精品解析：四川阿坝州阿坝县中学2025-2026学年高二上学期期中教学质量测试数学试题

阿坝县中学2025-2026学年高二上期中教学质量测试 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共2页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚. 2.选择题用0.5毫米黑色签字填写在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于啥轴对称啥不变，其它坐标变相反的对称变换口诀，结合点的坐标即可求解. 【详解】依题意，点关于轴的对称点. 故选：A. 2. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 总体是200 B. 个体是40名学生 C. 样本是40名学生 D. 样本容量是40 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由总体，个体，样本以及样本容量的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意可得，总体是200名学生或他们的年龄，故A错误； 个体是每一名学生或他们的年龄，故B错误； 样本是40名学生或他们的年龄，故C错误； 样本容量是40，故D正确. 故选：D 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再由，利用向量垂直的性质能求出. 【详解】解：∵向量，， ∴， ∵，∴， 解得. 故选：D. 5. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 至少有一个白球；红､黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答. 【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是； 对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是； 对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是； 对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是. 故选：C 6. 如图，在四面体中，．点M在上，且，N为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量的加法运算用表示，根据向量的共线关系用表示，最后根据减法法则用基底表示. 【详解】因为N为的中点，所以， 又因为点M在上，且， 所以， . 故选： 7. 设是实数，已知点在同一直线上，则的值为（ ） A. 10 B. -10 C. -15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】三点在同一条直线上，即向量与共线，利用向量共线定理即可得出． 【详解】，是实数，若点在同一直线上， 则向量与共线． ,1,，,1,， ，，， ． 故选：B. 8. 数据，，…，的平均数为7，标准差为3，则数据，，…，的方差和平均数分别为 A. 81，19 B. 19，81 C. 27，19 D. 9，19 【答案】A 【解析】 【分析】根据下列性质计算：数据，，…，的平均数为，标准差为，其方差为，则，，…，的方差为，平均数为. 【详解】数据，，…，的平均数为7，标准差为3，所以数据，，…，的方差为9，平均数为7.根据方差和平均数的性质可得，，…，的方差为，平均数为.选A. 【点睛】本题考查方差与平均数的概念，解题关键是掌握平均数与方差的性质：数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的方差为，平均数为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【详解】直线在y轴上的截距是，故A正确； 直线，即经过第一、二、三象限，故B错误； 若过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为， 若不过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为，故C错误； 过点，且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 10. 一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 A. 任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B. 每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C. 每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D. 每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】 先记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品，用列举法，结合古典概型的概率计算公式，逐项判断即可. 【详解】记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品. A选项,样本空间, “恰有一件次品”的样本点为,,, 因此其概率，A正确； B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间, 因此,B错误； C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确; D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间,因此,D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查古典概型的相关计算，熟记古典概型的概率计算公式，以及列举法确定基本事件个数即可，属于常考题型. 11. 如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为 C. 当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出三棱锥的底面积和高即可判断A项；作出截面图形即可判断B项；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量关系即可确定点坐标满足的关系，从而可求长度的表达式，进而判断C项；分在各个面内讨论，可判断D项. 【详解】选项A：当在表面上运动时，由于的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积不变，且，所以A错误； 选项B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点，的中点，的中点， 连接，，，，延长，一定与交于一点， 所以，，，四点共面，同理可证，，，四点共面， 则过点，，作正方体的截面，截面为正六边形，边长为， 设正六边形对角线交点为，则正六边形的面积为，故B正确； 选项C：当在底面上运动，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，，，设，，， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，，所以， 因为平面，所以，可得， 所以，当时，等号成立，所以C正确； 选项D：因为直线与平面所成的角为45°，由平面，得直线与所成的角为45°， 若点在平面和平面内，因为，，故不成立； 若点在平面内，此时点的轨迹是； 若点在平面内，此时点的轨迹是； 若点在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以，又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确； 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 某射击运动员在一次射击测试中10次射击成绩（单位：环）如下：4，4，5，7，7，8，9，9，9，10，则这组数据的第60百分位数为______________. 【答案】8.5## 【解析】 【分析】由第60百分位数的定义求解即可 【详解】因为， 且这组数据从小到大的第6与第7位数分别为8、9， 所以第60百分位数为， 故答案为：8.5. 13. 经过点且与直线垂直的直线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得. 【详解】由题可设所求直线方程为， 代入点，可得，即， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 14. 已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是_________，其倾斜角的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出，根据直线与线段相交可得出直线斜率范围，再由正切函数的性质得出倾斜角的范围. 【详解】因为， 又过点的直线l与线段AB有公共点，如图， 所以，即； 因为，所以， 由正切函数的性质可知或. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 , 则； 【小问3详解】 ，则 16. 黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； （2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 解得， 平均数为． 【小问2详解】 评分在，的频率分别为0.05，0.1， 则在中抽取人，记为； 在中抽取4人，记为． 从这6人中随机抽取2人，样本空间： ，共有15个结果， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件A， 则，共有8个结果， 所以． 17. 如图：平行六面体中，，且，，记，，． （1）将用，，表示出来，并求； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算可得，由向量数量积的定义和运算律得，由此可得结果； （2）可知，，由数量积的运算律结合向量的夹角公式求异面直线夹角. 【小问1详解】 ， ，，，，． ． 【小问2详解】 ， ， ，， ． 异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； 【小问2详解】 线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即； 【小问3详解】 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 19. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面． 【答案】（1） （2） （3） 连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 【解析】 【分析】（1）推导出，利用勾股定理可求得的长； （2）分别取、、的中点、、，连接、、、，由异面直线所成角的定义可知，异面直线、所成角为或其补角，求出三边边长，结合余弦定理求解即可； （3）利用勾股定理证明出，同理得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，为的中点，所以， 故. 【小问2详解】 分别取、、的中点、、，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以， 且， 同理可得，，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，故，， 因为平面，所以平面， 因为平面，故，所以， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿坝县中学2025-2026学年高二上期中教学质量测试 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共2页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚. 2.选择题用0.5毫米黑色签字填写在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. B. C. D. 3. 为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 总体是200 B. 个体是40名学生 C. 样本是40名学生 D. 样本容量是40 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 至少有一个白球；红､黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 6. 如图，在四面体中，．点M在上，且，N为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是实数，已知点在同一直线上，则的值为（ ） A. 10 B. -10 C. -15 D. 20 8. 数据，，…，的平均数为7，标准差为3，则数据，，…，的方差和平均数分别为 A. 81，19 B. 19，81 C. 27，19 D. 9，19 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 10. 一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 A. 任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B. 每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C. 每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D. 每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 11. 如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为 C. 当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 某射击运动员在一次射击测试中10次射击成绩（单位：环）如下：4，4，5，7，7，8，9，9，9，10，则这组数据的第60百分位数为______________. 13. 经过点且与直线垂直的直线方程为___________. 14. 已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是_________，其倾斜角的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 16. 黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； （2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 17. 如图：平行六面体中，，且，，记，，． （1）将用，，表示出来，并求； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $