专题03 直线的方程（期中真题汇编，四川专用）高二数学上学期

专题03 直线的方程 3大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 60 B. 30 C. 90 D. 0 3．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）经过两点，的直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 不存在 6．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）已知三点，，在同一条直线上，则（       ） A. 12 B. 24 C. 6 D. 10 7．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）已知直线+=0与直线2+3+5=0平行，的值为（       ） A. -6 B. 6 C.  D.  8．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知直线与直线平行，则a的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D. 2或 9．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）若直线与直线平行，则（       ） A. 0 B.  C. 2 D. 或2 11．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）直线的倾斜角是 A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知直线，且，则实数的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D.  13．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）已知点，，直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 14．（25-26学年高二上·四川南充·期中）已知直线，，则“”的充要条件是（       ）． A.  B.  C. 或 D. 或4 15．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  17．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）（多选）下列说法正确的是 （       ） A. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为. B. 直线的倾斜角的取值范围是. C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件. D. 若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为. 18．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）设，直线过点且与线段AB相交，则的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）若直线：与：互相垂直，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  21．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）直线的倾斜角为　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）已知直线与直线垂直，则的值为　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）已知直线与线段不相交，其中，，则直线斜率的取值范围为　　　　　　　． 24．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）若直线与直线平行，则的值为　　　　　　　　　　　. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（       ） A.  B. 8 C.  D.  2．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）直线的倾斜角是 A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）直线的斜率为（       ） A. 3 B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 7．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A.  B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 8．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线可以表示过点的所有直线 B. 直线过定点 C. 平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D. 经过点且斜率为的直线l的方程为 11．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则的欧拉线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）（多选）以下四个命题中正确的是（       ） A. 直线在坐标轴上的截距之和为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 13．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）（多选）已知直线过定点，则下列说法正确的是（       ） A. 直线过定点 B. 若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C. 若直线在轴上的截距为－3，则 D. 若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 14．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）在同一坐标系中画直线与，不可能是下列选项中的（     ） A.      B.      C.      D.      15．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）（多选）元素，，，，其中则下列说法正确的是（     ） A. 中元素个数不定 B. N表示在x轴、y轴上的截距相等的直线时，直线方程为或 C. ，点，则直线： D. 中有两个元素，分别记为，，线段ST中点的轨迹长度为 16．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知直线． （1）求经过点，且垂直于直线的直线的方程； （2）求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 17．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积. 18．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中） 的三个顶点分别为 . （1）求边和所在直线的一般方程 （2）求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 19．（25-26学年高二上·四川南充·期中）已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的一般式方程为　　　　　　． 20．（25-26学年高二上·四川南充·期中）设直线与． （1）若，求m的值； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时，求m的值． 21．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）已知直线与直线． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 22．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: （1）若直线经过和的交点，且经过点 ； （2）若直线经过和的交点，且与直线垂直. 23．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （注意：最后结果统一用一般式表示） 24．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）已知直线经过点. （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 25．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． （1）求经过点Q且与直线平行的直线方程； （2）求线段的中垂线方程． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）直线，直线，若，则两直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）坐标原点到直线的距离为，直线与直线的距离为，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）已知实数满足，，则的最小值为（       ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 7．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（       ） A.  B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 8．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）（多选）设为实数，直线，，下列说法正确的有（     ） A. 时，在两坐标轴上截距相等 B. 时，与平行 C. 经过原点 D. 原点到直线距离的最大值为 9．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知点P是直线上的动点，圆关于直线的对称圆记为圆，以为直径的圆与圆交于A，B两点，则四边形的周长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）直线与直线的交点的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）如图，面积为12的平行四边形，A为原点，的坐标为，在第一象限．    （1）求直线的方程； （2）若，求的纵坐标． 12．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知直线的方程为． （1）证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； （2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 13．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）已知直线：与直线：互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线与直线平行，求的直线方程. 14．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）平面内有两点与，定义这两点间的“物理距离”为，“光学距离”为.已知圆，定点，过点的直线上有一个动点，若的最小值为，则直线的方程为　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 16．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线的方程 3大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可. 【详解】 因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 60 B. 30 C. 90 D. 0 【答案】D 【分析】 由倾斜角的定义即可得出答案. 【详解】 直线的倾斜角为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【分析】 根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解. 【详解】 因为的斜率， 所以其倾斜角为30°. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据两点确定直线斜率，进而确定倾斜角. 【详解】 由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足，即， 故选：C. 5．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）经过两点，的直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 不存在 【答案】C 【分析】 利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】 经过两点，的直线的斜率显然不存在， 所以其倾斜角为， 故选：C 6．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）已知三点，，在同一条直线上，则（       ） A. 12 B. 24 C. 6 D. 10 【答案】C 【分析】 由三点共线可得，再列式求解即可． 【详解】 因为、、三点共线，所以， 即， 解得. 故选：C． 7．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）已知直线+=0与直线2+3+5=0平行，的值为（       ） A. -6 B. 6 C.  D.  【答案】B 【详解】根据两直线平行的等价条件即可求出a的值. 【详解】 直线(-2)+-1=0与直线2+3+5=0平行, , 解得， 故选：B 8．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知直线与直线平行，则a的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D. 2或 【答案】A 【分析】 根据平行得到方程，解出值后再检验即可. 【详解】 由题意得，解得或， 当时，直线与直线平行，满足题意； 当时，直线与直线重合，不合题意，舍去. 则a的值为. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】 由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）若直线与直线平行，则（       ） A. 0 B.  C. 2 D. 或2 【答案】B 【分析】 利用直线平行与斜率的关系可构造方程解得符合题意. 【详解】 根据题意可知，两直线斜率均存在，即； 由两直线平行可得，解得或； 经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去； 所以可得. 故选：B 11．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）直线的倾斜角是 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 直线的斜率为，设倾斜角为， 故选D 12．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知直线，且，则实数的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D.  【答案】B 【分析】 应用直线平行的系数关系计算求参. 【详解】 直线，且， 则，所以或， 当时，直线重合，不合题意，舍去； 当时，直线，符合题意； 所以. 故选：B. 13．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）已知点，，直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【分析】 利用两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率关系求倾斜角. 【详解】 点，，则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 14．（25-26学年高二上·四川南充·期中）已知直线，，则“”的充要条件是（       ）． A.  B.  C. 或 D. 或4 【答案】A 【分析】 根据一般方程条件下两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】 因为，所以，即.解得或． 当时，，，此时两直线重合，舍去； 当时，，，此时． 故“”的充要条件是“”． 故选：A. 15．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】 当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有，解得或， 当时，与重合，不合题意； 当时，直线与平行； 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 16．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  【答案】C 【分析】 先求出直线过的定点，再得到，，数形结合求得斜率范围，进而求得参数范围. 【详解】 由，得. 令 ，解得 ，则直线经过定点， 则，， 如图，设直线的斜率为，则或， 即或，解得或. 所以实数的取值范围为或，故C正确. 故选：C 17．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）（多选）下列说法正确的是 （       ） A. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为. B. 直线的倾斜角的取值范围是. C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件. D. 若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为. 【答案】BCD 【分析】 根据直线的截距式方程、两直线垂直的判定，结合直线的平移规律逐一分析即可. 【详解】 A：已知直线过点，且在轴，轴上截距相等， 当直线在坐标轴上截距为时，直线方程为，此时满足题意； 当直线在轴，轴上截距为时，直线方程为， 直线过，所以，解得，所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或，故A选项不正确； B：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故B选项正确； C：若直线与直线垂直，则，解得或， 所以由直线与直线垂直不能得到；反之则一定成立. 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故C选项正确； D：设直线的方程为：，直线沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后， 所以变换后的直线方程是： 经过两次平移变换后回到原来的位置，所以必有，解得，故D选项正确 故选：BCD 18．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】 设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 19．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）设，直线过点且与线段AB相交，则的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合图象，求出边界直线斜率，写出斜率范围. 【详解】 如图，直线过点且与线段AB相交，， ， 当直线从处逆时针旋转接近轴时，斜率; 当直线在顺时针旋转接近轴时，斜率， 所以的斜率的取值范围是. 故选：B. 20．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）若直线：与：互相垂直，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据两直线垂直，斜率之间的关系列出等式求解即可. 【详解】 直线的斜率.当时，直线的斜率不存在，不满足. 当时，直线的斜率. 由，得，即，解得. 故选：C 21．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）直线的倾斜角为　　　　　　. 【答案】0 【分析】 根据直线与坐标轴平行可得倾斜角. 【详解】 因为直线与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故答案为： 22．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）已知直线与直线垂直，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】.5 【分析】 由两直线垂直的判定条件可得答案. 【详解】 ∵直线与直线垂直， ∴， 解得：. 故答案为： 23．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）已知直线与线段不相交，其中，，则直线斜率的取值范围为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 求出直线所过定点和，再数形结合即可求解. 【详解】 直线过定点， 则，如图， 则由图可知当直线与线段相交时或.    故直线与线段不相交时，斜率的取值范围为. 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）若直线与直线平行，则的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由两直线平行时的系数关系求解. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以 ，解得， 故答案为：. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（       ） A.  B. 8 C.  D.  【答案】A 【分析】 对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】 对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）直线的倾斜角是 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】化直线一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于直线的斜率求得倾斜角. 【详解】由，得， 设直线的倾斜角为，则， ，故选D. 【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程的应用以及直线斜率与直线倾斜角的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 3．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）直线的斜率为（       ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将一般式方程转换成斜截式方程即可． 【详解】 直线，即，斜率为． 故选：B． 4．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线方程求出斜率，结合斜率与倾斜角的关系，计算即可得答案. 【详解】 设直线的倾斜角，则， 因为直线的斜率为1， 所以，因为， 所以倾斜角为， 故选：C． 5．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用一般式直线方程求出斜率，进而求出倾斜角. 【详解】 由直线方程，则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值， 所以倾斜角的大小为. 故选：D 6．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 【答案】AD 【分析】 对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示. 【详解】 对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； .对于D：经过平面内任意相异两点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为， 也能用方程表示，故D正确. 故选：AD. 7．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A.  B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 【答案】A 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 8．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先求出直线过定点，再求出临界点处直线的斜率，结合图象得到不等式组，解得即可. 【详解】 因为直线：，即， 令 ，解得 ， 所以直线过定点， 又，，直线的斜率为， 要使直线与线段有公共点，由图可知，即的取值范围是.   故选：A 9．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】 直线方程可化为：， 令 得： ，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：D. 10．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线可以表示过点的所有直线 B. 直线过定点 C. 平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D. 经过点且斜率为的直线l的方程为 【答案】BC 【分析】 根据直线方程的几种形式及其限制条件逐一分析. 【详解】 对于A，直线表示过点，且斜率为的直线，故A错误； 对于B，即，因为m的取值范围是，所以 ，解得 ，即直线过定点，故B正确； 对于C，平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示，故C正确； 对于D，根据点斜式可知经过点且斜率为的直线l的方程为，即，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则的欧拉线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和的垂直平分线所在直线方程，联立方程组，求得外心的坐标，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】 因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为， 又中点为，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的斜率为，中点为， 故的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组 ，解得，即的外心的坐标为， 所以欧拉线的斜率为，所以欧拉线的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：D 12．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）（多选）以下四个命题中正确的是（       ） A. 直线在坐标轴上的截距之和为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 【答案】ABD 【分析】 利用直线截距的概念可判断A选项；利用直线方向向量的概念可判断B选项；利用平行线间的距离公式可判断C选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断D选项. 【详解】 对于A选项，将直线方程化为截距式方程得， 所以该直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 故直线在坐标轴上的截距之和为，A对； 对于B选项，直线的斜率为， 故向量是直线的一个方向向量，B对； 对于C选项，直线的方程可化为， 所以直线与直线平行， 这两直线间的距离为，C错； 对于D选项，直线方程可化为， 所以该直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的范围是，D对. 故选：ABD. 13．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）（多选）已知直线过定点，则下列说法正确的是（       ） A. 直线过定点 B. 若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C. 若直线在轴上的截距为－3，则 D. 若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 【答案】ACD 【分析】 直线方程整理得，然后求定点即可判断A；由直线不经过第四象限，则斜率和在轴上的截距都大于等于零，列出不等式求解即可判断B；由截距可求得得到C；设，利用三点共线可得，再表示出，根据基本不等式即可求得最小值，根据取最值的条件即可求出直线方程判断D. 【详解】 对于A，直线，即， 令 ，解得 ，故直线过定点，故A正确； 对于B，直线，即， 直线不经过第四象限， ，解得， 故的取值范围是，故B错误； 对于C，易知时，直线在轴上的截距存在， 依题意，令，得直线在轴上的截距为，解得． 对于D，设三点共线， ，整理得 ， 当且仅当，即时等号成立， 当取得最小值时，直线的方程为，即． 故选：ACD. 14．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）在同一坐标系中画直线与，不可能是下列选项中的（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 观察图象判断直线的斜率、截距及其符号，结合不等式性质判断正误. 【详解】 观察各选项知a，b均不为0，两直线的斜率分别为，且符号相同， A：两直线在轴上的截距异号，得，所以，得，则两直线的斜率均大于0，故A正确； B，C，D：由两直线在轴上的截距同号，得，所以，得，则两直线的斜率均小于0，故B，C正确，D错误． 故选：D 15．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）（多选）元素，，，，其中则下列说法正确的是（     ） A. 中元素个数不定 B. N表示在x轴、y轴上的截距相等的直线时，直线方程为或 C. ，点，则直线： D. 中有两个元素，分别记为，，线段ST中点的轨迹长度为 【答案】ABC 【分析】 分析可知集合表示以为圆心，半径的圆，集合表示过点的直线.对于A：根据定点可知直线与圆位置关系：相离、相切或相交，即可判断交集元素个数；对于B：求截距列式求解即可；对于C：根据公共弦方程的求法运算求解即可；对于D：设线段ST中点为，根据垂径定理分析可得，根据两圆位置关系分析轨迹长. 【详解】 因为元素，，， 则 ，解得 ， 则即为， 可知集合表示以为圆心，半径的圆， 又因为即为， 可知集合表示过点的直线. 对于选项A：因为，则点在圆外， 可知直线与圆的位置关系：相离、相切或相交， 所以中元素个数不定，故A正确； 对于选项B：若N表示在x轴、y轴上的截距相等的直线，则， 对于，令，可得；令，可得； 即直线在x轴、y轴上的截距分别为，， 则，解得， 所以直线方程为或，故B正确； 对于选项C：集合表示以圆心，半径的圆， 因为，即， 可知圆与圆相交点，两圆方程作差可得， 所以直线：，故C正确； 对于选项D：设线段ST中点为，则，， 因为，则， 整理可得，表示以为圆心，半径的圆， 又因为，即，可知圆与圆相交， 设两圆交点为，可知点的轨迹是优弧， 又因为圆的周长为，所以轨迹长度不为，故D错误； 故选：ABC. 16．（25-26学年高二上·四川成都玉林中学·期中）已知直线． （1）求经过点，且垂直于直线的直线的方程； （2）求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据直线垂直的斜率关系好点斜式方程可得； （2）设出所求方程，利用平行直线的距离公式求解可得. (1) 小问详解： 由题知，直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为， 又直线过点，由点斜式方程得所求直线方程为， 整理得． (2) 小问详解： 设所求直线方程为：， 则，，或， 或为所求． 17．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积. 【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 （1）因为，结合直线的两点式方程，即可求解； （2）由，求得，得到边上的垂直平分线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）先求得点到的距离为和，结合三角形的面积公式，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为，则的方程为，即. (2) 小问详解： 解：因为，可得，且的中点为， 则边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． (3) 小问详解： 解：由且的方程，可得点到的距离为， 又由，可得， 所以的面积为. 18．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中） 的三个顶点分别为 . （1）求边和所在直线的一般方程 （2）求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 【答案】（1）：，：；     （2）      【分析】 （1）由两点式即可写出答案； （2）先求出的中点坐标与斜率，则可得所求直线的斜率，再由点斜式写出答案. (1) 小问详解： 由两点式可得直线：，化简得：， 直线：，化简得：， 所以：，：； (2) 小问详解： 记的中点为，则， ， 所以与垂直的直线的斜率， 所以边上的垂直平分线为： ， 化简得： , 所以边上的垂直平分线所在直线的一般方程为：. 19．（25-26学年高二上·四川南充·期中）已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的一般式方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用点斜式求出方程化简即可. 【详解】 直线l的倾斜角为，则斜率为， 又过点，所以直线l的方程为， 故直线l的一般式方程为． 故答案为： 20．（25-26学年高二上·四川南充·期中）设直线与． （1）若，求m的值； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时，求m的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据两直线垂直关系求出参数值. （2）先列出三角形面积的表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值. (1) 小问详解： 因为，所以， 解得或， 当时，不是直线，舍去，所以． (2) 小问详解： ，可化为． 因为与两坐标轴的正半轴围成三角形，所以 ，则， 所以与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积， 所以当时，三角形的面积S取得最大值． 21．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）已知直线与直线． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程 (1) 小问详解： 因为，所以，且， 由，得，解得或（舍去） 所以. (2) 小问详解： 因为点在直线上， 所以，得，所以点的坐标为， 所以设直线的方程为（）， 令，则，令，则， 因为直线在两坐标轴上的截距之和为0， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 22．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: （1）若直线经过和的交点，且经过点 ； （2）若直线经过和的交点，且与直线垂直. 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1) 先联立和的方程，解出交点，用交点和求斜率，最后用点斜式得方程后整理为. (2) 根据垂直关系，由斜率得的斜率为，点斜式得方程后整理为. (1) 小问详解： 首先求直线和的交点，联立方程： ， 解得 ，所以两直线交点坐标为，已知直线过点和点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 即直线l的一般方程. (2) 小问详解： 直线的方程为，化为斜截式得， 即斜率为：，与垂直的直线斜率满足， 所以直线的斜率为，直线经过交点，由点斜式得： ,化为一般式为. 23．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （注意：最后结果统一用一般式表示） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求的中点，再根据两点式方程求解即可； （2）先根据直线垂直的斜率关系得，再根据点斜式方程求解即可. (1) 小问详解： 解：由已知得的中点，即， 边上的中线的两点式方程为，即； 所以，边上的中线所在直线的方程为. (2) 小问详解： 解：因为， 又，则，所以， 所以直线的方程为，即. 所以边上的高所在直线的方程为. 24．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）已知直线经过点. （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）或     （2）；      【分析】 （1）根据题意，分直线的截距为0和截距不为0时，分别设出直线方程，将代入直线的方程，即可求解； （2）根据题意，设直线的方程为，其中，分别求得和，得到的面积为，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：当在坐标轴上的截距为0时，符合题意，直线过坐标原点，设直线的方程为. 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当在坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. (2) 小问详解： 解：如图所示，可得直线的截距不为0，斜率存在且斜率， 设直线的方程为， 令，解得，则，所以； 令，解得，则，所以， 则的面积为 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为12，此时直线的方程为，即. 25．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． （1）求经过点Q且与直线平行的直线方程； （2）求线段的中垂线方程． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由平行关系设出直线方程，利用待定系数法求解. （2）求出交点坐标，再求出线段的中垂线方程. (1) 小问详解： 设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点， 则，解得，所以所求直线方程为. (2) 小问详解： 由 ，解得 ，则点，线段的中点为， 直线的斜率，线段的中垂线斜率， 所以线段的中垂线方程为，即. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）直线，直线，若，则两直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据两直线的位置关系，求得，得到与的直线方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】 直线和，， 由，即，解得或， 当时，直线即，和， 此时与的距离为； 当时，和，此时与重合，不符合题意，舍去. 综上可得，当时，两平行线间的距离为. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·四川南充西充中学·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 法一，联立直线方程可得交点坐标，然后结合直线过点可得直线方程；法2，设直线的方程为，代入，可得直线方程. 【详解】 法1， ，则两直线交点为，直线过点， 又经过点，则直线斜率为， 直线方程为； 法2，设直线的方程为， 因经过点，代入所设方程，则， 则直线的方程为. 故选：B 3．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线平行求出，设出直线，根据直线l到的距离与l到的距离相等列出等式解出，进而求出答案. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得，故直线， 而直线可以写成，设直线， 因为直线l到的距离与l到的距离相等，所以，解得， 故直线，即直线l的方程为. 故选：D. 4．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）坐标原点到直线的距离为，直线与直线的距离为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由点到直线的距离公式和平行线间距离公式即可求解. 【详解】 化一般方程得 ， 所以， 故选：D 5．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由两直线平行，求出，再根据两平行直线之间距离公式求解即可. 【详解】 由直线和平行，可得， 解得，故直线可写为：， 即，则这两条平行线之间的距离为. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·四川内江第六中学·期中）已知实数满足，，则的最小值为（       ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】B 【分析】 根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】 实数满足，， 即实数满足，， 则在直线上，在直线上， 直线与直线平行， 所以、两点间的最短距离为， 所以的最小值为. 故选：B 7．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（       ） A.  B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【分析】 求出定点，，由两点间距离公式可判断A；根据方程判断两条直线垂直，由勾股定理可判断B；设，结合三角恒等变换可判断CD. 【详解】 对A，的方程化为，由 得定点的坐标为； 的方程化为，由 得定点的坐标为. 所以，正确； 对B，因为，所以，即， 所以，正确； 对C，因为，所以设， 则， 所以当时，取得最大值，正确； 对D，， 当且仅当时，取得最大值时，D错误. 故选：ABC 8．（25-26学年高二上·四川成都外国语学校·期中）（多选）设为实数，直线，，下列说法正确的有（     ） A. 时，在两坐标轴上截距相等 B. 时，与平行 C. 经过原点 D. 原点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】 通过代入求值、分析直线平行关系、验证过原点情况及利用点到直线的距离公式求距离最大值来逐一判断选项. 【详解】 对于A，时，，所以，在两坐标轴上截距相等都为，A正确. 对于B，时，，，所以与平行，B正确. 对于C，，不经过原点，C错误. 对于D，原点到直线距离为， 令，根据二次函数性质当时，有最小值为， 所以原点到直线距离的最大值为，D正确. 故选：ABD. 9．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知点P是直线上的动点，圆关于直线的对称圆记为圆，以为直径的圆与圆交于A，B两点，则四边形的周长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先根据对称性求得圆的方程，其次将所求周长的最小值转化为求线段的最小值问题即可求解. 【详解】 圆的圆心为，半径为1， 设点关于直线的对称点为， 根据对称性可知线段的中点在直线上，且， 即 ，解得，所以圆的方程为. 因为以为直径的圆与圆交于A，B两点， 所以且，即， 所以为圆的两条切线，所以， 所以四边形的周长为， 而为点到直线的距离，即， 所以四边形的周长的最小值为. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）直线与直线的交点的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 联立两直线方程，求解即得. 【详解】 联立方程得： ， 解得： ， 所以交点坐标为 故答案为： 11．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）如图，面积为12的平行四边形，A为原点，的坐标为，在第一象限．    （1）求直线的方程； （2）若，求的纵坐标． 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据给定条件，结合平行四边形性质设出直线方程，再利用点到直线距离公式结合面积求解. （2）由（1）的结论及长，建立方程组求解. (1) 小问详解： 由，得直线AB方程为，， 在中，设直线CD方程为， 由D在第一象限，得，A到直线CD距离，由面积为12， 得，则，所以直线CD方程为. (2) 小问详解： 设，由及（1）得 ， 整理得，解得或，此时都大于0，符合题意， 所以的纵坐标是或. 12．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知直线的方程为． （1）证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； （2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】（1）证明：将直线的方程整理得， 令 ，解得 所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为．     （2），      【分析】 （1）将直线的方程整理得，令 ，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 13．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）已知直线：与直线：互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线与直线平行，求的直线方程. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据与垂直，由，再联立直线方程求交点； （2）根据直线与直线平行，设直线方程为，再将点P的坐标代入求解. (1) 小问详解： 因为与垂直，所以， 于是，即. 由 有 ，所以. (2) 小问详解： 由题意设：， 将代入可得：. 所以直线的方程为：：. 14．（25-26学年高二上·四川南充高级中学·期中）平面内有两点与，定义这两点间的“物理距离”为，“光学距离”为.已知圆，定点，过点的直线上有一个动点，若的最小值为，则直线的方程为　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解. 【详解】 易知圆的圆心， 由，即与的距离， 设过点的直线方程为，因为过圆心，可得， 即方程为， 由题意，若的最小值为，即到的距离为， 可得， 平方化简可得，解得或，即， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 15．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用过两直线交点的直线系求解； （2）求出点关于直线的对称点，则即为所求. (1) 小问详解： 设所求直线方程为，即， 由其与直线垂直可得，解得， 所以所求直线方程为，化简得：. (2) 小问详解： 因为，所以两点在直线同侧， 由已知可知， 设点关于直线的对称点为，则 ，解得 ， 即，因为，所以， 当且仅当动点位于与交点时取等号， 所以的最小值为. 16．（25-26学年高二上·四川彭州中学·期中）“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为　　　　　. 【答案】4 【分析】 设，，根据直线平行列方程，然后利用两角差的正弦公式和正弦函数性质得或，从而，最后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】 不妨设，， 因为，所以，所以，由题意，所以或， 不妨设，此时，即，由于的常数项为，而，故两直线不重合， 所以，之间的距离为. 故答案为：4 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．C 7．B 8．A 9．A 10．B 11．D 12．B 13．B 14．A 15．C 16．C 17．BCD 18．A 19．B 20．C 21．【答案】0 【分析】 根据直线与坐标轴平行可得倾斜角. 【详解】 因为直线与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故答案为： 22．【答案】.5 【分析】 由两直线垂直的判定条件可得答案. 【详解】 ∵直线与直线垂直， ∴， 解得：. 故答案为： 23．【答案】 【分析】 求出直线所过定点和，再数形结合即可求解. 【详解】 直线过定点， 则，如图， 则由图可知当直线与线段相交时或.    故直线与线段不相交时，斜率的取值范围为. 故答案为：. 24．【答案】 【分析】 由两直线平行时的系数关系求解. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以 ，解得， 故答案为：. 考点02 直线的方程 1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．AD 7．A 8．A 9．D 10．BC 11．D 12．ABD 13．ACD 14．D 15．ABC 16．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据直线垂直的斜率关系好点斜式方程可得； （2）设出所求方程，利用平行直线的距离公式求解可得. (1) 小问详解： 由题知，直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为， 又直线过点，由点斜式方程得所求直线方程为， 整理得． (2) 小问详解： 设所求直线方程为：， 则，，或， 或为所求． 17．【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 （1）因为，结合直线的两点式方程，即可求解； （2）由，求得，得到边上的垂直平分线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）先求得点到的距离为和，结合三角形的面积公式，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为，则的方程为，即. (2) 小问详解： 解：因为，可得，且的中点为， 则边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． (3) 小问详解： 解：由且的方程，可得点到的距离为， 又由，可得， 所以的面积为. 18．【答案】（1）：，：；     （2）      【分析】 （1）由两点式即可写出答案； （2）先求出的中点坐标与斜率，则可得所求直线的斜率，再由点斜式写出答案. (1) 小问详解： 由两点式可得直线：，化简得：， 直线：，化简得：， 所以：，：； (2) 小问详解： 记的中点为，则， ， 所以与垂直的直线的斜率， 所以边上的垂直平分线为： ， 化简得： , 所以边上的垂直平分线所在直线的一般方程为：. 19．【答案】 【分析】 利用点斜式求出方程化简即可. 【详解】 直线l的倾斜角为，则斜率为， 又过点，所以直线l的方程为， 故直线l的一般式方程为． 故答案为： 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据两直线垂直关系求出参数值. （2）先列出三角形面积的表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值. (1) 小问详解： 因为，所以， 解得或， 当时，不是直线，舍去，所以． (2) 小问详解： ，可化为． 因为与两坐标轴的正半轴围成三角形，所以 ，则， 所以与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积， 所以当时，三角形的面积S取得最大值． 21．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程 (1) 小问详解： 因为，所以，且， 由，得，解得或（舍去） 所以. (2) 小问详解： 因为点在直线上， 所以，得，所以点的坐标为， 所以设直线的方程为（）， 令，则，令，则， 因为直线在两坐标轴上的截距之和为0， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1) 先联立和的方程，解出交点，用交点和求斜率，最后用点斜式得方程后整理为. (2) 根据垂直关系，由斜率得的斜率为，点斜式得方程后整理为. (1) 小问详解： 首先求直线和的交点，联立方程： ， 解得 ，所以两直线交点坐标为，已知直线过点和点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 即直线l的一般方程. (2) 小问详解： 直线的方程为，化为斜截式得， 即斜率为：，与垂直的直线斜率满足， 所以直线的斜率为，直线经过交点，由点斜式得： ,化为一般式为. 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求的中点，再根据两点式方程求解即可； （2）先根据直线垂直的斜率关系得，再根据点斜式方程求解即可. (1) 小问详解： 解：由已知得的中点，即， 边上的中线的两点式方程为，即； 所以，边上的中线所在直线的方程为. (2) 小问详解： 解：因为， 又，则，所以， 所以直线的方程为，即. 所以边上的高所在直线的方程为. 24．【答案】（1）或     （2）；      【分析】 （1）根据题意，分直线的截距为0和截距不为0时，分别设出直线方程，将代入直线的方程，即可求解； （2）根据题意，设直线的方程为，其中，分别求得和，得到的面积为，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：当在坐标轴上的截距为0时，符合题意，直线过坐标原点，设直线的方程为. 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当在坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. (2) 小问详解： 解：如图所示，可得直线的截距不为0，斜率存在且斜率， 设直线的方程为， 令，解得，则，所以； 令，解得，则，所以， 则的面积为 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为12，此时直线的方程为，即. 25．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由平行关系设出直线方程，利用待定系数法求解. （2）求出交点坐标，再求出线段的中垂线方程. (1) 小问详解： 设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点， 则，解得，所以所求直线方程为. (2) 小问详解： 由 ，解得 ，则点，线段的中点为， 直线的斜率，线段的中垂线斜率， 所以线段的中垂线方程为，即. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．B 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．ABC 8．ABD 9．A 10．【答案】 【分析】 联立两直线方程，求解即得. 【详解】 联立方程得： ， 解得： ， 所以交点坐标为 故答案为： 11．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据给定条件，结合平行四边形性质设出直线方程，再利用点到直线距离公式结合面积求解. （2）由（1）的结论及长，建立方程组求解. (1) 小问详解： 由，得直线AB方程为，， 在中，设直线CD方程为， 由D在第一象限，得，A到直线CD距离，由面积为12， 得，则，所以直线CD方程为. (2) 小问详解： 设，由及（1）得 ， 整理得，解得或，此时都大于0，符合题意， 所以的纵坐标是或. 12．【答案】（1）证明：将直线的方程整理得， 令 ，解得 所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为．     （2），      【分析】 （1）将直线的方程整理得，令 ，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 13．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据与垂直，由，再联立直线方程求交点； （2）根据直线与直线平行，设直线方程为，再将点P的坐标代入求解. (1) 小问详解： 因为与垂直，所以， 于是，即. 由 有 ，所以. (2) 小问详解： 由题意设：， 将代入可得：. 所以直线的方程为：：. 14．【答案】或 【分析】 即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解. 【详解】 易知圆的圆心， 由，即与的距离， 设过点的直线方程为，因为过圆心，可得， 即方程为， 由题意，若的最小值为，即到的距离为， 可得， 平方化简可得，解得或，即， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用过两直线交点的直线系求解； （2）求出点关于直线的对称点，则即为所求. (1) 小问详解： 设所求直线方程为，即， 由其与直线垂直可得，解得， 所以所求直线方程为，化简得：. (2) 小问详解： 因为，所以两点在直线同侧， 由已知可知， 设点关于直线的对称点为，则 ，解得 ， 即，因为，所以， 当且仅当动点位于与交点时取等号， 所以的最小值为. 16．【答案】4 【分析】 设，，根据直线平行列方程，然后利用两角差的正弦公式和正弦函数性质得或，从而，最后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】 不妨设，， 因为，所以，所以，由题意，所以或， 不妨设，此时，即，由于的常数项为，而，故两直线不重合， 所以，之间的距离为. 故答案为：4 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $