ， ， ， ； 综上所述，且； (3) 小问详解： ①略 ②延长到点H，使得，连接，如图5， ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， 偏等积三角形有与，与，与，与，与，与6组； 故答案为：6； (4) 小问详解： 如图6，过点A作，交的延长线于M， ， 点G为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （元）， 答：修建小路的总造价为42000元． 故答案为：． 38．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）已知，如图A在x轴负半轴上，，点在射线上， （1）求证：点A为的中点； （2）在y轴正半轴上有一点F，使，求点F的坐标； （3）如图，点M、N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，，点I为的内角平分线的交点，分别交y轴正半轴、x轴正半轴于P、Q两点，于H，求证：． 【答案】（1） 证明：过点作轴于， ，， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点；     （2）点F的坐标为     （3） 如图3，连接、， 为内角平分线交点， 平分，平分， 在和中， ， ， 同理可得， ， 平分，平分，， ， ， ， 连接，作于， ，平分， ，，， 在上截取，连接， 则， ，， ， 则， ， ．      【分析】 （1）过点作轴于，证明，根据全等三角形的性质得到，即可得出结论； （2）过作交的延长线于，过作轴于，证，得，，求出，设，再由梯形面积关系求出即可． （3）连接、，根据角平分线的性质得到I为内角平分线交点，证，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过作交的延长线于，过作轴于，如图所示： 则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， ，，， ， ， 设， 梯形的面积梯形的面积梯形的面积， ， 解得：， 点的坐标为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、角平分线的判定与性质、梯形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 39．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）已知，点，且．若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”． （1）当时，在点，，，中，“3线镜像点”在轴上的点是______； （2）已知点，点，若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______； （3）当时，已知点，点的“5线镜像点”分别是点，．如图1，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有3个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______． 【答案】（1），；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了坐标的轴对称变换，解题的关键是得出“线镜像点”的坐标变换特征． （1）根据关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征结合坐标平移确定“线镜像点”的坐标变换特征，若点为则“线镜像点”为，逐个代入验证即可； （2）根据（1）得到的规律确定点，点，“线镜像点”，点，由题意可知线段与轴有交点，由此得出不等式组即可求解； （3）根据（1）得到的规律确定点，点的“线镜像点” 分别是点，，由，即可确定使得为等腰直角三角形的点坐标，根据关键点的坐标于区域的关系列不等式组即可解答． (1) 小问详解： 解：设点为， 如图： 以点为原点建立新平面直角坐标系，则在新的平面直角坐标系中，点为，点坐标为，即直线是新的坐标系第二、四象限的角平分线， ∵点关于直线的对称点为点， ∴由关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征可知：， ∴在原平面直角坐标系中点关于直线的对称点为点坐标为， ∴点的“3线镜像点”是，即，不在轴上， 的“3线镜像点”是，即，在轴上， ，的“3线镜像点”是，即，在轴上， ，的“3线镜像点”是，即，不在轴上， 综上所述：，的“3线镜像点”在轴上的点， 故答案为，； (2) 小问详解： 解：∵点， ∴它们的“线镜像点”为：点，即， 点 ∴轴， ∵线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上， ∴线段与轴有交点， ∴ ， 解得：， (3) 小问详解： 当时，点，点的“5线镜像点”分别是点，． ∴， 若为等腰直角三角形，则点坐标可能为：、、、、、， 易得：， ∴在区域中有且只有3个点，则在区域外、在区域内， ∴只需要保证在区域内，在区域外即可，交，第一、三象限角平分线于，则， ∴ 解得： 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（       ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 【答案】D 【分析】 先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得周长为，最后根据点到直线的距离即可得出答案． 【详解】 是等边三角形， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则周长为， 在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， 在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 2．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．若求五边形的周长，则只需知道（       ） A. 的周长 B. 的周长 C. 四边形的周长 D. 的周长 【答案】A 【分析】 证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF=CH．由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF的周长=AB+BC，则可得出答案． 【详解】 解：∵△GFH为等边三角形， ∴FH=GH，∠FHG=60°， ∴∠AHF+∠GHC=120°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ACB=∠A=60°， ∴∠GHC+∠HGC=120°， ∴∠AHF=∠HGC， ∴△AFH≌△CHG（AAS）， ∴AF=CH． ∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形， ∴BE=FH， ∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF， =（BD+DF+AF）+（CE+BE）， =AB+BC． ∴只需知道△ABC的周长即可． 故选：A． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由点与点关于直线对称，得到 ，，再由等边三角形的性质和三角形内角和定理求得 ，然后由，即，即可求解，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵点关于直线的对称点， ∴为的中垂线， ∴，， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，已知等边的边长为2，点为边上一个动点，作于点，延长至点，使得，连接交于点，则的长为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 此题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；由60°角可尝试作平行线构造等边三角形，接着证明全等是解决本题的关键．过点M作交于点N，先证明是等边三角形，再证明，得出，根据可得，最后根据求解即可． 【详解】 解：过点M作交于点N， ， 是等边三角形， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则的长为　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：熟练掌握等腰三角形三线合一的性质． 根据等边三角形，等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解． 【详解】 解：是等边三角形，是边上的高， ，， ， ， 故答案为：9． 6．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，A、B分别为、的中点， 于点A， 于点B．求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质，得到，证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】 解：如图，连接， A、B分别为、的中点，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 是等边三角形， ， ． 7．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，等边的边长为5，点E在上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．作E点关于的对称点，连接，则当三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再求出即可得到答案． 【详解】 解：作E点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等边的边长为5， ∴ ∵点E在上，，E点关于的对称点， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （1）依题意补全图形； （2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （3）直接写出∠AEB的度数； （4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意补全图形； （2）；（3）60°； （4）结论：. 在EB上截取，连接AF.                        ∵， ∴△AEF是等边三角形， ∴，. ∵△ABC是等边三角形，                               ∴，. ∴. ∴ .                             在△BAF 和△CAE中 ∵ ∴ △BAF≌△CAE（SAS）                                                 ∴ BF=CE（全等三角形的对应边相等）                          ∵点A和点D关于射线CP的对称， ∴ AE=DE.                                                                       ∴． 【分析】 （1）根据对称性即可补全图形； （2）连接CD，根据对称性得到，从而得到，再根据即可求解； （3）根据对称性可得=，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=，故可求解； （4）在EB上截取，连接AF，得到△AEF是等边三角形，根据△ABC是等边三角形得到，，进而证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，再根据对称性得到AE=DE，故可得到． 【详解】 （1）略 （2）解： 连接CD. ∵线段AC和DC关于射线CP的对称， ∴，. ∵△ABC是等边三角形， ∴，. ∴，. ∴. （3）根据对称性可得= ∵ ∴∠AEB==60° （4）略 【点睛】 此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用． 9．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，和均为等边三角形，点C，M，N在同一条直线上．    （1）求证：； （2）求的度数； （3）若点M是的中点，求证：． 【答案】（1） 证明：和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ；     （2）     （3） 证明：点是的中点， ， 是等边三角形， ， 为等边三角形， ， 是的垂直平分线， ．      【分析】 （1）由等边三角形的性质得出，，，再证出，由即可证明． （2）由等边三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，再由平角定义即可得出结果； （3）由等边三角形的性质证出是的垂直平分线，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 为等边三角形， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 10．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，是等边三角形，E是边上的点，且，．判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵在和中，，，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形． 【分析】 本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 根据条件由易证得，根据全等三角形的性质即可得到，， 接下来根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形的判定即可得到结论． 【详解】 解：略． 11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．则　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由等边三角形的性质可得，，即可得，得到，再根据三角形的外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵为的一个外角， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，在正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上． （1）画出关于直线对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； （2）若D为直线上一点，则_______；（填“>”“<”或“=”） （3）在直线上找一点P，使得最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 轴对称的原理：对称点连线垂直轴，对称点与轴等距，画图如下： 则即为所求．     （2）=     （3） 根据点A关于的对称点，连接，交于点P， 则点P即为所求．      【分析】 （1）根据对称点与对称轴是垂直等距原理画图即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，解答即可； （3）根据点A关于的对称点，连接，交于点P，点P即为所求． 本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，熟练掌握对称的原理，正确作图是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等， 得, 故答案为：=． (3) 小问详解： 略 13．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，是等边三角形，是边上的一个动点（点与点，不重合），且，．给出下面四个结论： ①； ②是等边三角形； ③点，，三点可能在同一条直线上； ④存在点，使得是等腰三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及等腰三角形的判定，证得是解题的关键，再逐项判断即可． 【详解】 对于① ，是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行），故① 正确； 对于② ，由① 知， ， ， ， 则是等边三角形，故② 正确； 对于③ ，， ， ， ， 所以点，，三点不可能在同一条直线上，故③ 错误； 对于④ ，， ， 若是等腰三角形，则， ， ， 故存在，当为中点时，是等腰三角形，故④ 正确； 故答案为：① ② ④ ． 14．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，为等边三角形，分别延长、至点、，使，连接、． （1）以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接． ①请你依据题意，补全图形； ②求证：； （2）在（1）的条件下，取的中点，连接、，请你猜想的大小，并证明． 【答案】（1） ① 如图，补全图形如下： ② 证明：∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由补图知， ， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 解：，证明如下： 延长到点G，使，连接， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴点E、D、G共线， ∵， ∴, ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等，熟练掌握以上判定与性质，添加辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． （1）① 以点D为圆心，长为半径画弧，交射线于点F，连接；② 由为等边三角形，推出，得是等边三角形，得，得，由，得，即得； （2）延长到点G，使，连接，证明，得，得，由，得点E、D、G共线，证明，得，得，是等边三角形，得，即得． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点、．    （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：补全图形如图所示：         （2）     （3） 解：， 证明：在上截取，如图所示，连接，    ，，， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 即．      【分析】 （1）按要求画图即可； （2）由轴对称可得，再由等腰三角形和等边三角形的性质即可得到结论； （3）在上截取，如图所示，连接，先证明为等边三角形，再证明，则，由此可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点、关于对称， 为中垂线， ，， ， 又为等边三角形， ， ， ，， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段是解答本题的关键． 16．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）在中，，，点是直线上一点，点关于射线的对称点为点. 作直线交射线于点，连接CF． （1）如图，点在线段上，补全图形，求的大小（用含的代数式表示）； （2）如果∠°． ①如图，当点在线段上时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图，当点在线段的延长线上（不与点重合）时，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） 补全图形；      （2） ① 证明：延长至点，使，连接AG ∵ ∴ ∴△为等边三形， 由（1）知 ∴△为等边三角形 ∴， ∴ 在△与△中， ∴△≌△ ()      ∴ ∴ ∵ ∴ ②．      【分析】 （1）根据题意画图，由点为点关于的对称点，得到，，设，解得，继而得到，据此解题； （2）①延长至点，使，连接AG，证明△≌△ () ，由全等三角形对应边相等得到，据此解题； ②连接AE，由对称的性质，解得，继而证明△≌△ () ，由全等三角形对应边相等得到，即可解题． (1) 小问详解： 连接AE， ∵点为点关于的对称点， ∴， 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ (2) 小问详解： ① 略 ②结论为：． 连接AE， ∵点为点关于的对称点， ∴，EF=FC, 设 ∴ ∵=AE ∴ ∴ ∵， ∴ 在BE上取点G,使得FG=FA, 连接AG ∴△为等边三角形 ∴， ∴ 在△与△中， ∴△≌△ ()      ∴ ∴ 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 17．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）如图，在等腰中，顶角，点为边所在直线上一点，以为边构造等边，连接． （1）的度数为　　　　　； （2）当取最小值时，的度数为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得，据此解答即可； （2）如图将绕B点顺时针旋转至，构造等边三角形，可证，则当取最小值时，求的度数，即为当最小时，求的度数，作B点关于的对称点M，连接与交点即为点P，此时最小，利用轴对称的性质求出此时求的度数即为所求的度数． 【详解】 （1）解：在等腰中，顶角， ∴， 故答案为：； （2）解：如图将绕B点顺时针旋转至，连接， 则为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ，， 当取最小值时，求的度数，即当最小时，求的度数． 作B点关于的对称点M，连接与交点即为点P，此时最小，连接， ∵B、M关于对称， ∴， ∴， ， ， ， ∵B、M关于对称， ∴， ， ， ， ∵B、M关于对称， ， 又， ， ， ， ∴当取最小值时，的度数为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形性质，等边三角形性质，旋转，轴对称，全等三角形性质和判定，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $