专题05 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，四川专用）高二数学上学期

专题05 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，则的面积等于（       ） A. 24 B. 26 C.  D.  2．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）是方程表示椭圆的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（       ） A.  B. 2 C. 1 D.  4．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（       ） A.  B. 1 C.  D.  6．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）若方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）已知椭圆，点，若直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为（     ） A.  B.  C. 4 D. 8 9．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为，则下列结论正确的是（     ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3 10．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（     ） A. 面积的最大值为6 B. 的最小值为 C. M的轨迹方程为 D. 的最小值为8 11．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）点分别为椭圆的上顶点和右焦点，若直线交椭圆于点两点，点为的重心，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有3条 C. 已知双曲线左焦点为是左支上一动点．则的最小值是 D. 已知，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一动点，则的最小值是 14．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星中心成功发射．约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离进入预定轨道，并按照预定程序与空间站组合体实现圆满的自主快速交会对接．某飞船升空后初始运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，其远地点距地面的距离为S1，近地点距地面的距离为S2，设地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）（多选）已知椭圆，关于椭圆下述正确的有（     ） A. 椭圆的焦点在轴上 B. 椭圆的长轴长为10 C. 若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于P，Q，则 D. 若椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积为 17．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）（多选）已知复数z在复平面上对应的点为M，且满足，则（     ） A.  B. M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆 C. M到直线的距离的最大值为 D. 一组斜率为的平行线和椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点都在直线上 18．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）（多选）在椭圆 中，点、分别为其左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则下列说法正确的是（       ） A. 三角形的周长为定值 B. 若三角形为正三角形，则椭圆的离心率为 C. 坐标原点O可能是三角形的内心 D. 令，若存在，则 19．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知，，动点，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 20．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）（多选）已知平面上一点到点，的距离满足，设点的运动轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（     ） A. 曲线C关于原点对称 B.  C. 点P横坐标的取值范围是 D. 当点P不在坐标轴上时，点P在椭圆内部 21．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）（多选）已知球O是棱长为2的正方体的内切球，M是的中点，N是的中点，P是球O的球面上任意一点，正方体表面上动点Q满足，则下列说法正确的是（     ） A. 三棱锥的体积的最大值为 B. Q的轨迹长度为 C. 若，则动点P的轨迹长度为 D. 若，则为定角 22．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）若椭圆 的离心率为，则　　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）（1）已知曲线.若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，. 24．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知点和点在椭圆上 （1）求椭圆C的标准方程及离心率； （2）若点B为直线与椭圆C的公共点，求的面积. 25．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知是椭圆上的两个动点，，则以为直角顶点的等腰直角的个数为　　　　　 26．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为　　　　　. 27．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）如图，已知圆，点，P为圆A上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点M    （1）过点B的直线m被圆A截得的弦长为，求直线m的方程； （2）求动点M的轨迹方程； （3）设（2）中曲线为C，直线l：与曲线C交于E，F两点，求的面积． 28．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为.设A，B是椭圆上位于x轴同侧的两点，且直线与直线平行，当轴时，. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线的斜率为1，求的长度； （3）设直线l过点且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的下顶点，当面积最大时，求直线l的方程. 29．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为．    （1）求的方程； （2）求证：直线与的斜率乘积为； （3）若分别记的斜率为，求的最大值． 30．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，其离心率为，过点且平行于的直线与椭圆交于M，N，且． （1）求椭圆的方程； （2）过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于AB、CD． ①求四边形面积的取值范围； ②若直线AB斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线BH过定点，并求出定点坐标． 31．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. （1）求动点的轨迹的方程； （2）求动点到直线的距离的最大值； （3）设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 32．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为1，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于A，B，点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为. （i）若直线BC，AC的斜率分别为，证明：为常数； （ii）求面积的最大值. 33．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切． （1）求C的方程； （2）若经过点且倾斜角为的直线n与椭圆C交于M，N两点（其中点M在x轴上方）如图①．将平面沿x轴折叠，使M点折至的位置，且轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图②．求折叠前的周长与折叠后的周长之差的绝对值； （3）直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且PQ平分，设直线OP的斜率为（O为坐标原点），判断是否为定值,并说明理由． 34．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知椭圆：经过点和. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左焦点为F，点M，N是椭圆C上的两个动点，直线的斜率存在并且不为0. （i）若直线，关于x轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线过点，直线与直线，分别交于点P，Q，求. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为（       ） A. 4 B. 7 C.  D. 11 3．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）过双曲线左焦点的直线与交于两点，且，若，则的离心率为 A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的离心率； （2）若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 7．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）双曲线经过，渐近线，则双曲线标准方程为　　　　　　． 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）抛物线的焦点到准线的距离为，则（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 2．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）（多选）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，以为切点作切线相交于点，则（   ） A. 直线的斜率为 B.  C. 的坐标为 D.  3．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． （1）求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； （2）求所在的直线方程． 4．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是　　　　　　. 5．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）若实数、满足，则的取值范围是　　　　　　. 6．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：； （3）如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 7．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图，“爱心”图案是由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图像上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与在第一象限内相交于点，过点作于点，连接交于点，若，则的值为　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．D 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A 13．BD 14．C 15．C 16．BC 17．ABD 18．AB 19．B 20．ABD 21．BCD 22．【答案】 【分析】 根据确定，的值，利用椭圆中，，的关系及离心率公式求解即可. 【详解】 ，，， ， ， 解得. 故答案为：. 23．【答案】（1）；（2）＋＝1. 【分析】 （1）由题意，将曲线转化为，再根据曲线表示焦点在轴上的椭圆，列出关于的不等式，即可求出结果. （2）方法一：分别根据焦点在，轴上，设椭圆的标准方程，代入点，即可求出结果； 方法二：设椭圆的一般方程为，即可求出结果. 【详解】 由，得. 因为椭圆的焦点在轴上， 所以 解得<m<5.所以m的取值范围是 （2）方法一：若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为.由已知条件得 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1； 若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为. 由已知条件得 解得 则，与矛盾，舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为. 方法二：设椭圆的一般方程为. 分别将两点的坐标，代入椭圆的一般方程， 得 解得 所以所求椭圆的标准方程为. 24．【答案】（1）；；     （2）或.      【分析】 （1）根据椭圆上两点列方程可得 ，进而求出，即可求解离心率； （2）联立直线与椭圆的方程，求得点B的坐标，进而求出的底和高，代入面积公式求解即可. (1) 小问详解： 因为点和点在椭圆上， 所以 ，解得 ，即 ，所以椭圆的方程为； 所以，所以，所以椭圆C的离心率为； (2) 小问详解： 联立与椭圆，消x得， 解得或，所以或， 当时，由点知直线BP方程为，且， 点到直线BP的距离为，所以的面积为； 当时，由点知直线AB方程为，且， 点到直线AB的距离为，所以的面积为； 综上，的面积为或. 25．【答案】2 【分析】 当轴时，有两个满足条件的三角形，当不垂直于x轴时，通过分析可知点从左顶点运动到右顶点的过程中，是逐渐减小的，可得此种情况没有满足题意的等腰直角三角形. 【详解】 过作斜率为的直线分别交右侧的椭圆于， 因为椭圆的对称性得出关于轴对称，轴， 同理可知左侧的椭圆也存在，所以有两个满足条件的三角形. 当不垂直于x轴时，不妨假设，， ， 由复合函数的单调性知，在上单调递减， 所以点从左顶点运动到右顶点的过程中，不存在另一个异于的点（注意因为此时不垂直轴，则点关于轴的对称点不合题意），使得. 综上，满足条件的三角形只有2个. 故答案为：2. 26．【答案】 【分析】 设点，利用两点间距离公式计算，代入，将其化成关于的二次函数，利用其性质求得线段长度的最小值，代入计算即得. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径， 设点的坐标为，则， 又点在椭圆上，所以，即，， 所以， 则当时，取得最小值，结合圆的几何性质可得. 故答案为：. 27．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先根据圆的方程得出圆心和半径，利用已知弦长得出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论求出直线方程； （2）根据已知条件，利用椭圆的定义求出动点的方程； （3）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理结合两点间距离公式求出，利用点到直线距离公式求出距离，进而利用三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径， 已知弦长为，设圆心到直线的距离为， 则，而直线过点， 当直线斜率不存在时，直线为，圆心到直线距离， 弦长，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，即， 圆心到直线距离，化简得，无解， 直线的方程为． (2) 小问详解： 由垂直平分线的性质可知，， ，， ，， 由椭圆的定义可知，动点M是以为长轴，以为焦距的椭圆， 即， 动点M的方程为：． (3) 小问详解： 如图，作出符合题意的图形，    联立直线与曲线方程 ，得， 设，由韦达定理得 ， ， 点到直线的距离为， ． 28．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意求出即可； （2）延长交椭圆C于点Q，由对称性可知，，则，求出直线的方程，再与椭圆方程联立，设，，利用韦达定理求出，，再利用弦长公式即可得解； （3）设直线l：，，，联立方程，利用韦达定理求出，，然后列出面积的表达式，进而可得出答案. (1) 小问详解： 当轴时，， 由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆C的方程为； (2) 小问详解： 延长交椭圆C于点Q，由对称性可知，， 所以， ， 则直线AQ的方程为，设，， 联立椭圆方程得：，所以，， 所以， 所以的长度为； (3) 小问详解： 由题意可知，直线的斜率存在，， 设直线l：，，， 联立 ， 得， ， ，， ， 令（）， 则， 又在单调递增， 当，即， 即时，面积最大，此时直线. 29．【答案】（1）     （2）证明：设，因为为中点，所以， 根据题意直线与的斜率都存在， 所以直线与的斜率乘积为， 因为在椭圆上，所以，两式相减可得， 化简得，可得 因此直线与的斜率乘积为.     （3）      【分析】 （1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，而解得参数求得椭圆方程. （2）设，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （3）设，有，计算直线的直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. (1) 小问详解： 根据椭圆的定义可知， 根据题意可得 ，解得， 所以椭圆的方程为 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，由（1）可知, 因为点在椭圆上，所以， 由题意， 故将直线与椭圆联立 ，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 同理，将直线与椭圆联立 ，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以的斜率为， 故， 因为点在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 30．【答案】（1）     （2）①； ② 由已知，所以直线BH的斜率为， 则直线BH的方程为， 即， 由韦达定理有：， ， 故直线BH的方程为，所以直线BH过定点.      【分析】 （1）根据离心率得，，再利用通径长求得，即可求解； （2）① 当直线斜率存在且不为0时，设，与椭圆方程联立韦达定理，利用弦长公式求得，，进而得，然后利用换元法及二次函数性质求得范围；再求直线斜率为0时的面积，即可求解范围； ② 由点的坐标表示直线BH的方程，利用韦达定理化简直线方程，即可求得恒过的定点. (1) 小问详解： 由已知得，， 在方程中，令，则，故， 所以，，故椭圆的方程为；     (2) 小问详解： ① 设，， 当直线斜率存在时，设， 由 得：， 故，， 当AB斜率存在且斜率， 则， 同理以替代得，则， 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以的值域为，所以， 当时，，，， 综上，；        ② 略 31．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用角为参数来表达动点坐标，消参即可得椭圆方程； （2）再利用椭圆的参数方程来表示椭圆上的动点坐标，用点到直线的距离公式即可求最大值； （3）利用动直线方程去求解交点坐标的关系，然后借助，可求出动直线的参数关系式，从而可研究动直线过定点，最后再研究垂足的轨迹是圆，即可求最小值. (1) 小问详解： 设为，，设， 由题意，有 ，即 ，平方后相加，可得， 即轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，设，其中， 设动点到直线的距离为， ， 故动点到直线的距离的最大值为. (3) 小问详解： 由对称性可知直线的斜率不为0，故可设直线， 联立直线与椭圆， ， 设，， 则，① ，，② 又，所以， 令，得点横坐标，同理可得点横坐标， 故， 将，代入上式， 整理可得：， 再将② 式代入得， （i）若，则直线，恒过，不合题意； （ii）若，则，恒过，符合题意， 故直线恒过，且与椭圆始终有两个交点， 又，，垂足为， 所以点的轨迹是以为直径的半圆（不含点，，在直线下方部分）， 且圆心，半径为1，所以， 当且仅当点在线段上时，取到最小值. 32．【答案】（1）；     （2） （i）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又① ， ② ， 式子① －② 得， 所以； （ii）3.      【分析】 （1）根据题意得到关于的方程组，解出即可. （2）（i）设出，，则，表达出，，由点差法得到证明； （ii）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ， 则椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点为，可设直线方程为， 联立方程组 ， 即， 故，，    所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值成立， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 33．【答案】（1）     （2）     （3） 为定值，且，理由如下： 因为直线过定点，则直线与椭圆必相交， 设， 联立方程 ，消去y得， 则， 由题意可知直线AP，BP的斜率互为相反数， 则， 即， 可得 ， 则， 即， 化简得， 又因为在椭圆上，则，即， 可得， 即， 又因为不在直线， 则，即， 所以为定值，且.      【分析】 （1）根据离心率得到，再由相切关系，利用点到直线距离得到方程，联立求出，求出椭圆方程； （2）求出直线方程为：，再联立椭圆方程可得韦达定理，根据弦长公式以及空间中两点距离公式即可求解； （3）由题意条件得到，联立与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，代入化简得到，又在椭圆上，故，代入化简得到，从而得到，，证明出结论. (1) 小问详解： 由椭圆的离心率为，可得，即， 由以C的短轴为直径的圆方程为， 由与直线相切得：， 联立方程 ，解得， 所以椭圆C的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知：，则折叠前可知，且直线与椭圆必相交， 又直线n的倾斜角为，可得直线方程为：， 设， 联立方程 ，消去x可得， 则，， 可得， ， 折叠前， 以过点O且垂直于坐标面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则折叠后， 可得， 又因为， 折叠前的周长与折叠后的周长之差的绝对值为 . (3) 小问详解： 略 34．【答案】（1）；     （2）（i）证明：设直线的方程为， 联立得， ，故， 设， 故， 直线，关于x轴对称，设关于x轴对称点为， 则，且在直线上， 直线的斜率存在并且不为0，故直线斜率存在且不为0， 其中，，即， 所以，其中， 所以，， 将代入可得 ，化简得，代入中， ，即且， 所以直线方程为， 直线过定点； （ii）1      【分析】 （1）代入和，得到方程组，求出 ，得到椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，联立，设，得到两根之和，两根之积，设关于x轴对称点为，则，且在直线上，根据，得到方程，求出，从而求出直线过定点； （ii）设直线为，联立，得到两根之和，两根之积，直线为，表达出直线，联立直线得，同理可得，结合两根之和，两根之积，得到，（），由于，所以，当时，其中一个点坐标为，与重合，不合要求，从而得到结论. (1) 小问详解： 将和代入可得 ， 解得 ，故椭圆C的方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）由题意得，直线过点，设直线为， 联立得， ， 故，解得， 设， 则， 直线为，直线为， 联立直线与直线得，同理可得， ， 其中， 故 将代入得 ，（）， 由于，所以， 当时，直线为， 联立得，即，解得或2， 当时，，当时，，即其中一个点坐标为， 与重合，不合要求， 综上，. 【点睛】 考点02 双曲线 1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据焦点到双曲线渐近线的距离得出的关系，结合的关系得出的关系即可求解； （2）由（1）得出双曲线标准方程，利用点差法求出直线斜率，从而得出直线方程，然后联立直线与双曲线的方程组，化简写出韦达定理，最后利用弦长公式计算即可. (1) 小问详解： 由双曲线的一条渐近线方程为， 故焦点到渐近线的距离， 所以即， 所以. (2) 小问详解： 因为，所以， 所以双曲线的方程为：， 如图所示：    设点，，因为是弦的中点， 则 ， 由于，，所以两式相减得， 所以， 即直线的斜率为，        所以直线的方程为， 即． 联立 消去并整理， 得， 所以， 且，， 所以. 7．【答案】 【分析】 根据共渐近线双曲线方程设，代入已知点求解. 【详解】 设双曲线方程为， 将代入，得，∴， ∴方程为. 故答案为： 考点03 抛物线 1．D 2．ABD 3．【答案】（1）抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；     （2）或      【分析】 （1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. (1) 小问详解： 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2) 小问详解： 显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由 消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 4．【答案】 【分析】 根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】 当时，，故入射光线经过和，， 故入射光线的方程为，化简得， 圆心为，半径为， 所以， 而，故，，解得. 故答案为： 5．【答案】 【详解】 令，此时，， 且题设等式化为. 于是，满足方程. 如图，在平面内，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆在的部分，即点与弧并集. 故. 从而，. 6．【答案】（1）；     （2） 设直线方程为，，， 联立直线与抛物线的方程 ， 消去并整理，得， 所以， 则， 即；      （3）.      【分析】 （1）根据及已知列方程求参数，即可得抛物线方程； （2）设直线方程为，，，联立抛物线并应用韦达定理和向量数量积的坐标运算，即可证； （3）设直线的方程为，的方程为，，，，， 联立抛物线，应用韦达定理和三角形面积公式即可得. (1) 小问详解： ∵， ∴，则； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程 ， 消去并整理，得， 所以， 设，，的方程为， 联立直线与抛物线的方程 ， 消去并整理，得， 所以，，则，同理得， ∴. 7．【答案】 【分析】 先分析图案，得出的最大值为图象上的点到直线的最大距离的2倍，再求出值，构造直线的平行线与相切，求出直线方程进而求出图象上的点到直线的最大距离，从而求出的最大值． 【详解】 “爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成， 的最大值为图象上的点到直线的最大距离的2倍， 函数经过点，，解得， 设直线与函数相切，则 ，联立得， ，解得， 直线与直线间的距离， 的最大值为． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则由已知条件结合抛物线的定义可得，设直线的倾斜角为，则，求出，再结合可求得结果. 【详解】 如图，过点作准线的垂线，垂足为，    则，轴． 因为，所以． 设直线的倾斜角为，则， 所以， 解得或（舍去）， 所以，所以， 所以，即． 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，则的面积等于（       ） A. 24 B. 26 C.  D.  【答案】A 【详解】由定义可得，结合条件求出即可求出面积. 【详解】 由椭圆方程可得焦点在轴上，，，， 由椭圆定义可得， 又，则可解得， ，满足，则， . 故选：A. 2．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）是方程表示椭圆的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先根据方程表示椭圆求出参数的范围，再根据充分条件和必要条件即可得解. 【详解】 因为方程表示椭圆， 所以 ，解得且， 即方程表示椭圆，则， 所以是方程表示椭圆的必要不充分条件. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（       ） A.  B. 2 C. 1 D.  【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】 设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即 或 ， . 故选：C 4．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设，依题意得到 ，从而 代曲线的方程求解． 【详解】 解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A． 5．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（       ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据三角形面积公式，结合椭圆之间的关系，利用代入法进行求解即可. 【详解】 由， 设，因为的面积为， 所以有， 点在椭圆上， 所以， 故选：C 6．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，求得椭圆的焦距为，且点的纵坐标为，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】 由椭圆，可得， 则，所以椭圆的焦距为， 令，可得，解得，可得， 所以的面积为. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）若方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用椭圆的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】 因为方程表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得，故D正确. 故选：D 8．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）已知椭圆，点，若直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为（     ） A.  B.  C. 4 D. 8 【答案】A 【分析】 求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长. 【详解】 椭圆E：的长半轴长，半焦距， 则点为椭圆的右焦点，其左焦点为， 而直线恒过定点， 所以的周长为. 故选：A 9．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为，则下列结论正确的是（     ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3 【答案】D 【分析】 利用已知条件，结合椭圆的定义和性质，求出椭圆的长半轴长，短半轴长，进而分析判断各选项． 【详解】 设圆柱的底面圆半径为，则，截面与底面夹角， 截面椭圆的短半轴，长半轴， 选项A：椭圆的长轴长等于，故A错误； 选项B：椭圆的离心率，故B错误； 选项C：椭圆的标准方程为，不是，故C错误； 选项D：椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为，故D正确． 故选：D． 10．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（     ） A. 面积的最大值为6 B. 的最小值为 C. M的轨迹方程为 D. 的最小值为8 【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义和性质、等腰三角形的性质，结合圆的定义、对勾函数的单调性逐一判断即可. 【详解】 A：根据题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零， 由椭圆， 设直线的方程为， 于是有 ， ，设， ， ， 令， ， 对钩函数在上单调递增， 所以当时，对钩函数单调递增， 于是由， 所以，即， 所以当，面积有最大值为3，因此本选项不正确； B：因为， 所以 ， 即，当且仅当时取等号， 即当时，的最小值为，所以本选项不正确； C：因为过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M， 所以， 因为， 所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，所以本选项正确； D：由上可知：， 所以， 因为A，B两点是椭圆上非长轴上顶点， 所以由椭圆的性质可知：， 所以没有最小值，故本选项不正确， 故选：C         11．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）点分别为椭圆的上顶点和右焦点，若直线交椭圆于点两点，点为的重心，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题设，利用为的重心，求出线段的中点，将中点坐标代入直线方程，再利用点差法可得，结合，可求出的值，进而求出离心率. 【详解】 由题设，则线段的中点为， 由三角形的重心性质可知，，即，解得， 即，将该点代入直线，得，即， 又为线段的中点，则，则， 又为椭圆上的点，， 以上两式相减，得 ，即， ，化简得， 由 ，解得 ，即离心率为， 故选：. 12．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设，由等面积法得到，再由，得到，再结合，转化为关于的不等式，即可求出的范围. 【详解】 设，则的面积为． 因为的内切圆半径为，又， 所以的面积可表示为， 所以，则． 又因为，所以． 两边平方得，而，所以， 整理得，两边同时除以，得， 解得，又，故，即椭圆的离心率的取值范围是． 故选：A 13．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有3条 C. 已知双曲线左焦点为是左支上一动点．则的最小值是 D. 已知，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一动点，则的最小值是 【答案】BD 【分析】 根据两直线互相垂直得出参数方程解出判断即可得出选项A，设方程求解结合图形分析即可得出选项B，利用双曲线性质分析得出C选项，利用椭圆的定义和椭圆性质分析得出选项D. 【详解】 对于A，因为直线与直线互相垂直， 则有，解得或，故选项A错误， 对于B，当直线斜率存在时，设过点直线方程为， 代入得出：， 由题意知：或， 即直线：，，又直线与抛物线也只有一个交点， 过点与抛物线只有一个公共点的直线有3条，故B选项正确， 对于C，由题意可知，当点位于左支顶点时，最小， ，故选项C错误； 对于D，由椭圆的定义可知，，所以， 所以，也即求的最小值， 又， ，所以的最小值是，故选项D正确， 故选：BD. 14．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星中心成功发射．约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离进入预定轨道，并按照预定程序与空间站组合体实现圆满的自主快速交会对接．某飞船升空后初始运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，其远地点距地面的距离为S1，近地点距地面的距离为S2，设地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据椭圆的性质，得到，，结合即可求解. 【详解】 建立适当坐标系画出椭圆，如图所示， 设椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为， 根据题意有，， 所以 又因为，所以. 故选：C 15．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，，利用椭圆的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可得出，再利用正弦定理得出，结合可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】 设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以，解得. 故椭圆的离心率为. 故选：C. 16．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）（多选）已知椭圆，关于椭圆下述正确的有（     ） A. 椭圆的焦点在轴上 B. 椭圆的长轴长为10 C. 若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于P，Q，则 D. 若椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积为 【答案】BC 【分析】 椭圆方程化为标准方程，求出，然后判断各选项，对于D，利用椭圆定义和余弦定理求解即可. 【详解】 由已知椭圆标准方程为， 椭圆焦点在轴上，且，∴，A错误； 长轴长为，B正确； 代入椭圆方程得，解得，∴，C正确； 设，，由椭圆的定义知：， 在中，由余弦定理得， 解得，，D错误. 故选：BC． 17．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）（多选）已知复数z在复平面上对应的点为M，且满足，则（     ） A.  B. M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆 C. M到直线的距离的最大值为 D. 一组斜率为的平行线和椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点都在直线上 【答案】ABD 【分析】 对A，利用复数三角不等式求解；对B，由复数模的几何意义和椭圆的定义判断；对C，设，利用点到直线距离公式结合三角函数求解；对D，由点差法可得，即，得解. 【详解】 对于A，由复数三角不等式得，所以，即，故A正确； 对于B，设，则， 上式表示点到定点和距离之和为4， 由椭圆的定义可知的轨迹是以和为焦点，长轴长为4的椭圆，故B正确； 对于C，由B得椭圆的方程为，设， 所以点到直线的距离，故C错误； 对于D，设斜率为的直线与椭圆相交于点，线段的中点为， 由点差法可得，即， 所以一组斜率为的平行线和椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点都在直线上，故D正确. 故选：ABD. 18．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）（多选）在椭圆 中，点、分别为其左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则下列说法正确的是（       ） A. 三角形的周长为定值 B. 若三角形为正三角形，则椭圆的离心率为 C. 坐标原点O可能是三角形的内心 D. 令，若存在，则 【答案】AB 【分析】 对于A选项：根据椭圆的定义：，，即可得三角形的周长为定值；对于B选项：根据为正三角形，再结合椭圆的定义，可得，，根据余弦定理化简得，即；对于C选项：内心是三角形角平分线的交点，即内心与三角形顶点的连线平分各角，即可判断C选项；对于D选项：若，则以为直径的圆与椭圆有交点，联立方程组有解，化简即可得的取值范围. 【详解】 对于A选项：根据椭圆的定义：，， 三角形的周长为, 所以三角形的周长为定值，所以选项A正确； 对于B选项：为正三角形，则，又因为，，所以，且，，根据余弦定理，即，化简得，即，所以选项B正确； 对于C选项：若原点为的内心，则必须在的角平分线上，因原点在轴上，故轴必须是的角平分线，这意味着关于轴对称，因此直线必须垂直于轴，其方程为，在此情况下，若原点也位于的角平分线上，则需满足， 又，两者相等则，与矛盾，故原点不可能是内心，所以选项C错误； 对于D选项：若存在，则以为直径的圆与椭圆有交点，联立 ，消去可得，若有实根，则需，即，故，所以选项D错误； 故选：AB. 19．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知，，动点，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 列出向量，，然后得到，由条件“”得点与圆的位置关系，由条件“”得点与椭圆的位置关系，数形结合即可得到结论. 【详解】 ，，则， 当时，，表示点在圆上或圆外， ，表示点在椭圆上或椭圆外， 如图 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 20．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）（多选）已知平面上一点到点，的距离满足，设点的运动轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（     ） A. 曲线C关于原点对称 B.  C. 点P横坐标的取值范围是 D. 当点P不在坐标轴上时，点P在椭圆内部 【答案】ABD 【分析】 通过设点坐标，根据点的对称、三角形的性质、椭圆的性质，逐一分析选项. 【详解】 对于选项A： 设点，则关于原点的对称点为，根据两点间距离公式. 所以. 又因为， 所以. 又，所以. 所以曲线关于原点对称，所以A正确； 对于选项B： 当点与点共线时，则. 此时，所以或. 此时， 由得， 解得. 当点与点不共线时，根据三角形性质可得 ，由得， 解得. 综上可得，B正确； 对于选项C ：若的横坐标的范围为，取， 此时，但，矛盾，所以C错误. 对于选项D： 当点不在坐标轴上时，由B可知. 所以. 根据椭圆的性质可知点在椭圆的内部. 故答案为：ABD. 21．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）（多选）已知球O是棱长为2的正方体的内切球，M是的中点，N是的中点，P是球O的球面上任意一点，正方体表面上动点Q满足，则下列说法正确的是（     ） A. 三棱锥的体积的最大值为 B. Q的轨迹长度为 C. 若，则动点P的轨迹长度为 D. 若，则为定角 【答案】BCD 【分析】 以为原点建立空间直角坐标系，利用点面距离的向量求法可求得球心到平面的距离，结合三棱锥体积公式可知体积最大值为，知A错误；设，求出D的轨迹为球与正方体平面的交线，再利用几何性质求出弧长即可判断B；分别取中点，易知平面平面，可知所求轨迹为平面与内切球的交线，根据截面圆半径可求得C正确；根据椭圆定义可知点在以为焦点，长轴长为的椭球面上，结合椭圆与圆的对称性可知D正确. 【详解】 对于A，以为原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，解得，，； 球心到平面的距离， 平面，平面，， 又， 所以三棱锥体积最大值为，A错误； 对于B，由正方体表面上动点Q满足，所以设， 则点的轨迹满足， 又正方体的棱长为2，取，则，    由图可知，在面内对应的弧长为， 由对称性可知在面、面、面内总长度为，B正确； 对于C，由正方体性质得面，且内切球半径， 分别取中点，如图所示， ，，平面， 平面，平面，平面， 平面，平面，又，平面， 所以平面平面，平面， 则点轨迹为平面与内切球的交线，即为截面圆的周长， 易知球心平面， 则到平面的距离为平面与平面的距离， 截面圆半径，所以点轨迹长度为，C正确； 对于D，由题意知：， 又，所以点在以为焦点，长轴长为3的椭球面上， 因为点在以为球心，1为半径的球面上，所以点在椭球面与球面的交线处， 则平面截球与椭球的截面图如图所示， 由椭圆与圆的对称性可知：点位于时，为定值，D正确. 故选：BCD. 22．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）若椭圆 的离心率为，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据确定，的值，利用椭圆中，，的关系及离心率公式求解即可. 【详解】 ，，， ， ， 解得. 故答案为：. 23．（25-26学年高二上·四川叙永第一中学校·期中）（1）已知曲线.若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，. 【答案】（1）；（2）＋＝1. 【分析】 （1）由题意，将曲线转化为，再根据曲线表示焦点在轴上的椭圆，列出关于的不等式，即可求出结果. （2）方法一：分别根据焦点在，轴上，设椭圆的标准方程，代入点，即可求出结果； 方法二：设椭圆的一般方程为，即可求出结果. 【详解】 由，得. 因为椭圆的焦点在轴上， 所以 解得<m<5.所以m的取值范围是 （2）方法一：若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为.由已知条件得 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1； 若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为. 由已知条件得 解得 则，与矛盾，舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为. 方法二：设椭圆的一般方程为. 分别将两点的坐标，代入椭圆的一般方程， 得 解得 所以所求椭圆的标准方程为. 24．（25-26学年高二上·四川绵阳南山中学·期中）已知点和点在椭圆上 （1）求椭圆C的标准方程及离心率； （2）若点B为直线与椭圆C的公共点，求的面积. 【答案】（1）；；     （2）或.      【分析】 （1）根据椭圆上两点列方程可得 ，进而求出，即可求解离心率； （2）联立直线与椭圆的方程，求得点B的坐标，进而求出的底和高，代入面积公式求解即可. (1) 小问详解： 因为点和点在椭圆上， 所以 ，解得 ，即 ，所以椭圆的方程为； 所以，所以，所以椭圆C的离心率为； (2) 小问详解： 联立与椭圆，消x得， 解得或，所以或， 当时，由点知直线BP方程为，且， 点到直线BP的距离为，所以的面积为； 当时，由点知直线AB方程为，且， 点到直线AB的距离为，所以的面积为； 综上，的面积为或. 25．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知是椭圆上的两个动点，，则以为直角顶点的等腰直角的个数为　　　　　 【答案】2 【分析】 当轴时，有两个满足条件的三角形，当不垂直于x轴时，通过分析可知点从左顶点运动到右顶点的过程中，是逐渐减小的，可得此种情况没有满足题意的等腰直角三角形. 【详解】 过作斜率为的直线分别交右侧的椭圆于， 因为椭圆的对称性得出关于轴对称，轴， 同理可知左侧的椭圆也存在，所以有两个满足条件的三角形. 当不垂直于x轴时，不妨假设，， ， 由复合函数的单调性知，在上单调递减， 所以点从左顶点运动到右顶点的过程中，不存在另一个异于的点（注意因为此时不垂直轴，则点关于轴的对称点不合题意），使得. 综上，满足条件的三角形只有2个. 故答案为：2. 26．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 设点，利用两点间距离公式计算，代入，将其化成关于的二次函数，利用其性质求得线段长度的最小值，代入计算即得. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径， 设点的坐标为，则， 又点在椭圆上，所以，即，， 所以， 则当时，取得最小值，结合圆的几何性质可得. 故答案为：. 27．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）如图，已知圆，点，P为圆A上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点M    （1）过点B的直线m被圆A截得的弦长为，求直线m的方程； （2）求动点M的轨迹方程； （3）设（2）中曲线为C，直线l：与曲线C交于E，F两点，求的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先根据圆的方程得出圆心和半径，利用已知弦长得出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论求出直线方程； （2）根据已知条件，利用椭圆的定义求出动点的方程； （3）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理结合两点间距离公式求出，利用点到直线距离公式求出距离，进而利用三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径， 已知弦长为，设圆心到直线的距离为， 则，而直线过点， 当直线斜率不存在时，直线为，圆心到直线距离， 弦长，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，即， 圆心到直线距离，化简得，无解， 直线的方程为． (2) 小问详解： 由垂直平分线的性质可知，， ，， ，， 由椭圆的定义可知，动点M是以为长轴，以为焦距的椭圆， 即， 动点M的方程为：． (3) 小问详解： 如图，作出符合题意的图形，    联立直线与曲线方程 ，得， 设，由韦达定理得 ， ， 点到直线的距离为， ． 28．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为.设A，B是椭圆上位于x轴同侧的两点，且直线与直线平行，当轴时，. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线的斜率为1，求的长度； （3）设直线l过点且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的下顶点，当面积最大时，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意求出即可； （2）延长交椭圆C于点Q，由对称性可知，，则，求出直线的方程，再与椭圆方程联立，设，，利用韦达定理求出，，再利用弦长公式即可得解； （3）设直线l：，，，联立方程，利用韦达定理求出，，然后列出面积的表达式，进而可得出答案. (1) 小问详解： 当轴时，， 由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆C的方程为； (2) 小问详解： 延长交椭圆C于点Q，由对称性可知，， 所以， ， 则直线AQ的方程为，设，， 联立椭圆方程得：，所以，， 所以， 所以的长度为； (3) 小问详解： 由题意可知，直线的斜率存在，， 设直线l：，，， 联立 ， 得， ， ，， ， 令（）， 则， 又在单调递增， 当，即， 即时，面积最大，此时直线. 29．（25-26学年高二上·四川成都实验外国语学校·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为．    （1）求的方程； （2）求证：直线与的斜率乘积为； （3）若分别记的斜率为，求的最大值． 【答案】（1）     （2）证明：设，因为为中点，所以， 根据题意直线与的斜率都存在， 所以直线与的斜率乘积为， 因为在椭圆上，所以，两式相减可得， 化简得，可得 因此直线与的斜率乘积为.     （3）      【分析】 （1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，而解得参数求得椭圆方程. （2）设，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （3）设，有，计算直线的直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. (1) 小问详解： 根据椭圆的定义可知， 根据题意可得 ，解得， 所以椭圆的方程为 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，由（1）可知, 因为点在椭圆上，所以， 由题意， 故将直线与椭圆联立 ，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 同理，将直线与椭圆联立 ，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以的斜率为， 故， 因为点在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 30．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，其离心率为，过点且平行于的直线与椭圆交于M，N，且． （1）求椭圆的方程； （2）过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于AB、CD． ①求四边形面积的取值范围； ②若直线AB斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线BH过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1）     （2）①； ② 由已知，所以直线BH的斜率为， 则直线BH的方程为， 即， 由韦达定理有：， ， 故直线BH的方程为，所以直线BH过定点.      【分析】 （1）根据离心率得，，再利用通径长求得，即可求解； （2）① 当直线斜率存在且不为0时，设，与椭圆方程联立韦达定理，利用弦长公式求得，，进而得，然后利用换元法及二次函数性质求得范围；再求直线斜率为0时的面积，即可求解范围； ② 由点的坐标表示直线BH的方程，利用韦达定理化简直线方程，即可求得恒过的定点. (1) 小问详解： 由已知得，， 在方程中，令，则，故， 所以，，故椭圆的方程为；     (2) 小问详解： ① 设，， 当直线斜率存在时，设， 由 得：， 故，， 当AB斜率存在且斜率， 则， 同理以替代得，则， 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以的值域为，所以， 当时，，，， 综上，；        ② 略 31．（25-26学年高二上·四川成都第七中学·期中）已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. （1）求动点的轨迹的方程； （2）求动点到直线的距离的最大值； （3）设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用角为参数来表达动点坐标，消参即可得椭圆方程； （2）再利用椭圆的参数方程来表示椭圆上的动点坐标，用点到直线的距离公式即可求最大值； （3）利用动直线方程去求解交点坐标的关系，然后借助，可求出动直线的参数关系式，从而可研究动直线过定点，最后再研究垂足的轨迹是圆，即可求最小值. (1) 小问详解： 设为，，设， 由题意，有 ，即 ，平方后相加，可得， 即轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，设，其中， 设动点到直线的距离为， ， 故动点到直线的距离的最大值为. (3) 小问详解： 由对称性可知直线的斜率不为0，故可设直线， 联立直线与椭圆， ， 设，， 则，① ，，② 又，所以， 令，得点横坐标，同理可得点横坐标， 故， 将，代入上式， 整理可得：， 再将② 式代入得， （i）若，则直线，恒过，不合题意； （ii）若，则，恒过，符合题意， 故直线恒过，且与椭圆始终有两个交点， 又，，垂足为， 所以点的轨迹是以为直径的半圆（不含点，，在直线下方部分）， 且圆心，半径为1，所以， 当且仅当点在线段上时，取到最小值. 32．（25-26学年高二上·四川宜宾第一中学校·期中）已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为1，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于A，B，点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为. （i）若直线BC，AC的斜率分别为，证明：为常数； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）；     （2） （i）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又① ， ② ， 式子① －② 得， 所以； （ii）3.      【分析】 （1）根据题意得到关于的方程组，解出即可. （2）（i）设出，，则，表达出，，由点差法得到证明； （ii）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ， 则椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点为，可设直线方程为， 联立方程组 ， 即， 故，，    所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值成立， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 33．（25-26学年高二上·四川成都石室中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切． （1）求C的方程； （2）若经过点且倾斜角为的直线n与椭圆C交于M，N两点（其中点M在x轴上方）如图①．将平面沿x轴折叠，使M点折至的位置，且轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图②．求折叠前的周长与折叠后的周长之差的绝对值； （3）直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且PQ平分，设直线OP的斜率为（O为坐标原点），判断是否为定值,并说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3） 为定值，且，理由如下： 因为直线过定点，则直线与椭圆必相交， 设， 联立方程 ，消去y得， 则， 由题意可知直线AP，BP的斜率互为相反数， 则， 即， 可得 ， 则， 即， 化简得， 又因为在椭圆上，则，即， 可得， 即， 又因为不在直线， 则，即， 所以为定值，且.      【分析】 （1）根据离心率得到，再由相切关系，利用点到直线距离得到方程，联立求出，求出椭圆方程； （2）求出直线方程为：，再联立椭圆方程可得韦达定理，根据弦长公式以及空间中两点距离公式即可求解； （3）由题意条件得到，联立与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，代入化简得到，又在椭圆上，故，代入化简得到，从而得到，，证明出结论. (1) 小问详解： 由椭圆的离心率为，可得，即， 由以C的短轴为直径的圆方程为， 由与直线相切得：， 联立方程 ，解得， 所以椭圆C的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知：，则折叠前可知，且直线与椭圆必相交， 又直线n的倾斜角为，可得直线方程为：， 设， 联立方程 ，消去x可得， 则，， 可得， ， 折叠前， 以过点O且垂直于坐标面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则折叠后， 可得， 又因为， 折叠前的周长与折叠后的周长之差的绝对值为 . (3) 小问详解： 略 34．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知椭圆：经过点和. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左焦点为F，点M，N是椭圆C上的两个动点，直线的斜率存在并且不为0. （i）若直线，关于x轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线过点，直线与直线，分别交于点P，Q，求. 【答案】（1）；     （2）（i）证明：设直线的方程为， 联立得， ，故， 设， 故， 直线，关于x轴对称，设关于x轴对称点为， 则，且在直线上， 直线的斜率存在并且不为0，故直线斜率存在且不为0， 其中，，即， 所以，其中， 所以，， 将代入可得 ，化简得，代入中， ，即且， 所以直线方程为， 直线过定点； （ii）1      【分析】 （1）代入和，得到方程组，求出 ，得到椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，联立，设，得到两根之和，两根之积，设关于x轴对称点为，则，且在直线上，根据，得到方程，求出，从而求出直线过定点； （ii）设直线为，联立，得到两根之和，两根之积，直线为，表达出直线，联立直线得，同理可得，结合两根之和，两根之积，得到，（），由于，所以，当时，其中一个点坐标为，与重合，不合要求，从而得到结论. (1) 小问详解： 将和代入可得 ， 解得 ，故椭圆C的方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）由题意得，直线过点，设直线为， 联立得， ， 故，解得， 设， 则， 直线为，直线为， 联立直线与直线得，同理可得， ， 其中， 故 将代入得 ，（）， 由于，所以， 当时，直线为， 联立得，即，解得或2， 当时，，当时，，即其中一个点坐标为， 与重合，不合要求， 综上，. 【点睛】 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线的焦距，求得，再求渐近线方程即可. 【详解】 因为双曲线的焦距为，所以，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为（       ） A. 4 B. 7 C.  D. 11 【答案】D 【分析】 根据双曲线的定义列式求解即可. 【详解】 由双曲线的定义可知，即， 解得或（舍去）. 故选：D 3．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆和双曲线之间关系及离心率的定义可构造方程求得，由此可得渐近线斜率和倾斜角，根据两直线夹角的范围可确定最终结果. 【详解】 椭圆的离心率，双曲线的离心率， ，，， 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，即渐近线的倾斜角分别为和， 又两条直线夹角的范围为：， 双曲线两条渐近线的夹角大小为. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）过双曲线左焦点的直线与交于两点，且，若，则的离心率为 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 双曲线右焦点为，取中点，连接；根据已知可知为线段的垂直平分线，得到；结合双曲线定义可以求解出，从而得到的长度，根据勾股定理构造方程，从而求得离心率. 【详解】 设双曲线右焦点为，取中点，连接，如下图所示：    由可知： 又为中点，可知        为线段的垂直平分线        设，由双曲线定义可知：， 则，解得： 在中， 在中，        本题正确选项： 【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够通过双曲线定义以及长度关系求得各线段的长度，从而能够在直角三角形中利用勾股定理构造出关于的齐次方程，使得问题得以求解.本题对于学生对双曲线定义的理解要求较高. 5．（25-26学年高二上·四川成都树德中学·期中）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】 由，得. 记圆的圆心为，半径为. 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即. 由题可知，，化简得：. 由，得. 化简，得，所以. 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的离心率； （2）若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据焦点到双曲线渐近线的距离得出的关系，结合的关系得出的关系即可求解； （2）由（1）得出双曲线标准方程，利用点差法求出直线斜率，从而得出直线方程，然后联立直线与双曲线的方程组，化简写出韦达定理，最后利用弦长公式计算即可. (1) 小问详解： 由双曲线的一条渐近线方程为， 故焦点到渐近线的距离， 所以即， 所以. (2) 小问详解： 因为，所以， 所以双曲线的方程为：， 如图所示：    设点，，因为是弦的中点， 则 ， 由于，，所以两式相减得， 所以， 即直线的斜率为，        所以直线的方程为， 即． 联立 消去并整理， 得， 所以， 且，， 所以. 7．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）双曲线经过，渐近线，则双曲线标准方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据共渐近线双曲线方程设，代入已知点求解. 【详解】 设双曲线方程为， 将代入，得，∴， ∴方程为. 故答案为： 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）抛物线的焦点到准线的距离为，则（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 将抛物线的方程变形，根据焦点与准线距离列方程求参数. 【详解】 由题设，抛物线标准形式为，则，可得. 故选：D 2．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）（多选）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，以为切点作切线相交于点，则（   ） A. 直线的斜率为 B.  C. 的坐标为 D.  【答案】ABD 【分析】 根据已知先找出的坐标，然后根据题意得出的坐标且利用两点求出直线斜率即可得出选项A，联立直线与抛物线方程求出点的坐标，利用抛物线定义即可求解得出选项B，利用函数导数求出在抛物线上以为切点作切线方程联立解出即可，利用平面向量数量积得出为钝角，再结合四边形的内角和为分析即可得出D选项. 【详解】 由题意如图所示：    对于A：，得在中垂线上， 所以，代入中且得出， 则，由图可知，A正确, 对于B：直线方程为， 代入方程中化简得：，解得，得， 所以，B正确； 对于C：由，又点在第一象限，所以点在上， 所以，此时切线的斜率为： 所以抛物线在点处的切线方程为：，即， 同理可求得在B点处的切线方程为： ， 联立 ，解得，C错误， 对于D：，所以为钝角， 由， 所以 ，所以为钝角， 在四边形中，由， ，所以，故D正确， 故选：ABD． 3．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． （1）求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； （2）求所在的直线方程． 【答案】（1）抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；     （2）或      【分析】 （1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. (1) 小问详解： 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2) 小问详解： 显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由 消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 4．（25-26学年高二上·四川泸州·期中）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】 当时，，故入射光线经过和，， 故入射光线的方程为，化简得， 圆心为，半径为， 所以， 而，故，，解得. 故答案为： 5．（25-26学年高二上·四川遂宁中学校·期中）若实数、满足，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【详解】 令，此时，， 且题设等式化为. 于是，满足方程. 如图，在平面内，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆在的部分，即点与弧并集. 故. 从而，. 6．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：； （3）如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 【答案】（1）；     （2） 设直线方程为，，， 联立直线与抛物线的方程 ， 消去并整理，得， 所以， 则， 即；      （3）.      【分析】 （1）根据及已知列方程求参数，即可得抛物线方程； （2）设直线方程为，，，联立抛物线并应用韦达定理和向量数量积的坐标运算，即可证； （3）设直线的方程为，的方程为，，，，， 联立抛物线，应用韦达定理和三角形面积公式即可得. (1) 小问详解： ∵， ∴，则； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程 ， 消去并整理，得， 所以， 设，，的方程为， 联立直线与抛物线的方程 ， 消去并整理，得， 所以，，则，同理得， ∴. 7．（25-26学年高二上·四川什邡中学·期中）如图，“爱心”图案是由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图像上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先分析图案，得出的最大值为图象上的点到直线的最大距离的2倍，再求出值，构造直线的平行线与相切，求出直线方程进而求出图象上的点到直线的最大距离，从而求出的最大值． 【详解】 “爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成， 的最大值为图象上的点到直线的最大距离的2倍， 函数经过点，，解得， 设直线与函数相切，则 ，联立得， ，解得， 直线与直线间的距离， 的最大值为． 故答案为：． 8．（25-26学年高二上·四川绵阳中学·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与在第一象限内相交于点，过点作于点，连接交于点，若，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则由已知条件结合抛物线的定义可得，设直线的倾斜角为，则，求出，再结合可求得结果. 【详解】 如图，过点作准线的垂线，垂足为，    则，轴． 因为，所以． 设直线的倾斜角为，则， 所以， 解得或（舍去）， 所以，所以， 所以，即． 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $