专题04 圆、直线与圆的位置关系（期中真题汇编，四川专用）高二数学上学期

专题04 圆、直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 将方程配方即可得解. 【详解】 将方程配方得 所以圆心坐标为, 又因为方程表示圆，且圆心位于第四象限， 所以 ，解得. 故选：A 2．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）圆心为，半径的圆的标准方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】 根据题意，圆心为，半径 圆的标准方程为； 故选：B． 3．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）以为圆心，直径为4的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程. 【详解】 因为圆心为，直径为4，即半径为2， 所以该圆的标准方程为. 故选：C 4．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】 由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 5．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设出点的坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】 设线段的中点为，因为两点不重合，则， 根据题意得， ∴，即：， 故选：C. 6．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知，且，则代数式的最小值为（     ） A.  B. 18 C. 12 D. 8 【答案】D 【分析】 设与，为的中点，可证明点在以为圆心，为半径的圆上，由，结合两点距离的几何意义即可求解. 【详解】    设与为圆上一点， 则，得， ，即为等腰直角三角形， 设为的中点，则， 得，即点在以为圆心，为半径的圆上， 故， 所以点到定点的距离的最小值为， 因此的最小值为. 故选：D 7．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）若直线经过圆的圆心，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】 由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 8．（25-26学年高二上·四川南充·期中）过点可以向圆引两条切线，则t的取值范围为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 通过点在圆外，即可求解． 【详解】 因为方程表示圆， 所以，解得． 又点在圆外，所以， 解得， 所以t的取值范围为． 故选：D 9．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）在平面直角坐标系中，动点到轴、轴、坐标原点的距离分别为，，，这3个距离均大于0，且，则动点的轨迹对应的图形大致为（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 设，根据点到坐标轴和原点的距离公式，结合已知条件列出方程，再对轨迹方程进行分析，判断其对应的图形即可. 【详解】 设，则，，. 因为，所以， 则，则， 所以动点的轨迹为两条直线与（除去坐标原点），其图形大致为选项A中的图象. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）设圆：，圆：，圆：的半径分别为，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，把圆的一般方程转化为标准方程，得到，，，再比较即可. 【详解】 圆：，得，则. 圆：， 得，则， 又，所以，则. 圆：， 得，则， 又，所以，则. 故. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）若圆被直线平分，则圆C的半径为　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径． 【详解】 若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为， 即， 解得：， 则圆，则圆的半径为． 故答案为：． 12．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切． （1）求圆C的方程； （2）若，，点M在圆C上，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解. （2）由题意设点在圆上，则，，由两点之间的距离公式化简可得，由此即可得解. (1) 小问详解： 设圆C：（）， 由题意得 ，解得 ， 所以圆C的方程为． (2) 小问详解： 设，，由，得， 则． 当时，取得最小值，最小值为10； 当时，取得最大值，最大值为34． 故的取值范围为. 13．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）已知点，求解满足下列条件的直线或圆的方程. （1）经过点，且在轴上的截距为的直线的一般式方程； （2）以点为圆心，且与轴相切的圆的一般方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设方程为，代入，即可求解； （2）确定圆的半径，得到标准方程，再转换即可. (1) 小问详解： 由题意，设直线的方程为， 由直线经过点，所以， 解得， 所以直线的方程为， 其一般式方程为 (2) 小问详解： 由题意，所求圆的半径为， 所以所求圆的标准方程为， 化为一般方程为 14．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作圆的两条切线，切点分别为点，，求两条切线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据待定系数法求圆的方程即可； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离求切线方程即可. (1) 小问详解： 设圆标准方程. 则有 ，解得 ， 即圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，：，此时圆心到直线的距离为， 故：与圆相切，故：符合要求；      当直线斜率存在时，设：，即， 则有，化简得，即， 即：，即：；    综上所述：两条切线的方程为或. 15．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 令，应用两点距离公式列方程求轨迹，结合已知圆的方程求出及点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】 设，依题意，，即， 整理得，则 ，解得，即， 点到直线的距离为， 由得， 当且仅当三点共线时取等号， 此时直线的斜率为，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，故存在点使得三点共线， 所以的最小值为.    故答案为： 16．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）已知平面平面，，，且，，是正方形，在正方形内部（含边界）有一点，满足，与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度. 【详解】 因为平面平面，平面平面，， 且平面，所以平面，平面， 可知和分别是直线与平面所成的角， 则，即， 可得，所以. 以为原点建立平面直角坐标系如下图所示， 则，，设， 由得，化简得， 由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分， 令代入原方程，解得，故， 由于，所以， 所以点的轨迹长度为. 故答案为：. 17．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）圆：关于直线：对称后的方程为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出圆心和半径，设圆心关于直线：的对称点为，则直线与直线垂直，利用，得到的一个等式，又和的中点在直线：上，将中点代入此直线方程得到的另一个等式，这的等式联立，解得的值，得到的坐标，即为所求圆的圆心，半径不变，从而得到所求圆的方程. 【详解】 圆：，圆心，半径， 设圆心关于直线：的对称点为， 则直线与直线垂直， ，，，， 又和的中点为，且中点在直线：上， ，联立 ，解得 ， 为所求圆的圆心，半径为， 所求圆的方程为. 故答案为：. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）直线：被圆：所截得的弦长为（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可. 【详解】 圆：，所以圆心，半径， 所以弦心距为， 所以弦长为. 故选：B 2．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）如果直线与圆相切，则的值（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可． 【详解】 由题，圆心到直线的距离等于半径，即， 故选：B． 3．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）直线与圆交于两点，则的面积为（     ） A. 2 B.  C.  D. 4 【答案】A 【分析】 由圆的方程写出圆心和半径，求得圆心到直线的距离，利用圆的垂径定理求得弦长，即可计算的面积. 【详解】 由整理得：，知圆心为,半径为2， 由圆心到直线的距离为：，则, 故的面积为: . 故选：A. 4．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】 方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）（多选）圆：与圆：相交，则的值可以是（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】ABC 【分析】 根据圆与圆的位置关系列不等式即可得的取值范围，从而得所求. 【详解】 因为圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心，半径为， 由于两圆相交，则， 所以，解得， 故的值可以是4,5,6. 故选：ABC. 6．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程求. 【详解】 方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径， 因为直线:与圆:相切， 所以点到直线的距离， 所以， 解得，或， 故选：A 7．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 分析可知直线过定点，结合圆的性质分析的最小值. 【详解】 圆的圆心为，半径， 因为，即， 可知直线过定点， 则，可知点在圆内， 当且仅当时，取到最小值. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】 圆化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 若直线被圆截得的弦长为2， 则，整理得，即， 又，所以 ， 当且仅当即时等号成立， 则的最小值为2. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）（多选）已知圆，为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于A，B，则下列说法正确的是（       ） A. 圆关于直线的对称圆的方程为： B. 圆上有且仅有两个点到的距离为 C. 的最小值为 D. 直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】 通过点关于斜率为的直线对称点的求法易得A正确；通过圆心到直线的距离判断直线与圆的具体位置，从而可判断B；的最小值时，进而计算即可判断C；根据题干信息列出直线，根据直线恒过定点即可判断D. 【详解】 对于A：关于的对称点，∴A正确； 对于B：圆的半径为，到的距离， 又∵，∴圆O上恰有两个点到距离为，B正确； 对于C：∵，∴与相切于点A，， 所以当时，即最小，有，C错误； 对于D：设，则以为直线的圆方程为， 即与相减得直线的方程， 即，过定点，D正确. 故选：ABD 10．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）（多选）下列结论中正确的是（       ） A. 已知直线过点，且在,轴上截距相等,则直线的方程为 B. 若点是圆上任意一点,则的取值范围是. C. 若直线上存在点，过点作圆的切线,,切点分别为,,使得为直角，则实数的取值范围为. D. 已知圆,点，过点作直线交圆于,两点，则的取值范围是. 【答案】BCD 【分析】 对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A错误；对于B，利用三角换元求解判断B；对于C，可判断点的轨迹是以为圆心,半径为的圆,又点在直线上，故直线与该圆有公共点，易求出的取值范围；对于D，弦中点的轨迹是以为直径的圆，求出的最值，即可求出的取值范围. 【详解】 对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，故A错误； 对于B，圆的圆心为，设， 则，则，故B正确； 对于C，连接，如图， 则易知四边形为正方形，所以， 可得点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点， 圆心到直线的距离，即解得，故C正确； 对于D，取中点，连接，如图所示： 则，点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径， 因为, 所以即，， 所以,故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（       ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【分析】 根据给定条件，判断以点为圆心，为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. 【详解】 根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又两圆圆心距离等于两圆半径和， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， 故选：C 12．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）（多选）设点为圆上一点，则下列结论正确的有（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 圆关于直线对称，点与圆上点距离的最小值为 D. 若点，在圆上存在点，使 【答案】ABD 【分析】 利用换元法再结合直线与圆有交点即可得到不等式，解出即可判断AB；对C，找到点的轨迹方程，再计算圆心到直线距离，最后减去半径即可得到最小值；对D，求出点的轨迹方程，最后转化为判断两圆位置关系即可. 【详解】 对A，由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 设，即，即， 所以直线与圆C有交点， 则，解得，则的最大值为，故A正确； 对B，设，即， 所以直线与圆C有交点， 则，解得，则的最大值为，故B正确； 对C，若圆关于直线对称，则该直线经过圆心， 则，则，则点即为直线上动点， 圆心到该直线距离为，则点与圆上点距离的最小值为，故C错误； 对D，设，因为，则， 即， 整理得，整理得点的轨迹方程为圆方程，即， 设其圆心，半径， 则，， 则，所以两圆相交，则在圆上存在点，使，故D正确. 故选：ABD. 13．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】 由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 14．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）圆与圆的公共弦长为（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 确定两圆相交，方程相减得到相交弦所在直线方程，结合勾股定理即可求解. 【详解】 ，所以， ，所以， 所以， 因为，所以两圆相交， 将两圆方程相减，得两圆相交弦所在直线方程为：， 点到直线的距离， 所以两圆的公共弦长为. 故选：A. 15．（25-26学年高二上·四川南充·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 易得直线为过点的动直线，曲线为以为圆心，1为半径的半圆，进而结合图象求解即可. 【详解】 直线为过点的动直线， 曲线，即为半圆， 圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图，    当直线与半圆相切时，有，解得； 当直线过点时，有，即； 因为直线与半圆有两个不同的交点，所以， 则的取值范围是. 故选：B 16．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）（多选）已知直线：，圆：，动点在直线上，过点作圆的两条切线；切点分别为、，则下列描述正确的有（     ） A. 若，则 B. 圆上有2个点到直线的距离为1 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 【答案】BCD 【分析】 利用切线长公式求解判定A；圆心到直线的距离及点与圆的位置关系可判定B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D. 【详解】 圆：的圆心，半径，连接， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，点到直线的距离，故直线与圆相离， 因为，所以圆上有2个点到直线的距离为1，故B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，故存在点，使得，故C正确； 对于D，设，则以为直径的圆的方程为， 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由 ，解得 ， 即直线过定点，故D正确. 故选：BCD. 17．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）（多选）点为上的任意一点，直线与圆交于两点，以为始边，逆时针旋转到为终边的最小正角分别为和，下列命题正确的有（       ） A. 当直线的倾斜角为时，直线与圆相切 B. 面积的最大值为2 C. 和的面积分别为和，则的最小值为 D. 当为常数，为变数时，是定值 【答案】ABD 【分析】 根据直线倾斜角与斜率的关系、直线方程、直线与圆的位置关系、三角函数等知识逐项计算判断即可. 【详解】 对于A： 因为直线的倾斜角为，所以， 所以直线的方程为，即. 因为圆心到该直线的距离为，所以直线与圆相切，A正确； 对于B： 不妨取为例，如下图所示： 由于，所以， 当时，取最大值为2，B正确； 对于C： 由图像可以看出，以为底，以点到直线的距离为高，来得到的面积， 所以要求的最小值，则直线与圆相切，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以，C错误； 对于D： 由在直线上得： ，两式相减得① ， ， ， ， . 所以 化简得，所以. 所以，为定值，所以D正确； 故选：ABD. 18．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）（多选）已知圆，点是圆上的点，直线，则（       ） A. 直线与圆相交所得弦长是 B. 的最大值是 C. 圆上恰有个点到直线的距离等于 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】CD 【分析】 根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】    如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A错； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，B错； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：CD. 【点睛】 结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）：表示点与点连线的斜率； （2）：表示点到点的距离； （3）：表示点到直线的距离的倍. 19．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）（多选）已知圆，过点作两条互相垂直的直线和分别交圆于，和，点，又过，分别作圆的两条切线交于，则下列说法正确的是（     ） A. 若为（4,0），且，则这样的弦共有5条 B. 若为（1,2），则动点在直线上 C. 若为（1,2），则四边形面积的最大值为45 D. 若为，则凸四边形面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】 对于A，由弦长公式计算得，由对称性，求出这样的弦长的条数；对于B，设，求出切点弦所在直线的方程，将点代入直线，得到 ，说明在直线上；对于，求出圆心到、的距离分别为、，求出，，，，从而得到四边形面积的最大值；对于D，如图所示，由作，的垂线，，连接，，记，，，求出，，，，，进而求出的最大值. 【详解】 对于A，，过的弦中最长弦为直径，则最长弦长为10， 最短弦为过且垂直的弦，， 则最短弦长为，又，可得， 由对称性，这样的弦长共条； 对于B，设，则切点弦所在直线的方程为， 该直线过，则满足， 所以在直线上； 对于圆， 圆心坐标（0，0），半径， 设圆心到、的距离分别为、， ，则， ，， ， 当且仅当时取等号，四边形面积的最大值为45； 对于D，如图所示，由作，的垂线，，连接，， 记，，，则. ，， ，， 故 （柯西不等式），当且仅当时取等号. 故选：BCD. 20．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）若圆关于直线对称，则的值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 利用圆关于直线对称，则有圆心在直线上，求出圆心，将圆心代入直线计算求解. 【详解】 ，圆心， 圆关于直线对称， 圆心在直线上， ，. 故选：A. 21．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）（多选）则下列结论正确的是（     ） A. 直线与直线关于点对称，则实数 B. 直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是 C. 已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是 D. 由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为 【答案】ACD 【分析】 利用直线关于定点对称的性质分析判断选项A；利用直线和圆的位置关系，结合已知条件判断选项B；构造一次函数，利用函数单调性分析判断选项C；利用圆的性质分析判断选项D． 【详解】 选项A：直线与直线关于点对称，且，即不在直线上， 直线与直线平行，，解得， 在直线上取一点，则其关于的对称点在直线上，即，解得，故A正确； 选项B：曲线等价于，表示以原点为圆心，半径是1的右半圆， 直线与圆只有一个交点，则直线与半圆的位置关系如下图所示， 当直线与半圆上顶点相交时，，解得； 当直线与半圆下顶点相交时，，解得； 当直线与半圆相切时，，解得，半圆为右半圆，结合图像可知， 的取值范围为或，故B错误； 选项C：实数、满足方程， ， ，令，则在上单调递减， 当时，， 当时， 当时，则的取值范围是，故C正确； 选项D：如下图所示， 四边形是正方形，且，， 动点是以为圆心，半径是的圆，方程为， 故D正确． 故选：ACD． 22．（25-26学年高二上·四川南充·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 【答案】AB 【分析】 根据点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，从而确定弦长的取值范围，判断选项A；先计算圆心到直线的距离，再结合圆的半径判断圆上到直线距离为特定值的点的个数；根据没有公切线的条件，结合两圆的半径和圆心距的关系确定的取值范围，判断选项C；利用圆的切点弦方程，结合直线方程求出直线所过定点，判断选项D． 【详解】 圆的方程为，该圆的圆心为，半径． 选项A：， 点在圆内，则圆心到过点的直线的距离， ，故A正确；    选项B：圆心到直线的距离， 又圆的半径为3， 圆上有4个点到直线的距离为，故B正确； 选项C：圆的圆心为，半径为， ，圆与圆没有公切线，两圆内含， ，即 ，解得16， 的取值范围为，故C错误； 选项D：设，则以为直径的圆为， 整理得， 直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程 ，得， 整理得， 令 ，解得 ， 直线必过定点，故D错误．    故选：． 23．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解. (1) 小问详解： 由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 又因为的中点为， 所以线段的中垂线的直线方程为， 即， 联立 解得 ，所以圆心 又因为半径等于,所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设圆的半径为，则， 若直线的斜率不存在，因为直线过点， 所以直线方程为， 此时圆心到直线的距离，满足题意; 若直线的斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为，即. 所以切线方程为或. 24．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知，是直线与圆相交的　　　　　　　　　　　　　　　　条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】 先根据直线与圆相交的判定方法列出不等式，求解后利用充要条件判断即得. 【详解】 若直线与圆相交， 则圆心到直线的距离，解得， 因不能推出，而由可以推出， 故是直线与圆相交的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 25．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1） 直线的方程可化为 联立 ，解得 故直线恒过定点     （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为      【分析】 （1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得 ，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 26．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知圆（为实数）上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则　　　　　 【答案】3 【分析】 根据条件可知直线过圆心，将圆心坐标代入直线即可解得结果. 【详解】 由题意可知，直线经过圆心， 则 ，解得. 故答案为：3. 27．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知圆O：，直线l：，设圆O上到直线l距离等于1的点的个数为k，则　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据点到直线的距离公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】 原点O到的距离为， 由于l：是到原点O距离为1的直线， 而圆O：的半径为，如图所示， 于是圆O上到直线l距离等于1的点的个数为4，因此．    故答案为：4 28．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）圆与圆外切，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据圆与圆的外切关系，让圆心距等于两圆半径之和即可求解. 【详解】 圆，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径，易知两圆圆心距为5, 根据两圆外切可得， ∴，∴，∴． 故答案为：1 29．（25-26学年高二上·四川南充·期中）过点作圆的切线，切点为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 由切线的性质可得出，求出，结合勾股定理可求得的值. 【详解】 连接、，易知圆心，半径为， 因为是圆的切线，所以． 又，所以． 故答案为：. 30．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； （3）若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 【答案】（1）；     （2） 若直线的斜率为0，则， 若直线的斜率不为0， 设直线为， 直线与曲线C交点为， 联立 所以，所以， D、B两点的弦的中点的纵坐标为， 联立与，所以的纵坐标为， ， 所以恒为定值；     （3）；      【分析】 （1）根据两点间的距离公式可得曲线的方程； （2）设直线联立得出韦达定理结合弦长公式计算证明； （3）设直线为及，结合斜率之积计算得出，进而得出定点. (1) 小问详解： 设,因为，，所以， 所以，化简可得， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设直线为，， 联立 ， 所以， 所以 ， 又因为点 满足直线、的斜率之积为， 所以， 所以， 所以， 即得， 化简得， 所以， 所以或， 当时，即，直线为，定点为； 当时，即， 直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍； 当直线为，，直线、的斜率之积为， 所以，所以， 即得，所以或舍； 综上，直线过定点； 31．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知圆O：，直线l：，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为　　　　　　　　　. 【答案】8.8 【分析】 设，由得 ，进而得，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 设，由有， 所以 ，又点在圆上，所以， 即，所以点轨迹是以为半径，圆心为的圆， 由圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为：， 故答案为：. 32．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知圆C的方程为；，直线的方程为 （1）过点作圆C切线，求切线的一般式方程； （2）若Q为直线上一点，且Q的横坐标为2，P为平面内一动点，O为原点，满足，求点的轨迹方程. 【答案】（1）或；     （2）      【分析】 （1）直线斜率不存在时满足，斜率存在时，设出直线点斜式，利用点到直线距离公式求解； （2）由题意得，设，由列式化简即得点的轨迹方程. (1) 小问详解： 当切线斜率不存在时，直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设直线方程为， 化为一般式为， 由圆心到直线的距离， 解得 故切线的一般式方程为， 综上所述，所求切线的一般式方程为或； (2) 小问详解： 设， 因为Q为直线：上一点，且Q的横坐标为2，所以， 由得：， 化简得： 点的轨迹方程为：. 33．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）已知圆，圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆的圆心坐标，半径，由题意列关于，，的方程组，求出圆的方程； （2）由弦长求出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和斜率不存在两种情况求出直线方程. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为3， 设圆的圆心坐标为，半径， ∴ ，解得 ， ∴圆的的方程为. (2) 小问详解： 若直线斜率不存在，此时：， 由 ，解得 ， 此时弦长为，符合题意， 若直线的斜率存在，设：， ∵直线被圆截得的弦长为， ∴圆心到直线的距离， 因为：，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上：直线的方程为或. 34．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知动点与两个定点的距离的比值为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. （3）若，为直线上一动点，过做曲线的切线，切点为.求面积的最小值. 【答案】（1）     （2）和     （3）2      【分析】 （1）设，利用距离公式列式化简求解即可； （2）按照直线斜率不存在和斜率存在分类讨论，利用弦长公式列方程求解即可； （3）根据相切性质可得，进而转化为点B到直线的距离问题求解即可. (1) 小问详解： 设，则，即，化简得， 所以曲线的方程为：； (2) 小问详解： 由（1）知曲线的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径， 当直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1， 所以，故满足题意； 当直线斜率存在时，设的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以的方程为，即的方程为， 综上所述，直线的方程为和； (3) 小问详解： 由（1）知为圆心， 由相切关系可得， 故最短时，有最小值， 此时为圆心到直线的距离， 所以最小值为. 35．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于，两点，则弦长等于　　　　　. 【答案】 【分析】 根据圆与圆的位置关系及椭圆定义可得圆心的轨迹的方程，代入，可解得点坐标，进而可得弦长. 【详解】 如图所示， 设圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的半径为， 由圆分别与圆外切和圆内切， 则，，则， 即动点到两定点，的距离之和为定值，且大于， 满足椭圆定义， 即点是以，为焦点，且，的椭圆， 方程为， 如图所示， 由轴，且过点，设，， 将代入椭圆方程得， 即，， 所以， 故答案为：. 36．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）圆心在上，与轴相切，被直线截得的弦长为的圆的标准方程为　　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程. 【详解】 设圆心坐标为，半径， 到直线的距离， 所以，解得或. 当时，圆的方程为； 当时，圆的方程为. 故答案为：或. 37．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）已知圆，过点作圆的切线 （1）求切线方程； （2）若两切点分别为A，B，求A，B两点之间的距离. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 (1)分切线的斜率不存在与存在两种情况进行求解； (2)求出两切点坐标即可求解. (1) 小问详解： 圆化为标准式为： 当切线的斜率不存在时，得切线方程为：，显然满足题意， 当切线的斜率存在时，设切线方程为：，即， 由，解得，得切线方程为：，即， 综上知，所求切线方程为：或. (2) 小问详解： 如图所示： 则切点， 由 ，消去，得，得， 则，故， ， 故A，B两点之间的距离. 38．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的方程； （2）求过点的直线被圆截得的弦长为的直线方程； （3）若，是平面内不同的两定点，动点满足，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点是上的动点，点，点是直线上的动点，求的最小值. 【答案】（1）     （2）和     （3）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，由圆心位置及圆过的点列方程组求解圆心坐标及半径即可； （2）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程； （3）设点P坐标及点，根据圆的方程与两点距离公式化简得出，然后根据点到直线距离公式求最值即可. (1) 小问详解： 设圆的方程为，由题意 ，解得 ， 所以圆的方程为． (2) 小问详解： 当垂直于x轴时，将代入圆的方程，得， 所以，， 此时截得的弦长为，满足条件； 当不垂直于x轴时，设的方程为即， 圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得，解得， 此时直线的方程为即． 所以直线的方程为和． (3) 小问详解： 设，则， 故 . 令，则， 其中为点E到直线的距离， 因为，所以的最小值为. 39．（25-26学年高二上·四川南充·期中）已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）写出圆与圆的一条公切线方程.（不需要写出解题过程） （3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在满足条件的定点.      【分析】 （1）由题意得圆心在线段的中垂线上，联立线段的中垂线方程和直线求出圆心坐标，接着求出即可由圆的标准方程求解； （2）先由圆与圆的圆心距为5，等于两圆的半径之和得到两圆外切，数形结合即可求解公切线有，两圆方程相减可得公切线方程 ，由连心线与第一条公切线的交点结合点到直线距离、点斜式即可求出公切线 ； （3）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况结合韦达定理和题设条件进行分析即可求解. (1) 小问详解： 线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上，又圆心在直线上， 所以直线与直线的交点就是圆心. 解方程组 得 即. 因为圆的半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，等于两圆的半径之和， 所以两圆外切，如图，两圆的一条公切线为； 圆与圆的方程相减得公切线； 两圆的连心线所在直线方程为，即， 所以直线与交点为， 则另外一条公切线过点，设， 因为原点到的距离为4，所以，解得， 所以，即 综上，两圆的公切线方程有或或； (3) 小问详解： 显然当直线的斜率不存在时，只要直线与圆交于两点，根据对称性恒有. 当直线的斜率存在时，设经过点的直线与圆交于两 点. 由 得， 所以，且 ， 由，得，即， 所以，整理得 将 代入上式可得 直线即，该直线恒过点， 所以存在满足条件的定点. 40．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． （1）求曲线T的方程； （2）若点，记的面积为，求的取值范围； （3）是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，，      【分析】 （1）设动点坐标，方法1由直线垂直斜率乘积为求得轨迹方程；方法2由直角三角形斜边上的中线得到即可求得轨迹方程；方法3,由勾股定理建立方程求得轨迹方程； （2）方法1设，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，然后借助双勾函数的单调性求得最值；方法2讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，换元后借助二次函数求出最值； （3）由（2）中方法1得到交点纵坐标的关系，列出代数式，由圆的方程和直线方程消元，将代数式整理成关于纵坐标的式子，然后代入韦达定理的结论，由为定值得到方程，解得参数，即解得Q点坐标 (1) 小问详解： 法1：设，由题意、存在， ∴， ∴曲线T的方程为：． 法2：由，得，∴曲线T的方程为：． 法3：∵，∴， 即曲线T的方程为：． (2) 小问详解： 法1：由题意可知：直线l一定与T相交于不同的两点，且直线l的斜率不为0， 不妨设，，， 由 ，解得． 由韦达定理得：，． ∵ ． 令，则，． 又∵，∴，∴． 法2：当直线不存在斜率时，即， 则，，； 当直线存在斜率时，不妨设，，， 由 ，解得：， 由韦达定可得：，， 则，， 则， 令 则，，则， 综上所述，∴． (3) 小问详解： 由（2）中方法1可知，，， ， 因为，所以， 同理， 所以， 将，代入上式，可得 使得为定值，则，则或或， 即存在，，满足要求． 【点睛】 关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，动直线与圆交点形成的交点三角形，以及圆中动点问题.本题的关键在于找到设动直线方程，与圆的方程联立方程组，借助韦达定理，即可解答本题. 41．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）①已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为（）则； ②对任意的，，； ③点P为直线l：上的一个动点，A，B为圆M：上任意两个不重合的点，记的最小值为m，的最大值为n，则； ④覆盖曲线的面积最小的圆是.以上说法正确的有　　　　　　　　　.（填序号） 【答案】① ② ④ 【分析】 ① 设出坐标，利用点差法，结合点的坐标，即可求得参数的取值范围； ② 取点，根据所求表达式的几何意义为正方形内一点到4个顶点距离之和，结合图象的结构特征，即可判断； ③ 根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. ④ 根据对称性得到曲线图形，再根据对称性求到原点的距离的最小值即可判断； 【详解】 ① 设，，又点，在椭圆上， 则，，两式相减可得：， 又，，则， 又点，在椭圆内，则，解得，所以，正确； ② 取点，    则表示正方形内一点到4个顶点距离之和， 由于,当P点位于正方形对角线交点处时，等号成立， 故所求表达式的最小值为，正确； ③ 由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图：       所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时，即． 由于最大时为钝角，的最大值为1，即, 故，错误； ④ 因点在曲线上，点，也都在曲线上， 则曲线关于x轴，y轴对称， 当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)， 因此，曲线是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，    曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，故覆盖曲线的面积最小的圆是，正确. 故答案为：① ② ④ 42．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知圆的圆心在直线上，且过两个点，点为圆上不同于的两个动点． （1）求圆的方程； （2）为圆上一点，当面积最大时，求直线的方程； （3）若，是否存在与动直线恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）或；     （3）存在，.      【分析】 （1） 设圆心，利用圆心到圆上两点距离相等的条件，建立关于的方程， 解方程得到圆心坐标，再代入半径公式求出半径，即可； （2）分析三角形面积最大的条件：当到直线的距离最大时，面积最大，确定的坐标，利用两点式求出直线的方程； （3）设，，由，利用圆方程化简，设直线的方程为，联立圆的方程，利用韦达定理代入条件，推导直线满足的条件，得出直线恒与某定圆相切. (1) 小问详解： 设圆心为， 圆经过点和，因此：， 即：， 解得：，因此圆心为，， 所以圆的方程为：； (2) 小问详解： △AOM 的面积公式为：其中 () 是向量和的夹角， 面积最大时，即， 此时与垂直，即在轴上，圆与轴的交点为和， 对于：斜率，方程为：； 对于：斜率，方程为：； 所以直线的方程或； (3) 小问详解： 设，由，利用圆方程化简得： ， 设直线方程为，联立圆方程得：， 由韦达定理，，代入， 得：， 直线方程为， 点到直线距离为：， 斜率不存在时，直线到距离也为， 故定圆以为圆心，半径，方程为. 43．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 【答案】（1）和     （2）存在，定点，定值或定点，定值     （3） 设，，，，， 由，则，即， 又，故，同理， 所以直线CD为，又M在CD上，所以， 故点E在直线上.      【分析】 （1）先讨论切线斜率不存在，再由切线斜率存在时，设切线为，然后利用得到即可； （2）由题设，若，存在使为定值，利用 ，得到参数值； （3）设，，，则，，然后利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系即可. (1) 小问详解： 当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得，则，整理得， 综上，切线的方程为和 (2) 小问详解： 由题设，若，则，整理得， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 即， 整理得， 要使为定值，则 ， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值，或定点，定值 . (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：第三问，应用切线的性质及向量垂直的坐标表示列方程得，结合在圆上得到同一直线方程形式为关键. 44．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知圆经过点、，并且直线平分圆． （1）求圆的方程； （2）过点，是否存在斜率为的直线与圆有两个不同的交点M，N，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）不存在，理由如下： 由题意直线的方程为， 联立 ，消去得， 设，， 则，得， 故，， 而， 所以 ， 故有，解得或，不满足，所以不存在．      【分析】 （1）设标准方程，两点代入方程，圆心带入直线联立求解； （2）直线的方程与圆联立，得到韦达定理，代入解出答案，并由得的取值范围，判断是否符合要求即可. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为， 因为直线平分圆的面积，所以直线过圆心，即， 则 ，解得 ， 圆的方程为. (2) 小问详解： 略 45．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）设为坐标原点，直线与圆相切且与圆相交于、两不同点，已知，，分别是圆、圆上的点． （1）求的值； （2）求面积的最大值； （3）若的外接圆圆心在圆上，已知点，求的取值范围． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据条件，利用圆的性质得到，即可求解； （2）根据条件，利用三角形面积公式，得到，即可求解； （3）根据条件可得的外接圆与内切，进而得，设，，，从而可得，即可求解. (1) 小问详解： 如图所示，直线与圆相切的切点是弦的中点， 且，则，解得． (2) 小问详解： 因为的面积，又， 所以，故当时，面积的最大值，最大值为． (3) 小问详解： 因为的外接圆圆心在圆上，由（1）知的半径为， 所以，则的外接圆与内切， 则为的外接圆与圆的切点，则，又，所以， 令，则，， 又点，所以，， 则 ，其中， 所以的取值范围为． 46．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； （2）设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的取值范围； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），     （2）     （3）存在或，或.      【分析】 （1）圆与圆相减得公共弦方程；是关于直线的对称点，两圆半径相等； （2）设，，则，将表示成的函数求解范围； （3）若存在，使为定值，则由整理后的方程系数为求解. (1) 小问详解： 如图所示，由 两式相减，得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为， 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得 圆方程为； (2) 小问详解： 由相切，知，，设，，则， 故 ， 令，易知在单增，故（当时取等号）， 的取值范围是； (3) 小问详解： 由题设，满足方程， 若存在，使为定值， 而，， ， 整理得， 将代入，得， 整理可得， 要使为定值，则 ， 解得 或 . 综上，存在或，使为定值，该定值对应为或. 47．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）在平面直角坐标系中，点在圆： 上，点B在直线： 上，且 ，则 的最小值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，设，然后根据垂直关系可求出的表达式，进而得到，然后化简得到关于的表达式，最后求出最小值即可. 【详解】 因为点在直线上，所以设. 设，由得， 所以， 化简得 解得，所以. 所以. . 所以 要求的最小值，即求的最大值， 因为. 此时取最小值为. 故答案为：. 48．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，能成立，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）①；②      【分析】 （1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）① 由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；② 由① 可得，圆，设，从而，由，在圆上，解关于的方程组并化简，转化为直线和圆有交点的问题，可得，结合“曼哈顿距离”的定义表示并计算得到两点的“曼哈顿距离”，最后由满足的不等式求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为. 所以过点的圆的切线方程为或. (2) 小问详解： ① 设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以 ， 又，，解得 ，所以常数. ② 由① 知，，，所以点，圆， 设，是线段的中点，则， 又，在圆上，即关于的方程组 有解， 化简得 有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：，解得， 又，，由“曼哈顿距离”的定义知两点的“曼哈顿距离”为 ，因为， 所以 ， 解得， 又能成立，且恒成立， 所以 ，即 ，解得， 所以实数的取值范围是. 49．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； （2）若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）.     （2）存在，，或，.      【分析】 （1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. (1) 小问详解： （ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是； (2) 小问详解： 设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以 ，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以 ，解得 或 . 所以，或，. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆、直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）圆心为，半径的圆的标准方程为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）以为圆心，直径为4的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知，且，则代数式的最小值为（     ） A.  B. 18 C. 12 D. 8 7．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）若直线经过圆的圆心，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·四川南充·期中）过点可以向圆引两条切线，则t的取值范围为（       ）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）在平面直角坐标系中，动点到轴、轴、坐标原点的距离分别为，，，这3个距离均大于0，且，则动点的轨迹对应的图形大致为（       ） A.      B.      C.      D.      10．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）设圆：，圆：，圆：的半径分别为，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）若圆被直线平分，则圆C的半径为　　　　　　． 12．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切． （1）求圆C的方程； （2）若，，点M在圆C上，求的取值范围． 13．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）已知点，求解满足下列条件的直线或圆的方程. （1）经过点，且在轴上的截距为的直线的一般式方程； （2）以点为圆心，且与轴相切的圆的一般方程. 14．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作圆的两条切线，切点分别为点，，求两条切线的方程. 15．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）已知平面平面，，，且，，是正方形，在正方形内部（含边界）有一点，满足，与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）圆：关于直线：对称后的方程为　　　　　　　　. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）直线：被圆：所截得的弦长为（     ） A.  B. 1 C.  D.  2．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）如果直线与圆相切，则的值（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）直线与圆交于两点，则的面积为（     ） A. 2 B.  C.  D. 4 4．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）（多选）圆：与圆：相交，则的值可以是（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  7．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 9．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）（多选）已知圆，为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于A，B，则下列说法正确的是（       ） A. 圆关于直线的对称圆的方程为： B. 圆上有且仅有两个点到的距离为 C. 的最小值为 D. 直线恒过定点 10．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）（多选）下列结论中正确的是（       ） A. 已知直线过点，且在,轴上截距相等,则直线的方程为 B. 若点是圆上任意一点,则的取值范围是. C. 若直线上存在点，过点作圆的切线,,切点分别为,,使得为直角，则实数的取值范围为. D. 已知圆,点，过点作直线交圆于,两点，则的取值范围是. 11．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（       ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 12．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）（多选）设点为圆上一点，则下列结论正确的有（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 圆关于直线对称，点与圆上点距离的最小值为 D. 若点，在圆上存在点，使 13．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）圆与圆的公共弦长为（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 15．（25-26学年高二上·四川南充·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）（多选）已知直线：，圆：，动点在直线上，过点作圆的两条切线；切点分别为、，则下列描述正确的有（     ） A. 若，则 B. 圆上有2个点到直线的距离为1 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 17．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）（多选）点为上的任意一点，直线与圆交于两点，以为始边，逆时针旋转到为终边的最小正角分别为和，下列命题正确的有（       ） A. 当直线的倾斜角为时，直线与圆相切 B. 面积的最大值为2 C. 和的面积分别为和，则的最小值为 D. 当为常数，为变数时，是定值 18．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）（多选）已知圆，点是圆上的点，直线，则（       ） A. 直线与圆相交所得弦长是 B. 的最大值是 C. 圆上恰有个点到直线的距离等于 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 19．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）（多选）已知圆，过点作两条互相垂直的直线和分别交圆于，和，点，又过，分别作圆的两条切线交于，则下列说法正确的是（     ） A. 若为（4,0），且，则这样的弦共有5条 B. 若为（1,2），则动点在直线上 C. 若为（1,2），则四边形面积的最大值为45 D. 若为，则凸四边形面积的最大值为 20．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）若圆关于直线对称，则的值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 21．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）（多选）则下列结论正确的是（     ） A. 直线与直线关于点对称，则实数 B. 直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是 C. 已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是 D. 由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为 22．（25-26学年高二上·四川南充·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 23．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 24．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知，是直线与圆相交的　　　　　　　　　　　　　　　　条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”） 25．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 26．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知圆（为实数）上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则　　　　　 27．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知圆O：，直线l：，设圆O上到直线l距离等于1的点的个数为k，则　　　　　　． 28．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）圆与圆外切，则　　　　　　． 29．（25-26学年高二上·四川南充·期中）过点作圆的切线，切点为，则　　　　　　． 30．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； （3）若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 31．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知圆O：，直线l：，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为　　　　　　　　　. 32．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知圆C的方程为；，直线的方程为 （1）过点作圆C切线，求切线的一般式方程； （2）若Q为直线上一点，且Q的横坐标为2，P为平面内一动点，O为原点，满足，求点的轨迹方程. 33．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）已知圆，圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 34．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知动点与两个定点的距离的比值为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. （3）若，为直线上一动点，过做曲线的切线，切点为.求面积的最小值. 35．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于，两点，则弦长等于　　　　　. 36．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）圆心在上，与轴相切，被直线截得的弦长为的圆的标准方程为　　　　　　　　　　　. 37．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）已知圆，过点作圆的切线 （1）求切线方程； （2）若两切点分别为A，B，求A，B两点之间的距离. 38．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的方程； （2）求过点的直线被圆截得的弦长为的直线方程； （3）若，是平面内不同的两定点，动点满足，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点是上的动点，点，点是直线上的动点，求的最小值. 39．（25-26学年高二上·四川南充·期中）已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）写出圆与圆的一条公切线方程.（不需要写出解题过程） （3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 40．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． （1）求曲线T的方程； （2）若点，记的面积为，求的取值范围； （3）是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 41．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）①已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为（）则； ②对任意的，，； ③点P为直线l：上的一个动点，A，B为圆M：上任意两个不重合的点，记的最小值为m，的最大值为n，则； ④覆盖曲线的面积最小的圆是.以上说法正确的有　　　　　　　　　.（填序号） 42．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知圆的圆心在直线上，且过两个点，点为圆上不同于的两个动点． （1）求圆的方程； （2）为圆上一点，当面积最大时，求直线的方程； （3）若，是否存在与动直线恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由． 43．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 44．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知圆经过点、，并且直线平分圆． （1）求圆的方程； （2）过点，是否存在斜率为的直线与圆有两个不同的交点M，N，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 45．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）设为坐标原点，直线与圆相切且与圆相交于、两不同点，已知，，分别是圆、圆上的点． （1）求的值； （2）求面积的最大值； （3）若的外接圆圆心在圆上，已知点，求的取值范围． 46．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； （2）设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的取值范围； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 47．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）在平面直角坐标系中，点在圆： 上，点B在直线： 上，且 ，则 的最小值为　　　　　　　　. 48．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，能成立，且恒成立，求实数的取值范围. 49．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； （2）若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆、直线与圆的位置关系 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．A 2．B 3．C 4．ABD 5．C 6．D 7．B 8．D 9．A 10．C 11．【答案】 【分析】 首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径． 【详解】 若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为， 即， 解得：， 则圆，则圆的半径为． 故答案为：． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解. （2）由题意设点在圆上，则，，由两点之间的距离公式化简可得，由此即可得解. (1) 小问详解： 设圆C：（）， 由题意得 ，解得 ， 所以圆C的方程为． (2) 小问详解： 设，，由，得， 则． 当时，取得最小值，最小值为10； 当时，取得最大值，最大值为34． 故的取值范围为. 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设方程为，代入，即可求解； （2）确定圆的半径，得到标准方程，再转换即可. (1) 小问详解： 由题意，设直线的方程为， 由直线经过点，所以， 解得， 所以直线的方程为， 其一般式方程为 (2) 小问详解： 由题意，所求圆的半径为， 所以所求圆的标准方程为， 化为一般方程为 14．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据待定系数法求圆的方程即可； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离求切线方程即可. (1) 小问详解： 设圆标准方程. 则有 ，解得 ， 即圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，：，此时圆心到直线的距离为， 故：与圆相切，故：符合要求；      当直线斜率存在时，设：，即， 则有，化简得，即， 即：，即：；    综上所述：两条切线的方程为或. 15．【答案】 【分析】 令，应用两点距离公式列方程求轨迹，结合已知圆的方程求出及点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】 设，依题意，，即， 整理得，则 ，解得，即， 点到直线的距离为， 由得， 当且仅当三点共线时取等号， 此时直线的斜率为，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，故存在点使得三点共线， 所以的最小值为.    故答案为： 16．【答案】 【分析】 根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度. 【详解】 因为平面平面，平面平面，， 且平面，所以平面，平面， 可知和分别是直线与平面所成的角， 则，即， 可得，所以. 以为原点建立平面直角坐标系如下图所示， 则，，设， 由得，化简得， 由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分， 令代入原方程，解得，故， 由于，所以， 所以点的轨迹长度为. 故答案为：. 17．【答案】 【分析】 求出圆心和半径，设圆心关于直线：的对称点为，则直线与直线垂直，利用，得到的一个等式，又和的中点在直线：上，将中点代入此直线方程得到的另一个等式，这的等式联立，解得的值，得到的坐标，即为所求圆的圆心，半径不变，从而得到所求圆的方程. 【详解】 圆：，圆心，半径， 设圆心关于直线：的对称点为， 则直线与直线垂直， ，，，， 又和的中点为，且中点在直线：上， ，联立 ，解得 ， 为所求圆的圆心，半径为， 所求圆的方程为. 故答案为：. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．B 2．B 3．A 4．B 5．ABC 6．A 7．C 8．C 9．ABD 10．BCD 11．C 12．ABD 13．B 14．A 15．B 16．BCD 17．ABD 18．CD 19．BCD 20．A 21．ACD 22．AB 23．【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解. (1) 小问详解： 由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 又因为的中点为， 所以线段的中垂线的直线方程为， 即， 联立 解得 ，所以圆心 又因为半径等于,所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设圆的半径为，则， 若直线的斜率不存在，因为直线过点， 所以直线方程为， 此时圆心到直线的距离，满足题意; 若直线的斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为，即. 所以切线方程为或. 24．【答案】必要不充分 【分析】 先根据直线与圆相交的判定方法列出不等式，求解后利用充要条件判断即得. 【详解】 若直线与圆相交， 则圆心到直线的距离，解得， 因不能推出，而由可以推出， 故是直线与圆相交的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 25．【答案】（1） 直线的方程可化为 联立 ，解得 故直线恒过定点     （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为      【分析】 （1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得 ，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 26．【答案】3 【分析】 根据条件可知直线过圆心，将圆心坐标代入直线即可解得结果. 【详解】 由题意可知，直线经过圆心， 则 ，解得. 故答案为：3. 27．【答案】4 【分析】 根据点到直线的距离公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】 原点O到的距离为， 由于l：是到原点O距离为1的直线， 而圆O：的半径为，如图所示， 于是圆O上到直线l距离等于1的点的个数为4，因此．    故答案为：4 28．【答案】1 【分析】 根据圆与圆的外切关系，让圆心距等于两圆半径之和即可求解. 【详解】 圆，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径，易知两圆圆心距为5, 根据两圆外切可得， ∴，∴，∴． 故答案为：1 29．【答案】 【分析】 由切线的性质可得出，求出，结合勾股定理可求得的值. 【详解】 连接、，易知圆心，半径为， 因为是圆的切线，所以． 又，所以． 故答案为：. 30．【答案】（1）；     （2） 若直线的斜率为0，则， 若直线的斜率不为0， 设直线为， 直线与曲线C交点为， 联立 所以，所以， D、B两点的弦的中点的纵坐标为， 联立与，所以的纵坐标为， ， 所以恒为定值；     （3）；      【分析】 （1）根据两点间的距离公式可得曲线的方程； （2）设直线联立得出韦达定理结合弦长公式计算证明； （3）设直线为及，结合斜率之积计算得出，进而得出定点. (1) 小问详解： 设,因为，，所以， 所以，化简可得， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设直线为，， 联立 ， 所以， 所以 ， 又因为点 满足直线、的斜率之积为， 所以， 所以， 所以， 即得， 化简得， 所以， 所以或， 当时，即，直线为，定点为； 当时，即， 直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍； 当直线为，，直线、的斜率之积为， 所以，所以， 即得，所以或舍； 综上，直线过定点； 31．【答案】8.8 【分析】 设，由得 ，进而得，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 设，由有， 所以 ，又点在圆上，所以， 即，所以点轨迹是以为半径，圆心为的圆， 由圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为：， 故答案为：. 32．【答案】（1）或；     （2）      【分析】 （1）直线斜率不存在时满足，斜率存在时，设出直线点斜式，利用点到直线距离公式求解； （2）由题意得，设，由列式化简即得点的轨迹方程. (1) 小问详解： 当切线斜率不存在时，直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设直线方程为， 化为一般式为， 由圆心到直线的距离， 解得 故切线的一般式方程为， 综上所述，所求切线的一般式方程为或； (2) 小问详解： 设， 因为Q为直线：上一点，且Q的横坐标为2，所以， 由得：， 化简得： 点的轨迹方程为：. 33．【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆的圆心坐标，半径，由题意列关于，，的方程组，求出圆的方程； （2）由弦长求出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和斜率不存在两种情况求出直线方程. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为3， 设圆的圆心坐标为，半径， ∴ ，解得 ， ∴圆的的方程为. (2) 小问详解： 若直线斜率不存在，此时：， 由 ，解得 ， 此时弦长为，符合题意， 若直线的斜率存在，设：， ∵直线被圆截得的弦长为， ∴圆心到直线的距离， 因为：，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上：直线的方程为或. 34．【答案】（1）     （2）和     （3）2      【分析】 （1）设，利用距离公式列式化简求解即可； （2）按照直线斜率不存在和斜率存在分类讨论，利用弦长公式列方程求解即可； （3）根据相切性质可得，进而转化为点B到直线的距离问题求解即可. (1) 小问详解： 设，则，即，化简得， 所以曲线的方程为：； (2) 小问详解： 由（1）知曲线的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径， 当直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1， 所以，故满足题意； 当直线斜率存在时，设的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以的方程为，即的方程为， 综上所述，直线的方程为和； (3) 小问详解： 由（1）知为圆心， 由相切关系可得， 故最短时，有最小值， 此时为圆心到直线的距离， 所以最小值为. 35．【答案】 【分析】 根据圆与圆的位置关系及椭圆定义可得圆心的轨迹的方程，代入，可解得点坐标，进而可得弦长. 【详解】 如图所示， 设圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的半径为， 由圆分别与圆外切和圆内切， 则，，则， 即动点到两定点，的距离之和为定值，且大于， 满足椭圆定义， 即点是以，为焦点，且，的椭圆， 方程为， 如图所示， 由轴，且过点，设，， 将代入椭圆方程得， 即，， 所以， 故答案为：. 36．【答案】或 【分析】 根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程. 【详解】 设圆心坐标为，半径， 到直线的距离， 所以，解得或. 当时，圆的方程为； 当时，圆的方程为. 故答案为：或. 37．【答案】（1）或     （2）      【分析】 (1)分切线的斜率不存在与存在两种情况进行求解； (2)求出两切点坐标即可求解. (1) 小问详解： 圆化为标准式为： 当切线的斜率不存在时，得切线方程为：，显然满足题意， 当切线的斜率存在时，设切线方程为：，即， 由，解得，得切线方程为：，即， 综上知，所求切线方程为：或. (2) 小问详解： 如图所示： 则切点， 由 ，消去，得，得， 则，故， ， 故A，B两点之间的距离. 38．【答案】（1）     （2）和     （3）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，由圆心位置及圆过的点列方程组求解圆心坐标及半径即可； （2）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程； （3）设点P坐标及点，根据圆的方程与两点距离公式化简得出，然后根据点到直线距离公式求最值即可. (1) 小问详解： 设圆的方程为，由题意 ，解得 ， 所以圆的方程为． (2) 小问详解： 当垂直于x轴时，将代入圆的方程，得， 所以，， 此时截得的弦长为，满足条件； 当不垂直于x轴时，设的方程为即， 圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得，解得， 此时直线的方程为即． 所以直线的方程为和． (3) 小问详解： 设，则， 故 . 令，则， 其中为点E到直线的距离， 因为，所以的最小值为. 39．【答案】（1）     （2）     （3）存在满足条件的定点.      【分析】 （1）由题意得圆心在线段的中垂线上，联立线段的中垂线方程和直线求出圆心坐标，接着求出即可由圆的标准方程求解； （2）先由圆与圆的圆心距为5，等于两圆的半径之和得到两圆外切，数形结合即可求解公切线有，两圆方程相减可得公切线方程 ，由连心线与第一条公切线的交点结合点到直线距离、点斜式即可求出公切线 ； （3）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况结合韦达定理和题设条件进行分析即可求解. (1) 小问详解： 线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上，又圆心在直线上， 所以直线与直线的交点就是圆心. 解方程组 得 即. 因为圆的半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，等于两圆的半径之和， 所以两圆外切，如图，两圆的一条公切线为； 圆与圆的方程相减得公切线； 两圆的连心线所在直线方程为，即， 所以直线与交点为， 则另外一条公切线过点，设， 因为原点到的距离为4，所以，解得， 所以，即 综上，两圆的公切线方程有或或； (3) 小问详解： 显然当直线的斜率不存在时，只要直线与圆交于两点，根据对称性恒有. 当直线的斜率存在时，设经过点的直线与圆交于两 点. 由 得， 所以，且 ， 由，得，即， 所以，整理得 将 代入上式可得 直线即，该直线恒过点， 所以存在满足条件的定点. 40．【答案】（1）     （2）     （3）存在，，      【分析】 （1）设动点坐标，方法1由直线垂直斜率乘积为求得轨迹方程；方法2由直角三角形斜边上的中线得到即可求得轨迹方程；方法3,由勾股定理建立方程求得轨迹方程； （2）方法1设，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，然后借助双勾函数的单调性求得最值；方法2讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，换元后借助二次函数求出最值； （3）由（2）中方法1得到交点纵坐标的关系，列出代数式，由圆的方程和直线方程消元，将代数式整理成关于纵坐标的式子，然后代入韦达定理的结论，由为定值得到方程，解得参数，即解得Q点坐标 (1) 小问详解： 法1：设，由题意、存在， ∴， ∴曲线T的方程为：． 法2：由，得，∴曲线T的方程为：． 法3：∵，∴， 即曲线T的方程为：． (2) 小问详解： 法1：由题意可知：直线l一定与T相交于不同的两点，且直线l的斜率不为0， 不妨设，，， 由 ，解得． 由韦达定理得：，． ∵ ． 令，则，． 又∵，∴，∴． 法2：当直线不存在斜率时，即， 则，，； 当直线存在斜率时，不妨设，，， 由 ，解得：， 由韦达定可得：，， 则，， 则， 令 则，，则， 综上所述，∴． (3) 小问详解： 由（2）中方法1可知，，， ， 因为，所以， 同理， 所以， 将，代入上式，可得 使得为定值，则，则或或， 即存在，，满足要求． 【点睛】 关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，动直线与圆交点形成的交点三角形，以及圆中动点问题.本题的关键在于找到设动直线方程，与圆的方程联立方程组，借助韦达定理，即可解答本题. 41．【答案】① ② ④ 【分析】 ① 设出坐标，利用点差法，结合点的坐标，即可求得参数的取值范围； ② 取点，根据所求表达式的几何意义为正方形内一点到4个顶点距离之和，结合图象的结构特征，即可判断； ③ 根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. ④ 根据对称性得到曲线图形，再根据对称性求到原点的距离的最小值即可判断； 【详解】 ① 设，，又点，在椭圆上， 则，，两式相减可得：， 又，，则， 又点，在椭圆内，则，解得，所以，正确； ② 取点，    则表示正方形内一点到4个顶点距离之和， 由于,当P点位于正方形对角线交点处时，等号成立， 故所求表达式的最小值为，正确； ③ 由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图：       所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时，即． 由于最大时为钝角，的最大值为1，即, 故，错误； ④ 因点在曲线上，点，也都在曲线上， 则曲线关于x轴，y轴对称， 当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)， 因此，曲线是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，    曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，故覆盖曲线的面积最小的圆是，正确. 故答案为：① ② ④ 42．【答案】（1）；     （2）或；     （3）存在，.      【分析】 （1） 设圆心，利用圆心到圆上两点距离相等的条件，建立关于的方程， 解方程得到圆心坐标，再代入半径公式求出半径，即可； （2）分析三角形面积最大的条件：当到直线的距离最大时，面积最大，确定的坐标，利用两点式求出直线的方程； （3）设，，由，利用圆方程化简，设直线的方程为，联立圆的方程，利用韦达定理代入条件，推导直线满足的条件，得出直线恒与某定圆相切. (1) 小问详解： 设圆心为， 圆经过点和，因此：， 即：， 解得：，因此圆心为，， 所以圆的方程为：； (2) 小问详解： △AOM 的面积公式为：其中 () 是向量和的夹角， 面积最大时，即， 此时与垂直，即在轴上，圆与轴的交点为和， 对于：斜率，方程为：； 对于：斜率，方程为：； 所以直线的方程或； (3) 小问详解： 设，由，利用圆方程化简得： ， 设直线方程为，联立圆方程得：， 由韦达定理，，代入， 得：， 直线方程为， 点到直线距离为：， 斜率不存在时，直线到距离也为， 故定圆以为圆心，半径，方程为. 43．【答案】（1）和     （2）存在，定点，定值或定点，定值     （3） 设，，，，， 由，则，即， 又，故，同理， 所以直线CD为，又M在CD上，所以， 故点E在直线上.      【分析】 （1）先讨论切线斜率不存在，再由切线斜率存在时，设切线为，然后利用得到即可； （2）由题设，若，存在使为定值，利用 ，得到参数值； （3）设，，，则，，然后利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系即可. (1) 小问详解： 当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得，则，整理得， 综上，切线的方程为和 (2) 小问详解： 由题设，若，则，整理得， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 即， 整理得， 要使为定值，则 ， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值，或定点，定值 . (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：第三问，应用切线的性质及向量垂直的坐标表示列方程得，结合在圆上得到同一直线方程形式为关键. 44．【答案】（1）     （2）不存在，理由如下： 由题意直线的方程为， 联立 ，消去得， 设，， 则，得， 故，， 而， 所以 ， 故有，解得或，不满足，所以不存在．      【分析】 （1）设标准方程，两点代入方程，圆心带入直线联立求解； （2）直线的方程与圆联立，得到韦达定理，代入解出答案，并由得的取值范围，判断是否符合要求即可. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为， 因为直线平分圆的面积，所以直线过圆心，即， 则 ，解得 ， 圆的方程为. (2) 小问详解： 略 45．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据条件，利用圆的性质得到，即可求解； （2）根据条件，利用三角形面积公式，得到，即可求解； （3）根据条件可得的外接圆与内切，进而得，设，，，从而可得，即可求解. (1) 小问详解： 如图所示，直线与圆相切的切点是弦的中点， 且，则，解得． (2) 小问详解： 因为的面积，又， 所以，故当时，面积的最大值，最大值为． (3) 小问详解： 因为的外接圆圆心在圆上，由（1）知的半径为， 所以，则的外接圆与内切， 则为的外接圆与圆的切点，则，又，所以， 令，则，， 又点，所以，， 则 ，其中， 所以的取值范围为． 46．【答案】（1），     （2）     （3）存在或，或.      【分析】 （1）圆与圆相减得公共弦方程；是关于直线的对称点，两圆半径相等； （2）设，，则，将表示成的函数求解范围； （3）若存在，使为定值，则由整理后的方程系数为求解. (1) 小问详解： 如图所示，由 两式相减，得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为， 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得 圆方程为； (2) 小问详解： 由相切，知，，设，，则， 故 ， 令，易知在单增，故（当时取等号）， 的取值范围是； (3) 小问详解： 由题设，满足方程， 若存在，使为定值， 而，， ， 整理得， 将代入，得， 整理可得， 要使为定值，则 ， 解得 或 . 综上，存在或，使为定值，该定值对应为或. 47．【答案】 【分析】 设，设，然后根据垂直关系可求出的表达式，进而得到，然后化简得到关于的表达式，最后求出最小值即可. 【详解】 因为点在直线上，所以设. 设，由得， 所以， 化简得 解得，所以. 所以. . 所以 要求的最小值，即求的最大值， 因为. 此时取最小值为. 故答案为：. 48．【答案】（1）或     （2）①；②      【分析】 （1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）① 由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；② 由① 可得，圆，设，从而，由，在圆上，解关于的方程组并化简，转化为直线和圆有交点的问题，可得，结合“曼哈顿距离”的定义表示并计算得到两点的“曼哈顿距离”，最后由满足的不等式求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为. 所以过点的圆的切线方程为或. (2) 小问详解： ① 设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以 ， 又，，解得 ，所以常数. ② 由① 知，，，所以点，圆， 设，是线段的中点，则， 又，在圆上，即关于的方程组 有解， 化简得 有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：，解得， 又，，由“曼哈顿距离”的定义知两点的“曼哈顿距离”为 ，因为， 所以 ， 解得， 又能成立，且恒成立， 所以 ，即 ，解得， 所以实数的取值范围是. 49．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）.     （2）存在，，或，.      【分析】 （1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. (1) 小问详解： （ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是； (2) 小问详解： 设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以 ，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以 ，解得 或 . 所以，或，. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $