专题：圆锥曲线的方程综合训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以圆锥曲线定义与方程为核心，通过分类讨论、定义法、韦达定理等方法系统整合椭圆、双曲线、抛物线性质，突出数学抽象与逻辑推理素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆|4（1-3,9）|焦点位置分类、定义求最值、切线方程推导|从定义到方程，结合几何性质（离心率、焦点三角形）| |双曲线|3（4-5,11）|渐近线与圆相切、离心率计算、焦点三角形余弦定理|方程特征→渐近线→离心率关系链| |抛物线|3（7,10,19）|焦点弦性质、韦达定理应用、定义法求轨迹|焦点准线→直线与抛物线联立→弦长与面积计算| |综合应用|2（6,8）|跨曲线交点面积、实际问题建模|椭圆与双曲线综合、抛物线在工程中的应用|

专题：圆锥曲线的方程-2026-2027学年高三数学上学期专项提优 一、单选题 1．若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 2．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 3．已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，点到焦点的距离为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 5．如果曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 7．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 二、多选题 9．已知椭圆，点在的第一象限部分上．在点处的切线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．切线的方程为 B． C． D．当时，直线的斜率为 10．已知抛物线与圆，设其交点为，，抛物线的焦点为，准线为，下列结论正确的是（    ） A． B．直线经过焦点 C．原点到直线的距离为1 D．抛物线与圆恰有4个公共点 11．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 三、填空题 12．设直线l：关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A，B，点P为椭圆上动点，则使的面积为的点P的个数为______ 13．已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的离心率为______. 14．如图所示，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，，则曲线和的方程分别为________， ________． 四、解答题 15．已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 16．已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . (1)求直线 的方程； (2)若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 17．已知椭圆：，离心率为，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 18．已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 19．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：圆锥曲线的方程-2026-2027学年高三数学上学期专项提优》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C C A B ACD BC 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 2．B 【详解】的周长为16， 所以有， 化简得. 由椭圆方程可知，，代入， 解得，， 设椭圆的短半轴长为，则， 所以，当点为椭圆上下顶点时，面积最大，最大值为. 3．B 【分析】令，根据题意可得出，利用平面内两点间的距离结合已知条件可求出的值. 【详解】令，则椭圆的焦点坐标为， 而椭圆在轴上的顶点坐标为，由题意可知，故， 易知椭圆的焦点坐标为，即， 因为点到焦点的距离为，即，解得. 4．A 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 5．C 【分析】利用双曲线的第二定义来转化原式为，进而可得，再由曲线是双曲线可得所求值的范围. 【详解】由曲线，变形为​， 由方程两边非负且表示双曲线（有解），所以. 将看成点到定点的距离， 再将看成点到直线的距离，且定点不在直线上， 由圆锥曲线的第二定义可知，离心率，即. 因为曲线为双曲线，所以，即，解得. 因此实数的取值范围为. 6．C 【分析】设，．利用，分别求出两四边形在第一象限内顶点的坐标，再由两四边形面积相等得到，最后利用椭圆、双曲线离心率公式求． 【详解】设 则． 又因为，所以 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为． 由同时在两曲线上，得 即 解得 因此四边形的面积为 双曲线在第一象限的渐近线为 设该渐近线与椭圆在第一象限的交点为，则． 代入椭圆方程，得所以 因此四边形的面积为 由题意， 由于均为正数，所以 代入上式，得 得即 又因为所以 7．A 【分析】解法一：设直线，与抛物线方程联立利用韦达定理运算求解即可；解法二：利用结论，，代入运算求解即可. 【详解】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 8．B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    9．ACD 【分析】先求出椭圆的切线方程判断A；结合直线与坐标轴交点、距离公式，利用基本不等式求解范围判断BC，利用最值取等号及两点斜率公式求解判断D. 【详解】先证明，已知椭圆及上面一点，则曲线在点处的切线方程为. 当时，切线的斜率存在，设切线方程为. 代入椭圆的方程得. 由， 得. 又点在椭圆上，所以，从而， 所以，即，所以， 所以所求切线方程，即. 另外当时，切线方程为也满足上式. 综上，以椭圆上一点为切点的切线方程为. 对于选项A：椭圆在点处的切线方程为，正确； 对于选项B：令切线方程中得，令得， 故，由基本不等式，， 即，当且仅当时等号成立，故，最小值为4，错误； 对于选项C：，即，当且仅当时等号成立，正确； 对于选项D：当时，由选项C可知，切线的斜率为，D正确. 10．BC 【详解】对于A，已知抛物线与圆相交于点，，联立方程可得， 代入可得，即，解得或（舍去）． 当时，代入，可得，则，或，． 因此，，故A错误； 对于B，抛物线的焦点为，由点，坐标，可知直线为． 因此，直线经过焦点，故B正确； 对于C，原点到直线的距离为1，故C正确； 对于D，由对于A的分析，可知两曲线仅有两个公共点，故D错误． 11．ACD 【分析】根据条件，利用双曲线的定义求出，再由余弦定理即可求出，进而可得，即可判断出A、B和D的正误，再由平方关系和三角形面积公式，求出的面积，即可判断C的正误. 【详解】易知，则，又，所以，又，所以， 则，所以A正确， 对于B，因为，则，所以，则的渐近线方程为，所以B错误， 对于C，因为，则， 所以的面积为，故C正确， 对于D，因为，则，即，所以双曲线是等轴双曲线，D正确. 12．2 【分析】求出直线为，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点，利用的面积为，可得或与分别联立，判别解的个数，即可选出答案. 【详解】直线关于原点对称的直线为 联立，解得或 则，，所以 又的面积为，所以边上的高为 设，则，点到直线的距离 化简得：或 联立，得，其中，故方程无解； 或，得，其中，方程有两个不同解. 即a有两个不相等的根，对应的b也有两个不等根，所以满足题意的点P的个数为2个. 13． 【分析】计算出，利用角平分线定理可求得，在中利用勾股定理可得出的值，再利用离心率公式可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】 渐近线的方程为，双曲线的右焦点为， 则，故， 易知轴为的角平分线，则点到直线、的距离相等， 故，故，， 由勾股定理，即，可得， 所以离心率. 14． 【分析】根据椭圆定义先求出椭圆方程，表示出焦点坐标. 法一：设，利用两点距离公式列方程组表示、，再根据为钝角求出，即可得到曲线和的方程. 法二：利用几何法，过作垂直于轴的直线，过点作于点，作轴于点，利用抛物线定义和勾股定理求出即可求出,进一步得到曲线和的方程. 【详解】设椭圆方程为，、， 则，即． 方法一：设，则，两式相减得． 由抛物线的定义可知，联立两式解得或， ，， 因为为钝角，则，所以，故，， 由，得．所以曲线的方程为，曲线的方程为； 方法二：如图所示，过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线， 过点作于点，作轴于点． 由抛物线的定义得， 所以， 所以，则，所以，， 设点，由抛物线的定义可得，解得， 所以曲线的方程为，曲线的方程为． 15．(1) (2)或 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，根据条件可得，再利用椭圆的定义即可求解； （2）设直线，，联立直线与椭圆方程，根据条件，利用根与系数间的关系求出，即可求解. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. （2）设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 16．(1) (2) 【分析】（1）先根据两焦点距离求出值得到焦点坐标，进而求出直线的方程； （2）再将直线分别与两个抛物线联立，得到四点的横坐标，由即可求解； 【详解】（1）对于抛物线，其焦点坐标为， 对于抛物线，其焦点坐标为； 由两点间距离公式：， 已知，故，结合解得， 因此，直线的斜率， 由斜截式得直线方程为，即. （2）由（2）知,则，. 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得， 因为点都在直线上，且斜率为， 所以 . 17．(1) (2)点Q恒在椭圆W上，理由： 由（1）可知，、，根据直线两点公式可得： 的方程为， 因为点在上，设， 直线过和， 当时，直线斜率不存在，此时E与B重合，也Q与B重合，显然Q在椭圆上； 当时，直线方程为：，令，解得，即， 直线过和，所以直线方程为： ，直线过和，直线方程为： ，所以， 化简得：， 展开整理得：，进一步化简得： ，即， 则，代入方程得：， 即，代入可得： ， 完全符合椭圆W的方程，因此点Q恒在椭圆W上. 【分析】（1）利用椭圆离心率公式与的面积条件，联立求解的值，直接得出椭圆的方程. （2）先写出直线的方程设出点坐标，依次推导各条直线方程得到点的坐标，代入椭圆方程验证满足椭圆方程即可. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆性质可知：左右顶点，， 上顶点，的底为，高为， 因此面积，离心率， 结合椭圆关系可得， 即，，将代入， 解得，，因此椭圆的方程为. （2）略 18．(1) (2)易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【分析】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【详解】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）略． 19．(1) (2) (3)存在，理由如下： 设，因为点在直线上， 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以，    则， ， ，     要验证，即验证：， 化简得：．     联立，消去可得，               因为，且，                   所以， 所以和同号，即． 因为 ，                          则，即． 【分析】（1）由题意得，可得，即可求解； （2）当时，设，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，， 结合弦长公式求得，再求出点到直线的距离，进而求解面积； （3）先表示出，再结合题设求解即可. 【详解】（1）由题意，，则， 所以的方程为． （2）设， 当时，直线的方程为，即． 联立，消去可得，                根据韦达定理，，，                   则，     点到直线的距离，   所以的面积． （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $