专题：圆锥曲线的方程训练-2027届高三数学一轮复习

专题：圆锥曲线的方程-2027届高三数学上学期复习系列 一、单选题 1．已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．若椭圆：，与抛物线有相同焦点，则该椭圆与在第一象限的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 5．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则三角形的面积（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 二、多选题 9．设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 10．当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（    ） A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 11．已知点，分别为双曲线：的左右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．直线，的倾斜角互余 C．以线段为直径的圆过的顶点 D．的取值范围是 三、填空题 12．已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 13．在平面直角坐标系中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值，则曲线的方程为________． 14．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 四、解答题 15．已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 16．已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点． (1)若，求抛物线的方程； (2)求的最大值． 17．在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 18．设与双曲线相交于不同两点. (1)若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； (2)若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； (3)在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 19．已知抛物线：的焦点为，是上的动点，过点作的切线，直线与椭圆：交于，两个不同的点，记的中点为．设直线（为原点）与直线交于． (1)若椭圆经过抛物线的焦点，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)在（1）的条件下，证明：直线与直线垂直； (3)若与交于，且，证明： 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：圆锥曲线的方程-2027届高三数学上学期复习系列》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B C A C ABD BCD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】由题意得双曲线的实轴长为4，焦距为8， 可得，，，则渐近线方程为，故B正确. 2．B 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义列方程求结论. 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 3．D 【分析】求出抛物线的焦点，求出椭圆焦点，利用两者相等求出的值，然后利用联立方程组解出第一象限坐标即可得到答案. 【详解】由题可得抛物线的焦点坐标是, 所以椭圆的右焦点坐标是,所以即, 所以椭圆方程是， 联立椭圆方程与抛物线方程, 把抛物线方程代入椭圆方程，去分母整理得, 解得或，因为，故， 因为求第一象限的交点，代入抛物线方程解得, 所以交点坐标为. 4．C 【分析】借助渐近线定义与离心率定义计算即可得. 【详解】由题意知的倾斜角为，所以， 则. 5．B 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 6．C 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 7．A 【详解】因为双曲线的离心率为，可得， 则双曲线的渐近线为， 又因为抛物线的准线为， 可知直线与渐近线的交点为，， 所以三角形的面积. 8．C 【分析】利用双曲线的定义与切线长定理确定出切点为定点，进而将问题转化为求已知圆上的动点到定焦点的最短距离. 【详解】由题意得，则，所以， 设的内切圆与分别相切于两点，则有， 由双曲线定义可得，即， 进而，即， 因为，所以， 联立得，因为，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆上移动，且， 所以. 9．ABD 【分析】对于A，联立得到弦长的最小值为，再列方程即可求解；对于B，由得，进而得到，再利用向量证明即可；对于C，由可得，再求得，进而得到即可判断；对于D，由，得，再计算得到的表达式，并求出最值即可判断． 【详解】对于A，，设直线的方程为，， 联立得：，消去得， ， ， ，解得，故A正确； 对于B，由，得， 直线与垂直，故的斜率为，方程为， 代入准线得，即， ， 因此，即，故B正确； 对于C，当时，，结合， 解得， 点坐标为，由两点间距离公式： ，故C错误； 由，得， 由抛物线定义，， ， ， 当时，乘积取得最小值8，因此，故D正确． 10．BCD 【分析】根据题意，结合三角函数值的符号，曲线的方程，利用双曲线的标准方程的形式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当为第一象限角时，取，此时， 即曲线方程为，此时曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆，所以A不正确； 对于B，当为第二象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以B正确； 对于C，当的终边在轴的非负半轴上时，可得 此时曲线方程为，即，可得方程表示两条平行线，所以C正确； 对于D，当为第四象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以D正确. 11．ACD 【分析】通过等轴双曲线的性质，结合直线方程、斜率、圆的几何特征、距离范围求解等知识点，通过设双曲线上动点的坐标，结合双曲线方程逐一验证各选项即可. 【详解】 根据题意，如图所示： 对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，，离心率，故A正确； 对于B，设，满足，，，则， 若均为负，对应倾斜角均为钝角，不满足互余，故B错误； 对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率， ，故，即在以为直径的圆上，故C正确； 对于D，直线的方程为，令得，则， 由得，故，即，取值范围为，D正确. 12． 【分析】设，由题设及椭圆第二定义可得答案. 【详解】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 13． 【分析】设点的坐标为，根据题意列出方程，化简即可得到曲线的方程． 【详解】设点的坐标为，由于是圆外的一点， 故到圆上点的距离的最小值等于点到圆圆心的距离减去圆的半径， 因此， 易知圆上的点位于直线的右侧，于是， 所以， 化简即得曲线的方程为． 14． 【分析】通过四边形的面积计算，并得到点的坐标，代入双曲线的方程求解. 【详解】不妨设点在第一象限，如图， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故， 因为，所以，由对称性易得四边形是平行四边形， 其面积为， 得，则，代入双曲线方程得，又， 解得，，则，即的虚半轴长为. 15．(1). (2)直线的方程为，弦长. 【分析】（1）由题意根据椭圆离心率求得，进而计算可求椭圆的方程； （2）由题意结合弦长公式、点到直线的距离公式可得三角形面积，进而建立等式计算求解即可. 【详解】（1）已知椭圆焦点在轴上，故，即. 由离心率，得，， 因此椭圆方程为； （2）设过的直线方程为，设，. 联立直线与椭圆方程得：， 消去整理得， 由判别式 ，得. 由韦达定理得，. 原点到直线的距离， 弦长. 三角形面积， 令，，则 ， 代入化简可得，整理得 ， 解得，即，得，即，满足， 当，即时，直线的方程为，. 当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去. 16．(1) (2) 【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立方程组，利用弦长公式求出的值，可得抛物线方程； （2）结合韦达定理表示出，通过换元法和基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题意设直线方程为：，设，， 联立消去可得，， 由韦达定理，，则， 由题意得，化简得． 解得或（舍），故抛物线方程为. （2）， 令，故， 由，当且仅当，即时等号成立， 故当，取得最大值． 17．(1)2 (2) (3)，定值为2． 【分析】（1）由直线与抛物线联立求解出，两点，再根据三角形面积公式即可求出. （2）先设出直线的方程，再联立抛物线方程，分别表示出即可. （3）由（2）可得，，再代入求解即可. 【详解】（1）由且轴，得：． 将代入，得，得， 从而． 点到直线的距离为1，故． （2）设直线：， 联立抛物线方程得， ，设，， ，又∵，∴， ，， ∴. （3）由（2）得， ∴， ∴， 当时，为定值． 18．(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）由双曲线离心率与双曲线开口程度关系可得答案； （2）由题设结合到角公式可得答案； （3）设 ，将直线与双曲线方程联立，然后由题设及韦达定理可得，最后由题设及不等式性质可得答案. 【详解】（1）对于双曲线，  ， 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 ， 又等轴双曲线离心率为 ，   ∴ ； （2）， 从而双曲线渐近线为，斜率分别为，  ， 因双曲线的两条渐近线的夹角为 ， ， 解得：或 ， ∴双曲线的标准方程为：或 . （3）设 ， 联立消去得： ， 由题设可得 ，由韦达定理可得： ， 从而：，得.由题可得，代入坐标， 可得： ，因， 则，令，则， 注意到，则. 19．(1)； (2)由（1）可知，，则． 设，．由于在抛物线上，所以． 由，求导数得，，所以在点切线的斜率为：， 其方程为． 联立方程，消得，①， 此时即, 由于直线与椭圆：交于，两个不同的点， 所以为方程①的两根，则， ， 所以点坐标为． 因此，直线的方程为， 再联立方程，得的横坐标，所以直线与垂直． (3)当时，直线，即，介于轴与抛物线准线之间． 延长交抛物线的准线于点， 再联立方程，消得，①， 此时即. 显然为方程①的两根，则， ， 所以点坐标为． 因此，直线的方程为， 再联立方程，得的横坐标，所以与轴垂直． 则点的坐标为；点的坐标为， 则直线的斜率为，又直线的斜率为， 因为，所以． 由抛物线的定义，为等腰三角形，且得直线平分． 而，．所以， 由角平分线性质可知， 因为,故， 所以． 【分析】（1）利用抛物线与椭圆的基本性质即可求解； （2）利用导数法来写出抛物线在某点处的切线，然后借助方程组思想和韦达定理来求出中点的坐标，再通过直线与直线相交求解出的横坐标，即可得出证明； （3）利用（2）的解法同理可求出的横坐标，再利用抛物线的定义可求出点的坐标为，然后通过斜率可判断，再借助几何意义可得，从而问题即可得到证明. 【详解】（1）由题意可知抛物线E的焦点为，故，则， 因为椭圆C的离心率为，， 所以联立方程组可解得：，故椭圆的方程为． （2）略 （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $