专题05 整式的乘法（期中真题汇编，北京专用）八年级数学上学期

专题05 整式的乘法 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．B 2．【答案】12 【分析】 本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知数值计算． 【详解】 解：∵，， ∴ ． 故答案为12． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．C 2．C 3．D 4．B 5．B 6．【答案】 【分析】 本题考查了幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则，准确进行每一步的运算． 先分别根据同底数幂的乘法法则计算，幂的乘方法则计算，积的乘方法则计算，再将所得结果进行合并同类项运算． 【详解】 ， ． 7．【答案】32 【分析】 本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，利用幂的乘方的法则的逆用，同底数幂的乘法的法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的运用． 【详解】 当时， ． 故答案为：32． 8．【答案】 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 解： 故答案为： 9．【答案】4 【分析】 本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方的逆运算法则将已知条件式变形为，再根据同底数幂乘法计算法则得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，运用同底数幂的乘法和幂的乘方解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算将 转化为 ，再代入已知数值计算即可求解． 【详解】 解：∵ ， ， ∴， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 根据积的乘方、幂的乘方运算法则，即可计算得到答案. 【详解】 解：， 故答案为. 【点睛】 本题考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是熟记运算法则. 13．【答案】16 【分析】 本题考查同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，代数式求值． 由已知可得，将 转化为 ，，代入计算即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴ ． 故答案为：． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了幂的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程， （1）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． (1) 小问详解： 解：，， 即， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：：，， ∴，, ∴， ∴， 解得． 15．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则和公式法来计算． （1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据积的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （4）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可； （5）利用平方差公式进行计算； （6）利用完全平方公式及单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ； (5) 小问详解： 解： ； (6) 小问详解： 解：． ． 考点03 整式的乘法 1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了零指数幂有意义的条件，零指数幂的底数不能为零，因此需满足 ，即． 【详解】 解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】5 【分析】 此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将已知代数式的值代入计算，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：5． 13．【答案】7 【分析】 本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】 设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 14．【答案】． 【分析】 本题考查了整式的乘法运算，解题关键是正确运用单项式乘多项式法则展开式子．先利用单项式乘多项式法则展开即可． 【详解】 ． 15．【答案】． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘单项式． 16．【答案】 【分析】 本题考查单项式定义及相关运算，熟记单项式定义及乘除运算法则是解决问题的关键． 由前面、找出密码规律求解即可得到答案． 【详解】 解：由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数； 由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数； ， 则他输入的密码是， 故答案为：． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式乘法与整式除法运算，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式展开，再合并同类项即可得到答案； （2）先将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式后化简即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．【答案】4 【分析】 利用单项式乘以多项式的运算法则先将原式展开，再合并同类项，根据题意，只需系数不为零，其他项的系数为零即可解答． 【详解】 [解析]． ∵的展开式中只含有项， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查单项式乘多项式、合并同类项，掌握单项式乘以多项式的运算法则，能根据题意得出等价条件是解答的关键． 19．【答案】 【分析】 先根据合并同类项法则可得单项式与是同类项，再根据同类项的定义（如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么这两个单项式是同类项）可得，然后代入计算即可得． 【详解】 解：单项式与的差仍然是一个单项式， 单项式与是同类项， ， 则， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了合并同类项、同类项、代数式求值，熟练掌握同类项的定义是解题关键． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了整式的加减， 对于（1），先确定同类项，再合并即可； 对于（2），先去括号，再合并同类项． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 21．【答案】（1），9     （2），      【分析】 本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）运用整式的混合运算法则化简计算，再代入求值即可； （2）根据整式的混合运算法则化简，再根据绝对值，偶次方的非负性得到，，代入计算即可． (1) 小问详解： 解： ， ∵，， ∴原式． (2) 小问详解： 解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 22．【答案】 【分析】根据单项式的概念即可判断． 【详解】由题意可知：    ∴ 故答案为. 【点睛】考查单项式的系数以及次数，单项式中的数字因数就是单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和就是单项式的次数. 23．【答案】（1）     （2）     （3）六      【分析】 本题主要考查了整式的乘法，多项式的系数和项数的规律问题， 对于（1）根据的系数分别为，可得答案； 对于（2），令，求出，再令，可得， 然后令，可得…，将两式相减可得答案； 对于（3），将改写为，再展开根据结果可得答案. (1) 小问详解： 解：由题知， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当时， ， 所以 又因为当时， ， 当时， …， 两式相减得， ， 所以 故答案为：1，； (3) 小问详解： 解：将改写为， 则 因为 所以除以7余1， 因为今天是星期五，再过7天还是星期五，所以再过天是星期六 故答案为：六． 24．【答案】（1）576； （2）， 证明：设E位置上的数为x，其余数分别为、、、， 理由： ． （3）32 【分析】 本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算、列代数式、整式的加减，解决本题的关键是根据“美好数”的定义解决问题． （1）先利用乘法分配律变形，再求和即可； （2）设E位置上的数为x，其余数分别为、、、，则，化简求出结果即可； （3）根据（2）可得，两个“美好数”的差是1280，即为，因为，所以． 【详解】 （1）解： ． 故答案为：． （2）略 （3）因为， 即， 由题意得， 所以． 25．【答案】方案（3）提价最多 【分析】 根据题意，列出相应的代数式，然后利用整式的加减法作比较即可得出提价最多的方案． 【详解】 解： 方案（1）：． 方案（2）：． 方案（3）：． 方案（1）（2）结果相同，比较方案（2）（3）如下： 要比与，即比较与， ， ， ， ， ∵， ∴，, 所以方案（3）提价最多． 【点睛】 题目主要考查整式的应用，根据题意列出相应的代数式然后作比较是解题关键． 26．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】 解：原式 ， 当时， 原式 ． 27．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式除单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可； （3）先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 28．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，将代入计算求值即可． 【详解】 解：， ， 当时，原式． 29．【答案】12 【分析】 本题考查了多项式乘多项式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．将原式展开，将已知条件整体代入计算即可． 【详解】 解：若，， 则， 故答案为：． 30．【答案】（1）平方米     （2）156平方米      【分析】 此题考查了列代数式和求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、计算． （1）先分别表示出音乐喷泉池的长和宽，再运用长方形的面积公式和多项式乘多项式知识进行求解； （2）先运用非负数知识求得a，b的值，再代入计算． (1) 小问详解： 解：由题意得，该音乐喷泉池的长为：，宽为 ，  该音乐喷泉池的面积为：，  该音乐喷泉池的占地面积是  平方米； (2) 小问详解： 解：由题意得， 且 ， 解得 ，，  该广场音乐喷泉的面积为：， 即该广场音乐喷泉的面积 是156平方米． 31．【答案】（1）福建土楼占地面积：；山西大院占地面积：     （2）① 组同学想法正确      【分析】 本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． (1) 小问详解： 解：福建土楼占地面积： ； 山西大院占地面积： ； (2) 小问详解： 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴① 组同学想法正确． 32．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 本题考查了列代数式的变化，读懂题意，正确对代数式进行变形是解题的关键． （1）根据示例，可以得到，从而得到的值； （2）由题意，得到，化简整理可得到，从而得到结果； （3）由题意，得到，从而得到的式子． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵（为整数），，， ， ， 或； (3) 小问详解： 解： ， ∴或． 33．【答案】（1）；（2）， 【分析】 （1）根据多项式乘多项式计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式和相应的运算法则是解答本题的关键． 【详解】 解：（1） ； （2） ， 当时， 原式 34．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据单项式乘多项式计算即可； （2）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘除法，然后合并同类项即可； （3）根据多项式除以单项式的方法计算即可． 本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 原式 ． 35．【答案】(1) (2)证明: (a+b+c) (a+b+c) , = , = . (3) 30; (4) 15. 【分析】 (1)依据正方形的面积= ;正方形的面积=,可得等式; (2)运用多项式乘多项式进行计算即可; (3)依据 进行计算即可; (4)依据所拼图形的面积为: , 而 ,即可得到x, y, z的值,即可求解. 【详解】 解: (1) 正方形的面积= ;大正方形的面积= 故答案为: (2) 略 (3) = , = , =30. 故答案为: 30; (4)由题可知，所拼图形的面积为: , (2a+b) (a+4b) = = ∴x=2，y=4, z=9. ∴x+y+z=2+4+9=15. 故答案为: 15. 【点睛】 本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． 36．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了数字变化的规律、单项式规律题，能根据题意发现所给单项式系数及次数的变化规律是解题的关键．根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】 解：由题意知， 所给代数式的系数依次为：，，，，，…， 所以第个代数式的系数为； 所给代数式的次数依次为：，，，，，…， 所以第个代数式的次数为， 所以第个代数式可表示为：． 当时， 第个代数式为． 故答案为：，． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了数轴、绝对值的性质以及代数式的化简求值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）先根据数轴判断出、、的大小关系以及、、的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，进行化简； （2）将数值代入化简后的式子求值即可． (1) 小问详解： 解：由数轴可得：且， 则，，， 故 ； (2) 小问详解： 解：当，，时，原式． 38．【答案】（1）① 600， ② 600+4（x－30）或480+4x； （2）540+3.6x； （3）① 应选择方案一较少钱；说明： 选择方案一所需费用为：480+4×50＝680元， 选择方案二所需费用为：540+3.6×50＝720元， 所以应选择方案一较少钱； ② 可以，理由：选择方案一购买30个笔记本可送30支笔，需费用600元，再选择方案二购买20支笔，需费用为20×（4×0.9）＝72元，共需672元.因为672＜675，所示该客户可以买下所需物品． 【分析】 （1）根据第一种方案买一个笔记本送一支笔列出代数式，前支笔不需要另外付款，超过支的部分需要付款即可； （2）直接根据笔记本和笔都按定价的90%付款列出代数式即可； （3）① 分别计算出两种方案所需费用，比较即可；② 结合两种方案即可得出结论． 【详解】 解：（1）① 600； ② 600+4（x－30）＝480+4x； 故答案为：600；600+4（x－30）或480+4x； （2）540+3.6x， 故答案为：540+3.6x； （3）① 略 ② 略 【点睛】 本题考查了列代数式和求代数式的值的相关题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式． 39．【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）．      【分析】 本题考查了单项式乘以单项式、多项式乘以单项式、多项式乘以多项式、幂的乘方、单项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以单项式运算法则即可求解； （）根据多项式乘以单项式运算法则即可求解； （）根据多项式乘以多项式运算法则即可求解； （）先计算幂的乘方，根据单项式除以单项式运算法则即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 40．【答案】， 【分析】 本题考查了整式加减的化简求值问题，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 根据整式的加减法则化简后，代入a的值计算即可． 【详解】 解：原式 当时，原式． 41．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 该题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式乘法法则计算即可． （2）根据多项式乘多项式法则计算即可． （3）根据多项式除单项式法则计算即可． （4）先将转化为，再根据完全平方公式和平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： ． (4) 小问详解： 解： ． 42．【答案】（1）2，2     （2） ①；②20      【分析】 本题主要考查了代数式求值， 对于（1），将，分别代入代数式求值即可； 对于（2）① ，根据新定义可知代数式； ② ，先求出，再设延后值为k，可得，求出k，进而得出答案． (1) 小问详解： 解：将代入； 将代入. 故答案为：2，2 (2) 小问详解： 解：① ∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为3 ∴； ② 由定义可知，， ∴， ∵代数式参照代数式取值延后， 设延后值为k， ∵时，， 时，， ∴， ∴，， 解得， ∴． 43．【答案】或 【分析】 本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出是解题的关键． 根据题意，得出的展开式，据此得出关于的等式，再进行求解即可． 【详解】 解：的展开式各项系数依次为：，，，，， 令，， 可得：， 则， 或， 解得：或 故答案为：2或 考点04 平方差公式 1．C 2．【答案】， 【分析】 本题考查了整式运算、代数式的知识．根据整式混合运算法则、平方差公式的性质化简，再结合代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解： ． 当时，原式． 3．【答案】 【分析】 本题考查了平方差公式与几何图形，根据观察图1和图2，分别表示出它们各自的面积，结合整个过程面积不变，得，即可作答． 【详解】 解：依题意，图1的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵整个过程面积不变， ∴， 故答案为： 4．【答案】（1）     （2）     （3）解：如图所示， 【分析】 本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； (1) 小问详解： 解：根据图1可得， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据图形可得， 故答案为：． (3) 小问详解： 略 5．【答案】① ② 【分析】 本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】 解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：① ②． 考点05 完全平方公式 1．A 2．D 3．C 4．【答案】 【分析】 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】 是完全平方式， ， ， 故答案为： 5．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式和平方差公式的计算，代数式求值，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 先由完全平方公式和平方差公式进行计算，并合并同类项，再将变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴， ∴原式． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，数形结合，熟记完全平方公式是解决问题的关键． （1）数形结合，表示出，利用完全平方公式展开后，合并同类项即可得到答案； （2）由（1）中所求的，将代入计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解：放置冰块部分的面积 ； (2) 小问详解： 解：当时，． 7．【答案】５ 【分析】 先根据，得出，将变形为，最后代入求值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴ 【点睛】 本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将变形为，是解题的关键． 8．【答案】或或 【分析】 本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】 解：， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 9．【答案】37 【分析】 原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】 解：∵，， ∴49−12＝37． 故答案为：37． 【点睛】 本题考查了完全平方公式，能够把已知式子变成完全平方的形式，求得的值． 10．【答案】（1）3     （2），      【分析】 （1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． (1) 小问详解： 解：设，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴； ， ∴． 【点睛】 本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键． 11．【答案】 【详解】 试题分析： 考点：1.平方公式的几何背景；2.分式的化简. 12．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的结构特征，解题关键是根据完全平方公式的形式对比多项式，确定中间项的系数关系． 将多项式与完全平方公式对比，确定的值，再通过中间项系数关系求出即可． 【详解】 关于的多项式是一个完全平方式， ， ， ． 故答案为． 13．【答案】①     ② 【分析】 本题考查代数式相关运算及几何图形关系，数形结合，由图形面积列式表示是解决问题的关键． （1）设正方形的边长为、正方形的边长为，由阴影部分面积为求出边长，从而得到，再由阴影部分面积为得到，最后由即可得到答案； （2）由（1）知，，，将代入得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：（1）设正方形的边长为、正方形的边长为， 图1中阴影部分的面积为， 其边长为， 则， ； 图2中阴影部分的面积为， ， 则； 正方形和的面积和是， 故答案为：； （2）由（1）知，，， 将代入得， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， ， 图2中新的正方形的边长是， 故答案为：． 14．【答案】19 【分析】 本题考查整式的混合运算，化简求值，先进行完全平方公式和多项式乘以多项式的运算，再合并同类项进行化简，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】 解：∵， ∴原式 ． 15．【答案】14 【分析】 设，，利用正方形的性质，完全平方公式变形计算即可． 本题考查了正方形的性质，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】 解：设，， 四边形和四边形都为正方形，且面积的和为36，， ，，，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为： 16．【答案】， 【分析】 本题考查整式的混合运算，化简求值，先根据乘法公式和多项式除以单项式的法则进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 17．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方运算，然后计算同底数幂的乘法即可； （2）先计算多项式乘以多项式，然后计算单项式乘以多项式； （3）根据多项式除以单项式计算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． (1) 小问详解： (2) 小问详解： (3) 小问详解： (4) 小问详解： ． 18．【答案】4ab 【分析】 组合后多出来的面积就是中间小正方形的面积，用大正方形减小正方形的得到原来长方形面积． 【详解】 ∵为图2大正方形的面积；为小正方形面积， ∴为图1长方形面积 ∴=2a×2b=4ab 故答案为：4ab 【点睛】 本题考查列代数式在求正方形面积中的应用，找到两者之差是图1长方形面积是关键． 19．【答案】，16 【分析】 本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 先利用完全平方公式和平方差公式展开，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 20．【答案】（1）0     （2）4     （3）5      【分析】 本题考查了整式运算和三元一次方程组的应用，正确理解题意、将所求转化为方程组的非负整数解问题是解题的关键； （1）依次按照“操作”和“操作”的规定计算，进而可得a、b、c的值，即得答案； （2）根据题意可设操作为，然后分别求出经过这些操作后的结果，从而建立关于m、n、p的方程组，结合m、n、p为非负整数，即可求解； （3）若操作后得到的新整式有因式，则当时，整式的值为0，进而可知当时，起始值为，每次进行A操作会减少2，故一定要存在B操作，然后再分情况列举求解，即得答案． (1) 小问详解： 解：整式经过八次操作“”之后为， 整式经过一次“B”操作后变为， 即整式经过九次操作“”之后化简结果为， 即， 则； 故答案为：0； (2) 小问详解： 解：由于这些操作中有且仅有两次操作，故设操作为， 整式进行m次A操作，得， 进行1次B操作，得， 进行n次A操作，得， 进行1次B操作，得， 进行p次A操作，得，整理得， ∵整式经过若干次操作以后变为， ∴ ， 由于m、n、p为非负整数， 故可解得： 或 或 或 ， 综上，共有4种不同的操作方法； (3) 小问详解： 解：若操作后得到的新整式有因式， 则当时，整式的值为0， 可知当时，起始值为， ∴每次进行A操作会减少2，故一定要存在B操作， 那么设进行1次B操作，则操作后为， ∴当时，， 即， 由于m、n为非负整数， ∴ 或 ， 此时最少经过5次操作； 若进行2次B操作，则A的操作不能超过3次， 整式进行操作后可得， 此时要使得， 当时，， 即， 但这个方程不存在满足的非负整数解； 而进行更多次B操作，则操作的次数一定， 综上，最少经过5次操作． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）下列各式中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知，则　　　　　　． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）下列运算式中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）计算：． 7．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）已知，则的值等于　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）计算：　　　　　　. 9．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）若，则　　　　　　． 10．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）已知，，则　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知，则　　　　　　． 12．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　　　　　　　 13．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？ （1）如果，求x的值； （2）已知x满足，求x的值． 15．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）化简m+n﹣（m﹣n）的结果是（　　） A. 2m B. 2n C. ﹣2m D. ﹣2n 2．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）下面①汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度与时间；②长方体的体积一定，长方体的底面积与高；③购买直尺和圆规的总费用一定，直尺的费用与圆规的费用．各题中的两个量成反比例关系的是（     ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 3．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A.  B. 0 C. 3 D. 6 4．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）下面式子计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D. （a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2 5．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）下列计算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）已知，则代数式的值是（　　） A. 31 B.  C. 41 D.  8．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知单项式，满足，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）若有意义，则的取值范围是　　　　　　． 12．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）已知，则　　　　　　． 13．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）计算：． 15．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）计算：=　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）计算： （1）； （2）． 18．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）若的展开式中只含有项，则m的值为　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）若单项式与的差仍然是一个单项式，则　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）化简： （1）； （2）． 21．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）化简求值： （1），其中，； （2），其中． 22．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）单项式的系数为a，次数为b，则a＋b是 　　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律．如图． （1）请你按照规律写出展开式______； （2）设，小明发现通过赋值法可求解系数间的关系：如令，可得______；如令，则可得，借助此思路求出______； （3）此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期_____． 24．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）数学探究 探究主题：月历中的数学 计算发现 （1）用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置A，B，C，D上的数按逆时针方向依次两两相乘一次，再把他们的积相加，所得的和叫做这个“十”字型框架的“美好数”．尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”：       ． 猜想说理 （2）移动“十”字型框架，多次尝试可以发现，每个“美好数”都与E位置上的数有关．请设出字母，用数学式子表示你发现的规律，并说明理由． 拓展研究 （3）在另一张月历中，两个“十”字型框架如图3摆放，两个“十”字型框架E位置上的数分别为a，b，若两个“美好数”的差为1280，求． 25．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案： （1）第一次提价，第二次提价 （2）第一次提价，第二次提价； （3）第一､二次提价均为． 其中p，q是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？（提示：因为，所以） 26．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）先化简，再求值：，其中． 27．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）计算： （1） （2） （3） 28．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）先化简，再求值：，其中． 29．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）若，，则　　　　　． 30．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米、b米（如图所示）． （1）求音乐喷泉池的占地面积（用含a，b的式子表示）； （2）若a，b满足，求该广场音乐喷泉的面积． 31．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 （1）请分别计算这两个建筑的占地面积； （2）若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 32．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）阅读下列材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知或若，则___________； （2）已知，（为整数），．若，求；（用含的式子表示） （3）一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 33．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 34．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 35．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到这个等式，请解答下列问题：    （1）写出图2中所表示的数学等式                                                  ． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则                  ． （4）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则                  ． 36．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）一组按规律排列的代数式为：，，，，，…，则第7个代数式为　　，第n个代数式为　　． 37．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示． （1）化简：； （2）当，，时，求（）中代数式的值． 38．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）某文具厂生产一种笔记本和笔，笔记本每本定价20元，笔每支定价4元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案. 方案一：买一个笔记本送一支笔；方案二：笔记本和笔都按定价的90%付款．现某客户要到该文具厂购买笔记本30本，笔x支． （1）若该客户按方案①购买， ①当时，需付款          元； ②当时，若该客户按方案①购买，需付款       元．（用含x的代数式表示） （2）若该客户按方案②购买，需付款　　　元． （3）若x=50时， ①该客户应选择以上两种方案中的哪一种方案计费较省钱，请计算说明； ②该客户想用支付宝支付笔记本和笔的钱，但他支付宝上只剩675元，则该客户是否可买下所需物品？请说明理由． 39．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 40．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）先化简，再求值：，其中． 41．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 42．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质，例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 17 10 5 p 1 10 5 2 1 q （1）表中______，______； （2）观察表格可以发现： 若时，，则时，.我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为3，请直接写出代数式； ②已知代数式参照代数式取值延后，请直接写出的值． 43．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）在我国南宋数学家杨辉的《详解九章算法》一书中，给出了展开式的系数规律，如图． 当式子的值为时，的值为　　　　　　． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）根据图1到图2的变化过程，可以得到一个整式乘法的恒等式，这个恒等式是　　　　　　  ． 4．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． （1）观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； （2）请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； （3）画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 5．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 　　　　　　　．（请填上正确的序号） 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）已知是完全平方式，则的值为（       ） A. ±4 B. ±2 C. 2 D. 4 2．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）下列运算中结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）已知是完全平方式，则　　　　　　． 5．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）先化简，再求值：，其中． 6．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为． （1）用含的代数式表示； （2）若，求的值． 7．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）已知，求代数式的值． 8．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为　　　　　　． 9．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知，，则　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）在（1）的条件下，若，求和的值． 11．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为　　　　． 12．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是　　　　　　． 13．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，有正方形，现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为． （1）正方形和的面积和是　　　　　　　　　　　； （2）图2中新的正方形的边长是　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知，求代数式的值． 15．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形，且面积的和为36时，直接写出阴影部分的面积为　　　　　　  （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 16．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 17．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）（多选）如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是　　　　　　　　（用含a，b的式子表示）． 19．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 20．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）对于关于的整式，规定：若将此整式减去，则称为一次“操作”；若将此整式中的替换成，则称为一次“操作”．例如，整式经过一次“操作”后变为，整式经过一次“操作”后变为，化简结果为．对于关于的整式我们可进行多次这样的操作，并把连续次相同的“操作”用“”表示，连续次相同的“操作”用“”表示．例如，对于整式依次进行六次操作，这六次操作可简记为“”，六次操作后的化简结果为. （1）若整式经过九次操作“”之后化简结果为，则______； （2）若整式经过若干次操作以后变为，且这些操作中有且仅有两次操作，则共有______种不同的操作方法； （3）整式最少需要经过______次操作后得到的新整式可有因式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）下列各式中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，根据相关运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】 解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、不能合并，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选B． 2．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知数值计算． 【详解】 解：∵，， ∴ ． 故答案为12． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】 解：， 故A不符合题意； ， 故B不符合题意； ， 故C符合题意； ， 故D不符合题意； 故选：C 【点睛】 本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键． 2．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐项判断即可得． 【详解】 解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 3．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查指数运算法则，涉及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方和同底数幂的除法运算等知识，熟练掌握指数相关运算法则是解决问题的关键． 由同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方和同底数幂的除法运算等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查指数运算法则，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法。需逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】 解：A、，故此项错误； B、，故此项正确； C、，故此项错误； D、，故此项错误； 故选：B． 5．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）下列运算式中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B 【点睛】 本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则，难度较小，如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 6．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则，准确进行每一步的运算． 先分别根据同底数幂的乘法法则计算，幂的乘方法则计算，积的乘方法则计算，再将所得结果进行合并同类项运算． 【详解】 ， ． 7．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）已知，则的值等于　　　　　　　　． 【答案】32 【分析】 本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，利用幂的乘方的法则的逆用，同底数幂的乘法的法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的运用． 【详解】 当时， ． 故答案为：32． 8．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）计算：　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 解： 故答案为： 9．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）若，则　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方的逆运算法则将已知条件式变形为，再根据同底数幂乘法计算法则得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 10．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）已知，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，运用同底数幂的乘法和幂的乘方解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算将 转化为 ，再代入已知数值计算即可求解． 【详解】 解：∵ ， ， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据积的乘方、幂的乘方运算法则，即可计算得到答案. 【详解】 解：， 故答案为. 【点睛】 本题考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是熟记运算法则. 13．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，代数式求值． 由已知可得，将 转化为 ，，代入计算即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴ ． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？ （1）如果，求x的值； （2）已知x满足，求x的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了幂的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程， （1）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． (1) 小问详解： 解：，， 即， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：：，， ∴，, ∴， ∴， 解得． 15．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则和公式法来计算． （1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据积的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （4）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可； （5）利用平方差公式进行计算； （6）利用完全平方公式及单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ； (5) 小问详解： 解： ； (6) 小问详解： 解：． ． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）化简m+n﹣（m﹣n）的结果是（　　） A. 2m B. 2n C. ﹣2m D. ﹣2n 【答案】B 【分析】 展开括号化简即可． 【详解】 解：原式==； 故选：B． 【点睛】 本题考查整式的化简，去括号注意变号，属于基础题． 2．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）下面①汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度与时间；②长方体的体积一定，长方体的底面积与高；③购买直尺和圆规的总费用一定，直尺的费用与圆规的费用．各题中的两个量成反比例关系的是（     ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【分析】 本题主要考查了成反比例的关系， 根据成反比例的两个量的乘积一定逐项判断即可． 【详解】 因为汽车行驶的路程一定时，汽车行驶的平均速度与时间的乘积一定，所以平均速度与时间成反比例，则① 符合题意； 因为长方体的体积一定时，长方体的底面积与高的乘积一定，所以底面积与高成反比例，则② 符合题意； 因为购买直尺和圆规的总费用一定时，直尺的费用与圆规的费用的和一定，所以直尺的费用与圆规的费用不成反比例，则③ 不符合题意． 所以① ② 中的两个量成反比例关系． 故选：A． 3．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A.  B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【分析】 本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】 解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 4．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）下面式子计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D. （a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2 【答案】C 【分析】 利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方、多项式乘多项式直接运算求解． 【详解】 解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方、多项式乘多项式，解题的关键是掌握相应的运算法则． 5．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）下列计算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法、单项式与单项式的除法、积的乘方以及合并同类项．法则逐项分析即可． 【详解】 解：选项A∶ 与不是同类项，不能合并， A错误． 选项B∶ ， B错误． 选项C∶ ， C错误． 选项D∶ ， D正确． 故选D． 6．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算． 【详解】 解：A、大长方形的面积为：（x＋6）（x＋4），空白处小长方形的面积为：6x，所以阴影部分的面积为（x＋6）（x＋4）−6x，故不符合题意； B、阴影部分可分为两个长为x，宽为x＋4和长为6，宽为4的长方形，他们的面积分别为x（x＋4）和4×6＝24，所以阴影部分的面积为x（x＋4）＋24，故不符合题意； C、阴影部分可分为一个长为x＋6，宽为4的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：4（x＋6）＋x2，故不符合题意； D、阴影部分的面积为x（x＋4）＋24＝x2＋4x＋24，故符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了多项式乘法与图形面积，难度适中，解题时要注意利用数形结合的思想找出对应的数量关系进行计算． 7．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）已知，则代数式的值是（　　） A. 31 B.  C. 41 D.  【答案】B 【分析】 根据题意，可先求出x2-3x的值，再化简，然后整体代入所求代数式求值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 此题考查了代数式求值，此题的关键是代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，得出，是解题的关键． 8．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查科学记数法，掌握好科学记数法的使用方法和注意事项是关键． 用科学记数法表示数的形式为，其中，n为整数，逐一判断即可． 【详解】 解：，只有选项C符合． 故选：C． 9．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知单项式，满足，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴． 故选：A． 10．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接利用单项式乘以多项式和幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案． 【详解】 解：A、，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不是同类项无法合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了单项式乘以多项式和幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 11．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）若有意义，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了零指数幂有意义的条件，零指数幂的底数不能为零，因此需满足 ，即． 【详解】 解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】5 【分析】 此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将已知代数式的值代入计算，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：5． 13．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】 设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 14．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）计算：． 【答案】． 【分析】 本题考查了整式的乘法运算，解题关键是正确运用单项式乘多项式法则展开式子．先利用单项式乘多项式法则展开即可． 【详解】 ． 15．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）计算：=　　　　　　　． 【答案】． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘单项式． 16．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查单项式定义及相关运算，熟记单项式定义及乘除运算法则是解决问题的关键． 由前面、找出密码规律求解即可得到答案． 【详解】 解：由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数； 由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数； ， 则他输入的密码是， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式乘法与整式除法运算，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式展开，再合并同类项即可得到答案； （2）先将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式后化简即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）若的展开式中只含有项，则m的值为　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 利用单项式乘以多项式的运算法则先将原式展开，再合并同类项，根据题意，只需系数不为零，其他项的系数为零即可解答． 【详解】 [解析]． ∵的展开式中只含有项， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查单项式乘多项式、合并同类项，掌握单项式乘以多项式的运算法则，能根据题意得出等价条件是解答的关键． 19．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）若单项式与的差仍然是一个单项式，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据合并同类项法则可得单项式与是同类项，再根据同类项的定义（如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么这两个单项式是同类项）可得，然后代入计算即可得． 【详解】 解：单项式与的差仍然是一个单项式， 单项式与是同类项， ， 则， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了合并同类项、同类项、代数式求值，熟练掌握同类项的定义是解题关键． 20．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了整式的加减， 对于（1），先确定同类项，再合并即可； 对于（2），先去括号，再合并同类项． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 21．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）化简求值： （1），其中，； （2），其中． 【答案】（1），9     （2），      【分析】 本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）运用整式的混合运算法则化简计算，再代入求值即可； （2）根据整式的混合运算法则化简，再根据绝对值，偶次方的非负性得到，，代入计算即可． (1) 小问详解： 解： ， ∵，， ∴原式． (2) 小问详解： 解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 22．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）单项式的系数为a，次数为b，则a＋b是 　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据单项式的概念即可判断． 【详解】由题意可知：    ∴ 故答案为. 【点睛】考查单项式的系数以及次数，单项式中的数字因数就是单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和就是单项式的次数. 23．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律．如图． （1）请你按照规律写出展开式______； （2）设，小明发现通过赋值法可求解系数间的关系：如令，可得______；如令，则可得，借助此思路求出______； （3）此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期_____． 【答案】（1）     （2）     （3）六      【分析】 本题主要考查了整式的乘法，多项式的系数和项数的规律问题， 对于（1）根据的系数分别为，可得答案； 对于（2），令，求出，再令，可得， 然后令，可得…，将两式相减可得答案； 对于（3），将改写为，再展开根据结果可得答案. (1) 小问详解： 解：由题知， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当时， ， 所以 又因为当时， ， 当时， …， 两式相减得， ， 所以 故答案为：1，； (3) 小问详解： 解：将改写为， 则 因为 所以除以7余1， 因为今天是星期五，再过7天还是星期五，所以再过天是星期六 故答案为：六． 24．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）数学探究 探究主题：月历中的数学 计算发现 （1）用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置A，B，C，D上的数按逆时针方向依次两两相乘一次，再把他们的积相加，所得的和叫做这个“十”字型框架的“美好数”．尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”：       ． 猜想说理 （2）移动“十”字型框架，多次尝试可以发现，每个“美好数”都与E位置上的数有关．请设出字母，用数学式子表示你发现的规律，并说明理由． 拓展研究 （3）在另一张月历中，两个“十”字型框架如图3摆放，两个“十”字型框架E位置上的数分别为a，b，若两个“美好数”的差为1280，求． 【答案】（1）576； （2）， 证明：设E位置上的数为x，其余数分别为、、、， 理由： ． （3）32 【分析】 本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算、列代数式、整式的加减，解决本题的关键是根据“美好数”的定义解决问题． （1）先利用乘法分配律变形，再求和即可； （2）设E位置上的数为x，其余数分别为、、、，则，化简求出结果即可； （3）根据（2）可得，两个“美好数”的差是1280，即为，因为，所以． 【详解】 （1）解： ． 故答案为：． （2）略 （3）因为， 即， 由题意得， 所以． 25．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案： （1）第一次提价，第二次提价 （2）第一次提价，第二次提价； （3）第一､二次提价均为． 其中p，q是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？（提示：因为，所以） 【答案】方案（3）提价最多 【分析】 根据题意，列出相应的代数式，然后利用整式的加减法作比较即可得出提价最多的方案． 【详解】 解： 方案（1）：． 方案（2）：． 方案（3）：． 方案（1）（2）结果相同，比较方案（2）（3）如下： 要比与，即比较与， ， ， ， ， ∵， ∴，, 所以方案（3）提价最多． 【点睛】 题目主要考查整式的应用，根据题意列出相应的代数式然后作比较是解题关键． 26．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】 解：原式 ， 当时， 原式 ． 27．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式除单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可； （3）先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 28．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，将代入计算求值即可． 【详解】 解：， ， 当时，原式． 29．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）若，，则　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了多项式乘多项式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．将原式展开，将已知条件整体代入计算即可． 【详解】 解：若，， 则， 故答案为：． 30．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米、b米（如图所示）． （1）求音乐喷泉池的占地面积（用含a，b的式子表示）； （2）若a，b满足，求该广场音乐喷泉的面积． 【答案】（1）平方米     （2）156平方米      【分析】 此题考查了列代数式和求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、计算． （1）先分别表示出音乐喷泉池的长和宽，再运用长方形的面积公式和多项式乘多项式知识进行求解； （2）先运用非负数知识求得a，b的值，再代入计算． (1) 小问详解： 解：由题意得，该音乐喷泉池的长为：，宽为 ，  该音乐喷泉池的面积为：，  该音乐喷泉池的占地面积是  平方米； (2) 小问详解： 解：由题意得， 且 ， 解得 ，，  该广场音乐喷泉的面积为：， 即该广场音乐喷泉的面积 是156平方米． 31．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 （1）请分别计算这两个建筑的占地面积； （2）若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 【答案】（1）福建土楼占地面积：；山西大院占地面积：     （2）① 组同学想法正确      【分析】 本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． (1) 小问详解： 解：福建土楼占地面积： ； 山西大院占地面积： ； (2) 小问详解： 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴① 组同学想法正确． 32．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）阅读下列材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知或若，则___________； （2）已知，（为整数），．若，求；（用含的式子表示） （3）一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 本题考查了列代数式的变化，读懂题意，正确对代数式进行变形是解题的关键． （1）根据示例，可以得到，从而得到的值； （2）由题意，得到，化简整理可得到，从而得到结果； （3）由题意，得到，从而得到的式子． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵（为整数），，， ， ， 或； (3) 小问详解： 解： ， ∴或． 33．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】 （1）根据多项式乘多项式计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式和相应的运算法则是解答本题的关键． 【详解】 解：（1） ； （2） ， 当时， 原式 34．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据单项式乘多项式计算即可； （2）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘除法，然后合并同类项即可； （3）根据多项式除以单项式的方法计算即可． 本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 原式 ． 35．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到这个等式，请解答下列问题：    （1）写出图2中所表示的数学等式                                                  ． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则                  ． （4）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则                  ． 【答案】(1) (2)证明: (a+b+c) (a+b+c) , = , = . (3) 30; (4) 15. 【分析】 (1)依据正方形的面积= ;正方形的面积=,可得等式; (2)运用多项式乘多项式进行计算即可; (3)依据 进行计算即可; (4)依据所拼图形的面积为: , 而 ,即可得到x, y, z的值,即可求解. 【详解】 解: (1) 正方形的面积= ;大正方形的面积= 故答案为: (2) 略 (3) = , = , =30. 故答案为: 30; (4)由题可知，所拼图形的面积为: , (2a+b) (a+4b) = = ∴x=2，y=4, z=9. ∴x+y+z=2+4+9=15. 故答案为: 15. 【点睛】 本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． 36．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）一组按规律排列的代数式为：，，，，，…，则第7个代数式为　　，第n个代数式为　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了数字变化的规律、单项式规律题，能根据题意发现所给单项式系数及次数的变化规律是解题的关键．根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】 解：由题意知， 所给代数式的系数依次为：，，，，，…， 所以第个代数式的系数为； 所给代数式的次数依次为：，，，，，…， 所以第个代数式的次数为， 所以第个代数式可表示为：． 当时， 第个代数式为． 故答案为：，． 37．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示． （1）化简：； （2）当，，时，求（）中代数式的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了数轴、绝对值的性质以及代数式的化简求值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）先根据数轴判断出、、的大小关系以及、、的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，进行化简； （2）将数值代入化简后的式子求值即可． (1) 小问详解： 解：由数轴可得：且， 则，，， 故 ； (2) 小问详解： 解：当，，时，原式． 38．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）某文具厂生产一种笔记本和笔，笔记本每本定价20元，笔每支定价4元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案. 方案一：买一个笔记本送一支笔；方案二：笔记本和笔都按定价的90%付款．现某客户要到该文具厂购买笔记本30本，笔x支． （1）若该客户按方案①购买， ①当时，需付款          元； ②当时，若该客户按方案①购买，需付款       元．（用含x的代数式表示） （2）若该客户按方案②购买，需付款　　　元． （3）若x=50时， ①该客户应选择以上两种方案中的哪一种方案计费较省钱，请计算说明； ②该客户想用支付宝支付笔记本和笔的钱，但他支付宝上只剩675元，则该客户是否可买下所需物品？请说明理由． 【答案】（1）① 600， ② 600+4（x－30）或480+4x； （2）540+3.6x； （3）① 应选择方案一较少钱；说明： 选择方案一所需费用为：480+4×50＝680元， 选择方案二所需费用为：540+3.6×50＝720元， 所以应选择方案一较少钱； ② 可以，理由：选择方案一购买30个笔记本可送30支笔，需费用600元，再选择方案二购买20支笔，需费用为20×（4×0.9）＝72元，共需672元.因为672＜675，所示该客户可以买下所需物品． 【分析】 （1）根据第一种方案买一个笔记本送一支笔列出代数式，前支笔不需要另外付款，超过支的部分需要付款即可； （2）直接根据笔记本和笔都按定价的90%付款列出代数式即可； （3）① 分别计算出两种方案所需费用，比较即可；② 结合两种方案即可得出结论． 【详解】 解：（1）① 600； ② 600+4（x－30）＝480+4x； 故答案为：600；600+4（x－30）或480+4x； （2）540+3.6x， 故答案为：540+3.6x； （3）① 略 ② 略 【点睛】 本题考查了列代数式和求代数式的值的相关题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式． 39．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）．      【分析】 本题考查了单项式乘以单项式、多项式乘以单项式、多项式乘以多项式、幂的乘方、单项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以单项式运算法则即可求解； （）根据多项式乘以单项式运算法则即可求解； （）根据多项式乘以多项式运算法则即可求解； （）先计算幂的乘方，根据单项式除以单项式运算法则即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 40．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式加减的化简求值问题，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 根据整式的加减法则化简后，代入a的值计算即可． 【详解】 解：原式 当时，原式． 41．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 该题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式乘法法则计算即可． （2）根据多项式乘多项式法则计算即可． （3）根据多项式除单项式法则计算即可． （4）先将转化为，再根据完全平方公式和平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： ． (4) 小问详解： 解： ． 42．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质，例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 17 10 5 p 1 10 5 2 1 q （1）表中______，______； （2）观察表格可以发现： 若时，，则时，.我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为3，请直接写出代数式； ②已知代数式参照代数式取值延后，请直接写出的值． 【答案】（1）2，2     （2） ①；②20      【分析】 本题主要考查了代数式求值， 对于（1），将，分别代入代数式求值即可； 对于（2）① ，根据新定义可知代数式； ② ，先求出，再设延后值为k，可得，求出k，进而得出答案． (1) 小问详解： 解：将代入； 将代入. 故答案为：2，2 (2) 小问详解： 解：① ∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为3 ∴； ② 由定义可知，， ∴， ∵代数式参照代数式取值延后， 设延后值为k， ∵时，， 时，， ∴， ∴，， 解得， ∴． 43．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）在我国南宋数学家杨辉的《详解九章算法》一书中，给出了展开式的系数规律，如图． 当式子的值为时，的值为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出是解题的关键． 根据题意，得出的展开式，据此得出关于的等式，再进行求解即可． 【详解】 解：的展开式各项系数依次为：，，，，， 令，， 可得：， 则， 或， 解得：或 故答案为：2或 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】 解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 2．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式运算、代数式的知识．根据整式混合运算法则、平方差公式的性质化简，再结合代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解： ． 当时，原式． 3．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）根据图1到图2的变化过程，可以得到一个整式乘法的恒等式，这个恒等式是　　　　　　  ． 【答案】 【分析】 本题考查了平方差公式与几何图形，根据观察图1和图2，分别表示出它们各自的面积，结合整个过程面积不变，得，即可作答． 【详解】 解：依题意，图1的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵整个过程面积不变， ∴， 故答案为： 4．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． （1）观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； （2）请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； （3）画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】（1）     （2）     （3）解：如图所示， 【分析】 本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； (1) 小问详解： 解：根据图1可得， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据图形可得， 故答案为：． (3) 小问详解： 略 5．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 　　　　　　　．（请填上正确的序号） 【答案】① ② 【分析】 本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】 解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：① ②． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）已知是完全平方式，则的值为（       ） A. ±4 B. ±2 C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是要注意积的2倍符号，有正负两种情形，避免漏解．根据完全平方公式，题中的首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2积的两倍，据此即可解答． 【详解】 解：∵是完全平方式，且， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查指数运算规则和乘法公式，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】 解： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确； 故选 ：D． 3．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）下列运算中结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 本题考查同底数幂的乘法与除法、积的乘方运算和完全平方公式；根据运算法则逐一验证选项的正确性． 【分析】 解：∵ 对于A：， ∴ A错误． 对于B：，， ∴ ， ∴ B错误． 对于C：，与选项一致， ∴ C正确． 对于D：， ∴ D错误． 因此，正确答案是C． 4．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）已知是完全平方式，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】 是完全平方式， ， ， 故答案为： 5．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式和平方差公式的计算，代数式求值，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 先由完全平方公式和平方差公式进行计算，并合并同类项，再将变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴， ∴原式． 6．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为． （1）用含的代数式表示； （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，数形结合，熟记完全平方公式是解决问题的关键． （1）数形结合，表示出，利用完全平方公式展开后，合并同类项即可得到答案； （2）由（1）中所求的，将代入计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解：放置冰块部分的面积 ； (2) 小问详解： 解：当时，． 7．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）已知，求代数式的值． 【答案】５ 【分析】 先根据，得出，将变形为，最后代入求值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴ 【点睛】 本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将变形为，是解题的关键． 8．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】 解：， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 9．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知，，则　　　　　　　　　． 【答案】37 【分析】 原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】 解：∵，， ∴49−12＝37． 故答案为：37． 【点睛】 本题考查了完全平方公式，能够把已知式子变成完全平方的形式，求得的值． 10．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）在（1）的条件下，若，求和的值． 【答案】（1）3     （2），      【分析】 （1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． (1) 小问详解： 解：设，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴； ， ∴． 【点睛】 本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键． 11．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为　　　　． 【答案】 【详解】 试题分析： 考点：1.平方公式的几何背景；2.分式的化简. 12．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的结构特征，解题关键是根据完全平方公式的形式对比多项式，确定中间项的系数关系． 将多项式与完全平方公式对比，确定的值，再通过中间项系数关系求出即可． 【详解】 关于的多项式是一个完全平方式， ， ， ． 故答案为． 13．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，有正方形，现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为． （1）正方形和的面积和是　　　　　　　　　　　； （2）图2中新的正方形的边长是　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查代数式相关运算及几何图形关系，数形结合，由图形面积列式表示是解决问题的关键． （1）设正方形的边长为、正方形的边长为，由阴影部分面积为求出边长，从而得到，再由阴影部分面积为得到，最后由即可得到答案； （2）由（1）知，，，将代入得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：（1）设正方形的边长为、正方形的边长为， 图1中阴影部分的面积为， 其边长为， 则， ； 图2中阴影部分的面积为， ， 则； 正方形和的面积和是， 故答案为：； （2）由（1）知，，， 将代入得， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， ， 图2中新的正方形的边长是， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知，求代数式的值． 【答案】19 【分析】 本题考查整式的混合运算，化简求值，先进行完全平方公式和多项式乘以多项式的运算，再合并同类项进行化简，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】 解：∵， ∴原式 ． 15．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形，且面积的和为36时，直接写出阴影部分的面积为　　　　　　  （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】14 【分析】 设，，利用正方形的性质，完全平方公式变形计算即可． 本题考查了正方形的性质，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】 解：设，， 四边形和四边形都为正方形，且面积的和为36，， ，，，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为： 16．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】 本题考查整式的混合运算，化简求值，先根据乘法公式和多项式除以单项式的法则进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 17．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方运算，然后计算同底数幂的乘法即可； （2）先计算多项式乘以多项式，然后计算单项式乘以多项式； （3）根据多项式除以单项式计算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． (1) 小问详解： (2) 小问详解： (3) 小问详解： (4) 小问详解： ． 18．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）（多选）如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是　　　　　　　　（用含a，b的式子表示）． 【答案】4ab 【分析】 组合后多出来的面积就是中间小正方形的面积，用大正方形减小正方形的得到原来长方形面积． 【详解】 ∵为图2大正方形的面积；为小正方形面积， ∴为图1长方形面积 ∴=2a×2b=4ab 故答案为：4ab 【点睛】 本题考查列代数式在求正方形面积中的应用，找到两者之差是图1长方形面积是关键． 19．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，16 【分析】 本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 先利用完全平方公式和平方差公式展开，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 20．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）对于关于的整式，规定：若将此整式减去，则称为一次“操作”；若将此整式中的替换成，则称为一次“操作”．例如，整式经过一次“操作”后变为，整式经过一次“操作”后变为，化简结果为．对于关于的整式我们可进行多次这样的操作，并把连续次相同的“操作”用“”表示，连续次相同的“操作”用“”表示．例如，对于整式依次进行六次操作，这六次操作可简记为“”，六次操作后的化简结果为. （1）若整式经过九次操作“”之后化简结果为，则______； （2）若整式经过若干次操作以后变为，且这些操作中有且仅有两次操作，则共有______种不同的操作方法； （3）整式最少需要经过______次操作后得到的新整式可有因式． 【答案】（1）0     （2）4     （3）5      【分析】 本题考查了整式运算和三元一次方程组的应用，正确理解题意、将所求转化为方程组的非负整数解问题是解题的关键； （1）依次按照“操作”和“操作”的规定计算，进而可得a、b、c的值，即得答案； （2）根据题意可设操作为，然后分别求出经过这些操作后的结果，从而建立关于m、n、p的方程组，结合m、n、p为非负整数，即可求解； （3）若操作后得到的新整式有因式，则当时，整式的值为0，进而可知当时，起始值为，每次进行A操作会减少2，故一定要存在B操作，然后再分情况列举求解，即得答案． (1) 小问详解： 解：整式经过八次操作“”之后为， 整式经过一次“B”操作后变为， 即整式经过九次操作“”之后化简结果为， 即， 则； 故答案为：0； (2) 小问详解： 解：由于这些操作中有且仅有两次操作，故设操作为， 整式进行m次A操作，得， 进行1次B操作，得， 进行n次A操作，得， 进行1次B操作，得， 进行p次A操作，得，整理得， ∵整式经过若干次操作以后变为， ∴ ， 由于m、n、p为非负整数， 故可解得： 或 或 或 ， 综上，共有4种不同的操作方法； (3) 小问详解： 解：若操作后得到的新整式有因式， 则当时，整式的值为0， 可知当时，起始值为， ∴每次进行A操作会减少2，故一定要存在B操作， 那么设进行1次B操作，则操作后为， ∴当时，， 即， 由于m、n为非负整数， ∴ 或 ， 此时最少经过5次操作； 若进行2次B操作，则A的操作不能超过3次， 整式进行操作后可得， 此时要使得， 当时，， 即， 但这个方程不存在满足的非负整数解； 而进行更多次B操作，则操作的次数一定， 综上，最少经过5次操作． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $