专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，四川专用）高二数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量及其运算的坐标表示 ①考点01空间向量及其运算 1.AB 2.A 3.D 4.A 5.BD 6.D 7.B 8.B 9.B 10.ABD 11.ABD 12.A 13.C 14.【答案】8▣ 【分析】 利用基底AB,AD,AA表示向量BD,AC:然后利用空间向量数量积的运算性质可求得BD1·AC 的值 【详解】 在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=AA,=2R□，∠BAD=受 ∠BAA=∠DAA:= 由空间向量数量积定义可得AB·AD=0, B:不成=怀不m骨-2，同退可得不D-流-43. 1/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为BD,=AD1-AB=AD+AA,-AB:AC=AD+AB 所以，BD,·AC=AD-AB+AAAD+AB=AD2-AB+AD·AA1+AB·AA=8□ 故答案为：8叵 15.【答案】(-1,1,0) 【分析】 直接根据投影向量公式求解， 【详解】 abb -2 根糕投影向量的公式，放6动向上的投影向量为同同片后 故答案为：（-1,1,0） 16.【答案】()E市-38-6-日：E-四 3 36 (2)-3 【分析】 (1)根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量运算得E下=ā-书-。，再结合已知条件， 3 3 6 利用数量积的运算律求出向量的模； (2先利用向量运京求得G币=一学+子+号6，然后利用向量数量积的运算律求解即可 (1)小问详解： 因为点F为楼BB,的中点，所以B市=号B商=号8， 由A正=号C湘AE=号AC,所以A店=AA,+A正=c+号C =+AA+AB+Bo=c+-+a+6-a+36+2, 3 3 3 又A正=AB+B=+, 以--A花-a+-ā+6+号号a6- 2/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意|a=6=2,|d=3,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB= 3 所以à6=2×2×号=2，a=2×3×号=3，方-=2×3×=3， 2 所以E下=四口 -▣ =可石 B D: B (2)小问详解： 因为点G为棱BC的中点，所以C元=-号BC=AD=5, 因为D,i=3元，所以ci=4cD,-4CD+DD,=4-AB+AA,=-a+c, 所Gi-ci-=a++. 所以-i-眉6-君++6-君君64+最a6+4-名b-e 24 =-4-4-9+5+5-1-3 66246'824 17.【答案】2V▣ 【分析】 由图可得CD=CA+AB+BD,利用空间向量数量积的运算律即可求出CD的长. 【详解】 由条件知CA·AB=0,AB·BD=0,CD=CA+AB+BD, 又二面角a-1-B的平面角为则D,花=号 所以CD=|CA+AB+BD+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD 3/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =22+12+32+2×2×3×C05π- 引-8所以G-2 故答案为：2V叵 18. 【答案】2V▣ 【分析】 由图可得CD=CA+AB+BD,利用空间向量数量积的运算律即可求出CD的长. 【详解】 由条件知CA·AB=0,AB·BD=0,CD=CA+AB+BD, 又二面角a-1B的平面角为号账BD,A花=号 所以CDP=|GAP+AB+BD+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD =6+345+2×6×5am-骨}40所C0-2 故答案为：2V▣ 19.【答案】18 【分析】 利用空间向量的线性运算、数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可。 【详解】 设正方体内切球的球心为G,正方体内的体对角线长为6口， 则GM=GN=3, PM·PN=PG+GM·PG+GN=PG2+PGGM+GN+GM·GN' 因为MN是正方体内切球的一条直径，所以GM+GN=0,GM·GN=-9, 所以PM·PN=PG-9. 又点p在正方体表面上运动，所以当p为正方体顶点时，PG最大，且最大值为3口： 所以PM·PN=PG-9≤18，所以最大值为18， 故答案为：18 4/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C -27 M G 考点02空间向量基本定理 1.C 2.D 3.B 4.A 5.A 6.B 7.B 8.D 9.AC 10.C 11.【答案】V叵 【分析】 由AC,=AB+AD+AA:结合空间向量的数量积的运算律求解即可。 【详解】 在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，AB=1,AD=1,AA1=1,∠BAD=90°， ∠BAA1=∠DAA1=60°， ·AC,=AB+AD+AA AC2=AB+AD+AA=AB2+AD2+AA2+2ABAD+2ABAA+2AAAD =1+1+1+0+2×1×1×2+2×1×1×5, 2 AC= 故答案为：V叵 5/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.【答案】(1)PM=-AP+1AB+1AC (2)-12 3 6 【分析】 (1)利用向量的加减运算和数乘向量化简： (2)利用数量积的定义和运算律求值. (1)小问详解： 因M为线段AD的中点，CD=2BD,则A方=AD,B办=号B元， 则Pi=PA+A=PA+号D=PA+号8+BD=PA+(AB+号B花) -p方+不病+花-AB-A+号范*后不衣 (2)小问详解： 由题意得，AP.AC=8×6×c0s60°=24，AB·AC=6×6×cos60°=18， 则P府：A花-(市+号A店+君A花A元-A花+号市花+君花 =-24+1×18+1×36=-12, 3 6 13.【答案】(1) ①0A×OB=3i-j-k, ②DAxOB=y2y2zi-x2-x21j+xy-为y1k, X1 y1 Z1 =y2Z1-y12i-x221-x1z2j+x2y1-x1y2k1 则0A×0B+0B×0A=0.(2) (0,0,0)A 记△AOB的面积为SAAOB, 6/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 oA×0B=y1z2-y2z1i-x1z2-x2zj+(xy2-x2yk,OA×OB=☐ SADg号O方6sin∠A0B, Cos∠AOB= OA·OB OAoB ,sin∠A0B=石： SA0B=2OA6O 0=0=0=0. 故5os=号loA×Ol.(3)V。Aac后a×6外 【分析】 (1)①应用定义代入化简可得：②设平面内任意一向量OC=xi+yj+zk,应用定义结合行列式转化为 向量的坐标运算，证明数量积OA×OB-OC=0'及0A×OB+OB×OA=0即可： (2)利用正余弦关系，将三角形面积转化为数量积表示代入坐标整理，同时将OA×OB也坐标化，二 者相等即可证明： (3)利用已证明结论用向量积表示面积，再应用向量方法表示点C到平面AOB的距离即可得体积. (1)小问详解： ①若A1,2,1,B0,-1,1,则OA=i+2j+k,0B=-j+k, i jk oxo-；子1-日*0k-i-j-,@路 0-11 (②)小问详解： 略 3)小问详解： 由腿可知平面AOB的一个法向量为OA×OB:则点C到平面A0B的距离h=k⊙AxOB)-O心 OA×OB 利州50e2oax0,则v-版-50A (oA×oB)·oC OA×OB 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 号×2oa×o 元可-专oi×oo中o-a.0i-6.0t- OA×0B 放V-A君ax5-d到 考点03空间向量及其运算的坐标表示 1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.B 7.D 8.C 9.c 10.C 11.ABD 12.BC 13.D 14.AB 15.C 16.【答案】▣ 【分析】 由空间中两点间距离公式可解. 【详解】 A罗石 故答案为： ▣ 17.【答案】-1,3，-1 【分析】 由新定义即可直接求解。 8/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 由 =可：6时士a a×b=-1,3,-1' 故答案为：-1,3，-1 18.【答案】-6 【分析】 利用空间向量平行的判定可得答案 【详解】 由a‖b,即存在非零常数k使得a=kb。 因t,有：-m,13=k2,号1月 -m=2k 01-k号 3=k·1 「k=3 解得： m=-6 故答案为：-6 8.【路1-，-2u-2是 【分析】 由夹角为钝角可得ā与b不共线，且ā·b<0,利用空间向量的坐标运算即可求解 【详解】 因为a与b夹角为钝角，所以a与b不共线，且a·b<0, 拉6线，则子号号解得m=2,散m-2 由a~6<0可得-8-2+4m<0,解得m<5 9/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所8m的取值范同为-0,2u-2 故答案为：-0，-2U -22 20.【答案】▣ 【分析】 首先求出点p的轨迹，然后根据定义把DAC,AP表示成三角函数的形式，利用三角函数的值域即可求 解。 【详解】 易知A0,0,0C2,2,0A℃=2,2,0 D B D C B 因为P在上底面A,B,C,D,内（含边界）运动，且AP=口， 所以AP=5-4=1A1P=1 即P在上底面A1BC1D1内，点P在以A1为圆心，1为半径的圆周上， wpicos0,m,-c0m s所以D元，Ap-2-cos6+2-s血9+2=2-cs0+2-n0+2-6-到0e0,号 因好≤9+买所以em9+好e9】 44 10/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则D(AC,AP到∈6-□从而M-N=5-6-=9石 故答案为：口 21.【答案】（1)，2啊石 (2)x+y=1,y≥0度x+y+1P=2,y<0l (3) ① 当直线MN与y轴垂直时，kEM+kEN=0显然不成立： ② 当直线MN不与y轴垂直时，设直线MN的方程为：X=my+t:MX1,y,Nx,y, 7e上3 y=3 X2+1 联立方程之 x=my+t x2,→3m2+1y2+6mty+3t2-12=0, 12'4 =1 4=144m2-12t2+48>0 +y=6mt 3m2+1 yry3t- 3m2+1 k短M+kE=0六3+少-3y-3+y-3 x+1x+1my+t+1tm,+t+=0 代入韦达定理可得：3m2+t+4m+t+1=0'即3m+t+1圳m+1=0 解得m=-1或3m+t+1=0, 当3m+t+1=0时，直线MN:x=my-3m-1经过点E(-1,3,故舍去 t<16 m=-1则MN:x=-y+t:且ty,2, yy-312 4 11/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当1<kEM<3时，由kEM+kEN=0得-3<kEN<-1, 当EN过点2,0，kEN=-1;当EN过点|0,0，kEN=-3. ∴.点M在x轴的上半平面，点N在x轴的下半平面， 点M,N在空间中的坐标分别为M0,X1,y,N-y2,X2,0, ZMN=9口=石=3阳石为定值 【分析】 (1)求得在空间中的坐标，，利用定义求解即可： (2)分点在轴的上半平面，点在轴的下半平面两种情况计算可求得结论： (3)分直线与轴垂直与直线不与轴垂直两种情况讨论求解. (1)小问详解： 如图建立空间直角坐标系，则点A,B,C在空间中的坐标分别为A0,1,2'B10,-2,3引'C4,3,0 …ZAB=▣ ZAC)=-2 (2)小问详解： 由题意可知.点D在空间中的坐标为D1,0,0:对p点分类讨论， ①当点p在x轴的上半平面，即y≥0时，点p在空间中的坐标为p10,X,y zDP=啊阿：化简得：X+y2=1,y≥0 因此，在平面直角坐标中，点P在x轴的上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆. ②点p在x轴的下半平面，即y<0时，点p在空间中的坐标为p-y,X,0: 12/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ZDP=石化简得：X+y+1P=2,y<0” 点p的轨迹方程为：X+y=1,y≥0或x2+y+1=2,y<0 3)小问详解： 略 【点睛】 思路点睛：对空间折叠距离的理解，求得折叠后的点的坐标是关键，平面解析几何的方程思想的应用 13113 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）（多选）在正方体中，有下列说法，其中正确的有（） A.  B.  C. 的夹角为60° D. 正方体的体积为 2．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 4．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）在空间直角坐标系中，若向量，，共面，则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）（多选）下面四个结论正确的是（     ） A. 已知向量，，若，则为钝角 B. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 6．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）已知，，，若共面，则实数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）如图，在四面体OABC中，．点M在OA上，，N为BC中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·四川成都·期中）点在内(含边界)，且，事件E，F是互斥事件，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）（多选）1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（       ） A. 双纽线的方程为 B.  C. 双纽线上满足的点有2个 D. 的最大值为 11．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）（多选）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C.  D. 直线与所成角的余弦值为 12．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（       ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 14．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）如图所示，在平行六面体中，，，，则　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为　　　　　　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． （1）用，，表示并求出的值； （2）求的值. 17．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，二面角的平面角为，则　　　　　. 18．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，则　　　　　　　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为　　　　　　　. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（       ） A. 若，则 B. 两两共面，但不共面 C. 一定存在x，y，使得 D. 一定能构成空间的一个基底 2．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）在平行六面体中，与的交点为，设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在四面体中，分别为的中点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·四川南充·期中）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（       ） A. 3 B.  C. 4 D.  7．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）（多选）下面四个结论中正确的是（       ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．（25-26学年高二上·四川南充·期中）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中，能构成空间的一组基底的是（       ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为　　　　　　　　　　. 12．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点.    （1）以为一组基底表示向量； （2）若，求. 13．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积.其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点，且，，三点不共线，易证是平面的一个法向量. （1）①若，，求； ②求证：. （2）记的面积为，证明：. （3）三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积（用，，表示）. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D.  2．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知空间三点，，，若三点共线，则（       ）． A.  B. 1 C.  D. 2 3．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）已知，，且，则（     ） A.  B.  C. 6 D.  4．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）向量，，若，则实数m的值为（       ） A.  B. 1 C. 2 D.  5．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）点关于原点成中心对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）设向量，若，则（       ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 8．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）已知向量，，则在方向上投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·四川成都·期中）已知空间向量，，若，则的值为（       ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）设，向量，，，且，，则（　　） A.  B.  C. 3 D. 4 11．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）（多选）已知空间向量下列结论正确的有（     ） A.  B.  C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 若向量，则向量在向量上的投影向量为 12．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（     ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 13．（25-26学年高二上·四川南充·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（       ）． A. 10 B. 20 C.  D.  14．（25-26学年高二上·四川南充·期中）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（       ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则m只有一个实数解 D. 若与的夹角为钝角，则 15．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）已知，，则　　　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）定义行列式运算，设向量，，．已知，，则　　　　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）已知、，且，则　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·四川南充·期中）对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为.    （1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； （2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）（多选）在正方体中，有下列说法，其中正确的有（） A.  B.  C. 的夹角为60° D. 正方体的体积为 【答案】AB 【分析】 利用空间向量的加减运算法则及向量夹角的定义判断即可. 【详解】 如图所示， ，故A正确； ，故B正确； 与的夹角是夹角的补角， 而的夹角为，故的夹角为，所以C错误； 正方体的体积为. 故选：AB. 【点睛】 本题考查空间向量的线性运算及空间向量的夹角问题，较简单，解答时类比平面向量的解法进行即可. 2．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定的基底，结合几何图形表示出. 【详解】 在直三棱柱中，. 故选：A 3．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】D 【分析】 利用基底法表示得与，再利用空间向量的数量积运算即可得解 . 【详解】 依题意，记，，， 则，，则， 因为， ， 所以. 故选：D. 4．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）在空间直角坐标系中，若向量，，共面，则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【分析】 根据共面定理列方程求解即可. 【详解】 若向量共面，则存在实数，使得， 即，所以 ，解得. 故选：A 5．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）（多选）下面四个结论正确的是（     ） A. 已知向量，，若，则为钝角 B. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 【答案】BD 【分析】 取可得，进而得到A错误；由投影向量的计算可得B正确；令可得C错误；由空间向量共面定理可得D正确； 【详解】 对于A，当时，，，， 此时为，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，令，则直线为，且经过第三象限， 但此时，故C错误； 对于D，因为，， 所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确； 故选：BD. 6．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，由，转化为直线与所成的角，利用向量的运算法则，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】 设， 因为，且， 则，且，则， 在平行六面体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设， 又因为， 可得， 且， 所以. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）已知，，，若共面，则实数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题意可得，从而得到方程组，解得即可． 【详解】 因为，，，且共面， 则存在实数满足，即， 所以 ，解得 ． 故选：B 8．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）如图，在四面体OABC中，．点M在OA上，，N为BC中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式. 【详解】 . 故选：B. 9．（25-26学年高二上·四川成都·期中）点在内(含边界)，且，事件E，F是互斥事件，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由四点共面得到，再由互斥事件和事件的概率公式即可求解. 【详解】 解：由四点共面的推论可知，，， ， 故选：B. 10．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）（多选）1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（       ） A. 双纽线的方程为 B.  C. 双纽线上满足的点有2个 D. 的最大值为 【答案】ABD 【分析】 根据定义将代入，化简后即可判断A；根据，判断B；由，可得在线段的中垂线即上，将代入方程求解后，即可判断C；利用向量和余弦定理判断D. 【详解】 解：由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 当时，则双纽线的方程为， 化简可得，故A正确； 由等面积法得， 则，所以，故B正确； 因为，， 所以在线段的中垂线即上， 令，得，解得， 所以双曲线上满足的点有一个，故C错误； 因为在线段的中点，所以， 所以， 由余弦定理得， 即， ， 所以， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）（多选）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C.  D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】 在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】 对于A，在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C，， ， 则，故C不正确； 对于D，故 ， 故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 记，则，根据空间向量共面定理，知四点共面.所以长度的最小值为点到平面的距离，结合正四面体的性质求得长度的最小值，进而得到长度的最小值. 【详解】 正四面体中，，. 因为，所以. 记，则，所以四点共面. 所以当平面时，长度最小. 此时，点为正的中心，. . 所以长度的最小值为. 故选：A. 13．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（       ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 【答案】C 【分析】 求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】 如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 14．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）如图所示，在平行六面体中，，，，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用基底表示向量、，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】 在平行六面体中，，，， 由空间向量数量积定义可得， ，同理可得， 因为，， 所以，. 故答案为：. 15．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 直接根据投影向量公式求解. 【详解】 根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为. 故答案为： 16．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． （1）用，，表示并求出的值； （2）求的值. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量运算得，再结合已知条件，利用数量积的运算律求出向量的模； （2）先利用向量运算求得，然后利用向量数量积的运算律求解即可. (1) 小问详解： 因为点F为棱的中点，所以， 由得，所以 ， 又， 所以； 由题意，， 所以，，， 所以 ． (2) 小问详解： 因为点G为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以，· 所以. 17．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，二面角的平面角为，则　　　　　. 【答案】 【分析】 由图可得，利用空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】 由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，则　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由图可得，利用空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】 由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为　　　　　　　. 【答案】18 【分析】 利用空间向量的线性运算、数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可. 【详解】 设正方体内切球的球心为，正方体内的体对角线长为， 则， , 因为是正方体内切球的一条直径，所以，， 所以． 又点在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为， 所以，所以最大值为18． 故答案为：18 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（       ） A. 若，则 B. 两两共面，但不共面 C. 一定存在x，y，使得 D. 一定能构成空间的一个基底 【答案】C 【分析】 利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解． 【详解】 对于A，若不全为0，则 共面，与题意矛盾，故A正确； 对于B，是空间的一个基底,则 两两共面，但 不共面，故B正确； 对于C， 不共面，则不存在实数，使得 ，故C错误； 对于D，若 共面， ， 无解， 故   不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确 故选∶C． 2．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用向量在基底下的斜坐标，整理为关于的线性组合即可求解. 【详解】 因为向量在基底下的斜坐标为 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D 3．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）在平行六面体中，与的交点为，设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定的平行六面体，利用空间向量的线性运算求解. 【详解】 在平行六面体中，与的交点为，则是的中点， 所以. 故选：B 4．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在四面体中，分别为的中点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案. 【详解】 根据题意， . 故选：A 5．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由，结合向量数量积的运算律求向量的模长. 【详解】 由，又底面是正方形，且， 所以， 故. 故选：A 6．（25-26学年高二上·四川南充·期中）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（       ） A. 3 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 用表示求出即可得解. 【详解】 由题意知， 因为，所以，则. 故选：B 7．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据G是的重心，可知，再根据向量加法、减法法则即可求解. 【详解】 ∵G是的重心，∴. ， . 故选：B 8．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】 由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得 解得 ∥， ，， ． 故选：D． 9．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）（多选）下面四个结论中正确的是（       ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【分析】 易求得对称点可判断A；当反向时可判断B；由，可得四点共面判断C；设，可得 ，进而可得共面，判断D. 【详解】 对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A正确； 对于B，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，B错误； 对于C，由于对空间中任一点，有，而，故四点共面，C正确； D选项，设，即，故 ， 解得 ，故共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26学年高二上·四川南充·期中）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中，能构成空间的一组基底的是（       ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 根据三个不共面的空间向量基底可以构成空间的一组基底，逐项判断即可. 【详解】 对于A，设，解得 ， 所以，，共面，不能构成空间的一组基底.所以选项A不正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则B不正确； 对于C，设，所以 ，x，y无实数解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，则C正确； 对于D，设，解得 ， 所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则D不正确． 故选：C. 11．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由，结合空间向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】 在平行六面体中，，，，，， ∵， ∴ ， ∴. 故答案为：. 12．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点.    （1）以为一组基底表示向量； （2）若，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用向量的加减运算和数乘向量化简； （2）利用数量积的定义和运算律求值. (1) 小问详解： 因为线段的中点，，则，， 则 ； (2) 小问详解： 由题意得，，， 则 . 13．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积.其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点，且，，三点不共线，易证是平面的一个法向量. （1）①若，，求； ②求证：. （2）记的面积为，证明：. （3）三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积（用，，表示）. 【答案】（1） ① ② ， 则.     （2） ，设， 记 的面积为 ， ， ， 故.     （3）      【分析】 （1）①应用定义代入化简可得；②设平面内任意一向量，应用定义结合行列式转化为向量的坐标运算，证明数量积，及即可； （2）利用正余弦关系，将三角形面积转化为数量积表示代入坐标整理，同时将也坐标化，二者相等即可证明； （3）利用已证明结论用向量积表示面积，再应用向量方法表示点到平面的距离即可得体积. (1) 小问详解： ①若 ，则， ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题可知平面的一个法向量为，则点到平面的距离， 利用 ，则， 其中 ， 故. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D.  【答案】A 【分析】 利用点到平面yOz的距离是即可求出结果. 【详解】 点到平面yOz的距离是, 故选：A. 2．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知空间三点，，，若三点共线，则（       ）． A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 求出向量与向量的坐标，根据三点共线，可得向量与向量共线，由此即可求出结果. 【详解】 因为，，且三点共线， 所以向量与向量共线， 所以，得． 故选：C. 3．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）已知，，且，则（     ） A.  B.  C. 6 D.  【答案】A 【分析】 根据向量垂直得到的值，进而求出. 【详解】 因为，所以，所以， 所以，所以， 故选：A 4．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）向量，，若，则实数m的值为（       ） A.  B. 1 C. 2 D.  【答案】D 【分析】 利用向量共线列式求解. 【详解】 向量，，由，得， 所以. 故选：D 5．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）点关于原点成中心对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据空间点的对称关系即可得到答案. 【详解】 根据空间直角坐标系的特点得 点关于原点成中心对称的点的坐标是. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据空间向量投影向量公式及空间向量数量积公式计算求解. 【详解】 因为向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 7．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）设向量，若，则（       ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 根据题意，利用垂直向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】 由向量，因为，可得，解得. 故选：D. 8．（25-26学年高二上·四川成都第十二中学·期中）已知向量，，则在方向上投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先计算，进而利用投影向量的计算公式求解. 【详解】 ， ， 在方向上投影向量为：. 故选：C 9．（25-26学年高二上·四川成都·期中）已知空间向量，，若，则的值为（       ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【分析】 由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】 因为，所以， 解得：，，即， 故选：C. 10．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）设，向量，，，且，，则（　　） A.  B.  C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据向量平行和垂直求的值，进而求和. 【详解】 因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）（多选）已知空间向量下列结论正确的有（     ） A.  B.  C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 若向量，则向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】 根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】 对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． 12．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（     ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】 利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】 对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，，，且，， 设，即，则 ，解得 ，故，B对； 对于C选项，若，且，，则，C对； 对于D选项，若，，则在上的投影向量为 ，D错. 故选：BC 13．（25-26学年高二上·四川南充·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（       ）． A. 10 B. 20 C.  D.  【答案】D 【分析】 利用空间向量法证明三棱锥的高，再求解向量的夹角，从而可求三棱锥的体积． 【详解】 由，，， 得，，所以，． 又，，平面， 所以平面． 因为，所以， 所以． 故选：D 14．（25-26学年高二上·四川南充·期中）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（       ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则m只有一个实数解 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】AB 【分析】 利用空间向量的垂直、投影向量以及夹角问题的坐标运算，即可求解． 【详解】 对于A，因为，所以，A正确． 对于B，因为，所以，得，B正确． 对于C，因为在上的投影向量为，所以， 即，化简可得， 因为，所以m有两个实数解，C错误． 对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线， 所以，解得， 假设，此时无解， 所以与的夹角为钝角，则，D错误． 故选：AB. 15．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据条件，确定的形状，再以为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示，再结合二次函数求最小值. 【详解】 因为，所以为中点， 又为的外接圆圆心，所以为直角三角形，， 又，所以为等边三角形， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系：    则，，设，， 则，， 所以 ，（当时取“”）. 故选：C 16．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）已知，，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由空间中两点间距离公式可解. 【详解】 . 故答案为：. 17．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）定义行列式运算，设向量，，．已知，，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由新定义即可直接求解. 【详解】 由 可得： 所以， 故答案为： 18．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）已知、，且，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用空间向量平行的判定可得答案. 【详解】 由，即存在非零常数  使得 。 因此，有：， 即： ， 解得： . 故答案为： 19．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由夹角为钝角可得与不共线，且，利用空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】 因为与夹角为钝角，所以与不共线，且， 若与共线，则，解得，故， 由可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 20．（25-26学年高二上·四川南充·期中）对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先求出点的轨迹，然后根据定义把表示成三角函数的形式，利用三角函数的值域即可求解. 【详解】 易知，，．    因为P在上底面内（含边界）运动，且， 所以，， 即P在上底面内，点P在以为圆心，1为半径的圆周上， 可设，，， 所以，． 因为，所以， 则，从而． 故答案为： 21．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为.    （1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； （2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. 【答案】（1）；     （2）或     （3） ①       当直线与轴垂直时，显然不成立； ②       当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，， 联立方程 ， ， ∵，∴ 代入韦达定理可得：，即 解得或， 当时， 直线经过点,故舍去 ∴，则，且 ， 当时, 由得 当过点，；当过点，. ∴点在轴的上半平面，点在轴的下半平面， 点在空间中的坐标分别为， 为定值      【分析】 （1）求得在空间中的坐标，，利用定义求解即可； （2）分点在轴的上半平面，点在轴的下半平面两种情况计算可求得结论； （3）分直线与轴垂直与直线不与轴垂直两种情况讨论求解. (1) 小问详解： 如图建立空间直角坐标系，则点在空间中的坐标分别为，，， ∴； . (2) 小问详解： 由题意可知，点在空间中的坐标为，对点分类讨论， ① 当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为， ∴，化简得：， 因此，在平面直角坐标中，点在轴的上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆. ② 点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为， 化简得：， ∴点的轨迹方程为：或 (3) 小问详解： 略 【点睛】 思路点睛：对空间折叠距离的理解，求得折叠后的点的坐标是关键，平面解析几何的方程思想的应用. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $