2.5有理数的混合运算（分层作业，10大题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 2.5 有理数的混合运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 含乘方的有理数混合运算 题型02 计算器——有理数 题型03 求一个数的近似数 题型04 求近似数的精确度 B组 能力进阶 题型 有理数的混合运算·综合应用 C组 思维拔高 题型01 算“24”点 题型02 程序流程图与有理数计算 题型03 近似数推断取值范围 题型04 含乘方的新定义运算问题 题型05 含乘方的探究规律题 含乘方的有理数混合运算题型01 1．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）计算：． 3．（25-26八年级上·广西来宾·月考）计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·四川自贡·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 5．阅读材料：日常生活中，我们使用的数是十进制数，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101通过式子可以转换为十进制数13． (1)尝试解决： ①请将二进制数10101转换为十进制数； ②请将十进制数18转换为二进制数； (2)类比迁移： 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图是一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子出生后的天数，请求出孩子出生的天数． 计算器——有理数题型02 1．在计算器的键盘中，表示开启电源的键是（    ） A． B． C． D． 2．求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．      C． D．   3．下面科学计算器的按键顺序： 对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 4．用计算器计算（精确到十分位）： (1)； (2)； (3)． 5．有一张厚度是的纸，假设我们能将它连续对折30次，这时它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔（）吗？请用计算器帮你得出答案． 求一个数的近似数题型03 1．用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 2．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千分位） D．（精确到） 3．某同学用计算器计算“2÷13”时，计算器上显示结果为0.153846153，将此结果精确到千分位的数值为_____． 4．（24-25七年级上·广东江门·月考）用四舍五入法把精确到千分位，所得近似数是___． 5．（25-26七年级·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 求近似数的精确度题型04 1．下列各题中的数据，是准确数的是（　　） A．我们数学教科书封面的长是21厘米 B．小颖班上共有56位同学 C．珠穆朗玛峰的海拔高度约为8848米 D．我国人口总数约为14亿 2．下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 3．（25-26八年级下·江苏兴化·月考）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 4．下列用四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)． 5．试比较近似数3.6和近似数3.60的精确范围的大小． 有理数的混合运算·综合应用题型 1．体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（    ） 体重指数的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖 2．计算：________． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）计算：． 4．（24-25七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（25-26七年级上·山西运城·期末）计算： (1)； (2)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 算“24”点题型01 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 3．（25-26七年级·期中）不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式：__________，使其运算结果为． 4．有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 5．（25-26七年级上·江苏·月考）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 程序流程图与有理数计算题型02 1．（24-25七年级上·河北·月考）如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 2．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（25-26七年级上·安徽黄山·联考）小李编写了一段计算机程序，输入任意一个有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与之和，当输入时，将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应该是（ ） A． B． C． D． 4．有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么_______ ． 5．看程序图，做有理数运算 如图是计算机程序计算图．    【模型提炼】输入数据进入程序运算：将输入的数据，即可得到输出的数值． 【模型运用】 (1)若开始输入为，请你根据上面程序列出算式并计算出输出结果； (2)若最后输出为，请你根据上面程序列出算式并计算出输入数字． 近似数推断取值范围题型03 1．近似数2.30表示的准确数a的范围是(　  ) A．2.295≤a＜2.305 B．2.25≤a＜2.35 C．2.295≤a≤2.305 D．2.25＜a≤2.35 2．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 3．10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该运动员得分应当是_______分. 4．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）车工小王加工了两根轴．当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废!”小王不服气地说：“图纸要求长度精确到，我加工的轴一根为，另一根为，怎么不合格呢?” (1)图纸要求的长度精确到，若采用的是四舍五入法，则合格轴的长度范围是多少? (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难? 5．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）甲乙两个同学的身高都约是厘米，但甲说他比乙高9厘米；你认为甲说的有可能吗？若有可能请举例说明． 含乘方的新定义运算问题题型04 1．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 2．对有理数a，b，定义运算★如下：，则____． 3．（24-25七年级上·河北邢台·期中）淇淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入，加*键，再输入，得到运算：． (1)求的值； (2)嘉嘉在运用此程序计算时，屏幕显示“程序运算错误”，请你以有理数的运算法则推测嘉嘉在输入数据时出现了什么情况． 4．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：　　、　　； (2)关于除方，下列说法错误的是 ． A. 任何非零数的圈2次方都等于1； B. 对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1； C. ； D. 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方　　； 的圈6次方　　； (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝        ； (5)算一算：． 5．（24-25七年级上·江苏南京·月考）定义“*”运算： ①；②； ③；④； ⑤；⑥；⑦． 据此回答下列问题： (1)计算：① ；② ； (2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）； (3)若整数m、n满足，直接列出所有的m与n的值．（格式：） 含乘方的探究规律题题型05 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）探究： … 请你找规律，并计算：（   ） A． B． C． D． 2．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 3．对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．用计算器计算并填空： 152＝________；252＝________；352＝________； 452＝________. (1)你发现了什么？ (2)不用计算器你能直接算出852,952吗？ 5．利用计算器进行如下计算： 任意写出一个正整数（例如3708），求出它的各位数字的平方和（）：再对这个平方和求出各位数字的平方和……，如此继续下去．你能发现什么规律？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.5 有理数的混合运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 含乘方的有理数混合运算 题型02 计算器——有理数 题型03 求一个数的近似数 题型04 求近似数的精确度 B组 能力进阶 题型 有理数的混合运算·综合应用 C组 思维拔高 题型01 算“24”点 题型02 程序流程图与有理数计算 题型03 近似数推断取值范围 题型04 含乘方的新定义运算问题 题型05 含乘方的探究规律题 含乘方的有理数混合运算题型01 1．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可． 【详解】解：， = =， =， =， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26八年级上·广西来宾·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方，并将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（24-25七年级上·四川自贡·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 【答案】(1)18 (2) (3)转换为四进制数为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为二进制的方法列式计算即可； （3）根据十进制转换为四进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数， 故答案为：； （2）解：十进制数25转换为二进制数， ， 故答案为：； （3）解：，即， ， 79转换为四进制数为； 5．阅读材料：日常生活中，我们使用的数是十进制数，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101通过式子可以转换为十进制数13． (1)尝试解决： ①请将二进制数10101转换为十进制数； ②请将十进制数18转换为二进制数； (2)类比迁移： 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图是一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子出生后的天数，请求出孩子出生的天数． 【答案】(1)①21；②10010 (2)181天 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解进制数和十进制数的意义是解此题的关键． （1）①根据二进制数和十进制数的意义计算即可得解；②根据二进制数和十进制数的意义计算即可得解； （2）根据七进制数的意义列式计算即可得解． 【详解】（1）解：① ②， ， ∴二进制数为10010． （2）解：由题意可得：（天） 答：孩子出生的天数为181天． 计算器——有理数题型02 1．在计算器的键盘中，表示开启电源的键是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．根据计算器的各个按键的功能判断即可． 【详解】 解：根据科学记算器的使用，开启电源的键是， 故选：B． 2．求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．      C． D．   【答案】A 【分析】先明确乘方 的底数与指数，再按照“底数 → 乘方键 → 指数 → 等号”的顺序判断按键步骤是否正确． 【详解】解：∵计算，底数是，指数是． ∴按照计算器乘方的按键顺序，应为依次按键：． 3．下面科学计算器的按键顺序： 对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学计算器进行计算，根据计算器的按键顺序和按键功能即可得出答案，熟练计算器各个按键的功能是解题的关键． 【详解】解：表示，表示， 故对应的计算任务是， 故选：． 4．用计算器计算（精确到十分位）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．有一张厚度是的纸，假设我们能将它连续对折30次，这时它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔（）吗？请用计算器帮你得出答案． 【答案】它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔． 【分析】每对折一次即变为原来的倍，对折次相当于扩大倍．根据有理数的乘方用计算器进行计算，后比较大小即可． 【详解】解：， ， 故将一张厚度是的纸连续对折次后，它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔． 求一个数的近似数题型03 1．用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 【答案】B 【分析】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可． 【详解】解：0.0158≈0.016． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了近似数，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键． 2．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】C 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度常用的表示形式，它可以体现出误差值绝对数的大小． 根据近以数的精确度对各选项进行判断． 【详解】A．(精确到0.1)，所以A选项正确，不符合题意； B．(精确到百分位)，所以B选项正确，不符合题意； C．(精确到千分位)，所以C选项不正确，符合题意； D．(精确到0.001)，所以D选项正确，不符合题意； 故选C． 3．某同学用计算器计算“2÷13”时，计算器上显示结果为0.153846153，将此结果精确到千分位的数值为_____． 【答案】0.154 【分析】根据精确的数位，四舍五入即可得到结果． 【详解】解：某同学用计算器计算“2÷13”时，计算器上显示结果为0.153846153． 将此结果精确到千分位为0.154． 故答案为：0.154． 【点睛】此题考查了计算器-有理数，以及近似数，做题时注意精确的数位． 4．（24-25七年级上·广东江门·月考）用四舍五入法把精确到千分位，所得近似数是___． 【答案】 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：精确到千分位，所得近似数是． 故答案为：． 5．（25-26七年级·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 求近似数的精确度题型04 1．下列各题中的数据，是准确数的是（　　） A．我们数学教科书封面的长是21厘米 B．小颖班上共有56位同学 C．珠穆朗玛峰的海拔高度约为8848米 D．我国人口总数约为14亿 【答案】B 【分析】本题考查近似数和准确数，准确数：与实际完全符合的，没有误差．根据准确数的定义直接判断即可． 【详解】解： A、我们数学教科书封面的长是21厘米, 只是与实际接近，所以是近似数，故不符合题意； B、小颖班上共有56位同学，是精确数，故符合题意； C、珠穆朗玛峰的海拔高度约为8848米, 只是与实际接近，所以是近似数，故不符合题意； D、我国人口总数约为14亿, 只是与实际接近，所以是近似数，故不符合题意； 故选：B． 2．下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 【答案】B 【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可． 【详解】选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位． 选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位． 选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位． 选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位． 故选：B． 3．（25-26八年级下·江苏兴化·月考）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位数字所在的数位． 【详解】解：∵万 ∴原数中末位数字9位于千位 ∴万精确到千位． 4．下列用四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)精确到百分位 (2)精确到百万分位 (3)精确到万位 (4)精确到千分位 【分析】根据近似数的定义，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度，即可得出答案. 【详解】（1）解：最后一位的7在百分位， 所以精确到百分位． （2）解：最后一位的0在百万分位， 所以精确到百万分位． （3）解：的最后一个1在万位， 所以精确到万位． （4）解：最后一位的0在千分位， 所以精确到千分位． 5．试比较近似数3.6和近似数3.60的精确范围的大小． 【答案】近似数3.6的准确值应介于3.55与3.65之间，它是四舍五入精确到0.1得到的近似数；近似数3.60的准确值应介于3.595与3.605之间，它是四舍五入精确到0.01得到的近似数． 【分析】3.60=3.6，但两者的精确范围不一样，近似数3.60表示精确到百分之一，近似数3.6的准确值在3.55到3.65之间． 【详解】解：近似数3.6的准确值应介于3.55与3.65之间，它是四舍五入精确得到的近似数；近似数3.60的准确值应介于3.595与3.605之间，它是四舍五入精确到0.01得到的近似数． 【点睛】本题考查数的精确度的知识，保留整数精确度为1，一位小数表示精确到十分之一，两位小数表示精确到百分之一，依次类推． 有理数的混合运算·综合应用题型 1．体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（    ） 体重指数的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据的计算公式求出小张的，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小张的， ∴小张的体重状况是超重， 故选：C． 2．计算：________． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. 先算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减. 【详解】解：原式 故答案为：0． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，先计算乘法和括号内，然后计算乘除即可． 【详解】解：原式 4．（24-25七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（25-26七年级上·山西运城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求除法，即除以一个数就是乘以一个数的倒数，再化简绝对值，最后加减即可； （2）先求乘方，再求括号里的数，然后计算乘法，最后加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5) (6)5 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先根据加法交换律将分母相同的两个数结合在一起，再计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）按照有理数混合运算的顺序，先乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的； （4）逆用乘法分配律进行计算即可； （5）先乘方，再乘除，最后算加减即可； （6）先乘方，再乘除，有括号的先算括号，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 算“24”点题型01 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为（答案不唯一）． 3．（25-26七年级·期中）不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式：__________，使其运算结果为． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，通过为数字之间的运算符号选择减号或加号，调整每个数字在算式中的实际符号，使代数和为24． 【详解】解：数字顺序固定为，，，． 在6与之间插入减号 算式为； 在与之间插入加号， 算式为； 与之间插入减号，算式为． 故答案为：． 4．有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的信息和要求写出一个算式使其结果为24； （2）根据题意写出一个算式使其结果为24； （3）根据题意写出一个算式使其结果为24． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 5．（25-26七年级上·江苏·月考）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【答案】问题情境：；思考探究：（1）；（2）；（3）5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【详解】解：问题情境：， 故答案为：； 思考探究：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）5个1不能算出24点； ，则5个2可以算出24点； ，则5个3可以算出24点； ，则5个4可以算出24点； ，则5个5可以算出24点； ，则5个6 可以算出24点； 5个7不可以算出24点， ，则5个8可以算出24点； 5个9不可以算出24点； 综上所述，5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 程序流程图与有理数计算题型02 1．（24-25七年级上·河北·月考）如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为． 故选：A． 2．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为7． 3．（25-26七年级上·安徽黄山·联考）小李编写了一段计算机程序，输入任意一个有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与之和，当输入时，将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，程序的功能是输出输入的有理数的平方减2，先计算输入时的输出，再将该输出作为输入计算第二次输出． 【详解】解：当输入时， 可得：， 将再次输入， 可得：． 故选：C． 4．有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么_______ ． 【答案】 【分析】由得到当，时，利用，得到，，，，然后根据此规律得到． 【详解】解： (其中，，)， ， (此时，，)， ， (此时，，)， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算：有理数加减法统一成加法，也考查了学生的阅读理解能力．读懂题意找到规律是解题的关键． 5．看程序图，做有理数运算 如图是计算机程序计算图．    【模型提炼】输入数据进入程序运算：将输入的数据，即可得到输出的数值． 【模型运用】 (1)若开始输入为，请你根据上面程序列出算式并计算出输出结果； (2)若最后输出为，请你根据上面程序列出算式并计算出输入数字． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据程序计算图，计算得到结果即可； （2）根据程序计算图，逆运算，计算，即可得到输入数字． 【详解】（1）解：∵开始输入为， ∴结果为； （2）解：∵最后输出为， ∴输入数字为． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算是解题的关键． 近似数推断取值范围题型03 1．近似数2.30表示的准确数a的范围是(　  ) A．2.295≤a＜2.305 B．2.25≤a＜2.35 C．2.295≤a≤2.305 D．2.25＜a≤2.35 【答案】A 【分析】根据取近似数的原则“四舍五入”可得到答案． 【详解】解：近似数2.30所表示的准确数a的范围为2.295≤a＜2.305． 故选：A． 【点睛】本题考查了近似数，理解取近似数的原则是解答本题的关键． 2．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 3．10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该运动员得分应当是_______分. 【答案】9.38． 【分析】根据得9.4分可得到8位裁判的准确打分和，除以8，再保留2位小数即可． 【详解】解：用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到9.4的数值范围是：（大于等于9.35和小于9.45之间） ∴10个裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是8个人的分数． ∴该运动员的有效总得分在大于或等于9.35×8=74.8分和小于9.45×8=75.6之间． ∵每个裁判给的分数都是整数， ∴得分总和也是整数， 在74.8和75.6之间只有75是整数， ∴该运动员的有效总得分是75分． ∴得分为：75÷8≈9.375， 精确到两位小数就是9.38． 故答案为9.38． 【点睛】本题考查了近似数，得到得分为一位小数的准确分值的范围，及得到8位裁判的准确打分和是难点． 4．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）车工小王加工了两根轴．当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废!”小王不服气地说：“图纸要求长度精确到，我加工的轴一根为，另一根为，怎么不合格呢?” (1)图纸要求的长度精确到，若采用的是四舍五入法，则合格轴的长度范围是多少? (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难? 【答案】(1) (2)是小王加工的产品不合格 【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是； （2）解：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． 5．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）甲乙两个同学的身高都约是厘米，但甲说他比乙高9厘米；你认为甲说的有可能吗？若有可能请举例说明． 【答案】有可能，例如甲身高174厘米，乙身高165厘米． 【分析】本题主要考查了近似数的取值范围，熟练掌握近似数的精确度及取值区间是解题的关键． 先确定厘米（即170厘米）是近似数，明确其取值范围，再找出范围内相差9厘米的两个数． 【详解】解：是精确到十位的近似数，其取值范围是：身高（单位：厘米）． 取甲身高为174厘米， 乙身高为165厘米， （厘米）． 所以甲说的有可能． 含乘方的新定义运算问题题型04 1．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查有理数的新定义运算，程序流程图与有理数计算．根据新定义的运算法则，分别计算出当时，第一到九次运算的结果，发现循环规律即可解答，找到循环规律是解此题的关键． 【详解】解：当时，历次运算的结果是： ，，，，，，，，…… 运算结果为 从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， 第2024次“F运算”后的结果是4， 故选B． 2．对有理数a，b，定义运算★如下：，则____． 【答案】9 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确理解题目所给的新定义的运算顺序和运算法则． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：9． 3．（24-25七年级上·河北邢台·期中）淇淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入，加*键，再输入，得到运算：． (1)求的值； (2)嘉嘉在运用此程序计算时，屏幕显示“程序运算错误”，请你以有理数的运算法则推测嘉嘉在输入数据时出现了什么情况． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算： （1）将中的替换为，替换为，再进行计算即可； （2）根据除数不能为0推测出现的情况． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵0不能作除数， ∴嘉嘉在输入数据时可能是，即． 4．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：　　、　　； (2)关于除方，下列说法错误的是 ． A. 任何非零数的圈2次方都等于1； B. 对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1； C. ； D. 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方　　； 的圈6次方　　； (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝        ； (5)算一算：． 【答案】(1) (2)C (3)（﹣）2，（﹣）4； (4)（）n﹣2； (5) 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （4）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则； （5）将（2）中规律代入计算，注意运算顺序． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2）解：、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除，所以都等于1；故选项说法正确； 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1；故选项说法正确； 、，，则；故选项说法错误； 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．故选项说法正确； 故答案为：C； （3）解：将写成幂的形式为：， 的圈4次方， 5的圈5次方； 的圈6次方． 故答案为：，； （4）解：． 故答案为：； （5）解： ． 【点睛】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 5．（24-25七年级上·江苏南京·月考）定义“*”运算： ①；②； ③；④； ⑤；⑥；⑦． 据此回答下列问题： (1)计算：① ；② ； (2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）； (3)若整数m、n满足，直接列出所有的m与n的值．（格式：） 【答案】(1)①；②17； (2)两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加．特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0； (3)，或，或，或或或或或． 【分析】（1）①根据示例参照求解；②根据示例参照求解； （2）根据示例，参照有理数乘法法则归纳； （3）由新定义知与异号，，得到，或，或，或或或或或，求得参数值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：； ②； 故答案为：； （2）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加． 特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0． （3）解：存在， ∵， ∴与异号，， ∵m，n是整数， ∴，或，或，或，或或或或， ∴，或，或，或或或或或． 【点睛】此题主要考查了定义新运算，有理数的混合运算．熟练掌握定义新运算的法则，有理数混合运算顺序，运算法则，运算律，整数性质，分类讨论，是解决问题的关键． 含乘方的探究规律题题型05 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）探究： … 请你找规律，并计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握题中的规律．利用题中所给的规律计算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合计算．从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意，因为最终结果是1，所以计算中结果是1，不符合题意，根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可． 【详解】解：第7步运算前的数：；（不符合题意）． 第6步运算前的数：；（不符合题意）． 第5步运算前的数：；（不符合题意）． 第4步运算前的数：；（不符合题意）． 第3步运算前的数：；． 第2步运算前的数：；（不符合题意）；；（不符合题意）． 第1步运算前的数：；；；． 故选：C． 3．对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的运算，归纳推理的应用，利用变换规则，逆向推理计算求出所有可能的取值，再判断结果即可． 【详解】解：∵对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数， ∴由新自然数求原来的数计算方法为：新自然数乘以，或新自然数减去1的差再除以3（取整数）， 若输入正整数n，则最后一次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第二次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第三次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第四次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第五次计算过程为：，或，上一步结果为或； 倒数第六计算过程为：，或，上一步结果为或； 倒数第七次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或； 倒数第八次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或； 倒数第九次计算过程为：，或，或，或，或，或，上一步结果为或或或或或； ∴①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，，说法正确； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或，只有4个，说法正确； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或或或，其中最大是512，最小是12，说法错误； ∴正确的个数是2个， 故选：B． 4．用计算器计算并填空： 152＝________；252＝________；352＝________； 452＝________. (1)你发现了什么？ (2)不用计算器你能直接算出852,952吗？ 【答案】225　625　1 225　2 025 (1)发现后两位均为25，前面的数等于原数中十位数乘比它大1的数． (2) 7 225， 9 025. 【详解】试题分析：（1）通过用计算器进行计算可以发现：后两位均为25，前面的数等于原数中十位数乘比它大1的数． （2）根据（1）发现的规律可求出结果. 试题解析：152＝225；252＝625；352＝1225；452＝2025. （1）通过用计算器进行计算可以发现：后两位均为25，前面的数等于原数中十位数乘比它大1的数．（2）852=7225， 952=9025. 5．利用计算器进行如下计算： 任意写出一个正整数（例如3708），求出它的各位数字的平方和（）：再对这个平方和求出各位数字的平方和……，如此继续下去．你能发现什么规律？ 【答案】任意正整数反复计算各位数字的平方和，最终只会出现两种结果： （1）最终得到1，之后不断以1循环； （2）最终进入循环，无其他情况． 【分析】先计算出前15次的各项数字的平方和，找出规律求解． 【详解】解：对正整数1，可知各位数字的平方和恒为1； 对正整数205， 第1次求出它的各位数字的平方和： ， 第2次求出它的各位数字的平方和：， 第3次求出它的各位数字的平方和：， 第4次求出它的各位数字的平方和：， 第5次求出它的各位数字的平方和：， 第6次求出它的各位数字的平方和：， 第7次求出它的各位数字的平方和：， 第8次求出它的各位数字的平方和： = 16， 第9次求出它的各位数字的平方和：， 第10次求出它的各位数字的平方和：， 第11次求出它的各位数字的平方和：， …； ∴从第三次操作开始，序列进入循环：， 对正整数3708， 第1次求出它的各位数字的平方和：； 第2次求出它的各位数字的平方和：； 第3次求出它的各位数字的平方和：81； 第4次求出它的各位数字的平方和：； 第5次求出它的各位数字的平方和：； 第6次求出它的各位数字的平方和：； 第7次求出它的各位数字的平方和：； 第8次求出它的各位数字的平方和：； 第9次求出它的各位数字的平方和：； 第10次求出它的各位数字的平方和：； 第11次求出它的各位数字的平方和：； 第12次求出它的各位数字的平方和：4； 第13次求出它的各位数字的平方和：16； 第14次求出它的各位数字的平方和：； 第15次求出它的各位数字的平方和：； …； 从第6次开始，结果为37、58、89、145、42、20、4、16不断地重复循环出现； 综上所述，任意正整数反复计算各位数字的平方和，最终只会出现两种结果： （1）最终得到1，之后不断以1循环； （2）最终进入循环，无其他情况． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $