专题03 全等三角形（期中真题汇编，北京专用）八年级数学上学期

专题03 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·北京延庆·期中）图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，点在同一直线上，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为　　　　　　． 10．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　　　　　． 11．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，，点F和点C在线段上，，，则　　　　　　  ． 12．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如下图所示的两个三角形全等，则　　　　　　． 13．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，，，，则　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为　　　　　　s时，与全等． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图，在与中，．若，下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上答案都不对 2．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，在中，，、、分别是、、上的点，且，，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，与相交于点，，添加一个条件，不能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·北京延庆·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则.     上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（       ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，，点D，E分别在上，补充下列一个条件后，不能判断的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，点D，E分别在线段，上，，相交于点O．给出下面三个结论：①；②若，，，则；③若，，则点在的角平分线上．上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 11．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，已知为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）下列说法正确的是(       ) A. 面积相等的两个三角形是全等三角形 B. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 C. 全等三角形的周长和面积分别相等 D. 所有的等腰直角三角形都是全等三角形 14．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 15．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ 其中所有正确结论的序号是(             ) A. ②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④ 16．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是　　　　　　． 17．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，，请你添加一个适当的条件　　　　　　　　　，使得． 18．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，已知，，求证． 19．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，于点P，，若利用“”判定，则添加的条件是　　　　　　． 20．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，，、分别是，的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论． 21．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．求证：． 22．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在四边形中，，．请你写出一个正确的结论：　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 24．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，，．求证：． 25．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，与交于点．且．只添加一个条件使得，则添加的条件是　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，点E，F在BC上，，，相交于点G，若添加一个条件，可使得，则添加的条件可以是　　　　　　． 27．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）（多选）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD． 28．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，于点，于点，且，如果，那么的度数是　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，在和，，，当添加一个条件　　　　　　  时，就可得到． 30．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）已知：如图，C是的中点，． 求证： 31．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求∠F的度数． 32．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知：如图，，．求证：． 33．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，线段相交于点O，并且点O是线段的中点，请添加一个条件，使得，可添加的条件是　　　　　　 ． 不添加字母及辅助线 34．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F，如图所示，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 晓东通过观察，实验，提出猜想：BE+CD=BC，他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可． （1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整； ①在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与______全等，判定它们全等的依据是______； ②由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=______°； （2）请直接利用①，②已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程． 35．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）已知：如图，在中，，于点D，点E在的延长线上，且，过点E作，与的延长线交于点F，求证： ． 36．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在中，点在边上，且，，的延长线交于点．求证：． 37．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，，证明：． 38．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，BE与CD交于点A，且．请添加一个条件使得，这个条件是：　　　　　　　　　（写出一个即可） 39．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 40．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图所示，，，，点B、D、E在同一直线上，求证：． 41．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）已知：在中，、是的两条角平分线，、交于点F． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 42．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，在等腰中，，，，，点C的坐标是　　　　　　． 43．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）已知：如图，F、C是上的两点，，，．求证：． 44．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且． （1） 求证：； （2）点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 45．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图所示的网格为正方形网格，则　　　　　　． 46．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点．若，则的大小是　　　　　　　　（用含的代数式表示）． 47．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，中，，延长到点，使，作射线于点，并在射线上截取，连接．猜想与的数量关系和位置关系，并证明． 48．（25-26学年八上·北京延庆·期中）在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． （1）如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； （2）如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：___________． 49．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，延长线交于点F．她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知点B距地面的高度，点B，C到的水平距离分别为和，点C距地面的高度，此时等于 　　　　　　　　m． 50．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）（多选）如图，AB⊥AC，AB=AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F. （1）依题意补全图形； （2）求证：BE=EF+FC. 51．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）七年级时，我们已经学过利用三角板和直尺作已知直线的平行线，爱动脑筋的小明同学便想是否可以利用“尺规作图”作出已知直线的平行线呢？于是，他想出了下面的方法： ①已知直线 ，以直线上的一点O为端点作线段； ②以O为圆心，适当长度为半径画弧，交射线和线段于C、D两点； ③以B为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点E； ④以 E 为圆心，线段长为半径画弧，与第③步中所画的弧交于点 F．（交点F在线段的下方） ⑤连接． 则直线          即为直线的平行线． 请你根据上面的作图叙述并结合已知图形完成②-⑤步的操作（保留作图痕迹），并证明你的结论． 52．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，． （1）试说明：； （2）试说明：． 53．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． （1）__________； （2）判断并证明和的数量关系． 54．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，AB=AC，要使ABE≌ACD，应添加的条件是　　　　　（添加一个条件即可）． 55．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．    （1）求证：； （2）若，求的长． 56．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）已知中，，，是中线，则的取值范围是　　　　　　　　． 57．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形中，点是延长线上一点，作射线，点关于射线的对称点为点，连接交射线于点． （1）依题意补全图形； （2）连接，． ①求的大小（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 58．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得，且，则称点为点关于点的“相关点”． （1）如图1，已知点的坐标为． ①在点中，点关于点的“相关点”为___________； ②若点为点关于点的“相关点”，在图1中画出点，并写出点的坐标． （2）如图2，若点的坐标为，点的坐标为，直接写出点关于点的“相关点”的坐标（用含的代数式表示）． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角，在边OA，OB上分别取，使两个三角形的一直角边分别与OA，OB重合，移动 三角尺使两个直角顶点分别与M，N重合，三角尺的另两条直线边相交于点C，作射线 OC，可证得，从而得OC是的平分线．在上述过程中，判定两三角形全等的方法是（       ） A. HL B. ASA C. SAS D. SSS 2．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（       ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 6 4．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，，垂足分别为E，F，与交于点D，下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（        ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 5．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（       ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若于点M，于点N，则；④其中正确的是（     ） A. 只有①②③ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①③ 7．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．    （1）依题意补全图形； （2）设∠C＝α， ①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）； ②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明． 8．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 9．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，，平分，若，那么的度数是　　　 10．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　　　　　　． 11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 12．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是坐标轴上两点，连接，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点C．若点C的坐标为，则点C到的距离是　　　　　　． 13．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，射线平分，点是上一点，过点作于点，在射线上任取一点，连接，在上取一点，连接，使得．给出下列结论：；；；．上述结论中，所有正确结论的是　　　　　　．（只填写序号） 14．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）（1）在内部求作一点P，使得点P到的距离相等，且到两个点的距离相等；    （2）猜想与满足的数量关系，并证明． 15．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）下面是小东设计的尺规作图过程： 已知：如图，在中，． 求作：点，使得点在边上，且点到和的距离相等． 作法： ①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③画射线交于点．所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：过点作于点，连接． 在和中， ， ______________________（___________）（填推理的依据）． ， ． ， （___________）（填推理的依据）． 16．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，在中，D是的中点，，垂足分别是． 求证： （1）； （2）是的角平分线． 17．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，在中，． （1）尺规作图，求作的平分线交于点E；（保留作图痕迹） （2）由（1）可知点E到的距离相等，依据是______； （3）取边的中点D，连接，画出边上的高； （4）若的面积是20，，则_____．（直接写出结果） 18．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）在四边形中，平分，于点D，且．求证： 19．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）（多选）如图,在Rt△ABC中,∠B=90°． 作出,∠BAC的平分线AM；要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法 若∠BAC的平分线AM与BC交于点D,且D=3,AC=10,则DAC的面积为______． 20．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，平分，，，垂足分别为E，F，点B在上，且 （1）求证：； （2）若，，求BE的长． 21．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，于点E，于点F，求证：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形的判断方法是解题的关键． 根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】 解：A、两个图形是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意； C、两个是全等图形，不符合题意； D、两个图形是全等图形，不符合题意； 故选：B 3．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和线段和差． 根据全等三角形的性质得出，，再由线段的和差即可求解． 【详解】 ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形全等的性质、三角形内角和定理．根据三角形全等可得，在中，利用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴在中，， 故选：C． 5．（25-26学年八上·北京延庆·期中）图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：如图， ∵， ∴，， ∴， 故选：． 6．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，点在同一直线上，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握基本性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 7．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ， 故选：C． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 8．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则　　　　　　　　　　　． 【答案】:度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质作答即可. 【详解】 解：由左图可知边b的对角为， ∵两个三角形全等， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】 解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ， ① 当，，， ， 解得：， ； ② 当，，， ， 解得：， ； 故答案为：或． 10．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a，c边的夹角，然后写出即可． 【详解】 解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 11．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，，点F和点C在线段上，，，则　　　　　　  ． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据，则，故，又因为，，所以，即可作答． 【详解】 解：∵， ， 则 ， ，， 则 ， 故答案为： 12．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如下图所示的两个三角形全等，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形对应角相等来确定的度数． 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，找到与对应的角，从而得出的度数． 【详解】 解：因为两个三角形全等，在左边的三角形中，边长为和的两边的夹角是，右边的三角形中，边长为和的两边的夹角为， 根据全等三角形对应角相等，所以． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，，，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】10度 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， 故答案为：10度． 14．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为　　　　　　s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】 解：作于E，作于F． 分以下情况：① 如图1，P在上，Q在上，     ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ② 当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，     ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图，在与中，．若，下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上答案都不对 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据证明，再根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理逐一判断即可． 【详解】 解：∵， ∴（）， ∴，故A结论错误； ，故B结论错误； ，故C结论错误； 故选：D． 2．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】 解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 3．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，在中，，、、分别是、、上的点，且，，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，再根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰三角形的性质求解即可. 【详解】 在和中， 则在中， 则在中， 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，利用等腰三角形的性质找到两个三角形全等的条件的是解题关键. 4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，与相交于点，，添加一个条件，不能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定方法，由边角边，角角边的判断方法判断选项即可． 【详解】 解：∵，， A选项，在与中， ， ∴，故A选项能证明； B选项，若，但不知是否成立，故B选项不能证明； C选项，在与中， ， ∴，故C选项能证明； D选项，若，可得，由C选项可知能证明，故D选项能证明． 故选：B ． 5．（25-26学年八上·北京延庆·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】 解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则.     上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（       ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】 根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】 解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 7．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，，点D，E分别在上，补充下列一个条件后，不能判断的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法一一判断即可． 【详解】 解：A、∵，，，根据即可证明． B、∵，，，根据即可证明． C、∵，∴，∵，，根据即可证明． D、∵，，，不能判定． 故选：D． 8．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定逐项判断可求解． 【详解】 解：A、若，且，无法证明，故选项A符合题意； B、若，且，由“”可证，故选项B不符合题意； C、若，且，由“”可证，故选项C不符合题意； D、若，则，且，由“”可证，故选项D不符合题意； 故选：A． 9．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】 解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边， ∴确定依据是SAS定理； ∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边， ∴确定依据是HL定理． 故选：A． 【点睛】 本题考查的是作图-复杂作图，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 10．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，点D，E分别在线段，上，，相交于点O．给出下面三个结论：①；②若，，，则；③若，，则点在的角平分线上．上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握好三角形外角的性质，作辅助线，构造出全等三角形． 由三角形外角的性质可得，，可判断① ；由题意可得，，，可判断② ；连接，根据题意可得，得到，根据题意可得，，得到，得到，，即，从而得到，可判断③ ． 【详解】 解：由三角形外角的性质可得，， ∴，① 正确； ∵，，， ∴， ∴，② 正确； 连接，如下图： 由题意可得，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，即点在的角平分线上，③ 正确． 则正确的为① ② ③ ， 故选：D． 11．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直角三角形全等的判定方法进行判断． 【详解】 解：于点D，于点F， ， ， 当添加时，根据“”判断 故选：C． 【点睛】 本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 12．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，已知为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查尺规作角，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，解题的关键是根据题意，则，则，根据，三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】 由作图可知，在和中， ， ， 即 ． 故选：D． 13．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）下列说法正确的是(       ) A. 面积相等的两个三角形是全等三角形 B. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 C. 全等三角形的周长和面积分别相等 D. 所有的等腰直角三角形都是全等三角形 【答案】C 【分析】根据全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形进行分析即可． 【详解】解：A、面积相等的两个三角形是全等三角形，说法错误； B、全等三角形是指形状相同的两个三角形，说法错误； C、全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确； D、所有的等腰直角三角形都是全等三角形，说法错误； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的判定．，关键是掌握全等三角形的性质及判定． 14．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【分析】 根据全等三角形的性质找出全等三角形即可． 【详解】 解：如图所示， 以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，， 以AB为公共边的全等三角形有一个为， ∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 15．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ 其中所有正确结论的序号是(             ) A. ②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案． 【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以① 错误． 如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以② 正确． 如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以③ 正确． 如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以④ 正确． 综上：② ③ ④ 正确． 故选C． 【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键． 16．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是　　　　　　． 【答案】边角边 【分析】 根据题意可得，，，，再根据全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】 解：根据题意可得，，，， 则， 故答案为： 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 17．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，，请你添加一个适当的条件　　　　　　　　　，使得． 【答案】（或） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理作答即可． 【详解】 解：由题意知，，， 添加时，， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，已知，，求证． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ 【分析】 利用证明，根据全等三角形的性质可得，，再由，，即可得出 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，于点P，，若利用“”判定，则添加的条件是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，，、分别是，的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论． 【答案】，证明如下： ∵， ∴； ∵、分别是，的对应边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据全等三角形的性质得到，再由三角形中线的定义推出，则可证明，进而证明． 【详解】 略 21．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由可得，再由“”即可证明． 【详解】 略 22．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在四边形中，，．请你写出一个正确的结论：　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 连接，根据题意可得，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：连接，如下图： 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 23．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 【答案】证明：， ， 即， ，． 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用定理证明，根据全等三角形的对应角相等得到，根据平行线的性质证明． 【详解】 略 24．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，证明两个三角形全等是解决本题的关键． 证明即可求证． 【详解】 略 25．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，与交于点．且．只添加一个条件使得，则添加的条件是　　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】 解：∵， ∴当时，； 故答案为：（答案不唯一） 26．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，点E，F在BC上，，，相交于点G，若添加一个条件，可使得，则添加的条件可以是　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了三角形全等的判定：添加条件使三角形全等，由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】 依题意，若添加条件是， ∴在和中， ， 使得， 则添加的条件可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 27．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）（多选）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD． 【答案】∵AB=AC， ∠B=∠C， ∠A是公共角， ∴△ABE≌△ACD，（ASA）， ∴BE=CD．（全等三角形的对应边相等）． 【详解】 试题分析：利用已知条件证明△ABE≌△ACD（ASA），然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 试题解析：略 考点：全等三角形的判定与性质． 28．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，于点，于点，且，如果，那么的度数是　　　　　　　　　　　． 【答案】140 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出，再证明，推出，即可求解． 【详解】 .解： ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：140． 29．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，在和，，，当添加一个条件　　　　　　  时，就可得到． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 已知两组对应边相等，由全等三角形的判定方法即可得到答案；本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：， ， ， 在和中， ， ． 故答案为：（答案不唯一）． 30．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）已知：如图，C是的中点，． 求证： 【答案】证明：∵C是的中点， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质．证明即可得到结论． 【详解】 略 31．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求∠F的度数． 【答案】（1）证明： ， 即 又， （2） 【分析】 （1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F． 【详解】 （1）略 （2）解：，， 【点睛】 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 32．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ， ． 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据已知条件可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】 略 33．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，线段相交于点O，并且点O是线段的中点，请添加一个条件，使得，可添加的条件是　　　　　　 ． 不添加字母及辅助线 【答案】或或或 【分析】 根据三角形全等的判定，结合已知选择添加条件即可． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：线段相交于点O，， ， 点O是线段的中点， ， 当再添加一个条件使得有以下四种情况： ① 当添加条件，可以使得，理由如下： 在和中， ， ； ② 当添加条件，可以使得，理由如下： 在和中， ， ； ③ 当添加条件，可以使得，理由如下： 在和中， ， ； ④ 当添加条件时，可以使得，理由如下： ， 在和中， ， ， 综上所述：再添加一个条件是或或或， 故答案为：或或或． 34．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F，如图所示，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 晓东通过观察，实验，提出猜想：BE+CD=BC，他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可． （1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整； ①在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与______全等，判定它们全等的依据是______； ②由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=______°； （2）请直接利用①，②已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程． 【答案】（1）① △BMF，SAS；②60； （2）证明：由① 知，∠BFE=60°， ∴∠CFD=∠BFE=60° ∵△BEF≌△BMF， ∴∠BFE=∠BFM=60°， ∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°， ∴∠CFM=∠CFD=60°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠FCM=∠FCD， 在△FCM和△FCD中， ， ∴△FCM≌△FCD（ASA）， ∴CM=CD， ∴BC=CM+BM=CD+BE， ∴BE+CD=BC． 【分析】 （1）① 由BD，CE是△ABC的两条角平分线知∠FBE=∠FBC=∠ABC，结合BE=BM，BF=BF，依据“SAS”即可证得△BEF≌△BMF； ② 利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论； （2）利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论． 【详解】 （1）解：① 在BC上取一点M，使BM=BE，连接FM，如图所示： ∵BD、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠FBE=∠FBM=∠ABC， 在△BEF和△BMF中， ， ∴△BEF≌△BMF（SAS）， 故答案为：△BMF，SAS； ② ∵BD、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠FBC+FCB=（∠ABC+∠ACB）， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°， ∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×120°=120°， ∴∠EFB=60°， 故答案为：60； （2）略 【点睛】 本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键． 35．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）已知：如图，在中，，于点D，点E在的延长线上，且，过点E作，与的延长线交于点F，求证： ． 【答案】证明：∵， ， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴， 在和中， ∴． ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先通过角度关系证得，进而证得，再通过全等三角形性质即可得证． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在中，点在边上，且，，的延长线交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键； 根据平行线的性质可得，进而可证明，即可得到结论． 【详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 37．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，，证明：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，线段的和差，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的和与差得出相等边，根据平行线的性质得出相等角，然后利用边角边证明，即可得出结论． 【详解】 略 38．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，BE与CD交于点A，且．请添加一个条件使得，这个条件是：　　　　　　　　　（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定． 【详解】 ， 当时，依据ASA可得，， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 39．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】 略 40．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图所示，，，，点B、D、E在同一直线上，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即：， 在和 中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，关键是角的转换； 通过证明两三角形全等将转换成，由外角的性质可论证出结论． 【详解】 略 41．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）已知：在中，、是的两条角平分线，、交于点F． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】 ，理由如下： ， ， 、是的两条角平分线， ， ， ． 在线段上取一点，使， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形的角平分线定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．证三角形全等是解决本题的关键. （1）先根据三角形内角和求出，再根据三角形角平分线求出，最后根据三角形内角和求得即可； （2）在线段上取一点，使，先求出，再证，，得出，最后根据即可得证． (1) 小问详解： 解：， ， 、是的两条角平分线， ， ， ． (2) 小问详解： 解：略． 42．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，在等腰中，，，，，点C的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键． 过作轴于点，证明，得到，从而可得坐标． 【详解】 解：如图，过作轴于点， 则， 在和中， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 43．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）已知：如图，F、C是上的两点，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ． 【分析】 本题考查了平行线的性质、线段的和差，全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据平行线的性质得出，再根据线段的和差得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 44．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且． （1） 求证：； （2）点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：作于点P，于点Q，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设交于点I，则， ∴．     （2） 补全图片如图所示， ，理由为： 在上取一点R，使， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）作于点P，于点Q，证明，得到，设交于点I，则，即可得证； （2）线段和线段的延长线上分别取点F、点G，连接、，使，证明，推出，得到，则，从而即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 45．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图所示的网格为正方形网格，则　　　　　　． 【答案】90 【分析】 先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90 46．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点．若，则的大小是　　　　　　　　（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据平角的定义准确计算是解题的关键． 先证明，得出，再根据平角的定义求解即可． 【详解】 ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案是：． 47．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，中，，延长到点，使，作射线于点，并在射线上截取，连接．猜想与的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】，，理由如下： ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 根据证明三角形全等即可． 【详解】 略 48．（25-26学年八上·北京延庆·期中）在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． （1）如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； （2）如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：___________． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，直角三角形的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明即可； 由，得，，然后通过线段和差即可求证； （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明，再由全等三角形性质，线段和差即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，理由， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 49．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，延长线交于点F．她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知点B距地面的高度，点B，C到的水平距离分别为和，点C距地面的高度，此时等于 　　　　　　　　m． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明是解题的关键． 由证明得出，进而求得，然后根据即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 又由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 50．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）（多选）如图，AB⊥AC，AB=AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F. （1）依题意补全图形； （2）求证：BE=EF+FC. 【答案】（1）如图所示： （2）证明：∵AB⊥AC，BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+∠B=90°，∠CFA=∠AEB=90°． ∴∠CAF=∠B． 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE≌△CAF（AAS）．         ∴BE=AF，AE=CF． ∵AF=AE+EF， ∴BE=EF+CF． 【分析】 （1）根据题画图；（2）证△ABE≌△CAF（AAS），得BE=AF，AE=CF． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 考核知识点：全等三角形判定和性质.熟记判定定理是关键. 51．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）七年级时，我们已经学过利用三角板和直尺作已知直线的平行线，爱动脑筋的小明同学便想是否可以利用“尺规作图”作出已知直线的平行线呢？于是，他想出了下面的方法： ①已知直线 ，以直线上的一点O为端点作线段； ②以O为圆心，适当长度为半径画弧，交射线和线段于C、D两点； ③以B为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点E； ④以 E 为圆心，线段长为半径画弧，与第③步中所画的弧交于点 F．（交点F在线段的下方） ⑤连接． 则直线          即为直线的平行线． 请你根据上面的作图叙述并结合已知图形完成②-⑤步的操作（保留作图痕迹），并证明你的结论． 【答案】直线为直线的平行线， 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 题目主要考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，理解题意，根据作图方法作图，然后证明得到，利用平行线的判定可得结论． 【详解】 略 52．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，． （1）试说明：； （2）试说明：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键． （1） 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，再结合，，利用证明即可； （2）由，得，推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 53．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． （1）__________； （2）判断并证明和的数量关系． 【答案】（1）     （2） 解：， 证明如下：如图，延长至H，使，连接， ∵点D是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． （1）可证明，利用等角对等边即可得出； （2）延长至H，使，连接，由可证，可得，结合，可证，可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 54．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，AB=AC，要使ABE≌ACD，应添加的条件是　　　　　（添加一个条件即可）． 【答案】AE=AD 【详解】 要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A， 则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等； 或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等； 或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等． 故答案为：AE=AD（答案不唯一）． 55．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．    （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） ∵， ∴． ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴．     （2）      【分析】 （1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答． （2）由（1）得，且，即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴，且. ∴． 【点睛】 三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 56．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）已知中，，，是中线，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题关键．通过倍长中线构造全等三角形，将转化为三角形一边的一半，再利用三角形三边关系求解即可． 【详解】 解：如图，延长至，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为：． 57．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形中，点是延长线上一点，作射线，点关于射线的对称点为点，连接交射线于点． （1）依题意补全图形； （2）连接，． ①求的大小（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：图形如下：      （2）①； ②，证明如下： 在线段上取，连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， 由① 知， ，， ∴， ∴， 由① 知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是由表示各个角度从而得到关系． （1）根据题意补全图形即可； （2）① 连接辅助线构造等腰三角形，根据等边三角形的性质，可求解，再根据三角形内角和求解即可； ② 构造辅助线，由角边角的方法证明，可得，，再证明为等边三角形，可得，，再根据角角边的证明方法证明，由此可得，根本边的关系即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴，且， ∴， 即的大小为； ② 略 58．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得，且，则称点为点关于点的“相关点”． （1）如图1，已知点的坐标为． ①在点中，点关于点的“相关点”为___________； ②若点为点关于点的“相关点”，在图1中画出点，并写出点的坐标． （2）如图2，若点的坐标为，点的坐标为，直接写出点关于点的“相关点”的坐标（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；②或     （2）或      【分析】 本题考查坐标与图形，涉及等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质，数形结合，理解新定义是解决问题的关键． （1）① 在平面直角坐标系中描点，连接，如图所示，结合“相关点”定义即可得到答案；② 以为直径作圆，再作线段的垂直平分线，与圆的交点即是点，即可得到答案； （2）根据题意，分情况，利用三角形全等的判定与性质求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：① 在平面直角坐标系中描点，连接，如图所示： 点关于点的“相关点”为， 故答案为：； ② 如图所示： 点的坐标为或； (2) 小问详解： 解：当时，点在轴正半轴上，如图所示： 过点作轴，如图所示， ，， ， 在和中， ， ，， 则， ； 如图所示： 同理可得，； 当时，点在轴负半轴上，如图所示： 过点作轴，如图所示， ，， ， 在和中， ， ，， 则， ； 如图所示： 同理可得，； 综上所述，点关于点的“相关点”的坐标为或． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角，在边OA，OB上分别取，使两个三角形的一直角边分别与OA，OB重合，移动 三角尺使两个直角顶点分别与M，N重合，三角尺的另两条直线边相交于点C，作射线 OC，可证得，从而得OC是的平分线．在上述过程中，判定两三角形全等的方法是（       ） A. HL B. ASA C. SAS D. SSS 【答案】A 【分析】 根据全等三角形的判定定理HL推出Rt△MOC≌Rt△NOC，根据全等三角形的性质得出∠MOC=∠NOC，再得出答案即可． 【详解】 解：由题意知：∠CMO=∠CNO=90°， 在Rt△MOC和Rt'△NOC中， ， ∴Rt△MOC≌Rt△NOC（HL）， ∴∠MOC=∠NOC， ∴OC是∠AOB的角平分线， 故选：A． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 2．（25-26学年八上·北京第四中学·期中）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】 ∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 3．（25-26学年八上·北京第五十七中学·期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（       ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【分析】 如图：过D作DF⊥AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：如图：过D作DF⊥AB于F, ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D， ∴DF=CD=3 ∵点E为AB的中点， AB＝12 ∴BE=AB=6 ∴△DBE的面积为 ． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出△DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键． 4．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，，垂足分别为E，F，与交于点D，下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（        ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 本题主要考查了垂直定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟记三角形判定定理是解决问题的关键．根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故① 选项正确，由，得，于是得到，选项② 正确，根据全等三角形的性质得到，连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③ 正确，由，得到，根据，，选项④ 错误，进而得到答案． 【详解】 解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故① 选项正确； ， ， ， 得， 在和中， ， ∴，选项② 正确； ， ， 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③ 正确； ， ， ， ， ，选项④ 错误； 故正确的为① ② ③ ， 故选：C． 5．（25-26学年八上·北京十中教育集·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（       ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断① ；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断② ；由角平分线的定义可以判断③ ；由全等三角形的性质可以判断④ ； 【详解】 解：① 过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故① 正确； ② ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故② 错误； ③ ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③ 正确； ④ 由② 可知（）， （）， ∴，， ∴，④ 正确， 故选：C． 6．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若于点M，于点N，则；④其中正确的是（     ） A. 只有①②③ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①③ 【答案】B 【分析】 本题考查了角的平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解． 过点分别作、、的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点到、的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明① 正确；根据四边形的内角和等于可以证明② 错误；根据① 的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③ 正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到④ 正确． 【详解】 解：如图，过点作，垂足为， ①平分，平分，于点，于点， ，， ， 平分，故① 正确，符合题意； ②，， ， ， ， 错误，故② 错误，不符合题意； ③ 在与中， ， ， ， 同理可得， ， ， 故本小题正确，符合题意； ④平分，平分， ，， ， 故本小题正确，符合题意． 综上所述，① ③ ④ 符合题意． 故选：B． 7．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．    （1）依题意补全图形； （2）设∠C＝α， ①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）； ②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明． 【答案】（1）如图： （2）①45°−α ② ∠DFC＝2∠BDF， 证明：∵DF∥AB， ∴∠DFC＝∠ABC． ∠ABD＝∠BDF． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD． ∴∠DFC＝2∠BDF． 【分析】 （1）过D画DE⊥BC，DF∥AB即可； （2）① 根据余角的定义和角平分线的定义可得； ② 根据角平分线定义可得∠ABC＝2∠ABD，再根据DE∥AB可得∠DFC＝∠ABC，∠ABD＝∠BDF，可得∠DFC＝2∠BDF． 【详解】 （1）略 （2）① ∵∠A＝90°， ∴∠ABC＝90°−∠C＝90°−α， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC＝（90°−α）＝45°−α， 故答案为45°−α； ② 略 【点睛】 此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等． 8．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴；     （2）4．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）如图，，平分，若，那么的度数是　　　 【答案】度 【分析】 本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义等知识点，由，平分，，可得，，进而即可得解． 【详解】 解：如图， ∵，平分，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·北京第四十三中学·期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　　　　　　． 【答案】30 【分析】 如图，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝4，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】 过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°， ∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC， ∴DE＝DC=4， ∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝×BC×CD＋×AB×DE＝×9×4＋×6×4＝30， 故答案为：30． 【点睛】 本题考查了三角形的面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DC是解此题的关键． 11．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 【答案】（1） 如图所示：      （2）（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等      【分析】 本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． （1）按照题目中的已知作法作图即可； （2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·北京汇文中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是坐标轴上两点，连接，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点C．若点C的坐标为，则点C到的距离是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查作图中的角平分线做法，以及角平分线的性质和点与距离的关系，过点C作于点D，由作图痕迹可知平分，结合点坐标即可知，即知点C到的距离． 【详解】 解：如图，过点C作于点D， 由作图痕迹可知平分， ∵，点C的坐标为， ∴， 即点C到的距离是2． 故答案为：2． 13．（25-26学年八上·北京延庆·期中）如图，射线平分，点是上一点，过点作于点，在射线上任取一点，连接，在上取一点，连接，使得．给出下列结论：；；；．上述结论中，所有正确结论的是　　　　　　．（只填写序号） 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，由角平分线性质可得，证明，可判断；由，则，证明，所以，通过线段和差即可判断；由，则，从而判断；由，则，通过角度和差得出，然后通过三角形内角和定理即可判断． 【详解】 解：如图，过作于点， ∵，射线平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，故正确； 综上，所有正确结论有． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·北京第二中学·期中）（1）在内部求作一点P，使得点P到的距离相等，且到两个点的距离相等；    （2）猜想与满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）如图所示，    （2），证明如下： 如图，过点P分别作于点D，交的延长线于点E，    由作图可知，为的角平分线，点P是线段垂直平分线上的点， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ． 【分析】 （1）作的角平分线交直线的垂直平分线于点P，则点P即为所求； （2）过点P分别作于点D，交的延长线于点E，通过证明得出，即可推出结论． 【详解】 解：（1）分别作的角平分线，作的垂直平分线交于点P，点P即为所求； （2）略 【点睛】 本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线证明是解（2）的关键． 15．（25-26学年八上·北京燕山地·期中）下面是小东设计的尺规作图过程： 已知：如图，在中，． 求作：点，使得点在边上，且点到和的距离相等． 作法： ①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③画射线交于点．所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：过点作于点，连接． 在和中， ， ______________________（___________）（填推理的依据）． ， ． ， （___________）（填推理的依据）． 【答案】（1） 如图所示： ；     （2） ；；全等三角形对应角相等；角平分线上的点到角两边的距离相等      【分析】 本题考查尺规作图作角平分线、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键． （1）根据题中描述，尺规作图作的角平分线即可得到答案； （2）由全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：过点作于点，连接，如图所示： 在和中， ， （全等三角形对应角相等）． ， ． ， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． 16．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，在中，D是的中点，，垂足分别是． 求证： （1）； （2）是的角平分线． 【答案】（1） 证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴ ∴．     （2） 证明：∵，， ∴平分， ∴是的角平分线．      【分析】 （1）先说明，再根据可证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由再结合角平分线的判定即可得是的角平分线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 17．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）如图，在中，． （1）尺规作图，求作的平分线交于点E；（保留作图痕迹） （2）由（1）可知点E到的距离相等，依据是______； （3）取边的中点D，连接，画出边上的高； （4）若的面积是20，，则_____．（直接写出结果） 【答案】（1）如图，射线即为所求．     （2）角平分线上的任意一点到角两边的距离相等     （3） 如图，即为所求．      （4）      【分析】 （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）结合角平分线的性质可得答案． （3）先作的垂直平分线找到的中点D，连接，再结合三角形的高的定义过点B作的垂线即可． （4）由题意得，即，求出即可． 本题主要考查尺规作图，熟练掌握尺规作图的基本方法，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知点E到的距离相等，依据是角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 点D为边的中点，的面积是20， ， ， ， 故答案为： 18．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）在四边形中，平分，于点D，且．求证： 【答案】证明：过点P作交的延长线于点M， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴． 【分析】 过点P作交的延长线于点M，根据角平分线的性质得出，利用判定，根据全等三角形的性质及邻补角的定义即可得解． 【详解】 略． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用判定是解题的关键． 19．（25-26学年八上·北京第七中学·期中）（多选）如图,在Rt△ABC中,∠B=90°． 作出,∠BAC的平分线AM；要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法 若∠BAC的平分线AM与BC交于点D,且D=3,AC=10,则DAC的面积为______． 【答案】（1）∠BAC的平分线AM如图所示； ；（2）15. 【分析】 （1）利用基本作图，作∠BAC的平分线即可； （2）作DF⊥AC于F．利用角平分线的性质定理证明DF=DE=3，即可解决问题. 【详解】 （1）略 （2）作DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DB⊥BA，DF⊥AC， ∴DB=DF=3， ∴S△DAC=•AC•DF=×10×3=15， 故答案为15． 【点睛】 本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会添加常用辅助线. 20．（25-26学年八上·北京第十五中学·期中）如图，平分，，，垂足分别为E，F，点B在上，且 （1）求证：； （2）若，，求BE的长． 【答案】（1） 证明：平分，，， ， 在与中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，再利用线段和差计算即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解；由（1）可知， ， 平分，，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， 即， ． 21．（25-26学年八上·北京第二十中学·期中）如图，于点E，于点F，求证：． 【答案】证明：如解图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 连接，先由证明，则得到平分，再由角平分线性质定理求证即可． 【详解】 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．C 8．【答案】:度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质作答即可. 【详解】 解：由左图可知边b的对角为， ∵两个三角形全等， ∴， 故答案为：． 9．【答案】或 【分析】 本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】 解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ， ① 当，，， ， 解得：， ； ② 当，，， ， 解得：， ； 故答案为：或． 10．【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a，c边的夹角，然后写出即可． 【详解】 解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据，则，故，又因为，，所以，即可作答． 【详解】 解：∵， ， 则 ， ，， 则 ， 故答案为： 12．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形对应角相等来确定的度数． 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，找到与对应的角，从而得出的度数． 【详解】 解：因为两个三角形全等，在左边的三角形中，边长为和的两边的夹角是，右边的三角形中，边长为和的两边的夹角为， 根据全等三角形对应角相等，所以． 故答案为：． 13．【答案】10度 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， 故答案为：10度． 14．【答案】2或4 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】 解：作于E，作于F． 分以下情况：① 如图1，P在上，Q在上，     ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ② 当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，     ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 考点02 三角形全等的判定 1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D 8．A 9．A 10．D 11．C 12．D 13．C 14．B 15．C 16．【答案】边角边 【分析】 根据题意可得，，，，再根据全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】 解：根据题意可得，，，， 则， 故答案为： 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 17．【答案】（或） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理作答即可． 【详解】 解：由题意知，，， 添加时，， 故答案为：． 18．【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ 【分析】 利用证明，根据全等三角形的性质可得，，再由，，即可得出 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 20．【答案】，证明如下： ∵， ∴； ∵、分别是，的对应边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据全等三角形的性质得到，再由三角形中线的定义推出，则可证明，进而证明． 【详解】 略 21．【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由可得，再由“”即可证明． 【详解】 略 22．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 连接，根据题意可得，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：连接，如下图： 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 23．【答案】证明：， ， 即， ，． 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用定理证明，根据全等三角形的对应角相等得到，根据平行线的性质证明． 【详解】 略 24．【答案】证明：在和中， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，证明两个三角形全等是解决本题的关键． 证明即可求证． 【详解】 略 25．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】 解：∵， ∴当时，； 故答案为：（答案不唯一） 26．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了三角形全等的判定：添加条件使三角形全等，由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】 依题意，若添加条件是， ∴在和中， ， 使得， 则添加的条件可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 27．【答案】∵AB=AC， ∠B=∠C， ∠A是公共角， ∴△ABE≌△ACD，（ASA）， ∴BE=CD．（全等三角形的对应边相等）． 【详解】 试题分析：利用已知条件证明△ABE≌△ACD（ASA），然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 试题解析：略 考点：全等三角形的判定与性质． 28．【答案】140 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出，再证明，推出，即可求解． 【详解】 .解： ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：140． 29．【答案】（答案不唯一） 【分析】 已知两组对应边相等，由全等三角形的判定方法即可得到答案；本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：， ， ， 在和中， ， ． 故答案为：（答案不唯一）． 30．【答案】证明：∵C是的中点， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质．证明即可得到结论． 【详解】 略 31．【答案】（1）证明： ， 即 又， （2） 【分析】 （1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F． 【详解】 （1）略 （2）解：，， 【点睛】 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 32．【答案】证明：在和中， ， ， ． 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据已知条件可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】 略 33．【答案】或或或 【分析】 根据三角形全等的判定，结合已知选择添加条件即可． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：线段相交于点O，， ， 点O是线段的中点， ， 当再添加一个条件使得有以下四种情况： ① 当添加条件，可以使得，理由如下： 在和中， ， ； ② 当添加条件，可以使得，理由如下： 在和中， ， ； ③ 当添加条件，可以使得，理由如下： 在和中， ， ； ④ 当添加条件时，可以使得，理由如下： ， 在和中， ， ， 综上所述：再添加一个条件是或或或， 故答案为：或或或． 34．【答案】（1）① △BMF，SAS；②60； （2）证明：由① 知，∠BFE=60°， ∴∠CFD=∠BFE=60° ∵△BEF≌△BMF， ∴∠BFE=∠BFM=60°， ∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°， ∴∠CFM=∠CFD=60°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠FCM=∠FCD， 在△FCM和△FCD中， ， ∴△FCM≌△FCD（ASA）， ∴CM=CD， ∴BC=CM+BM=CD+BE， ∴BE+CD=BC． 【分析】 （1）① 由BD，CE是△ABC的两条角平分线知∠FBE=∠FBC=∠ABC，结合BE=BM，BF=BF，依据“SAS”即可证得△BEF≌△BMF； ② 利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论； （2）利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论． 【详解】 （1）解：① 在BC上取一点M，使BM=BE，连接FM，如图所示： ∵BD、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠FBE=∠FBM=∠ABC， 在△BEF和△BMF中， ， ∴△BEF≌△BMF（SAS）， 故答案为：△BMF，SAS； ② ∵BD、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠FBC+FCB=（∠ABC+∠ACB）， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°， ∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×120°=120°， ∴∠EFB=60°， 故答案为：60； （2）略 【点睛】 本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键． 35．【答案】证明：∵， ， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴， 在和中， ∴． ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先通过角度关系证得，进而证得，再通过全等三角形性质即可得证． 【详解】 略 36．【答案】见解析 【分析】 本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键； 根据平行线的性质可得，进而可证明，即可得到结论． 【详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 37．【答案】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，线段的和差，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的和与差得出相等边，根据平行线的性质得出相等角，然后利用边角边证明，即可得出结论． 【详解】 略 38．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定． 【详解】 ， 当时，依据ASA可得，， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 39．【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】 略 40．【答案】证明：∵， ∴， 即：， 在和 中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，关键是角的转换； 通过证明两三角形全等将转换成，由外角的性质可论证出结论． 【详解】 略 41．【答案】 ，理由如下： ， ， 、是的两条角平分线， ， ， ． 在线段上取一点，使， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形的角平分线定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．证三角形全等是解决本题的关键. （1）先根据三角形内角和求出，再根据三角形角平分线求出，最后根据三角形内角和求得即可； （2）在线段上取一点，使，先求出，再证，，得出，最后根据即可得证． (1) 小问详解： 解：， ， 、是的两条角平分线， ， ， ． (2) 小问详解： 解：略． 42．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键． 过作轴于点，证明，得到，从而可得坐标． 【详解】 解：如图，过作轴于点， 则， 在和中， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 43．【答案】证明：， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ． 【分析】 本题考查了平行线的性质、线段的和差，全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据平行线的性质得出，再根据线段的和差得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 44．【答案】（1） 证明：作于点P，于点Q，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设交于点I，则， ∴．     （2） 补全图片如图所示， ，理由为： 在上取一点R，使， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）作于点P，于点Q，证明，得到，设交于点I，则，即可得证； （2）线段和线段的延长线上分别取点F、点G，连接、，使，证明，推出，得到，则，从而即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 45．【答案】90 【分析】 先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90 46．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据平角的定义准确计算是解题的关键． 先证明，得出，再根据平角的定义求解即可． 【详解】 ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案是：． 47．【答案】，，理由如下： ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 根据证明三角形全等即可． 【详解】 略 48．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，直角三角形的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明即可； 由，得，，然后通过线段和差即可求证； （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明，再由全等三角形性质，线段和差即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，理由， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 49．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明是解题的关键． 由证明得出，进而求得，然后根据即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 又由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 50．【答案】（1）如图所示： （2）证明：∵AB⊥AC，BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+∠B=90°，∠CFA=∠AEB=90°． ∴∠CAF=∠B． 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE≌△CAF（AAS）．         ∴BE=AF，AE=CF． ∵AF=AE+EF， ∴BE=EF+CF． 【分析】 （1）根据题画图；（2）证△ABE≌△CAF（AAS），得BE=AF，AE=CF． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 考核知识点：全等三角形判定和性质.熟记判定定理是关键. 51．【答案】直线为直线的平行线， 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 题目主要考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，理解题意，根据作图方法作图，然后证明得到，利用平行线的判定可得结论． 【详解】 略 52．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键． （1） 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，再结合，，利用证明即可； （2）由，得，推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 53．【答案】（1）     （2） 解：， 证明如下：如图，延长至H，使，连接， ∵点D是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． （1）可证明，利用等角对等边即可得出； （2）延长至H，使，连接，由可证，可得，结合，可证，可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 54．【答案】AE=AD 【详解】 要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A， 则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等； 或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等； 或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等． 故答案为：AE=AD（答案不唯一）． 55．【答案】（1） ∵， ∴． ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴．     （2）      【分析】 （1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答． （2）由（1）得，且，即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴，且. ∴． 【点睛】 三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 56．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题关键．通过倍长中线构造全等三角形，将转化为三角形一边的一半，再利用三角形三边关系求解即可． 【详解】 解：如图，延长至，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为：． 57．【答案】（1） 解：图形如下：      （2）①； ②，证明如下： 在线段上取，连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， 由① 知， ，， ∴， ∴， 由① 知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是由表示各个角度从而得到关系． （1）根据题意补全图形即可； （2）① 连接辅助线构造等腰三角形，根据等边三角形的性质，可求解，再根据三角形内角和求解即可； ② 构造辅助线，由角边角的方法证明，可得，，再证明为等边三角形，可得，，再根据角角边的证明方法证明，由此可得，根本边的关系即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴，且， ∴， 即的大小为； ② 略 58．【答案】（1）①；②或     （2）或      【分析】 本题考查坐标与图形，涉及等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质，数形结合，理解新定义是解决问题的关键． （1）① 在平面直角坐标系中描点，连接，如图所示，结合“相关点”定义即可得到答案；② 以为直径作圆，再作线段的垂直平分线，与圆的交点即是点，即可得到答案； （2）根据题意，分情况，利用三角形全等的判定与性质求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：① 在平面直角坐标系中描点，连接，如图所示： 点关于点的“相关点”为， 故答案为：； ② 如图所示： 点的坐标为或； (2) 小问详解： 解：当时，点在轴正半轴上，如图所示： 过点作轴，如图所示， ，， ， 在和中， ， ，， 则， ； 如图所示： 同理可得，； 当时，点在轴负半轴上，如图所示： 过点作轴，如图所示， ，， ， 在和中， ， ，， 则， ； 如图所示： 同理可得，； 综上所述，点关于点的“相关点”的坐标为或． 考点03 角的平分线 1．A 2．C 3．C 4．C 5．C 6．B 7．【答案】（1）如图： （2）①45°−α ② ∠DFC＝2∠BDF， 证明：∵DF∥AB， ∴∠DFC＝∠ABC． ∠ABD＝∠BDF． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD． ∴∠DFC＝2∠BDF． 【分析】 （1）过D画DE⊥BC，DF∥AB即可； （2）① 根据余角的定义和角平分线的定义可得； ② 根据角平分线定义可得∠ABC＝2∠ABD，再根据DE∥AB可得∠DFC＝∠ABC，∠ABD＝∠BDF，可得∠DFC＝2∠BDF． 【详解】 （1）略 （2）① ∵∠A＝90°， ∴∠ABC＝90°−∠C＝90°−α， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC＝（90°−α）＝45°−α， 故答案为45°−α； ② 略 【点睛】 此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等． 8．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴；     （2）4．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．【答案】度 【分析】 本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义等知识点，由，平分，，可得，，进而即可得解． 【详解】 解：如图， ∵，平分，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．【答案】30 【分析】 如图，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝4，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】 过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°， ∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC， ∴DE＝DC=4， ∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝×BC×CD＋×AB×DE＝×9×4＋×6×4＝30， 故答案为：30． 【点睛】 本题考查了三角形的面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DC是解此题的关键． 11．【答案】（1） 如图所示：      （2）（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等      【分析】 本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． （1）按照题目中的已知作法作图即可； （2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】2 【分析】 本题主要考查作图中的角平分线做法，以及角平分线的性质和点与距离的关系，过点C作于点D，由作图痕迹可知平分，结合点坐标即可知，即知点C到的距离． 【详解】 解：如图，过点C作于点D， 由作图痕迹可知平分， ∵，点C的坐标为， ∴， 即点C到的距离是2． 故答案为：2． 13．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，由角平分线性质可得，证明，可判断；由，则，证明，所以，通过线段和差即可判断；由，则，从而判断；由，则，通过角度和差得出，然后通过三角形内角和定理即可判断． 【详解】 解：如图，过作于点， ∵，射线平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，故正确； 综上，所有正确结论有． 故答案为：． 14．【答案】（1）如图所示，    （2），证明如下： 如图，过点P分别作于点D，交的延长线于点E，    由作图可知，为的角平分线，点P是线段垂直平分线上的点， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ． 【分析】 （1）作的角平分线交直线的垂直平分线于点P，则点P即为所求； （2）过点P分别作于点D，交的延长线于点E，通过证明得出，即可推出结论． 【详解】 解：（1）分别作的角平分线，作的垂直平分线交于点P，点P即为所求； （2）略 【点睛】 本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线证明是解（2）的关键． 15．【答案】（1） 如图所示： ；     （2） ；；全等三角形对应角相等；角平分线上的点到角两边的距离相等      【分析】 本题考查尺规作图作角平分线、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键． （1）根据题中描述，尺规作图作的角平分线即可得到答案； （2）由全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：过点作于点，连接，如图所示： 在和中， ， （全等三角形对应角相等）． ， ． ， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． 16．【答案】（1） 证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴ ∴．     （2） 证明：∵，， ∴平分， ∴是的角平分线．      【分析】 （1）先说明，再根据可证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由再结合角平分线的判定即可得是的角平分线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 17．【答案】（1）如图，射线即为所求．     （2）角平分线上的任意一点到角两边的距离相等     （3） 如图，即为所求．      （4）      【分析】 （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）结合角平分线的性质可得答案． （3）先作的垂直平分线找到的中点D，连接，再结合三角形的高的定义过点B作的垂线即可． （4）由题意得，即，求出即可． 本题主要考查尺规作图，熟练掌握尺规作图的基本方法，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知点E到的距离相等，依据是角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 点D为边的中点，的面积是20， ， ， ， 故答案为： 18．【答案】证明：过点P作交的延长线于点M， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴． 【分析】 过点P作交的延长线于点M，根据角平分线的性质得出，利用判定，根据全等三角形的性质及邻补角的定义即可得解． 【详解】 略． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用判定是解题的关键． 19．【答案】（1）∠BAC的平分线AM如图所示； ；（2）15. 【分析】 （1）利用基本作图，作∠BAC的平分线即可； （2）作DF⊥AC于F．利用角平分线的性质定理证明DF=DE=3，即可解决问题. 【详解】 （1）略 （2）作DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DB⊥BA，DF⊥AC， ∴DB=DF=3， ∴S△DAC=•AC•DF=×10×3=15， 故答案为15． 【点睛】 本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会添加常用辅助线. 20．【答案】（1） 证明：平分，，， ， 在与中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，再利用线段和差计算即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解；由（1）可知， ， 平分，，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， 即， ． 21．【答案】证明：如解图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 连接，先由证明，则得到平分，再由角平分线性质定理求证即可． 【详解】 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $