8.5　圆锥曲线的综合问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线综合应用，以“定义-方程-性质-综合”为逻辑主线，通过分层训练提炼轨迹方程、切线问题等核心方法，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础强化练|7题|联立方程与韦达定理、轨迹参数法、对称性质应用|从单一曲线性质（椭圆切线、双曲线焦点）到多曲线综合（圆与椭圆、椭圆与抛物线），构建概念应用链条| |综合提升练|7题|光学性质转化、动态几何参数化、向量数量积定值问题|从静态计算到动态探究（星形线、四点共圆），深化定义与性质的迁移应用，培养数学建模能力|

8.5　圆锥曲线的综合问题 基础强化练 1.(2026河北衡水二模)已知直线l与圆x2+y2=12交于两点A,B,直线l与椭圆+=1切于点P,若以A,B两点为切点的圆的两条切线交于点Q,O为坐标原点,则·= (　 　) A.4　　B.8　　C.12　　D.16 2.(2026广东揭阳质量测试)若点M(0,1)关于动直线l:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R)的对称点为N,则点N的轨迹为 (　 　) A.圆的一部分　　B.椭圆的一部分　　 C.双曲线的一部分　　D.抛物线的一部分 3.(2026山东青岛一模)如图,点E为矩形ABCD的边AB的中点,以动直线l为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折,每次翻折后点E都落在边CD上,记该落点为F,过点F作FP垂直于CD交直线l于点P,点P的轨迹为曲线W的一部分,则W为 (　 　) A.圆　　B.椭圆　　C.双曲线　　D.抛物线 4.(2026山西大同一模)已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,Q是双曲线右支上的动点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹方程为 (　 　) A.x2+y2=9(-1<x≤3)　　B.x2+y2=9(-1≤x≤3) C.x2+y2=3(-1<x≤3)　　D.x2+y2=3(-1≤x≤3) 5.(2026河南平顶山质检)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m(k>0)与双曲线x2-=1相交且只有一个交点,与椭圆+=1交于M,N两点,则△OMN面积的最大值为 (　 　) A.10　　B.12　　C.14　　D.16 6.(2026安徽A10联盟联考)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F2是抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,记C1与C2的一个交点为P,若直线PF1与C2只有一个公共点,则C1的离心率为　 　.  7.(2026西南名校联盟联考)已知椭圆C:+=1(m>1)的左、右顶点分别为A,B,P是C上异于A,B的一动点.k1,k2分别为直线PA,PB的斜率,且k1k2=-. (1)求m的值; (2)若直线AP与直线x=3交于点Q,且·=-4,求△PQB的面积. 综合提升练 1.(2026浙江温州一模)已知点A(2,0),B(0,2),P(m,n)在曲线x=上,记∠APB=α,则存在函数f(x),对曲线上任意一点P都有 (　 　) A.m=f(α)　　B.α=f(m)　　 C.n=f(α)　　D.α=f(n) 2.(2026重庆育才学校一诊)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,过点P且斜率为-1的直线l与C仅有一个交点,则cos∠F1PF2= (　 　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(多选)(2026安徽合肥联考)某款公交车的车门打开和关闭时,车门在地板上扫过的痕迹边缘(如图1)是一种被称为“星形线”的曲线.图2中的曲线E就是一条星形线,其方程为+=1,则下列说法正确的是 (　 　) 　　 A.在E上任取一点P,则|OP|的最小值为 B.在E上任取一点A,点B与点A关于直线y=x对称,点C与点B关于y轴对称,则△AOC是等腰直角三角形 C.若函数f(x)=sin x-atan x0<x<,0<a<1的最大值为b,则点(a,b)在该星形线上 D.若E上三点Pi(cos3θi,sin3θi)(i=1,2,3)满足cos θ1+cos θ2+cos θ3=sin θ1+sin θ2+sin θ3=0,则cos 3θ1+cos 3θ2+cos 3θ3=3cos(θ1+θ2+θ3) 4.(2026北京八中月考)如果直线l:kx-y-2k=0和曲线Γ:x2-4y|y|=1恰有一个交点,那么k的一个值为 .  5.(2026山东省实验中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,焦距为6. (1)求C的方程. (2)设点A为C的左顶点,直线l:x=t(0<t<a)与x轴交于点T,过T且斜率不为0的直线与C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与l交于M,N两点. (i)证明:·为定值; (ii)是否存在t,使得O,A,M,N四点在同一个圆上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 6.(2026湖北武汉四调)在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(2,0)是两定点,动点T与A,B连线的斜率之积为-. (1)求动点T的轨迹方程. (2)过点F(1,0)的直线l与T的轨迹相交于点P,Q,直线AP,AQ与直线x=4分别交于点M,N. (i)证明:MF⊥NF; (ii)记△PFM,△QFN,△MFN的面积分别为S1,S2,S3,且=20S1S2,求直线l的方程. 7.(2026广东佛山二模)椭圆的光学性质是:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A(-2,0),点P1在E上,且在x轴的上方,从E的左焦点F1(-1,0)发出的光线F1P1,经过E反射后,交E于点Q1.按照如下方式依次构造点Pn和Qn(n=2,3,…):光线PnQn经过E反射后,交E于点Pn+1;光线Pn+1Qn经过E反射后,交E于点Qn+1. (1)求E的方程; (2)设直线APn的斜率为kn,求证:数列{kn}是等比数列,并求出其公比; (3)求证:直线P1Q2恒过定点,并求出该定点的坐标. 参考答案 基础强化练 1.(2026河北衡水二模)已知直线l与圆x2+y2=12交于两点A,B,直线l与椭圆+=1切于点P,若以A,B两点为切点的圆的两条切线交于点Q,O为坐标原点,则·= (　C　) A.4　　B.8　　C.12　　D.16 2.(2026广东揭阳质量测试)若点M(0,1)关于动直线l:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R)的对称点为N,则点N的轨迹为 (　A　) A.圆的一部分　　B.椭圆的一部分　　 C.双曲线的一部分　　D.抛物线的一部分 3.(2026山东青岛一模)如图,点E为矩形ABCD的边AB的中点,以动直线l为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折,每次翻折后点E都落在边CD上,记该落点为F,过点F作FP垂直于CD交直线l于点P,点P的轨迹为曲线W的一部分,则W为 (　D　) A.圆　　B.椭圆　　C.双曲线　　D.抛物线 4.(2026山西大同一模)已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,Q是双曲线右支上的动点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹方程为 (　A　) A.x2+y2=9(-1<x≤3)　　B.x2+y2=9(-1≤x≤3) C.x2+y2=3(-1<x≤3)　　D.x2+y2=3(-1≤x≤3) 5.(2026河南平顶山质检)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m(k>0)与双曲线x2-=1相交且只有一个交点,与椭圆+=1交于M,N两点,则△OMN面积的最大值为 (　A　) A.10　　B.12　　C.14　　D.16 6.(2026安徽A10联盟联考)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F2是抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,记C1与C2的一个交点为P,若直线PF1与C2只有一个公共点,则C1的离心率为 -1　.  7.(2026西南名校联盟联考)已知椭圆C:+=1(m>1)的左、右顶点分别为A,B,P是C上异于A,B的一动点.k1,k2分别为直线PA,PB的斜率,且k1k2=-. (1)求m的值; (2)若直线AP与直线x=3交于点Q,且·=-4,求△PQB的面积. 解析　(1)由题意知A(-,0),B(,0),设P(x1,y1), 则k1k2===-=-, 解得m=2. (2)设直线AP:x=ty-(t≠0), 则Q, 联立得(t2+3)y2-2ty=0, 解得y1=,则x1=. 因为·=-4,所以+=-4, 解得t=±, 则S△PQB=S△QAB-S△PAB= =12=6. 综合提升练 1.(2026浙江温州一模)已知点A(2,0),B(0,2),P(m,n)在曲线x=上,记∠APB=α,则存在函数f(x),对曲线上任意一点P都有 (　D　) A.m=f(α)　　B.α=f(m)　　 C.n=f(α)　　D.α=f(n) 2.(2026重庆育才学校一诊)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,过点P且斜率为-1的直线l与C仅有一个交点,则cos∠F1PF2= (　C　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(多选)(2026安徽合肥联考)某款公交车的车门打开和关闭时,车门在地板上扫过的痕迹边缘(如图1)是一种被称为“星形线”的曲线.图2中的曲线E就是一条星形线,其方程为+=1,则下列说法正确的是 (　BCD　) 　　 A.在E上任取一点P,则|OP|的最小值为 B.在E上任取一点A,点B与点A关于直线y=x对称,点C与点B关于y轴对称,则△AOC是等腰直角三角形 C.若函数f(x)=sin x-atan x0<x<,0<a<1的最大值为b,则点(a,b)在该星形线上 D.若E上三点Pi(cos3θi,sin3θi)(i=1,2,3)满足cos θ1+cos θ2+cos θ3=sin θ1+sin θ2+sin θ3=0,则cos 3θ1+cos 3θ2+cos 3θ3=3cos(θ1+θ2+θ3) 4.(2026北京八中月考)如果直线l:kx-y-2k=0和曲线Γ:x2-4y|y|=1恰有一个交点,那么k的一个值为　1答案不唯一,满足∪∪即可　.  5.(2026山东省实验中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,焦距为6. (1)求C的方程. (2)设点A为C的左顶点,直线l:x=t(0<t<a)与x轴交于点T,过T且斜率不为0的直线与C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与l交于M,N两点. (i)证明:·为定值; (ii)是否存在t,使得O,A,M,N四点在同一个圆上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 解析　(1)由题意得解得故C的方程为-=1. (2)(i)证明:由题意得A(-3,0),T(t,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的斜率显然存在, 设直线PQ的方程为y=k(x-t),k≠0, 联立消去y得(1-k2)x2+2k2tx-k2t2-9=0, 则x1+x2=,x1x2=,Δ>0. 则y1y2=k2(x1-t)(x2-t)=k2[x1x2-t(x1+x2)+t2]=, 设M(t,yM),N(t,yN), 由A,P,M三点共线得=, 所以yM=, 则M, 同理可得N, 所以·=t2+yMyN=t2+=t2+=t2+=t2+=t2-t2+9=9,为定值. (ii)存在,t=, 如图,由O,A,M,N四点在同一个圆上可知,∠OAM+∠ONM=π, 因为∠ONM=+∠NOT, 所以∠OAM+∠NOT=, 故tan∠OAM=,所以kAM·kON=1,即·=1,则yMyN=t2+3t, 由(i)知,·=t2+yMyN=9, 故yMyN=9-t2,所以9-t2=t2+3t, 解得t=或t=-3(舍去), 所以存在t=,使得O,A,M,N四点在同一个圆上. 6.(2026湖北武汉四调)在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(2,0)是两定点,动点T与A,B连线的斜率之积为-. (1)求动点T的轨迹方程. (2)过点F(1,0)的直线l与T的轨迹相交于点P,Q,直线AP,AQ与直线x=4分别交于点M,N. (i)证明:MF⊥NF; (ii)记△PFM,△QFN,△MFN的面积分别为S1,S2,S3,且=20S1S2,求直线l的方程. 解析　(1)设T(x,y),由kTAkTB=-知·=-,化简得+=1. 所以动点T的轨迹方程为+=1(x≠±2). (2)(i)证明:设直线l的方程为x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立得(3t2+4)y2+6ty-9=0,则y1+y2=,y1y2=. 直线AP,AQ的方程分别为y=(x+2),y=(x+2), 令x=4,得M,N. 则=,=, 则·=9+=9+=9+=9+=0, 所以FM⊥FN. (ii)先证明:在任意三角形OST中,若=(m,n),=(p,q), 则三角形OST的面积S=×|OS||OT|·sin∠SOT=×··=··=. 由(i)知==,=(x1-1,y1)=(ty1,y1), 则S1==,同理,S2=. 则S1S2= = =·· =. 又S3=×3|MN|= == = ==9,(注意|y1-y2|=) =20S1S2,所以81(t2+1)=20×,解得t=±. 所以直线l的方程为x+y-=0或x-y-=0. 7.(2026广东佛山二模)椭圆的光学性质是:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A(-2,0),点P1在E上,且在x轴的上方,从E的左焦点F1(-1,0)发出的光线F1P1,经过E反射后,交E于点Q1.按照如下方式依次构造点Pn和Qn(n=2,3,…):光线PnQn经过E反射后,交E于点Pn+1;光线Pn+1Qn经过E反射后,交E于点Qn+1. (1)求E的方程; (2)设直线APn的斜率为kn,求证:数列{kn}是等比数列,并求出其公比; (3)求证:直线P1Q2恒过定点,并求出该定点的坐标. 解析　(1)由左顶点A(-2,0)得a=2,由左焦点F1(-1,0)得c=1. 由b2=a2-c2,得b2=3. 故椭圆E的方程为+=1. (2)由椭圆的光学性质知直线PnQn过定点F2(1,0),直线QnPn+1过定点F1(-1,0). 对于E上异于左、右顶点的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),设直线PQ的方程为x=my+t,联立得 消去x,得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0, 由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=, 直线AP,AQ的斜率之积为kAP·kAQ=·= = = =, 直线PnQn过点F2(1,0),则t=1,得·=-,① 直线QnPn+1过点F1(-1,0),则t=-1,得·=-,② ②÷①得=9,即=9, 由P1在x轴上方,得k1>0,kn≠0, 故数列{kn}是公比为9的等比数列. (3)由(2)知,kn+1=9kn,得=9, 又·=-,则·=-, 设直线P1Q2交x轴于点R(x0,0),则由(2)知,·=,得=-,解得x0=, 故直线P1Q2恒过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $