北京市朝阳外国语学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

北京市朝阳外国语学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（共24分，每小题3分） 1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（　　） A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，9，14 D．6，12，13 3．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（　　） A． B． C． D． 4．计算是（　　） A．8 B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，△为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，则为　　 A． B． C． D． 7．如图，在△中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则△周长的最小值为（　　） A．12 B．13 C．10 D．14 8．如图，在△中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共24分，每小题3分） 9．已知，，则的值为 ． 10．如图，在△中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为 　　． 11．如图所示，，，，，，则　　 ． 12．在△中，若，，则中线的最小整数值是 　　． 13．如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 　　． 14．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 　　．（用含的代数式表示） 15．如图，等边三角形中，、分别为、边上的两动点，与交于点，于点，若，则　　． 16．如图，已知△和△都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论是　　 ． 三、解答题（共52分，17～24每小题5分，25～26每小题5分） 17．（5分）计算：． 18．（5分）如图，分别交的边、于、，交延长线于，若，，，求的度数． 19．（5分）如图，是上一点，，，． 求证：平分． 20．（5分）如图，△中，、分别是、的外角，已知． （1）过点作直线，使，其中点在点的左侧，点在点的右侧．（尺规作图，保留痕迹） （2）求的度数． 21．（5分）如图．在△中．，求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 垂直平分， 　　　　（填推理依据）． ． ， ，． 　　． ． ． 点为线段的中点． 22．（5分）如图，在△中，直线是边的垂直平分线，与边交于点，与的平分线交于点，连接、，延长至点，求证：． 23．（5分）如图，在△中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 24．（5分）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． （1）①如图1，在△中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在” “等腰线段”． （2）如图3，，点在射线上，若△存在“等腰线段”，则的度数为 ． 25．（6分）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：　　 ； （2）若，，且，求的值； （3）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，，，结合①，②探索的结论，计算：　　 ． 26．（6分）在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧），点是射线上一个动点（不与点重合），点在线段上，且． （1）如图1，当点与点重合时，在图中画出线段．若，则的长为 　　（用含的式子表示）； （2）如图2，当点与点不重合时，连接． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 北京市朝阳外国语学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C C C C A C 一、选择题（共24分，每小题3分） 1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可． 【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 、是轴对称图形，故此选项符合题意； 、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2．下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（　　） A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，9，14 D．6，12，13 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断． 【解答】解：、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意； 、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意； 、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意； 、，故能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键． 3．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（　　） A． B． C． D． 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 4．计算是（　　） A．8 B． C． D． 【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可． 【解答】解：原式 ． 故选：． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，△为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点作于，根据等腰三角形性质得，进而得点，设点，则，，由此得，则，由此可得点的坐标． 【解答】解：过点作于，如图所示： ， ， 点，点，轴， 点，设点， ，， ， ， 点的坐标为， 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，理解坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 6．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，则为　　 A． B． C． D． 【分析】根据，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解． 【解答】解：如图，，若， ， 是的中点， ， 是的中点， ， 的面积为， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记． 7．如图，在△中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则△周长的最小值为（　　） A．12 B．13 C．10 D．14 【分析】连接，，推出△周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【解答】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， △周长， △周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， △周长的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，解答中涉及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出△周长的最小值为是解题的关键． 8．如图，在△中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①先由，得到，接着就可以证明△△，最后由全等三角形的性质“对应边相等”，可知①符合题意； ②先由，得到，接着就可以证明△△，得到，求出，就可以求出的度数，可知②符合题意； ③过点作，证明△△，然后分别找出，，与的关系，就可以求出的比，可知③符合题意； ④设，由，得到，所以可知④不符合题意． 【解答】解：①，，，， ，， 又， ． ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 故①符合题意； ②，， ， ， ． 在△和△中， ， △△， ， ． ， 且， ， 故②符合题意； ③如图，过点作， ，， ， 点是的中点， ， 在△和△中， △△， ，． 又由②得△是等腰直角三角形， ， ， △△， ． ， 故③符合题意； ④设， ， ， ， ， △△， ． ． 故④不符合题意． 综上所述，正确的结论是①②③． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中线的性质以及三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 二、填空题（共24分，每小题3分） 9．已知，，则的值为　12　 ． 【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可． 【解答】解：． 故答案为：12． 【点评】本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键． 10．如图，在△中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为 　110　 ． 【分析】先根据已知和三角形内角和定理易得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：，， ， ， 为的中点， ， 是△的一个外角， ， ， ， ， 故答案为：110． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 11．如图所示，，，，，，则 ． 【分析】求出，证△△，推出，根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：， ， ， 在△和△中， △△， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△△． 12．在△中，若，，则中线的最小整数值是 　2　． 【分析】延长到，使，连接，证△△，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【解答】解：延长到，使，连接， 是△的中线， ， 在△与△中， ， △△， ， 根据三角形的三边关系得：， ， ， ， 中线的最小整数值是2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键． 13．如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 　20　． 【分析】过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用四边形的面积进行计算即可． 【解答】解：过点作于点，如图， 平分，，， ， 四边形的面积． 故答案为：20． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 14．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 　　．（用含的代数式表示） 【分析】根据已知条件可推出，从而可知，则． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导． 15．如图，等边三角形中，、分别为、边上的两动点，与交于点，于点，若，则　　． 【分析】先根据题意推出△△，可知，因此，所以，即可推出结论． 【解答】解：等边三角形， ，， ， ， ， △△， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，证得是解答的关键． 16．如图，已知△和△都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论是　①②④　 ． 【分析】证明△△，利用全等三角形的性质一一判断即可． 【解答】解：， ， 即， 在△和△中， ， △△， ，故①正确； △△， ， 、， ， ， ，故②正确； 如图，过作于点，于点， △△， ，， ， ， 平分， 无法证明平分，故③错误； 平分，， ，故④正确． 综上所述，正确结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 三、解答题（共52分，17～24每小题5分，25～26每小题5分） 17．（5分）计算：． 【分析】根据题意，先算乘方，再算乘除，然后合并同类项即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 18．（5分）如图，分别交的边、于、，交延长线于，若，，，求的度数． 【分析】在中可求得，再结合条件和外角的性质可求得大小． 【解答】解：因为， 所以 ， 因为， 所以． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键． 19．（5分）如图，是上一点，，，． 求证：平分． 【分析】证明△△，可推出结论． 【解答】证明：， ， 在△与中， ， △△， ， 又， ， 平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△△是解题的关键． 20．（5分）如图，△中，、分别是、的外角，已知． （1）过点作直线，使，其中点在点的左侧，点在点的右侧．（尺规作图，保留痕迹） （2）求的度数． 【分析】（1）利用内错角相等，两直线平行，画出直线即可； （2）利用三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解． 【解答】解：（1）如图，直线即为所求； （2），， ， ， ． 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．（5分）如图．在△中．，求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 垂直平分， 　　　　（填推理依据）． ． ， ，． 　　． ． ． 点为线段的中点． 【分析】（1）根据作图思路直接作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质填空即可． 【解答】（1）解：如图所示． （2）证明：连接． 垂直平分， （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． ． ， ，． ． ． ． 点为线段的中点． 故答案为：；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；． 【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（5分）如图，在△中，直线是边的垂直平分线，与边交于点，与的平分线交于点，连接、，延长至点，求证：． 【分析】作于点，于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质得到，证明△△，根据全等三角形的性质证明即可． 【解答】证明：如图，作于点，于点，连接， 直线是边的垂直平分线， ， 平分，，， ， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 23．（5分）如图，在△中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 【分析】（1）证明△△，进而结论得证； （2）由角的数量关系可求，通过证明，可证． 【解答】证明：（1）， ， 在△与△中， ， △△， ； （2）△△， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键． 24．（5分）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． （1）①如图1，在△中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 　不存在　 （填“存在”或“不存在” “等腰线段”． （2）如图3，，点在射线上，若△存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【分析】（1）①如图1，根据三角形的内角和定理得到，当是的角的平分线时，，求得，得到是△的“等腰线段”； ②等边三角形不存在“等腰线段”； （2）如图，①由，时，求得，得到是△的“等腰线段”， ， ②根据，时，得到，求得是△的“等腰线段”， ． 【解答】解：（1）①如图1，， 当是的角的平分线时，， ， ，， 是△的“等腰线段”； ②等边三角形不存在“等腰线段”； 故答案为：不存在； （2）如图，①当，时， 则， 是△的“等腰线段”， ， ②当，时， 则， 是△的“等腰线段”， ， ③如图5，， 综上所述：若△存在“等腰线段”， 则的度数为或或， 故答案为：或或． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了当天有手就行的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，正确地画出图形是解题的关键． 25．（6分）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：　3　 ； （2）若，，且，求的值； （3）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，，，结合①，②探索的结论，计算：　　 ． 【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可； （2）根据，的定义可得，，根据再进行计算即可； （3）①根据，，进行计算即可； ②由，再根据进行计算即可． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：3； （2）根据题意可知，，， ； （3）①，， ，， ， ， ； ②，，，，， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 26．（6分）在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧），点是射线上一个动点（不与点重合），点在线段上，且． （1）如图1，当点与点重合时，在图中画出线段．若，则的长为 　　（用含的式子表示）； （2）如图2，当点与点不重合时，连接． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据各角之间的关系得出，即可确定位置关系，画出；再由全等三角形的判定和性质得出，即可得出结果； （2）①过点作于点、点，根据各角之间的关系及全等三角形的判定得出，再由其性质即可得出结果； ②在上截取，连接，由各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果． 【解答】（1）解：当点与点重合时，， ， ， ， ， 若，过点作于点， 如图 则， ， ， 在与中，，，， ， ， 即的长为， 故答案为：； （2）①证明：过点作于点、点，如图 则， ， ， 即， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ； ②解：，证明如下： 在上截取，连接，如图 ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 由①知：， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟练运用全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $