专题08 二次根式（期中真题汇编，北京专用）八年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08二次根式 3大高频考点概览 考点01二次根式及其性质 考点02二次根式的乘法与除法 考点03二次根式的加法与减法 》 考点01二次根式及其性质 1.(25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)要使式子口有意义，则x的取值范围是 ) A.X<-2 B.X≤-2 C.X<2 D.X≥-2 2.(25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，那么化 简lc+al+石的正确结果是（ ) c b 0 a A.2b-c B.2b+c C.2a+c D.-2a-c 3.(2026北京房山一模)实数×在 范围内取值时，V口表示二次根式. 4.(25-26学年八上·北京北京学校·期中)若式子▣在实数范围内有意义，则x的取值范围是 5.(25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中)已知实数ā，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 +9可 0 b 6.(25-26学年八上·北京昌平区第二中学.期中)要使二次根式V口有意义，则x的取值范围为」 7. (25-26学年八上北京北京学校期中)已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简口的结 果为 a 0b 考点02二次根式的乘法与除法 1.（2026北京房山一模)下列各式中，是最简二次根式的是() 114 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.▣ B.V▣ c.▣ D.▣ 2.(25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)下列计算中，正确的是( A.+阿石 B.石 C.x9阿石 D.阿石 3.(25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)下列二次根式中，最简二次根式是( A.▣ B.V▣ c.V▣ D.▣ 4.(2026北京房山一模)如图，在矩形ABCD中无重叠地放入面积分别为16cm和12cm2的两张正方 形纸片，则图中空白部分的面积为( A 12 16 B A8-4m石 B.{4-2m▣ c.16-8m▣ D.8-12cm 5.（2026北京房山一模)计算：2号30 叵 6.（25-26学年八上北京昌平区第二中学期中)计算2号“7 叵 考点03二次根式的加法与减法 1.(25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)下列各式中与石是同类二次根式的是 A.V▣ B.V▣ c.▣ D.▣ 2.(25-26学年八上北京昌平区第二中学期中)比大小：3/▣ 2V▣. 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2026北京房山一模)计算：口 4. (25-26学年八上·北京北京学校期中)比较大小：3V叵 /(填“>”，“<”或“= ”）· 5。〔2526学年人北京昌半区国龙意东西学区期中)先化简，再求伯：XX-,其巾 X x=石！ 6.(25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)斐波那契数列是按某种规律排列的一列数，这列 1 数中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n为正整影)个数a,可表示为国表示。通 口√叵 过计算求出斐波那契数列中的第1个数为 ,第2个数为 7.(25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)比较大小：（填“>”、“<”或“=）-3口 π：3V▣ 2V▣ 8.(2026北京房山一模)计算：32石 9.(2026北京房山一模)若a+石，且b是一个单项式，则a可以是 (写出一个即 可) 10.(25-26学年八上北京昌平区第二中学期中)计算：-74小口 11.（25-26学年八上·北京北京学校·期中)阅读下面材料： 1 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如： 一， 类似的把分子中的根号化去就是分子有 理化，例如：.。 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较口和口的 大小，可以先将它们分子有理化如下：.口石因为：阿口：所以阿石 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： (2)比较石和口的大小，并说明理由： (3)将式子厄分子有理化为 ,该式子的最大值为 12.(25-26学年八上北京昌平区回龙观东西学区期中)已知：x=2,y=2石，求x2-y2+3xy 的值. 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2526学年八上北京昌平区回龙观东西学区期中)计算：4啊口 14.(2026北京房山一模)计完：小-r 15.(25-26学年八上·北京昌平区第二中学期中)我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两 个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例 1 如：由（口，可得口与口互为倒数，即1阿万或 一或1呵口 类似地，口，可得 1 阿 二或阿口 根据小明发现的规律，解决下列问题： 1 1 (1)口 （n为正整数) (2)若1 则 2*a=29石 a= 1 (3)求1+工— 一的值. 16.(25-26学年八上北京昌平区第二中学期中)计算：×9石 17.(25-26学年八上北京昌平区第二中学期中)已知x=口+2石，y=-2石，求x2-y2的值. 18.(25-26学年八上北京昌平区回龙观东西学区期中)已知x,y,k都是实数，若水+y=k,则称x与 xy y是关于k的“和谐数对”. (1)2与 是关于的“和谐数对”：3与 1 是关于1的“和谐数对”.+▣与」 是关于2的 “和谐数对”. (2)若a+.口，判断a+口与4.口是否是关于子的“和谐数对”，并说明理由. 3 (3)若p与q是关于□的“和谐数对”，且2+9=4，直接写出p-q的值. qp 23,0=1+1 92026北京房山一模)已知：QE1+子+是a1t人女，1 13242 a,=1++1,其中n为正整数，则（1)石 n(n+1 一：2)的值是 414 专题08 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）要使式子有意义，则x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，然后求解即可． 【详解】 解：要使式子有意义，只需，则． 故选：D． 2．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）实数，，在数轴上的位置如图所示，那么化简的正确结果是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据数轴判断出a和b的取值范围，再根据二次根式的非负性化简式子即可得出答案． 【详解】 解：根据题目可得：，， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】 本题考查的是二次根式的化简求值，注意二次根式的非负性． 3．（2026·北京房山·一模）实数x在　　　　　　范围内取值时，表示二次根式． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式有意义的条件，准确分析计算是解题的关键． 二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】 根据二次根式的定义，被开方数必须满足大于或等于零，即，解得． 故答案为． 4．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】 解：若式子在实数范围内有意义， 则的取值范围是：． 故答案为：． 5．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用数轴判断出、的符号，并进一步确定出的符号；然后利用二次根式的性质，将二次根式化简，再合并同类项即可求得结果． 【详解】 解：由数轴可知：， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 【答案】x≥8 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】∵二次根式有意义， ∴x﹣8≥0， 解得：x≥8 故答案为x≥8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的被开方数为非负数的性质是解题关键. 7．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为　　　　　　　　 【答案】0 【分析】 根据数轴所示，a＜0，b＞0， b-a＞0，依据开方运算的性质，即可求解． 【详解】 解：由图可知：a＜0，b＞0， b-a＞0， ∴． 故填：0． 【点睛】 本题主要考查二次根式的性质和化简，实数与数轴，绝对值的意义，解题的关键在于求出b-a＞0，从而得出|b-a|=b-a． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（2026·北京房山·一模）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了最简二次根式定义，准确判断是解题的关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数），逐一判断各选项． 【详解】 选项中， = ，被开方数含分母，不是最简； 选项中，，可化简为整数，不是最简； 选项中，，可化简，不是最简； 选项中，，被开方数7是质数，无平方因数，是最简二次根式； 故选． 2．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）下列计算中，正确的是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 分别根据二次根式的加、减、乘、除运算法则判断即可． 【详解】 解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 3．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式满足的两个条件逐一判断即可． 【详解】 解：A、，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、在中，无平方因数且无分母，是最简二次根式，符合题意； C、，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 4．（2026·北京房山·一模）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】 解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 5．（2026·北京房山·一模）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】 解： 6．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）计算． 【答案】 【分析】 直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】 = = =． 【点睛】 本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握和灵活运用二次根式的乘除法运算法则． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）下列各式中与是同类二次根式的是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】试题解析：A、，与不是同类二次根式，本选项错误； B、与是同类二次根式，本选项正确； C、与不是同类二次根式，本选项错误； D、与不是同类二次根式，本选项错误． 故选B． 2．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）比大小：　　　　　　　　　　． 【答案】> 【分析】 本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】 解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 3．（2026·北京房山·一模）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查二次根式的化简与加减运算．将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】 解：原式 ． 4．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）比较大小：　　　　　　（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握把根号前面的数变成它的平方移到根号内．先把各个根号前面的数变成它的平方移到根号内，然后比较被开方数的大小，从而比较其算术平方根的大小即可． 【详解】 解：， ∵， ∴，即， 故答案为：． 5．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，. 【分析】 根据分式的除法和平方差公式可以化简题目中的式子，然后代入即可解答本题． 【详解】 解：原式= 当时， 原式 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 6．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）斐波那契数列是按某种规律排列的一列数，这列数中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第为正整数个数可表示为表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为　　　　　　，第2个数为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；将和分别代入斐波那契数列的通项公式，通过二次根式的运算计算即可． 【详解】 解：当时，； 当时， ； 故答案为1；1． 7．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）比较大小：填“>”、“<”或“=”　　　　　　；　　　　　　 【答案】①     ② 【分析】 本题考查的是实数的大小比较，如果有无理数比较大小时，可以采用平方法、比差法、立方法等．对于第一个比较，利用正负数的大小关系；对于第二个比较，通过平方比较两个正无理数的大小． 【详解】 对于第一个空：因为 是负数，而 是正数， ∵负数小于正数， ∴． 对于第二个空：计算平方值，，，由于 ，且两数均为正数，所以 ． 8．（2026·北京房山·一模）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了乘法公式，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先根据平方差公式和完全平方公式展开，再计算乘方，最后计算二次根式的加减法即可． 【详解】 解： ． 9．（2026·北京房山·一模）若，且b是一个单项式，则a可以是　　　　　　．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次根式的加减．首先化简为，然后根据是单项式的条件，分析需与合并为单项式，因此应为的有理倍数． 【详解】 解：∵， ∴． 由于是单项式，因此必须能合并为一个单项式，即必须是的有理倍数． 取，则，0是单项式，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）计算： 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式化简，立方根，绝对值，0指数幂，二次根式的加减等知识，先根据二次根式性质，立方根，绝对值，0指数幂进行化简，再进行计算即可求解﹒ 【详解】 解：原式=﹒ 11．（25-26学年八上·北京北京学校·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ①；②； （2）比较和的大小，并说明理由； （3）将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】（1）①； ②     （2），理由： 由，， 又∵， ∴．              ∴，     （3），      【分析】 （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解： ， ∵ ， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 12．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）已知：，，求的值． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式和完全平方公式是解题的关键．将x、y的值代入原式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则，以及平方差公式和完全平方公式计算可得． 【详解】 解：，， 原式 ． 13．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）计算： 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式加减混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】 解：原式 ． 14．（2026·北京房山·一模）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，绝对值，二次根式化简，零指数幂，负整数指数幂，正确的计算是解题的关键． 根据二次根式化简，绝对值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可． 【详解】 解： ． 15．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： （1）               ，                  为正整数） （2）若，则                   （3）求的值. 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据（1）的方法进而计算，然后合并即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键. 16．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）计算： 【答案】当 时，；当 时，． 【分析】 利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】 解：∵， ∴同号，且， ， ， ， ， ； ∴当 时，原式；当 时，原式． 【点睛】 本题考查二次根式的性质，以及乘除运算．熟练掌握二次根式的性质和乘除运算法则是解题的关键． 17．（25-26学年八上·北京昌平区第二中学·期中）已知x＝+2，y＝﹣2，求x2﹣y2的值． 【答案】16． 【分析】根据平方差公式可得x2-y2=（x+y）（x-y），再把x=+2，y=-2代入，分别求出x+y，x-y，然后相乘即可． 【详解】x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）． ∵x=+2，y=﹣2， ∴x+y=（+2）+（﹣2）=2， x﹣y=（+2）﹣（﹣2）=4， ∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2×4=8=16． 【点睛】根据考查了二次根式的化简求值，平方差公式，掌握公式与运算法则是解题的关键． 18．（25-26学年八上·北京昌平区回龙观东西学区·期中）已知x，y，k都是实数，若，则称x与y是关于k的“和谐数对”． （1）与______是关于的“和谐数对”；3与______是关于1的“和谐数对”．与______是关于的“和谐数对”． （2）若，判断与是否是关于的“和谐数对”，并说明理由． （3）若p与q是关于的“和谐数对”，且，直接写出的值． 【答案】（1）1，，；     （2） 解：不是，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，与不是关于的“和谐数对”；     （3）      【分析】 （1）分别设各个数的和谐数，然后根据已知条件中的新定义列出方程，解方程求出答案即可； （2）根据已知条件求出，再求出与的和与积，从而求出它们的商，最后根据新定义进行判断即可； （3）把已知条件中的等式通分得，再根据新定义和完全平方公式求出，最后再次利用完全平方公式求出，从而可求出的值． 本题主要考查了实数的运算，准确理解新定义的含义，熟练掌握分母有理化的一般步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设2与x是关于的“和谐数对”， ， 整理得， 解得， 经经验，是原方程的解， 与1是关于的“和谐数对”； 设3与y是关于1的“和谐数对”， ， 整理得， 解得， 经经验，是原方程的解， 与是关于1的“和谐数对”； 设与m是关于的“和谐数对”， ， 整理得， ， 经经验，是原方程的解， 与是关于的“和谐数对”； 故答案为：1，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 通分得， ， 与是关于的“和谐数对”， ，， ，， ，， ， ， 19．（2026·北京房山·一模）已知：，，，， ，其中为正整数，则（）　　　　　　；（）的值是　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （）根据求出的值，再根据算术平方根求解即可； （）根据的值可得，即得到，再代入算式计算即可求解； 本题考查了算术式平方根的定义，二次根式的化简求值，由已知等式找出规律是解题的关键． 【详解】 解：（）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （）∵， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．D 2．D 3．【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式有意义的条件，准确分析计算是解题的关键． 二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】 根据二次根式的定义，被开方数必须满足大于或等于零，即，解得． 故答案为． 4．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】 解：若式子在实数范围内有意义， 则的取值范围是：． 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 利用数轴判断出、的符号，并进一步确定出的符号；然后利用二次根式的性质，将二次根式化简，再合并同类项即可求得结果． 【详解】 解：由数轴可知：， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．【答案】x≥8 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】∵二次根式有意义， ∴x﹣8≥0， 解得：x≥8 故答案为x≥8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的被开方数为非负数的性质是解题关键. 7．【答案】0 【分析】 根据数轴所示，a＜0，b＞0， b-a＞0，依据开方运算的性质，即可求解． 【详解】 解：由图可知：a＜0，b＞0， b-a＞0， ∴． 故填：0． 【点睛】 本题主要考查二次根式的性质和化简，实数与数轴，绝对值的意义，解题的关键在于求出b-a＞0，从而得出|b-a|=b-a． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．D 2．D 3．B 4．D 5．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】 解： 6．【答案】 【分析】 直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】 = = =． 【点睛】 本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握和灵活运用二次根式的乘除法运算法则． 考点03 二次根式的加法与减法 1．B 2．【答案】> 【分析】 本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】 解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 3．【答案】 【分析】 本题考查二次根式的化简与加减运算．将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】 解：原式 ． 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握把根号前面的数变成它的平方移到根号内．先把各个根号前面的数变成它的平方移到根号内，然后比较被开方数的大小，从而比较其算术平方根的大小即可． 【详解】 解：， ∵， ∴，即， 故答案为：． 5．【答案】，. 【分析】 根据分式的除法和平方差公式可以化简题目中的式子，然后代入即可解答本题． 【详解】 解：原式= 当时， 原式 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 6．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；将和分别代入斐波那契数列的通项公式，通过二次根式的运算计算即可． 【详解】 解：当时，； 当时， ； 故答案为1；1． 7．【答案】①     ② 【分析】 本题考查的是实数的大小比较，如果有无理数比较大小时，可以采用平方法、比差法、立方法等．对于第一个比较，利用正负数的大小关系；对于第二个比较，通过平方比较两个正无理数的大小． 【详解】 对于第一个空：因为 是负数，而 是正数， ∵负数小于正数， ∴． 对于第二个空：计算平方值，，，由于 ，且两数均为正数，所以 ． 8．【答案】 【分析】 本题考查了乘法公式，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先根据平方差公式和完全平方公式展开，再计算乘方，最后计算二次根式的加减法即可． 【详解】 解： ． 9．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次根式的加减．首先化简为，然后根据是单项式的条件，分析需与合并为单项式，因此应为的有理倍数． 【详解】 解：∵， ∴． 由于是单项式，因此必须能合并为一个单项式，即必须是的有理倍数． 取，则，0是单项式，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 10．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式化简，立方根，绝对值，0指数幂，二次根式的加减等知识，先根据二次根式性质，立方根，绝对值，0指数幂进行化简，再进行计算即可求解﹒ 【详解】 解：原式=﹒ 11．【答案】（1）①； ②     （2），理由： 由，， 又∵， ∴．              ∴，     （3），      【分析】 （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解： ， ∵ ， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式和完全平方公式是解题的关键．将x、y的值代入原式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则，以及平方差公式和完全平方公式计算可得． 【详解】 解：，， 原式 ． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式加减混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】 解：原式 ． 14．【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，绝对值，二次根式化简，零指数幂，负整数指数幂，正确的计算是解题的关键． 根据二次根式化简，绝对值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可． 【详解】 解： ． 15．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据（1）的方法进而计算，然后合并即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键. 16．【答案】当 时，；当 时，． 【分析】 利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】 解：∵， ∴同号，且， ， ， ， ， ； ∴当 时，原式；当 时，原式． 【点睛】 本题考查二次根式的性质，以及乘除运算．熟练掌握二次根式的性质和乘除运算法则是解题的关键． 17．【答案】16． 【分析】根据平方差公式可得x2-y2=（x+y）（x-y），再把x=+2，y=-2代入，分别求出x+y，x-y，然后相乘即可． 【详解】x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）． ∵x=+2，y=﹣2， ∴x+y=（+2）+（﹣2）=2， x﹣y=（+2）﹣（﹣2）=4， ∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2×4=8=16． 【点睛】根据考查了二次根式的化简求值，平方差公式，掌握公式与运算法则是解题的关键． 18．【答案】（1）1，，；     （2） 解：不是，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，与不是关于的“和谐数对”；     （3）      【分析】 （1）分别设各个数的和谐数，然后根据已知条件中的新定义列出方程，解方程求出答案即可； （2）根据已知条件求出，再求出与的和与积，从而求出它们的商，最后根据新定义进行判断即可； （3）把已知条件中的等式通分得，再根据新定义和完全平方公式求出，最后再次利用完全平方公式求出，从而可求出的值． 本题主要考查了实数的运算，准确理解新定义的含义，熟练掌握分母有理化的一般步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设2与x是关于的“和谐数对”， ， 整理得， 解得， 经经验，是原方程的解， 与1是关于的“和谐数对”； 设3与y是关于1的“和谐数对”， ， 整理得， 解得， 经经验，是原方程的解， 与是关于1的“和谐数对”； 设与m是关于的“和谐数对”， ， 整理得， ， 经经验，是原方程的解， 与是关于的“和谐数对”； 故答案为：1，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 通分得， ， 与是关于的“和谐数对”， ，， ，， ，， ， ， 19．【答案】①     ② 【分析】 （）根据求出的值，再根据算术平方根求解即可； （）根据的值可得，即得到，再代入算式计算即可求解； 本题考查了算术式平方根的定义，二次根式的化简求值，由已知等式找出规律是解题的关键． 【详解】 解：（）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （）∵， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $