专题07 分式（期中真题汇编，北京专用）八年级数学上学期

专题07 分式 5大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）若分式的值为0，则x的值为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了分式的值为零，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】 解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 2．（25-26学年八上·北京延庆·期中）若分式的值为0，则x的值等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查分式的值为零，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：且， ∴； 故选A． 3．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意得，， 解得． 故选：D． 【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零． 4．（25-26学年八上·北京延庆·期中）在代数式中，其中分式有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查分式的定义，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫作分式，进行判断即可． 【详解】 解：在代数式中，其中分式有，共4个； 故选D． 5．（2026·北京房山·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）若分式有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. 任意数 【答案】A 【分析】 此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 根据分式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】 解：由题意得，， 解得：， 故选：． 7．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）如果分式的值为零，那么x应为（       ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 【答案】A 【分析】 让分子为0，分母不为0列式求值即可． 【详解】 解：由题意得： ， 解得： ， ∴． 故选：A． 【点睛】 本题考查了分式值为0的条件的应用；用到的知识点为：分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0． 8．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）若分式有意义，则x的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】； 【分析】 根据分母不等于0，即可求出答案． 【详解】 解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0． 9．（2026·北京房山·一模）若分式的值为0，则x的值为　　　　． 【答案】1 【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0， ∴x=1. 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 10．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）若分式的值为，则的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零． 【详解】依题意得：x＋2＝0且x−3≠0， 解得x＝−2． 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 11．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； （1）请根据以上信息，任写一个真分式； （2）将分式化为整式与真分式的和的形式； （3）如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】（1）（答案不唯一）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． (1) 小问详解： 解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）下列分式变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】 解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（       ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】A 【分析】 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：A． 3．（25-26学年八上·北京延庆·期中）计算的结果是（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】 解：； 故选B． 4．（25-26学年八上·北京延庆·期中）分式与的最简公分母是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】 解：分式与的最简公分母是； 故选A． 5．（2026·北京房山·一模）下列等式成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了分式的基本性质，通过检查每个等式的恒等性，使用分式的基本性质和指数运算法则判断即可． 【详解】 解：A、，故A错误，不符合题意； B、与在x不为零时不一定相等（如，左边，右边），故B错误，不符合题意； C、， （当时），故C正确，符合题意； D、 （如时，左边，右边），故D错误，不符合题意； 故选：C． 6．（2026·北京房山·一模）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（     ） A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不变 【答案】A 【分析】 本题考查了分式的性质，先整理新的分式，再与原分式进行比较，即可作答． 【详解】 解：依题意，新的分式， ∵原分式，且， ∴新分式原分式， 故分式的值缩小为原来的， 故选：A 7．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）若表示一个整数，则整数x可取的值的个数是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 由表示一个整数且为整数，则或，进而求出的值． 【详解】 解：表示一个整数且是整数， 或． 当，则或2． 当，则或． 综上，整数的取值有、0、2、3，共4个． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查分式，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． 8．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（       ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【分析】 此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】 解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 故选：C． 9．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）下列等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据分式的化简步骤和同底数幂相除的法则，将每一个式子进行化简即可. 【详解】A.,正确； B.，错误； C.,错误； D.,错误. 故答案选A 【点睛】本题考查了分式的化简和同底数幂的除法，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的运算法则. 10．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）把分式中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值 A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 缩小到原来的 【答案】A 【详解】试题解析：分式中的m与n都扩大3倍，得 ， 故选A． 11．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）的最简公分母是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】 解：∵分式的分母分别是，，， ∴最简公分母是． 故答案为：． 12．（2026·北京房山·一模）小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是　　　　　　； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是　　　　　　． 【答案】① 分式的基本性质    ② 等式的性质 【分析】 本题主要考查了等式的性质，分式的基本性质，解分式方程的知识，掌握分式方程的解法，是解答本题的关键． （1）根据分式的基本性质即可解答； （2）根据等式的性质即可解答． 【详解】 解：（1）小亮同学第一步的运算是通分，依据的是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，依据的是等式的性质，即等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式． 故答案为：分式的基本性质，等式的性质． 13．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）约分：　　　　　　  ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．通过寻找分子和分母的公因式进行约分即可． 【详解】 解：分子和分母的公因式为， 给分子和分母同时除以得原式． 故答案为：． 14．（2026·北京房山·一模）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】 解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 考点03 分式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）下列各式运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查有理数的基本运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据除法、乘法、减法和乘方求解即可． 【详解】 解：A、 ， ∴A错误； B、， ∴B错误； C、 ， ∴C错误； D、， ∴D正确． 故选D． 2．（2026·北京房山·一模）计算：． 【答案】 【分析】 根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】 解：原式． 【点睛】 本题考查分式的乘除法，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 3．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】此题涉及的知识点是整式的乘法，根据计算法则进行约分计算即可 【详解】 【点睛】此题重点考查学生对整式乘法的应用，约分是解本题的关键 4．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【详解】 解：原式 ． 5．（25-26学年八上·北京延庆·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则进行计算，约分化简即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 6．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）计算：． 【答案】 【分析】 根据分式的除法进行计算即可求解． 【详解】 解： 【点睛】 本题考查了分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 考点04 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）计算： 【答案】 【分析】 本题考查了异分母分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 首先将异分母的分式化为同分母的分式，然后再利用同分母的分式的加减运算法则求解，即可求得答案，注意结果需化简． 【详解】 解：原式 ． 2．（25-26学年八上·北京延庆·期中）是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分式的加减法，根据异分母分式的加减法则，求出，再取倒数即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴； 故答案为： 3．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先化成同分母分式，再根据分式的减法法则计算即可得解； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 4．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）计算． 【答案】 【分析】 本题考查了分式的加法，括号内先通分，再括号外进行通分，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】 解： ． 5．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中） 【答案】． 【分析】首先通分，再按照同分母分式运算法则计算 ． 【详解】 【点睛】 本题考查分式的应用，熟练掌握分式的加减法是解题关键． 6．（25-26学年八上·北京延庆·期中）比较与的大小（其中）． 【答案】 【分析】 本题主要考查分式的大小比较，通过计算两式的差，并利用完全平方公式，判断差的正负，从而比较大小． 【详解】 解：设，，则： ， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， 即． 7．（25-26学年八上·北京延庆·期中）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】 本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】 解：原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 8．（25-26学年八上·北京延庆·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）利用同分母分式减法运算法则计算，并且因式分解、约分，即可求解； （2）先把括号内的分式通分，然后再按照分式的混合运算法则计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 9．（2026·北京房山·一模）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先通分，化为同分母分式，再计算即可； （2）先对分母因式分解，然后通分，化为同分母分式，再计算即可； (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 10．（2026·北京房山·一模）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】 先化简分式得到原式，再将代入即可得到结果． 【详解】 解： ， ∵， ∴， ∴原式=1． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值：先进行分式的乘除运算（把分子或分母因式分解，约分），再进行分式的加减运算（即通分），然后把字母的值代入(或整体代入)进行计算． 11．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）计算： ． 【答案】 【分析】先寻找2个分式分母的最小公倍式(最小公倍是用因式分解的方法去寻找)，将最小公倍式作为结果的分母；然后在进行减法计算最后进行化简 【详解】解：原式= =            =         = = . 【点睛】本题是对分式计算的考察，正确化简是关键 12．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）已知，求代数式的值. 【答案】4. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）① ③ ④     （2），     （3）化简：，      【分析】 （1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． (1) 小问详解： 解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 14．（25-26学年八上·北京延庆·期中）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： （1）已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； （2）已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； （3）已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】（1）与是“和常分式”，且与的“和常值”为     （2）3     （3）0或2      【分析】 本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为； (2) 小问详解： 解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或． 15．（2026·北京房山·一模）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： （1）如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； （2）求代数式的最大值． 【答案】（1） ，；     （2） ．      【分析】 本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式，类比可得：，； 类比中的解题思路，可得：原式，把分母进行配方可得：，根据平方的非负性可知的最小值是，所以的最大值是． (1) 小问详解： 解： ， ，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 考点05 分式方程 1．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（       ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】 解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 2．（2026·北京房山·一模）《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要（试行）（2025年版）》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用研发的两个模型和设计一节通识课。已知单独设计的时间比少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设单独设计需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了分式方程的应用，设单独设计需要x小时，根据工作率问题，则的工作效率为，的工作效率为，合作工作率之和乘以时间等于总工作量1，列出方程即可． 【详解】 解：设单独设计需要x小时，则单独设计需要小时， 则的工作率为，的工作率为， 那么合作时，总工作率为， ∴ ，即， 故选：B． 3．（25-26学年八上·北京延庆·期中）阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值求法是解题的关键． 根据分式有意义的条件可求出的值，将代入求出的值，进而可求的值． 【详解】 解：∵时分式无意义， ∴， 即， 将，代入得：， 解得：， 将，代入，则分式为：． 将代入得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 将代入得：， 解得：， 则C结论错误， 故选：C． 4．（25-26学年八上·北京延庆·期中）某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】 解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 5．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【分析】 本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】 解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．                                                                  由题意，得．                                 解得．                                                     经检验，是原方程的解，且符合题意．    答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 6．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）解分式方程：． 【答案】 【分析】 本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确分式方程的方法，注意分式方程要检验． 根据解分式方程的方法可以解答本题． 【详解】 解： 解得， 检验：当时，， 该方程的解为． 7．（25-26学年八上·北京延庆·期中）方程的解为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分式方程的解法可直接进行求解． 【详解】 解： ， ∴， 经检验：是原方程的解． 故答案为：x=3． 【点睛】 本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 8．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）解分式方程． 【答案】 【分析】 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】 解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为． 9．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）若关于x的分式方程无解．求m的值． 【答案】2或－4 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x＝1或−1，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】 解：分式方程两边同乘（x＋1）（x−1）， 去分母得：m－（x＋1）＝2（x−1）， 整理得：3x＝m＋1， 由分式方程无解得到x−1＝0，或x＋1＝0，即x＝1或−1， 代入整式方程得：m＝2或－4． 【点睛】 此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0． 10．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）解分式方程：． 【答案】无解 【分析】 本题考查解分式方程．根据解分式方程的方法可以解此方程． 【详解】 解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验，当时，， 原分式方程无解． 11．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前1分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 乌龟先生：我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距12米的大柳树下，比赛枪声响后，先到是冠军．蚂蚁 【答案】蚂蚁的速度是2米/分，乌龟的速度是米/分． 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设蚂蚁的速度是x米/分，则乌龟的速度是米/分，根据乌龟比蚂蚁提前1分钟跑到终点，列出分式方程，解方程即可． 【详解】 解：设蚂蚁的速度是x米/分，则乌龟的速度是米/分， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：蚂蚁的速度是2米/分，乌龟的速度是米/分． 12．（25-26学年八上·北京延庆·期中）为增强学生体质，某校准备购买一批短跳绳用于学生大课间锻炼，已知甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同．该校有105名学生，若计划用2000元购买甲种跳绳，是否能保障每名学生一根？请通过计算说明． 【答案】不能保障每名学生一根跳绳 【分析】 本题考查分式方程的实际应用，设甲种跳绳的单价为x元，根据用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为元． 根据题意，得 ． 解得； 经检验是原方程的解， （根）， ∵， ∴不能保障每名学生一根跳绳． 13．（25-26学年八上·北京延庆·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键． （1）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可； (1) 小问详解： 解：去分母，得， 解得； 检验，当时，， ∴原方程的解为； (2) 小问详解： 去分母，得， ， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解． 14．（2026·北京房山·一模）解分式方程： （1） −1=； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据解分式方程的步骤解答即可； （）先对分式方程的分母进行因式分解，再根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； (2) 小问详解： 解：方程可化为， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 15．（2026·北京房山·一模）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】元 【分析】 本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】 解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 16．（2026·北京房山·一模）若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】 解： ， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 17．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）京西山峦，首都的生态屏障，我区坚持生态优先，绿色发展的理念，持续拓展绿色生态空间.某公园为了拓展绿色生态空间，特安排了甲、乙两个工程对进行绿化.已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍，并且两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米？ 【答案】乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米. 【分析】设乙工程队每天能完成的绿化面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化面积是2x平方米，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时甲工程队比乙工程队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论． 【详解】设乙工程队每天能完成的绿化面积是平方米，那么甲工程队每天能完成的绿化面积是平方米， 根据题意得： 解得： 经检验：是所列方程的解，并且符合实际问题的意义； 当时， 答：乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式是解题的关键． 18．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）解方程：. 【答案】原方程无解. 【分析】把分式方程去分母变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】， 方程两边同时乘以，得 ∴ ∴ ， ， 检验：当时，，原方程中的分式无意义. ∴原方程无解. 【点睛】本题考查了解分式方程的应用，解此题的关键是能把分式方程转化成整式方程，题目比较好，难度适中． 19．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）阅读下列材料并解决问题：，，，，． （1）____________ （2）利用上述结论计算： ； （3）解方程：． 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查了解分式方程，分数的混合运算，理解题意，熟练掌握分数混合运算法则以及分式方程的解法是解题的关键． （1）将原式化为，即进行计算即可； （2）将原式化为…，即进行计算即可； （3）将原方程化为，再根据分式方程的解法进行解答即可． (1) 小问详解： 解：，，，…，， ； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：原式… ； (3) 小问详解： 解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 20．（2026·北京房山·一模）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】（1）①     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． (1) 小问详解： 解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故① 正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故② 错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③ 错误； 故答案为：① ； (2) 小问详解： 解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； (3) 小问详解： 解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式 5大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）若分式的值为0，则x的值为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  2．（25-26学年八上·北京延庆·期中）若分式的值为0，则x的值等于（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京延庆·期中）在代数式中，其中分式有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．（2026·北京房山·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）若分式有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. 任意数 7．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）如果分式的值为零，那么x应为（       ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 8．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）若分式有意义，则x的取值范围是　　　　　　　　　　． 9．（2026·北京房山·一模）若分式的值为0，则x的值为　　　　． 10．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）若分式的值为，则的值为　　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； （1）请根据以上信息，任写一个真分式； （2）将分式化为整式与真分式的和的形式； （3）如果分式的值为整数，求的整数值． 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）下列分式变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（       ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 3．（25-26学年八上·北京延庆·期中）计算的结果是（     ） A. 2 B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京延庆·期中）分式与的最简公分母是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·北京房山·一模）下列等式成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（2026·北京房山·一模）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（     ） A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不变 7．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）若表示一个整数，则整数x可取的值的个数是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（       ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 9．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）下列等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）把分式中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值 A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 缩小到原来的 11．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）的最简公分母是　　　　　　　　　　　　　． 12．（2026·北京房山·一模）小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是　　　　　　； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是　　　　　　． 13．（25-26学年八上·北京西城区鲁迅中学·期中）约分：　　　　　　  ． 14．（2026·北京房山·一模）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是　　　　　． 考点03 分式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·北京第五十中学·期中）下列各式运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·北京房山·一模）计算：． 3．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）计算：　　　　　　． 4．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）计算：　　　　　　． 5．（25-26学年八上·北京延庆·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）计算：． 考点04 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）计算： 2．（25-26学年八上·北京延庆·期中）是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）计算 （1）； （2）． 4．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）计算． 5．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中） 6．（25-26学年八上·北京延庆·期中）比较与的大小（其中）． 7．（25-26学年八上·北京延庆·期中）已知：，求代数式的值． 8．（25-26学年八上·北京延庆·期中）计算： （1）； （2）． 9．（2026·北京房山·一模）计算： （1）； （2）． 10．（2026·北京房山·一模）已知，求代数式的值． 11．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）计算： ． 12．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）已知，求代数式的值. 13．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 14．（25-26学年八上·北京延庆·期中）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： （1）已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； （2）已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； （3）已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 15．（2026·北京房山·一模）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： （1）如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； （2）求代数式的最大值． 考点05 分式方程 1．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（       ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 2．（2026·北京房山·一模）《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要（试行）（2025年版）》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用研发的两个模型和设计一节通识课。已知单独设计的时间比少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设单独设计需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京延庆·期中）阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京延庆·期中）某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 6．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）解分式方程：． 7．（25-26学年八上·北京延庆·期中）方程的解为　　　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）解分式方程． 9．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）若关于x的分式方程无解．求m的值． 10．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）解分式方程：． 11．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前1分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 乌龟先生：我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距12米的大柳树下，比赛枪声响后，先到是冠军．蚂蚁 12．（25-26学年八上·北京延庆·期中）为增强学生体质，某校准备购买一批短跳绳用于学生大课间锻炼，已知甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同．该校有105名学生，若计划用2000元购买甲种跳绳，是否能保障每名学生一根？请通过计算说明． 13．（25-26学年八上·北京延庆·期中）解下列方程： （1）； （2）． 14．（2026·北京房山·一模）解分式方程： （1） −1=； （2）． 15．（2026·北京房山·一模）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 16．（2026·北京房山·一模）若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 17．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）京西山峦，首都的生态屏障，我区坚持生态优先，绿色发展的理念，持续拓展绿色生态空间.某公园为了拓展绿色生态空间，特安排了甲、乙两个工程对进行绿化.已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍，并且两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米？ 18．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）解方程：. 19．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）阅读下列材料并解决问题：，，，，． （1）____________ （2）利用上述结论计算： ； （3）解方程：． 20．（2026·北京房山·一模）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．A 2．A 3．D 4．D 5．D 6．A 7．A 8．【答案】； 【分析】 根据分母不等于0，即可求出答案． 【详解】 解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0． 9．【答案】1 【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0， ∴x=1. 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 10．【答案】 【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零． 【详解】依题意得：x＋2＝0且x−3≠0， 解得x＝−2． 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 11．【答案】（1）（答案不唯一）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． (1) 小问详解： 解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】 考点02 分式的基本性质 1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．C 9．A 10．A 11．【答案】 【分析】 本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】 解：∵分式的分母分别是，，， ∴最简公分母是． 故答案为：． 12．【答案】① 分式的基本性质    ② 等式的性质 【分析】 本题主要考查了等式的性质，分式的基本性质，解分式方程的知识，掌握分式方程的解法，是解答本题的关键． （1）根据分式的基本性质即可解答； （2）根据等式的性质即可解答． 【详解】 解：（1）小亮同学第一步的运算是通分，依据的是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，依据的是等式的性质，即等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式． 故答案为：分式的基本性质，等式的性质． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．通过寻找分子和分母的公因式进行约分即可． 【详解】 解：分子和分母的公因式为， 给分子和分母同时除以得原式． 故答案为：． 14．【答案】0 【分析】 本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】 解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 考点03 分式的乘法与除法 1．D 2．【答案】 【分析】 根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】 解：原式． 【点睛】 本题考查分式的乘除法，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 3．【答案】 【分析】此题涉及的知识点是整式的乘法，根据计算法则进行约分计算即可 【详解】 【点睛】此题重点考查学生对整式乘法的应用，约分是解本题的关键 4．【答案】 【分析】 本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【详解】 解：原式 ． 5．【答案】 【分析】 本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则进行计算，约分化简即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 根据分式的除法进行计算即可求解． 【详解】 解： 【点睛】 本题考查了分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 考点04 分式的加法与减法 1．【答案】 【分析】 本题考查了异分母分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 首先将异分母的分式化为同分母的分式，然后再利用同分母的分式的加减运算法则求解，即可求得答案，注意结果需化简． 【详解】 解：原式 ． 2．【答案】 【分析】 本题考查分式的加减法，根据异分母分式的加减法则，求出，再取倒数即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴； 故答案为： 3．【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先化成同分母分式，再根据分式的减法法则计算即可得解； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 4．【答案】 【分析】 本题考查了分式的加法，括号内先通分，再括号外进行通分，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】 解： ． 5．【答案】． 【分析】首先通分，再按照同分母分式运算法则计算 ． 【详解】 【点睛】 本题考查分式的应用，熟练掌握分式的加减法是解题关键． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查分式的大小比较，通过计算两式的差，并利用完全平方公式，判断差的正负，从而比较大小． 【详解】 解：设，，则： ， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， 即． 7．【答案】 【分析】 本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】 解：原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）利用同分母分式减法运算法则计算，并且因式分解、约分，即可求解； （2）先把括号内的分式通分，然后再按照分式的混合运算法则计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 9．【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先通分，化为同分母分式，再计算即可； （2）先对分母因式分解，然后通分，化为同分母分式，再计算即可； (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 10．【答案】1 【分析】 先化简分式得到原式，再将代入即可得到结果． 【详解】 解： ， ∵， ∴， ∴原式=1． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值：先进行分式的乘除运算（把分子或分母因式分解，约分），再进行分式的加减运算（即通分），然后把字母的值代入(或整体代入)进行计算． 11．【答案】 【分析】先寻找2个分式分母的最小公倍式(最小公倍是用因式分解的方法去寻找)，将最小公倍式作为结果的分母；然后在进行减法计算最后进行化简 【详解】解：原式= =            =         = = . 【点睛】本题是对分式计算的考察，正确化简是关键 12．【答案】4. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．【答案】（1）① ③ ④     （2），     （3）化简：，      【分析】 （1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． (1) 小问详解： 解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 14．【答案】（1）与是“和常分式”，且与的“和常值”为     （2）3     （3）0或2      【分析】 本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为； (2) 小问详解： 解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或． 15．【答案】（1） ，；     （2） ．      【分析】 本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式，类比可得：，； 类比中的解题思路，可得：原式，把分母进行配方可得：，根据平方的非负性可知的最小值是，所以的最大值是． (1) 小问详解： 解： ， ，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 考点05 分式方程 1．D 2．B 3．C 4．D 5．【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【分析】 本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】 解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．                                                                  由题意，得．                                 解得．                                                     经检验，是原方程的解，且符合题意．    答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 6．【答案】 【分析】 本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确分式方程的方法，注意分式方程要检验． 根据解分式方程的方法可以解答本题． 【详解】 解： 解得， 检验：当时，， 该方程的解为． 7．【答案】 【分析】 根据分式方程的解法可直接进行求解． 【详解】 解： ， ∴， 经检验：是原方程的解． 故答案为：x=3． 【点睛】 本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 8．【答案】 【分析】 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】 解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为． 9．【答案】2或－4 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x＝1或−1，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】 解：分式方程两边同乘（x＋1）（x−1）， 去分母得：m－（x＋1）＝2（x−1）， 整理得：3x＝m＋1， 由分式方程无解得到x−1＝0，或x＋1＝0，即x＝1或−1， 代入整式方程得：m＝2或－4． 【点睛】 此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0． 10．【答案】无解 【分析】 本题考查解分式方程．根据解分式方程的方法可以解此方程． 【详解】 解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验，当时，， 原分式方程无解． 11．【答案】蚂蚁的速度是2米/分，乌龟的速度是米/分． 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设蚂蚁的速度是x米/分，则乌龟的速度是米/分，根据乌龟比蚂蚁提前1分钟跑到终点，列出分式方程，解方程即可． 【详解】 解：设蚂蚁的速度是x米/分，则乌龟的速度是米/分， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：蚂蚁的速度是2米/分，乌龟的速度是米/分． 12．【答案】不能保障每名学生一根跳绳 【分析】 本题考查分式方程的实际应用，设甲种跳绳的单价为x元，根据用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为元． 根据题意，得 ． 解得； 经检验是原方程的解， （根）， ∵， ∴不能保障每名学生一根跳绳． 13．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键． （1）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可； (1) 小问详解： 解：去分母，得， 解得； 检验，当时，， ∴原方程的解为； (2) 小问详解： 去分母，得， ， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据解分式方程的步骤解答即可； （）先对分式方程的分母进行因式分解，再根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； (2) 小问详解： 解：方程可化为， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 15．【答案】元 【分析】 本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】 解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 16．【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】 解： ， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 17．【答案】乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米. 【分析】设乙工程队每天能完成的绿化面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化面积是2x平方米，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时甲工程队比乙工程队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论． 【详解】设乙工程队每天能完成的绿化面积是平方米，那么甲工程队每天能完成的绿化面积是平方米， 根据题意得： 解得： 经检验：是所列方程的解，并且符合实际问题的意义； 当时， 答：乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式是解题的关键． 18．【答案】原方程无解. 【分析】把分式方程去分母变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】， 方程两边同时乘以，得 ∴ ∴ ， ， 检验：当时，，原方程中的分式无意义. ∴原方程无解. 【点睛】本题考查了解分式方程的应用，解此题的关键是能把分式方程转化成整式方程，题目比较好，难度适中． 19．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查了解分式方程，分数的混合运算，理解题意，熟练掌握分数混合运算法则以及分式方程的解法是解题的关键． （1）将原式化为，即进行计算即可； （2）将原式化为…，即进行计算即可； （3）将原方程化为，再根据分式方程的解法进行解答即可． (1) 小问详解： 解：，，，…，， ； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：原式… ； (3) 小问详解： 解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 20．【答案】（1）①     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． (1) 小问详解： 解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故① 正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故② 错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③ 错误； 故答案为：① ； (2) 小问详解： 解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； (3) 小问详解： 解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $