2.2 反比例函数的图象与性质 易错专题练习 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版2024 · 反比例函数的图象与性质 · 第2章 反比例函数 2.2反比例函数的图象与性质 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第2章 反比例函数 2.2 反比例函数的图象与性质 本专题按易错原因重新聚合题目，而非按知识点顺序罗列：每个易错点配一道精讲例题，附本题核心易错点与纠错指引，并搭配即时巩固变式；全部易错点学完后，文末统一编排综合过关测试，用于整章掌握情况的集中检验。选题覆盖图象判断、点的坐标特征与几何综合三类常考陷阱。 目录 易错点1：双图象共存漏用k的约束 易错点2：跨象限比大小误用增减性 易错点3：由大小反推范围漏情况 易错点4：判断点是否在图象上出错 易错点5：取值范围互求漏看分支 易错点6：k的几何意义与面积结合错 易错点7：几何图形中点坐标定位错 易错点8：新定义条件理解不到位 易错点9：图象平移与性质表述混淆 易错点1：双图象共存漏用k的约束 学习目标 · 能由k的符号判断图象所在象限 · 能同时判断两个函数图象的位置 · 会用同一字母系数统一两图 纠错指引 见到两个图象共存，先把同一个字母系数（如 k）的符号定下来，再分别落到两个函数上：y＝k/x 中 k＞0 在一、三象限，k＜0 在二、四象限；一次函数再看斜率与截距的符号，两边都对上才选。 精讲例题 例题1．（2025秋•泗水县期末）·【基础】函数y＝kx与y在同一平面直角坐标系中的图象可能是图（　　） A． B． C． D． 【分析】因为k的符号不确定，所以应结合正比例函数与反比例函数的图象性质及其系数的符号分两种情况讨论． 【解答】解：当k＞0时，﹣k＜0，函数y＝kx的图象在一、三象限，y的图象在二、四象限； k＜0时，﹣k＞0，函数y＝kx的图象在二、四象限，y的图象在一、三象限． 故选：C． 教学提示：这是最简模型：y＝kx 与 y＝k/x 共用同一个 k。让学生分别画出 k＞0 与 k＜0 两种情形，对比后再作答。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 只判反比例图象，不管另一个图象 · 忘了两个解析式共用同一个k 即时巩固 即时巩固1．（2026•海南一模）·【基础】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y（ab≠0）位于一、三象限， 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于一、三象限， 故选：A． 教学提示：先由双曲线位置定 a 的符号，再看 y＝ax＋b 的斜率、截距是否与图一致；让两幅图各自「说话」，互相冲突就排除。 即时巩固2．（2024秋•文水县期末）·【基础】下列图象中，是反比例函数的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由反比例函数为y，k＝2＞0，从而此时函数的图象关于原点对称，图象分布在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵反比例函数为y，k＝2＞0， ∴此时函数的图象关于原点对称，图象分布在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小． ∴排除A、B、C，而D正确． 故选：D． 教学提示：基础辨析：反比例函数图象是双曲线，永远不与坐标轴相交。让学生先排除有交点的选项，再判断象限。 即时巩固3．（2025•德州）·【提升】在平面直角坐标系中，函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，当x＞0时，则|x|＝x，故y0，可得此时图象分布在第四象限；当x＜0时，则|x|＝﹣x，从而y0，则此时图象分布在第三象限，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，当x＞0时， ∴|x|＝x． ∴y0，则此时图象分布在第四象限． 当x＜0时， ∴|x|＝﹣x． ∴y0，则此时图象分布在第三象限． 综上，故选：C． 教学提示：先引导学生注意定义域限制：图象可能只有一支。让学生排除画成两支的选项，再看这一支落在哪个象限。 易错点2：跨象限比大小误用增减性 学习目标 · 能判断两点是否在同一支上 · 会比较跨分支的纵坐标大小 · 知道增减性只在各象限内成立 纠错指引 先判符号：横坐标同号才在同一支，可直接用增减性；一正一负时，正横坐标的点在第一象限纵坐标为正、负横坐标的点在第三象限纵坐标为负，先定性再排序，不能一路递减比到底。 精讲例题 例题2．（2026•大渡口区模拟）·【基础】若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：由题意，∵k＝6＞0， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵x1＜0＜x2＜x3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C． 教学提示：先判 x1＜0 与 x2、x3＞0 分属两支，y1 为负、y2 与 y3 为正；再在同一支内用增减性比 y2 与 y3，两步都不能省。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 不分象限直接按递减排序 · 忽略x1＜0时y1与另两项异号 即时巩固 即时巩固4．（2026•东丽区一模）·【基础】若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：由题意，∵k＝6＞0， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵﹣2＜0＜1＜3， ∴y1＜0＜y3＜y2，即y1＜y3＜y2． 故选：B． 教学提示：让学生先把三个点标到图上，看清两点在正半支、一点在负半支；强调「增减性只在每个象限内成立」这句话。 即时巩固5．（2026•和平区一模）·【基础】若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可． 【解答】解：由题意，∵反比例函数为，且k＝﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵B（1，y2），C（3，y3）在第四象限，且1＜3， ∴y2＜y3＜0， ∵﹣2＜0， ∴0＜y1， ∴y2＜y3＜y1， 故选：D． 教学提示：让学生先算出三个纵坐标的具体数值再排序，不要只记结论；追问若 k 换成负数，大小顺序会怎样变化。 即时巩固6．（2025秋•紫金县期末）·【基础】已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 【分析】根据反比例函数k＜0，确定出图象所在的象限；再根据x的值，来确定函数值的大小，即可得到答案． 【解答】解：∵反比例函数y中，k＝﹣6＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． 又∵﹣3＜﹣1＜0， ∴C（﹣3，y3），点A（﹣1，y1）位于第二象限， ∴0＜y3＜y1， 又∵0＜2， ∴点B（2，y2）位于第四象限， ∴y2＜0， ∴y1＞y3＞y2， 故选：B． 教学提示：三个点两负一正，先定符号再比大小；让学生口述「负半支上的纵坐标是正还是负」，确认无误后再排序。 即时巩固7．（2026•邗江区校级一模）·【提升】若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据反比例函数解析式得出反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，结合﹣2＜0＜1＜2即可得出答案． 【解答】解：∵反比例函数， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵﹣2＜0＜1＜2， ∴y2＜y3＜y1， 故选：D． 教学提示：与同型题选项顺序不同，提醒别背答案；让学生重新走一遍「先分象限、再比同支」这两步，独立得出结论。 易错点3：由大小反推范围漏情况 学习目标 · 能由y1＜y2反推横坐标关系 · 会分同支与跨支两种情况 · 能用特殊值检验端点 纠错指引 由函数值大小反推自变量范围时，先看两点横坐标是否可能跨过 x＝0；跨支与同支的结论不同，必须分情况讨论，最后取特殊值回代，检验端点是否取等号。 精讲例题 例题3．（2026•广陵区一模）·【基础】已知反比例函数y（k≠0）过点A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为（　　） A．﹣1＜a B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．0＜a＜1 【分析】根据反比例函数图象所经过的象限和函数的增减性解答． 【解答】解：∵反比例函数y（k≠0）中的k2＞0， ∴反比例函数y（k≠0）的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵y2＞y1，a+1＞a， ∴点A位于第三象限，点B位于第一象限， ∴， 解得﹣1＜a＜0． 故选：B． 教学提示：A(a,y1)、B(a＋1,y2) 可能跨过 x＝0；让学生画数轴分 a＜－1、－1＜a＜0、a＞0 三段讨论，最后回代端点检验。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 只算同支情况，漏掉跨支一解 · 端点能否取等没有回代检验 即时巩固 即时巩固8．（2026•德州一模）·【提升】已知反比例函数，点M（x1，y1）和N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点．若对于x1＝2a，5≤x2≤6，都有|y1|＞|y2|，则a的取值范围是（　　） A．或 B．且a≠2，a≠0 C．或0＜a＜2 D．且a≠2，a≠0 【分析】依据题意，由a≠2，从而可以分a＞2、0＜a＜2和a＜0讨论，然后结合反比例函数的性质进行判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵a≠2， ∴可分a＞2、0＜a＜2和a＜0讨论． ①当a＞2时，即a﹣2＞0， ∴y在第一象限、第三象限均是y随x的增大而减小． 又∵x1＝2a＞0，5≤x2≤6， ∴|y1|＝y1＞|y2|＝y2． ∴x1＜x2． ∴2a＜5． ∴2＜a． ②当0＜a＜2时，即a﹣2＜0， ∴y在第二象限、第四象限均是y随x的增大而增大． 又∵x1＝2a＞0，5≤x2≤6， ∴此时M、N两点在第四象限． ∴|y1|＝﹣y1＞|y2|＝﹣y2． ∴y1＜y2． ∴x1＜x2． ∴2a＜5． ∴a． 又∵0＜a＜2， ∴0＜a＜2． ③当a＜0时， ∴a﹣2＜＝2＜0， ∴y在第二象限、第四象限均是y随x的增大而增大． 又∵x1＝2a＜0，5≤x2≤6， ∴此时M在第二象限，N两点在第四象限． ∴|y1|＝y1＞|y2|＝﹣y2＞0． 又∵N（x2，y2）关于原点的对称点N'（﹣x2，＝y2）在第二象限的图象上， ∴x1＝2a＞﹣x2． 又∵5≤x2≤6， ∴﹣6≤﹣x2≤﹣5． ∴2a＞﹣5． ∴a． 又∵a＜0， ∴a＜0． 又当a＝0时，x1＝2a＝0，不合题意， ∴a，且a≠2，a≠0． 故选：D． 教学提示：|y1|＞|y2| 先化为 |k|/|x1|＞|k|/|x2|，即 |x1|＜|x2|；再让学生把绝对值不等式拆成两种情况分别求解后合并。 即时巩固9．（2026•慈溪市二模）·【提升】反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+b，y2）两点，下列关于t，b的条件，一定能使y1＜y2成立的是（　　） A．t＞0，b＞0 B．t＞0，b＜0 C．t＜0，b＞0 D．t＜0，b＜0 【分析】依据题意，由反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+b，y2）两点，从而其图象分布在第一、第三象限，并且在每一个象限内y随x的增大而减小，且t≠0，t+b≠0，进而逐个选项判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+b，y2）两点， ∴其图象分布在第一、第三象限，并且在每一个象限内y随x的增大而减小，且t≠0，t+b≠0． 对于A，当t＞0，b＞0时， ∴0＜t＜t+b， ∴y1＞y2，故A不合题意； 对于B，当t＞0，b＜0时， ∴t+b＜t． ∵t+b可能大于0，也可能小于0， ∴此时不能确定y1与y2的大小关系，故B不合题意； 对于C，当t＜0，b＞0时， ∴t+b＞t． ∵t＜0， ∴y1＜0， 又当t+b＞0，则y2＞0，y1＜y2，符合题意； 当t+b＜0， ∵t+b＞t， ∴y1＞y2，不合题意， 综上，C不合题意； 对于D，当t＜0，b＜0时， ∴t+b＜t＜0． ∴y1＜y2，故D符合题意． 故选：D． 教学提示：让学生分 t 与 t＋b 同号、异号两种情况画数轴；追问「b＞0 是否一定让 y 变大」，用 t＜0＜t＋b 的反例说明。 即时巩固10．（2026•西城区校级模拟）·【基础】如果点都在函数的图象上，且y1＜y2，那么m的取值范围是　 　 ． 【分析】利用反比例函数的性质解决问题即可． 【解答】解：由题意，∵点M（﹣1，y1）、点都在函数的图象上，且当﹣1时，y1＜y2， ∴3+m＜0， ∴m＜﹣3． 故答案为：m＜﹣3． 教学提示：已知 y1＜y2 反推 m，先看两点横坐标是否跨过 0；让学生分情况列不等式，再用一个具体 m 值回代检验。 即时巩固11．（2025春•莲都区期末）·【提升】已知反比例函数过点A（m，y1），B（m+2，y2）． （1）当m＝﹣4，y2＝﹣6时，求y1的值． （2）若y1＜y2，求m的取值范围． （3）反比例函数过点C（m，y3），D（m+2，y4），当m＜﹣2时，y4﹣y1＝10，y3﹣y2＝12，求证：a+b＝（m+1）2． 【分析】（1）依据题意，由反比例函数过点A（m，y1），B（m+2，y2）．且m＝﹣4，y2＝﹣6，则my1＝a＝（m+2）y2，即﹣4y1＝a＝﹣2×（﹣6），进而可以计算得解； （2）依据题意得，，y2，y1＜y2，进而分两种情形讨论计算即可得解； （3）依据题意，由反比例函数过点C（m，y3）和D（m+2，y4），则，y4，结合y4﹣y1＝10，y3﹣y2＝12，其中，，则①，②，从而②﹣①得，，进而a+b﹣1＝m（m+2），即a+b＝m（m+2）+1，故可判断得解． 【解答】（1）解：由题意，∵反比例函数过点A（m，y1），B（m+2，y2）．且m＝﹣4，y2＝﹣6， ∴my1＝a＝（m+2）y2，即﹣4y1＝a＝﹣2×（﹣6）． ∴y1＝﹣3． （2）解：由题意得，，y2，y1＜y2． ①当A，B在同一象限时，反比例函数y（a＞0）在每个象限内y随x的增大而减小， ∵y1＜y2， ∴m＞m+2，此时无解． ②当A，B在不同象限时， ∴． ∴﹣2＜m＜0． （3）证明：由题意，∵反比例函数过点C（m，y3）和D（m+2，y4）， ∴，y4． ∵y4﹣y1＝10，y3﹣y2＝12，其中，， ∴①，②． ∴②﹣①得，． ∴． ∴a+b﹣1＝m（m+2）． ∴a+b＝m（m+2）+1． ∴a+b＝（m+1）2． 教学提示：第(2)问要分 m 与 m＋2 同号、异号两种情况；第(3)问是代数恒等变形，让学生先写出两个差的表达式再相加。 易错点4：判断点是否在图象上出错 学习目标 · 会用xy＝k判断点是否在图象上 · 能由已知点求出k的值 · 能找出图象必经过的点 纠错指引 判断点是否在图象上，只需验证横纵坐标的乘积是否等于 k；已知一点求 k 就把它俩相乘；若问必经过的点，就找与原坐标乘积相同的那一个，别只看坐标的正负。 精讲例题 例题4．（2026春•绥德县期中）·【基础】下列各点在函数的图象上的是（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（1，2） 【分析】根据得（x﹣1）y＝1，所以只要点的横坐标﹣1与纵坐标的积等于1，就在该函数图象上，否则就不在． 【解答】解：由题意得，（x﹣1）y＝1， ∴符合题意的只有C（2，1），即（x﹣1）y＝1×1＝1． 故选：C． 教学提示：判断点是否在 y＝2/x 上，让学生逐项计算 xy 是否等于 2；特别提醒 (0,1) 与 (1,0) 因含 0 必不在图象上。 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 只看数值眼熟就选，没有算乘积 · 忽略含0坐标的点必不在图象上 即时巩固 即时巩固12．（2026•沙坪坝区校级模拟）·【基础】如果反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则k的值是（　　） A．1 B．﹣6 C． D．6 【分析】把（﹣2，3）代入函数解析式即可求k． 【解答】解：把（﹣2，3）代入函数解析式， ∴3． ∴k＝﹣6． 故选：B． 教学提示：直接代公式：k＝xy＝(－2)×3＝－6。让学生口述「横纵坐标相乘就是 k」，再回头检查选项的符号。 即时巩固13．（2026春•麒麟区月考）·【基础】若反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则这个函数图象必经过点（　　） A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（2，﹣1） 【分析】根据反比例函数定义，反比例函数的图象经过点（﹣2，1），代入已知点求出k，再验证各选项是否满足解析式． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，1）， ∴k＝﹣2×1＝﹣2， ∴． 验证选项： A．（2，1）：当x＝2时，，不满足； B．（﹣2，﹣1）：当x＝﹣2时，，不满足； C．（﹣1，﹣2）：当x＝﹣1时，，不满足； D．（2，﹣1）：当x＝2时，，满足． ∴函数图象必经过点（2，﹣1）． 故选：D． 教学提示：由 (－2,1) 得 k＝－2，必过点应满足 xy＝－2；让学生逐项算乘积，注意 (－2,－1) 的乘积是 2 而不是 －2。 即时巩固14．（2026春•蔡甸区月考）·【基础】若双曲线的图象经过（2，﹣6），则k＝ 　 　 ． 【分析】依据题意，直接利用反比例函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可． 【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点（2，﹣6）， ∴k＝2×（﹣6）＝﹣12． 故答案为：﹣12． 教学提示：基础题：k＝xy＝2×(－6)＝－12。让学生口述公式，并说明 k 为什么可以是负数。 易错点5：取值范围互求漏看分支 学习目标 · 能由自变量范围求函数值范围 · 能结合图象确定区间端点 · 会处理跨支的分段区间 纠错指引 求取值范围先看清给定区间落在哪一支上：在同一支上用增减性取端点；跨支时要按正、负两段分别算再合并，端点是否取等由原不等式是否带等号决定。 精讲例题 例题5．（2026•重庆）·【基础】在反比例函数y中，若1＜x＜2，则y的取值范围为（　　） A．y＜1 B．1＜y＜2 C．﹣1＜y D．﹣2＜y＜﹣1 【分析】依据题意，由反比例函数为y，其中k＝2＞0，则该函数的图象分布在第一、第三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小，从而当1＜x＜2时，1＜y＜2，从而可以得解． 【解答】解：由题意，∵反比例函数为y，其中k＝2＞0， ∴该函数的图象分布在第一、第三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小， ∴当1＜x＜2时，1＜y＜2． 故选：B． 教学提示：先让学生在图上指出 1＜x＜2 是第一象限的哪一段，再结合 y 随 x 增大而减小取端点，注意不等号是否带等号。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 代入端点却未判断增减方向 · 区间符号与选项方向对不上 即时巩固 即时巩固15．（2026•上海）·【基础】点A（m，n）与点B（3，4）在同一条反比例函数y上，若0＜m＜3，则n的取值范围是　 　 ． 【分析】依据题意，点B（3，4）在反比例函数y图象上，从而求出k的值，然后根据反比例函数的性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵点B（3，4）在反比例函数y图象上， ∴k＝3×4＝12． ∴反比例函数为y． ∴该函数的图象分布在第一、第三象限，并且在每一个象限内y随x的增大而减小． 又∵点A（m，n）在反比例函数y图象上，且0＜m＜3， ∴n＞4． 故答案为：n＞4． 教学提示：由 B(3,4) 得 k＝12，再由 0＜m＜3 结合 y＝12/m 求 n 的范围；让学生对照图象看第一象限这一支的走向。 即时巩固16．（2026•鹿城区校级开学）·【基础】反比例函数经过点A（4，1），部分图象如图所示．当x＞4时，y的取值范围为　 　 ． 【分析】依据题意，根据反比例函数的图象结合x＞4，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵反比例函数经过点A（4，1）， ∴k＝4×1＝4＞0． ∴当x＞0时，y随x的增大而减小． ∴当x＞4时，0＜y＜1． 故答案为：0＜y＜1． 教学提示：由 A(4,1) 得 k＝4，当 x＞4 时图象在第一象限且递减；让学生写出 0＜y＜1，注意端点不能取等号。 即时巩固17．（2025秋•阜阳期中）·【提升】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点A（﹣3，2），当x＜﹣4时，求y的取值范围． 【分析】将点A（﹣3，2）代入之中求出反比例函数的表达式为，再求出当x＝﹣4时，y＝1.5，然后根据该反比例函数，y随x增大而减小，图象与坐标轴没有交点即可得出y的取值范围． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（﹣3，2）， ∴k＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为：， 对于反比例函数，当x＝﹣4时，y＝1.5， ∵反比例函数，y随x增大而增大， ∴当x＜﹣4时，y＜1.5， 又∵反比例函数的图象与坐标轴没有交点， ∴y的取值范围是：0＜y＜1.5． 故答案为：0＜y＜1.5． 教学提示：由 A(－3,2) 得 k＝－6，当 x＜－4 时图象在第二象限；让学生先判象限再取端点，注意 y 的正负与不等号方向。 易错点6：k的几何意义与面积结合错 学习目标 · 能说出|k|的几何意义 · 会把斜三角形转化成标准图形 · 会由线段长度反求k 纠错指引 过双曲线上一点向坐标轴作垂线，与原点围成的矩形面积是 |k|、三角形面积是 |k|/2；遇到斜三角形先找同底等高或割补，转化成这两种标准图形再反求 |k|，最后别忘判符号。 精讲例题 例题6．（2026•让胡路区校级模拟）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在第二象限，连接OA，OB，AB，AB∥x轴，D为OB的中点，点A，D在同一个反比例函数图象上，过点B作BC⊥x轴于点C．若△OAB的面积等于9，则k的值（　　） A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5 【分析】依据题意，设点A的坐标为（xA，yA），根据点A在反比例函数图象上可得xAyA＝k；由AB∥x轴可知点B的纵坐标与点A相同，设B（xB，yB）；利用中点坐标公式表示出点D的坐标，代入反比例函数解析式得到xB与xA及k的关系；最后根据三角形面积公式列出关于k的方程求解即可． 【解答】解：设点A的坐标为（xA，yA），则xAyA＝k， ∵AB∥x轴，且点B在第二象限， ∴设点B的坐标为（xB，yB）， ∵点D为OB的中点，O（0，0）， ∴点D的坐标为， ∵点D也在反比例函数y＝kx的图象上， ∴， ∴xByA＝4k， ∵点A、B均在第二象限，且由图可知点A在点B的右侧， ∴xB＜xA＜0， ∴AB＝xA﹣xB， ∵， ∴， ∴， 将xAyA＝k，xByA＝4k代入上式得， ∴k＝9， ∴k＝﹣6． 故选：C． 教学提示：让学生先连 OD，说明 D 是 OB 中点把 △OAB 分成等底两部分；再用 |k|/2 与面积 9 列方程，最后据第二象限取负。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 把三角形面积当成|k|，未除以2 · 中点条件没用上，A与D没建立联系 即时巩固 即时巩固18．（2026•宁国市二模）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B是反比例函数图象上的两点，过点B作y轴的平行线与射线OA交于点C．若BC＝3，OA＝AC，点A的横坐标为3，则k的值为　 　 ． 【分析】依据题意，过点A作AD⊥x轴于点D，延长CB交x轴于点E，从而AD∥BC，结合OA＝AC，可得，由点A的横坐标为3，则OD＝DE＝3，可得OE＝OD+DE＝3+3＝6，又设点B（6，n），则CE＝BE+BC＝n+3，故点，结合点A，B均在反比例函数的图象上，进而，求出n＝1，最后可得k＝6n＝6×1＝6，即可得解． 【解答】解：由题意，过点A作AD⊥x轴于点D，延长CB交x轴于点E， ∴AD∥BC． 又∵OA＝AC， ∴AD是△OCE 的中位线， ∴． ∵点A的横坐标为3， ∴OD＝DE＝3． ∴OE＝OD+DE＝3+3＝6． ∴设点B（6，n），则CE＝BE+BC＝n+3， ∴点 ∵点A，B均在反比例函数的图象上， ∴，解得n＝1． ∴k＝6n＝6×1＝6． 教学提示：由 OA＝AC 可知 C 在 OA 的延长线上且长度加倍；让学生先求出 C 的坐标，再代入 y＝k/x 求 k。 即时巩固19．（2026•惠山区模拟）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两条边分别与坐标轴平行，AB过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线EF∥AB，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若AC＝4，BC＝8，则EF的长为　 　 ． 【分析】根据△ABC 的边与坐标轴平行及AB 过原点，利用中心对称性质求出点A，B，C 的坐标，进而确定反比例函数解析式和直线EF 的解析式；联立直线与反比例函数方程，利用一元二次方程根与系数的关系（或直接求根）及勾股定理计算线段EF 的长． 【解答】解：由题意，设点C的坐标为（m，n）， ∴A（m，n+4），B（m﹣8，n）， ∵点A，B在反比例函数图象上，且直线AB过原点O， ∴点A与点B关于原点对称， ∴． ∴． ∴C（4，﹣2），A（4，2）， ∴k＝4×2＝8，反比例函数解析式为， ∵直线AB过点（0，0）和（4，2）， ∴直线AB的函数解析式为：， ∵EF∥AB， ∴设直线EF的解析式为， 将点C（4，﹣2）代入得， ∴b＝﹣4， ∴直线EF的解析式为， 联立方程组， ∴x2﹣8x﹣16＝0． ∴， 设E（x1，y1），F（x2，y2），且x1＞x2， ∴， ∴y1， ∴． 故答案为：4． 教学提示：EF∥AB 且 AB 过原点，说明 E、F 关于原点对称；让学生用对称性直接得 EF＝2EO，再结合 AC、BC 求长度。 即时巩固20．（2025秋•鼓楼区校级期末）·【提升】如图，边长为1的5个正方形组成的L型的点D在反比例函数图象上，则k的值为　 　 ． 【分析】依据题意，作DH⊥y轴于H，先证明△DHA∽△AOB，同理可得△CEB∽△BOA，然后可得4，，又设OA＝a， 则DH＝4a，OBOAa，进而HA＝4OBa，又DH2+AH2＝AD2，则16a2a2＝16，最后求出D的坐标，进而可以得解． 【解答】解：作DH⊥y轴于H， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠BAO＝90°， 又∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DAH＝∠ABO． 又∵∠DHA＝∠AOB＝90°， ∴△DHA∽△AOB，同理可得△CEB∽△BOA． ∵△DHA∽△AOB， ∴4． 设OA＝a， ∴DH＝4a． ∵△CEB∽△BOA， ∴，则． ∴OBOAa． ∴HA＝4OBa． ∵DH2+AH2＝AD2，则16a2a2＝16， ∴a． ∴DH＝4a，OH＝OA+AH＝aaa． ∴D（，）． ∴k． 故答案为：． 教学提示：L 型由 5 个小正方形组成，让学生先确定点 D 的坐标再代入求 k；提醒别把小正方形的个数当成坐标值。 易错点7：几何图形中点坐标定位错 学习目标 · 能在几何图形中求曲线上点的坐标 · 会用平行与特殊角转写坐标 · 会结合勾股定理求边长 纠错指引 先在图上标出已知边与角，把平行、45°角、中点等条件转写成横纵坐标的关系（必要时用勾股列方程），再把点坐标代入 y＝k/x 求 k，不要凭图形估坐标。 精讲例题 例题7．（2026•广水市模拟）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 　 　 ． 【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，由等腰三角形的判定与性质得出OA＝BA，∠OAB＝90°，证出∠AOM＝∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN，OM＝AN，即可得到求出B的坐标，代入反比例函数即可得出一元二次方程，解方程即可得到k的值． 【解答】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N， 则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵∠AOB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝BA，∠OAB＝90°， ∴∠OAM+∠BAN＝90°， ∴∠AOM＝∠BAN， ∴△AOM≌△BAN， ∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝k， ∴OD＝1+k，BD＝OM﹣BN＝k﹣1 ∴B（1+k，k﹣1）， ∵双曲线y（x＞0）经过点B， ∴（1+k）•（k﹣1）＝k， 整理得：k2﹣k﹣1＝0， 解得：k（负值已舍去）， 故答案为：． 教学提示：由 ∠AOB＝∠OBA＝45° 可推出 OA＝AB 且 ∠OAB＝90°；让学生先证出这个等腰直角三角形，再由 A 的横坐标 1 求 B 坐标。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 由45°推出边长关系这一步没写 · 把A与B的横坐标关系搞反 即时巩固 即时巩固21．（2026•房山区一模）·【提升】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接AB，若四边形OACB是平行四边形，给出下面四个结论： ①； ②若A（2，1），OC＝4，则k2＝﹣4； ③S▱OACB＝|k1|+|k2|； ④当k1+k2＝0时，四边形OACB一定是正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【分析】依据题意，根据平行四边形的性质、反比例函数的性质、正方形判定，逐个判断可以得解． 【解答】解：①∵四边形OACB是平行四边形，OC中点在y轴上， ∴xB+xA＝0． 设， 则， ∴，故①正确； ②由题意，设OC的中点为H， ∵OC＝4， ∴OC的中点H（0，2）， ∵A（2，1）， ∴B（﹣2，3）， ∴k2＝﹣2×3＝﹣6，故②错误； ③S四边形OACB＝2S△OBA＝2（S△OBH+S△OAH）＝22m＝k1﹣k2＝|k1|+|k2|，故③正确； ④由题意，∵k1+k2＝0， ∴yA＝yB． 又可得，△OEB≌△ODA， ∴∠BOE＝∠AOD，但不一定是45°． ∴四边形OACB不一定是正方形，故④错误． 综上所述，正确结论为①③， 故选：A． 教学提示：平行四边形的四个结论要逐一验证，不能凭直觉全选；让学生用 A(2,1)、OC＝4 先算出 k2，再判断其余结论。 即时巩固22．（2026•西湖区校级开学）·【提升】如图，点A是函数的图象上的一点，点B，C的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点A都满足”求解下面问题：作∠BAC的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，若x轴上一点P的坐标为，则PF的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【分析】过C作CD⊥AF，垂足为M，交AB于D，由AE平分∠BAC，且AM是DC边上的高，可得△DAC是等腰三角形，得AD＝AC，可求BD＝AB﹣AC＝2，即可BD为定值，过M作MN∥BD交BF于N，又DM∥BN，可证四边形MNBD是平行四边形，可得MN＝BD，在△MNF中，无论F在哪分支运动，有MN为定值，∠MFN＝90°，作△MFN的外接圆，点F在以MN为直径的圆上运动，点F的运动轨迹以坐标原点为原心，以为半径的圆，设圆与x轴负半轴的交点为K，则K坐标为（，0）求出PK＝2即可． 【解答】解：过C作CD⊥AF于M，交AB于D， ∵AE平分∠BAC，且AM是DC边上的高， ∴△DAC是等腰三角形， ∴AD＝AC， ∴BD＝AB﹣AC＝2，则BD为定值， 过M作MN∥BD交BF于N， 又∵DM∥BN， ∴四边形MNBD是平行四边形， ∴MN＝BD， 在△MNF中，无论F在哪分支运动，有MN为定值，∠MFN＝90°， ∴作△MFN的外接圆，点F在以MN为直径的圆上运动， 点F的运动轨迹以坐标原点为原心，以为半径的圆，设圆与x轴负半轴的交点为K， ∴K（，0）， ∴PK＝2， ∴PF的最小值为2， 故选：A． 教学提示：综合题先抓住「双曲线上点满足面积不变」这条性质；角平分线与垂线部分让学生补图、标出直角，再求 PF 的最小值。 即时巩固23．（2026•池州二模）·【提升】如图，点A在反比例函数第一象限的图象上，点B在反比例函数第三象限的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC＝BD＝k，AB，CD交于点E，若BO＝CE，则k的值为　 　 ． 【分析】过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，根据AC＝BD＝k，可得点A的横坐标为k，点B的横坐标为﹣k，从而可得点A的纵坐标为2，点B的纵坐标为﹣1，进而可得到CD＝AP+BQ＝3，OD＝1，AC∥BD，证明△ACE≌△BDE，可得CE＝DECD，即BO，在Rt△BOD中，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q， ∵AC＝BD＝k， ∴点A的横坐标为k，点B的横坐标为﹣k， ∵点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上， ∴点A的纵坐标为2，点B的纵坐标为﹣1， ∵AC⊥y轴，BD⊥y轴， ∴CD＝AP+BQ＝3，OD＝1，AC∥BD， ∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE， ∴△ACE≌△BDE（AAS）， ∴CE＝DECD， ∵BO＝CE， ∴BO， 在Rt△BOD中， 由勾股定理可得BD2+OD2＝OB2， 即k2+12＝（）2． ∴k（由k＞0，故负值舍去）． 故答案为：． 教学提示：AC＝BD＝k 且 BO＝CE，让学生把线段关系改写成坐标关系；提醒第一、三象限两支关于原点对称，别把纵坐标符号弄反。 易错点8：新定义条件理解不到位 学习目标 · 能读懂新定义并转写成等式 · 会把新定义与反比例函数联立 · 能找出定义中的隐含限制 纠错指引 新定义题先把文字定义逐句写成代数等式（如「k级变点」即 x′＝x、y′＝kx＋y），再与 y＝k/x 联立；求取值范围时注意定义里的隐含限制（如 k≠0、x＜0）。 精讲例题 例题8．（2026•海安市一模）·【提升】定义：若实数x，y，x′，y′满足x′＝x，y′＝kx+y（k为常数，且k≠0），则在平面直角坐标系中称点（x′，y′）为点（x，y）的“k级变点”．例如：（3，9）为（2，3）的“3级变点”． （1）若点（x，y）的“k级变点”的坐标为（3，4），则k的值为　 　 ； （2）若点Q是点P的“﹣3级变点”，且点Q在函数y（x＜0）的图象上，则线段OP的最小值为　 　 ． 【分析】（1）依据题意，由点（x，y）的“k级变点”的坐标为（3，4），则x3，kx+y＝4，由x3得，kx+y＝3k，从而3k＝4，进而计算可以得解； （2）依据题意，设P为（x，y），则Q（xy，﹣3x+y），结合Q在函数y（x＜0）的图象上，故（xy）（﹣3x+y）＝﹣12，﹣3x+y＞0，从而可得y＝3x+6，故OP，进而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵点（x，y）的“k级变点”的坐标为（3，4）， ∴x3，kx+y＝4， 由x3得，kx+y＝3k， ∴3k＝4，则k． 故答案为：； （2）由题意，设P为（x，y）， ∴Q（xy，﹣3x+y）． ∵Q在函数y（x＜0）的图象上， ∴（xy）（﹣3x+y）＝﹣12，﹣3x+y＞0． ∴（3x﹣y）2＝36， ∴3x﹣y＝﹣6（3x﹣y＝6不合题意，舍去）． ∴y＝3x+6． ∴ 方法1：OP ∴当x＝﹣1.8时，OP取最小值为． 方法2：由直线y＝3x+6与x轴交于（﹣2，0），与y轴交于（0，6）， ∴通过面积法可得，OP． 故答案为：． 教学提示：先让学生把「k级变点」写成 x′＝x、y′＝kx＋y 两个等式，再与反比例函数联立；提醒定义中 k≠0 且本问 x＜0。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把新定义当成新函数，没写成等式 · 漏掉定义中k≠0与x＜0的限制 即时巩固 即时巩固24．（2026春•张店区期中）·【提升】在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1﹣y2＝2（x1﹣x2），则称点A和点B互为“和谐点”．已知C是以O为圆心1为半径的⊙O上的一点，若反比例函数的图象上存在点C的和谐点D，则k的取值范围是　 　 ． 【分析】根据定义可知D点在直线y＝2x+b上，当k＞0时，直线y＝﹣2x+b与双曲线始终有交点，当k＜0时，设直线y＝2x+b与圆切点为M，直线与y轴的交点为N，此时直线为y＝2x，当直线与双曲线有交点时，反比例函数图象上存在点C的和谐点D． 【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2），y1﹣y2＝2（x1﹣x2）， ∴直线AB的解析式为y＝2（x﹣x1）+y1， ∴D点在直线y＝2x+b上， 当k＞0时，直线y＝﹣2x+b与双曲线始终有交点， ∴反比例函数上始终存在点C的和谐点D； 当k＜0时，设直线y＝2x+b与圆切点为M，直线与y轴的交点为N， ∵tan∠MON，OM＝1， ∴MN＝2， ∴ON， ∴直线y＝2x， 当2x时，2x2x﹣k＝0， Δ＝5+8k＝0，解得k； ∴或k＞0时，反比例函数图象上存在点C的和谐点D． 教学提示：「和谐点」的定义即两点连线斜率为 2；让学生把 D 在双曲线上、C 在单位圆上这两个条件联立，转化为 k 的范围。 易错点9：图象平移与性质表述混淆 学习目标 · 会求平移后图象与坐标轴的交点 · 能辨析增减性表述的正误 · 能判断图象所在的象限 纠错指引 图象向上平移 m 个单位，解析式变为 y＝k/x＋m，求与 x 轴交点就令 y＝0 解 x；辨析性质时务必加上「在每个象限内」这个前提，离开象限谈增减性就是错的。 精讲例题 例题9．（2026春•徐汇区校级月考）·【基础】将反比例函数图象向上平移两个单位后与x轴的交点坐标为　 　 ． 【分析】先根据平移方式求出平移后解析式，求出y＝0时对应的x的值即可． 【解答】解：平移后所得函数的解析式为：， 令， ∴x＝﹣3， ∴所得函数图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0）． 故答案为：（﹣3，0）． 教学提示：向上平移 2 个单位后解析式是 y＝k/x＋2，令 y＝0 解 x；让学生对比「加在 y 上」与「加在 x 上」两种平移的差别。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把上移写成k/(x＋2)，方向搞混 · 求交点时忘记令y＝0 即时巩固 即时巩固25．（2026•苏家屯区一模）·【基础】已知反比例函数．下列选项正确的是（　　） A．点（1，6）在该函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【分析】根据反比例函数的性质依次判断即可． 【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣6，故点（1，6）不在该反比例函数的图象上，原说法错误，不符合题意； B、k＝﹣6＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C、由题意，根据k＝﹣6＜0，该函数的图象分布在第二、四象限，故说法正确，符合题意；D、k＝﹣6＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 教学提示：逐项判断：点(1,6)代入看 xy 是否等于 k；「y 随 x 增大而减小」漏了「在每个象限内」的前提，让学生把这句补上。 过关测试（综合检测） 1．（2026•巴中）·【提升】函数y＝kx﹣k与y（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由y＝kx﹣k＝k（x﹣1），可得当x＝1时，y＝0，则一次函数的必过（1，0），然后再分k＞0和k＜0两种情形讨论分析，进而逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝kx﹣k＝k（x﹣1）， ∴当x＝1时，y＝0，则一次函数的必过（1，0）， ∴排除A选项． 又当k＞0时，则﹣k＜0， ∴一次函数为y＝kx﹣k的图象经过第一、第三、第四象限，反比例函数y分布在第一、第三象限，故C不合题意． 当k＜0时，则﹣k＞0， ∴一次函数为y＝kx﹣k的图象经过第一、第二、第四象限，反比例函数y分布在第二、第四象限，故B不合题意，D符合题意． 故选：D． 教学提示：让学生先定 k 的符号，再说 y＝kx－k 的斜率与截距；追问「若 k＜0，直线经过哪几个象限」，两边都对上才选。 2．（2025秋•湘阴县期中）·【提升】在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx﹣m与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数图象确定m的符号，再根据m的符号判断直线的位置即可． 【解答】解：A、反比例函数图象在一、三象限，则m＞0，一次函数y＝mx﹣m图象应该交y轴负半轴，故图象不符合题意； B、反比例函数图象在二、四象限，则m＜0，一次函数y＝mx﹣m图象应该交y轴正半轴，故图象符合题意； C、反比例函数图象在二、四象限，则m＜0，一次函数y＝mx﹣m图象应该交y轴正半轴，故图象不符合题意； D、反比例函数图象在一、三象限，则m＞0，一次函数y＝mx﹣m图象应该交y轴负半轴，故图象不符合题意； 故选：B． 教学提示：提醒 y＝mx－m 的截距是 －m，与斜率 m 反号；让学生写出直线与 y 轴的交点，再和双曲线所在象限一起核对。 3．（2024春•锦江区校级月考）·【提升】在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，3这七个数中，随机选取一个数，记为a，那么使得关于x的反比例函数的图象位于第一、三象限，且使得关于x的方程有整数解的概率为 　 　 ． 【分析】依据题意，首先确定使得关于x的反比例函数y的图象位于第一、三象限，且使得关于x的方程2有整数解的a的值，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第一、三象限， ∴3a+2＞0． ∴a． ∴a＝0，1，2，3． 将a＝0，1，2，3分别代入方程2得，解为整数的a的值为a＝1． ∴P（使得关于x的反比例函数y的图象位于第一、三象限，且使得关于x的方程2有整数解）． 故答案为：． 教学提示：概率题先拆条件：图象在一、三象限要求 a＞0，再由分式方程有整数解筛选 a；让学生逐个数列表检验，别估概率。 4．（2026•宁波模拟）·【提升】已知点M（t2，1）、N（3﹣2t，n）在反比例函数图象上，若OM＞ON，则t的取值范围是　 　 ． 【分析】根据题意，得出关于t的不等式，据此进行计算即可得解． 【解答】解：由题知，∵反比例函数的图象关于直线y＝x对称， ∴点M（t2，1）关于直线y＝x对称点A（1，t2）也在反比例函数的图象上， ∴OM＝OA． ∵当点N在曲线AM上（不含A，M点）时，OM＞ON， ∴，解得t＜﹣3． 取点B（﹣t2，﹣1）、C（﹣1，﹣t2），当点N在曲线BC上（不含B，C点）时，OM＞ON， ∴此时，解得t＞2． 综上，t的取值范围是t＜﹣3或t＞2． 故答案为：t＜﹣3或t＞2． 教学提示：设出两点坐标后用 OM＞ON 列距离不等式；提醒 t² 与 3－2t 可能同号也可能异号，距离公式要带平方处理。 5．（2026•北京）·【提升】如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正半轴上的点P作x轴的平行线，分别交函数y（x＞0）和y（x＜0）的图象于点A，B．过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接AC交y轴于点Q，则的值为　 　 ． 【分析】依据题意，由点A在函数y（x＞0）的图象上，则可设A（m，）（m＞0），则AP＝m，又AB∥x轴，B在y（x＜0）的图象上，则B（m，），则OCm，由AB∥OC，从而△APQ∽△COQ，可得，从而可以得解． 【解答】解：由题意，∵点A在函数y（x＞0）的图象上， ∴可设A（m，）（m＞0），则AP＝m， ∵AB∥x轴，B在y（x＜0）的图象上， ∴B（m，），则OCm， ∵AB∥OC， ∴△APQ∽△COQ． ∴． 故答案为：． 教学提示：让学生设 P(0,h)，分别写出 A、B 两点坐标，再求直线 AC 与 y 轴的交点 Q；提醒比值与 h 无关，可取特殊值验证。 6．（2026•雁塔区校级模拟）·【提升】如图，反比例函数的图象与△ABC的两边AB，BC分别交于点，F（n，1）．已知AB∥x轴，点A在y轴上，点C在x轴上，点F为BC的中点，则m+n＝　 　 ． 【分析】过点F作FG⊥x轴于G，过点B作BH⊥x轴于H，先证FG为△CBH的中位线，则BH＝2，从而得点E的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，然后再把点F的坐标代入反比例函数的解析式可求出n，据此可得出此题的答案． 【解答】解：过点F作FG⊥x轴于G，过点B作BH⊥x轴于H， ∵点F的坐标为（n，1）， ∴FG＝1， ∵FG⊥x轴，BH⊥x轴， ∴FG∥BH， 又∵点F为BC的中点， ∴FG为△CBH的中位线， ∴BH＝2FG＝2， ∵AB∥x轴， ∴点E的纵坐标为2， 即：点E的坐标为（，2）， ∴m＝2， 将点E（，2），代入y，得：k＝3， ∴反比例函数的解析式为：y， 将点F（n，1）代入y，得：n＝3， ∴m+n＝5． 故答案为：5． 教学提示：F 是 BC 的中点，让学生用中点公式把 F(n,1) 与 B、C 的坐标联系起来，再把 F 代入双曲线求 m＋n。 7．（2026•白银模拟）·【提升】若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，x1＞0＞x2，则y1与y2的大小关系是 　 　 ． 【分析】先根据反比例函数的系数判断函数图象所在象限，再依据各象限内函数的增减性以及点的横坐标正负，比较纵坐标的大小． 【解答】解：由题意，∵反比例函数为，又k2+1＞0 ∴此函数图象分布在第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵x1＞0＞x2， ∴点A（x1，y1）在第一象限，点B（x2，y2）在第三象限． ∴y1＞0，y2＜0． ∴y1＞y2． 故答案为：y1＞y2． 教学提示：x1＞0＞x2 可直接定性：y1 与 y2 异号。让学生先说符号再比大小，不必算出具体数值。 8．（2024秋•岳阳期中）·【基础】已知反比例函数y（k常数，k≠1）． （1）若点A（1，﹣2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若k＝5，试判断点B（，﹣8）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数关系式中，即可求出k的值． （2）通过点B坐标得出k﹣1＝4，从而得出k＝5，即可得出点B在函数图象上． 【解答】解：（1）∵点A（1，﹣2）在这个函数的图象上， ∴﹣2， 解得：k＝﹣1 （2）点B（，﹣8）在这个函数的图象上， ∵（﹣8）＝4， k﹣1＝4， ∴k＝5， 又∵k＝5， ∴点B（，﹣8）在这个函数的图象上． 教学提示：第(1)问代入 A(1,－2) 求 k；第(2)问判断点 B 是否在图象上，只需算它横纵坐标的乘积是否等于 k。 9．（2026•滨江区校级一模）·【提升】在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，其中k＞0，点A，B的横坐标分别为m﹣2，m+1． （1）若m＞2，设点A，B的纵坐标分别为y1，y2，比较y1与y2的大小，并说明理由； （2）过点B作直线l平行于y轴，点P从点A出发，沿水平方向运动到直线l上，再沿l运动到点B，运动路程记为d（运动路线不重复）若过点A、B的直线经过一、三象限，且k＝﹣（m﹣2）（m+1），则对于任意实数m，路程d是否为定值？若是，求出d的值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）依据反比例函数单调性（k＞0 时，x＞0 部分y 随x 增大而减小），比较不同横坐标对应的纵坐标大小； （2）依据题意，由点P从点A出发，沿水平方向过点B且平行于y轴的直线l上，从而水平移动距离为（m+1）﹣（m﹣2）＝3，结合竖直距离，从而可以求出d，即可得解． 【解答】解：（1）当m＞2时， 点A的横坐标m﹣2＞0， 点B的横坐标m+1＞0， ∴m+1＞m﹣2， 又∵横坐标越大，纵坐标越小， ∴y1＞y2． （2）由题意，∵点P从点A出发，沿水平方向过点B且平行于y轴的直线l上， ∴水平移动距离为（m+1）﹣（m﹣2）＝3． 又∵沿l运动到点B，竖直移动的距离为3， ∴d＝3+3＝6． 教学提示：先比较 y1 与 y2（同支用增减性），再算路程 d；让学生把「水平一段＋竖直一段」分别用坐标差表示出来。 10．（2025春•钱塘区期末）·【提升】已知A（x1，y1）B（x2，y2）是反比例函数图象上的两点． （1）若x1＝1，x2＝﹣3，求y1﹣y2的值． （2）若A，B关于原点中心对称，求x1y2+x2y1的值． （3）当x1＝m﹣2，x2＝m+2，y1＜y2时，求m的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由A（x1，y1）B（x2，y2）是反比例函数图象上的两点，结合x1＝1，x2＝﹣3，求出y1，y2的值，进而可以计算得解； （2）依据题意，由A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数图象上，可得，，即x1y1＝3，x2y2＝3，又A，B关于原点中心对称，故x2＝﹣x1，y2＝﹣y1，进而可得x1y2+x2y1＝x1（﹣y1）+（﹣x1）y1＝﹣x1y1﹣x1y1＝﹣2x1y1，再将x1y1＝3代入计算即可得解； （3）依据题意，由x1＝m﹣2，x2＝m+2，可得，，且y1＜y2，再结合反比例函数在每个象限内y随x的增大而减小，故可分两种情况讨论，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵A（x1，y1）B（x2，y2）是反比例函数图象上的两点， ∴当x1＝1时，把x1＝1代入，可得；当x2＝﹣3时，把x2＝﹣3代入，可得． ∴y1﹣y2＝3﹣（﹣1）＝4． （2）由题意，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数图象上， ∴，，即x1y1＝3，x2y2＝3． 又∵A，B关于原点中心对称， ∴x2＝﹣x1，y2＝﹣y1． 将x2＝﹣x1，y2＝﹣y1代入x1y2+x2y1， ∴x1y2+x2y1＝x1（﹣y1）+（﹣x1）y1＝﹣x1y1﹣x1y1＝﹣2x1y1， ∵x1y1＝3， ∴x1y2+x2y1＝﹣2×3＝﹣6． （3）由题意，∵x1＝m﹣2，x2＝m+2， ∴，，且y1＜y2． ∵反比例函数在每个象限内y随x的增大而减小， ∴分两种情况讨论： ①当A，B在同一象限时： 若A，B在第一象限， ∴． ∴此时不等式组无解； 若A，B在第三象限， ∴， ∴此时不等式组无解． ②当A，B在不同象限时： ∴． ∴﹣2＜m＜2． 综上，﹣2＜m＜2． 教学提示：三问递进：代入求值、由中心对称求 x1y2＋x2y1、由 y1＜y2 反推 m；让学生说明第二问的结果为什么是 －2k。 11．（2025春•海淀区校级月考）·【提升】在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），Q（﹣1，2），函数y． （1）当函数的图象经过点P时，求m的值． （2）若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组（m＞0），直接写出m的取值范围． 【分析】（1）依据函数y的图象经过点P（2，2），即可得到m＝4，进而得解； （2）当点P（2，2）满足（m＞0）时，解不等式组得0＜m＜4．当点Q（﹣1，2）满足（m＞0）时，解不等式组可得m＞3，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）∵函数的图象经过点P（2，2）， ∴2，即m＝4． （2）当点P（2，2）满足（m＞0）时， ∴． ∴0＜m＜4． 当点Q（﹣1，2）满足（m＞0）时， ∴． ∴m＞3． ∵P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组（m＞0）， ∴m的取值范围是：0＜m≤3，或m≥4． 教学提示：第(2)问要求「恰有一个点满足不等式组」，让学生分别代入 P、Q 求出 m 的范围，再取只满足其中一个的部分。 12．（2024春•商水县期中）·【提升】已知反比例函数的图象经过第一、三象限． （1）求k的取值范围． （2）若a＞0，此函数的图象经过（a+6，y1），（2a+3，y2）两点，且y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由反比例函数的图象经过第一、三象限可得2k﹣5＞0，再解不等式即可； （2）依据题意，由反比例函数的增减性可得a+6＞2a+3，从而可得答案． 【解答】（1）解：由题意，∵的图象经过第一、三象限， ∴2k﹣5＞0． ∴． ∴k的取值范围是． （2）由题意，∵a＞0， ∴a+6＞0，2a+3＞0． ∵反比例函数的图象经过（a+6，y1），（2a+3，y2）两点，且y1＜y2， ∴a+6＞2a+3． ∴a＜3． ∴a的取值范围是0＜a＜3． 教学提示：先由图象在第一、三象限得出 k 的范围；第(2)问比较 (a＋6,y1) 与 (2a＋3,y2)，注意两者大小关系随 a 变化。 苏科版2024 · 反比例函数的图象与性质 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 反比例函数的图象与性质 · 第2章 反比例函数 2.2反比例函数的图象与性质 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第2章 反比例函数 2.2 反比例函数的图象与性质 班级：________________ 姓名：________________ 本专题按易错原因重新聚合题目，而非按知识点顺序罗列：每个易错点配一道精讲例题，附本题核心易错点与纠错指引，并搭配即时巩固变式；全部易错点学完后，文末统一编排综合过关测试，用于整章掌握情况的集中检验。选题覆盖图象判断、点的坐标特征与几何综合三类常考陷阱。 目录 易错点1：双图象共存漏用k的约束 易错点2：跨象限比大小误用增减性 易错点3：由大小反推范围漏情况 易错点4：判断点是否在图象上出错 易错点5：取值范围互求漏看分支 易错点6：k的几何意义与面积结合错 易错点7：几何图形中点坐标定位错 易错点8：新定义条件理解不到位 易错点9：图象平移与性质表述混淆 易错点1：双图象共存漏用k的约束 学习目标 · 能由k的符号判断图象所在象限 · 能同时判断两个函数图象的位置 · 会用同一字母系数统一两图 纠错指引 见到两个图象共存，先把同一个字母系数（如 k）的符号定下来，再分别落到两个函数上：y＝k/x 中 k＞0 在一、三象限，k＜0 在二、四象限；一次函数再看斜率与截距的符号，两边都对上才选。 精讲例题 例题1．（2025秋•泗水县期末）·【基础】函数y＝kx与y在同一平面直角坐标系中的图象可能是图（　　） A． B． C． D． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 只判反比例图象，不管另一个图象 · 忘了两个解析式共用同一个k 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2026•海南一模）·【基础】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 即时巩固2．（2024秋•文水县期末）·【基础】下列图象中，是反比例函数的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 即时巩固3．（2025•德州）·【提升】在平面直角坐标系中，函数的图象是（　　） A． B． C． D． 易错点2：跨象限比大小误用增减性 学习目标 · 能判断两点是否在同一支上 · 会比较跨分支的纵坐标大小 · 知道增减性只在各象限内成立 纠错指引 先判符号：横坐标同号才在同一支，可直接用增减性；一正一负时，正横坐标的点在第一象限纵坐标为正、负横坐标的点在第三象限纵坐标为负，先定性再排序，不能一路递减比到底。 精讲例题 例题2．（2026•大渡口区模拟）·【基础】若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 不分象限直接按递减排序 · 忽略x1＜0时y1与另两项异号 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固4．（2026•东丽区一模）·【基础】若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3 即时巩固5．（2026•和平区一模）·【基础】若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 即时巩固6．（2025秋•紫金县期末）·【基础】已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 即时巩固7．（2026•邗江区校级一模）·【提升】若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 易错点3：由大小反推范围漏情况 学习目标 · 能由y1＜y2反推横坐标关系 · 会分同支与跨支两种情况 · 能用特殊值检验端点 纠错指引 由函数值大小反推自变量范围时，先看两点横坐标是否可能跨过 x＝0；跨支与同支的结论不同，必须分情况讨论，最后取特殊值回代，检验端点是否取等号。 精讲例题 例题3．（2026•广陵区一模）·【基础】已知反比例函数y（k≠0）过点A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为（　　） A．﹣1＜a B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．0＜a＜1 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 只算同支情况，漏掉跨支一解 · 端点能否取等没有回代检验 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固8．（2026•德州一模）·【提升】已知反比例函数，点M（x1，y1）和N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点．若对于x1＝2a，5≤x2≤6，都有|y1|＞|y2|，则a的取值范围是（　　） A．或 B．且a≠2，a≠0 C．或0＜a＜2 D．且a≠2，a≠0 即时巩固9．（2026•慈溪市二模）·【提升】反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+b，y2）两点，下列关于t，b的条件，一定能使y1＜y2成立的是（　　） A．t＞0，b＞0 B．t＞0，b＜0 C．t＜0，b＞0 D．t＜0，b＜0 即时巩固10．（2026•西城区校级模拟）·【基础】如果点都在函数的图象上，且y1＜y2，那么m的取值范围是　 　 ． 即时巩固11．（2025春•莲都区期末）·【提升】已知反比例函数过点A（m，y1），B（m+2，y2）． （1）当m＝﹣4，y2＝﹣6时，求y1的值． （2）若y1＜y2，求m的取值范围． （3）反比例函数过点C（m，y3），D（m+2，y4），当m＜﹣2时，y4﹣y1＝10，y3﹣y2＝12，求证：a+b＝（m+1）2． 易错点4：判断点是否在图象上出错 学习目标 · 会用xy＝k判断点是否在图象上 · 能由已知点求出k的值 · 能找出图象必经过的点 纠错指引 判断点是否在图象上，只需验证横纵坐标的乘积是否等于 k；已知一点求 k 就把它俩相乘；若问必经过的点，就找与原坐标乘积相同的那一个，别只看坐标的正负。 精讲例题 例题4．（2026春•绥德县期中）·【基础】下列各点在函数的图象上的是（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（1，2） 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 只看数值眼熟就选，没有算乘积 · 忽略含0坐标的点必不在图象上 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固12．（2026•沙坪坝区校级模拟）·【基础】如果反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则k的值是（　　） A．1 B．﹣6 C． D．6 即时巩固13．（2026春•麒麟区月考）·【基础】若反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则这个函数图象必经过点（　　） A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（2，﹣1） 即时巩固14．（2026春•蔡甸区月考）·【基础】若双曲线的图象经过（2，﹣6），则k＝ 　 　 ． 易错点5：取值范围互求漏看分支 学习目标 · 能由自变量范围求函数值范围 · 能结合图象确定区间端点 · 会处理跨支的分段区间 纠错指引 求取值范围先看清给定区间落在哪一支上：在同一支上用增减性取端点；跨支时要按正、负两段分别算再合并，端点是否取等由原不等式是否带等号决定。 精讲例题 例题5．（2026•重庆）·【基础】在反比例函数y中，若1＜x＜2，则y的取值范围为（　　） A．y＜1 B．1＜y＜2 C．﹣1＜y D．﹣2＜y＜﹣1 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 代入端点却未判断增减方向 · 区间符号与选项方向对不上 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固15．（2026•上海）·【基础】点A（m，n）与点B（3，4）在同一条反比例函数y上，若0＜m＜3，则n的取值范围是　 　 ． 即时巩固16．（2026•鹿城区校级开学）·【基础】反比例函数经过点A（4，1），部分图象如图所示．当x＞4时，y的取值范围为　 　 ． 即时巩固17．（2025秋•阜阳期中）·【提升】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点A（﹣3，2），当x＜﹣4时，求y的取值范围． 易错点6：k的几何意义与面积结合错 学习目标 · 能说出|k|的几何意义 · 会把斜三角形转化成标准图形 · 会由线段长度反求k 纠错指引 过双曲线上一点向坐标轴作垂线，与原点围成的矩形面积是 |k|、三角形面积是 |k|/2；遇到斜三角形先找同底等高或割补，转化成这两种标准图形再反求 |k|，最后别忘判符号。 精讲例题 例题6．（2026•让胡路区校级模拟）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在第二象限，连接OA，OB，AB，AB∥x轴，D为OB的中点，点A，D在同一个反比例函数图象上，过点B作BC⊥x轴于点C．若△OAB的面积等于9，则k的值（　　） A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 把三角形面积当成|k|，未除以2 · 中点条件没用上，A与D没建立联系 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固18．（2026•宁国市二模）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B是反比例函数图象上的两点，过点B作y轴的平行线与射线OA交于点C．若BC＝3，OA＝AC，点A的横坐标为3，则k的值为　 　 ． 即时巩固19．（2026•惠山区模拟）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两条边分别与坐标轴平行，AB过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线EF∥AB，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若AC＝4，BC＝8，则EF的长为　 　 ． 即时巩固20．（2025秋•鼓楼区校级期末）·【提升】如图，边长为1的5个正方形组成的L型的点D在反比例函数图象上，则k的值为　 　 ． 易错点7：几何图形中点坐标定位错 学习目标 · 能在几何图形中求曲线上点的坐标 · 会用平行与特殊角转写坐标 · 会结合勾股定理求边长 纠错指引 先在图上标出已知边与角，把平行、45°角、中点等条件转写成横纵坐标的关系（必要时用勾股列方程），再把点坐标代入 y＝k/x 求 k，不要凭图形估坐标。 精讲例题 例题7．（2026•广水市模拟）·【提升】如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 　 　 ． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 由45°推出边长关系这一步没写 · 把A与B的横坐标关系搞反 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固21．（2026•房山区一模）·【提升】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接AB，若四边形OACB是平行四边形，给出下面四个结论： ①； ②若A（2，1），OC＝4，则k2＝﹣4； ③S▱OACB＝|k1|+|k2|； ④当k1+k2＝0时，四边形OACB一定是正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 即时巩固22．（2026•西湖区校级开学）·【提升】如图，点A是函数的图象上的一点，点B，C的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点A都满足”求解下面问题：作∠BAC的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，若x轴上一点P的坐标为，则PF的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 即时巩固23．（2026•池州二模）·【提升】如图，点A在反比例函数第一象限的图象上，点B在反比例函数第三象限的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC＝BD＝k，AB，CD交于点E，若BO＝CE，则k的值为　 　 ． 易错点8：新定义条件理解不到位 学习目标 · 能读懂新定义并转写成等式 · 会把新定义与反比例函数联立 · 能找出定义中的隐含限制 纠错指引 新定义题先把文字定义逐句写成代数等式（如「k级变点」即 x′＝x、y′＝kx＋y），再与 y＝k/x 联立；求取值范围时注意定义里的隐含限制（如 k≠0、x＜0）。 精讲例题 例题8．（2026•海安市一模）·【提升】定义：若实数x，y，x′，y′满足x′＝x，y′＝kx+y（k为常数，且k≠0），则在平面直角坐标系中称点（x′，y′）为点（x，y）的“k级变点”．例如：（3，9）为（2，3）的“3级变点”． （1）若点（x，y）的“k级变点”的坐标为（3，4），则k的值为　 　 ； （2）若点Q是点P的“﹣3级变点”，且点Q在函数y（x＜0）的图象上，则线段OP的最小值为　 　 ． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把新定义当成新函数，没写成等式 · 漏掉定义中k≠0与x＜0的限制 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固24．（2026春•张店区期中）·【提升】在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1﹣y2＝2（x1﹣x2），则称点A和点B互为“和谐点”．已知C是以O为圆心1为半径的⊙O上的一点，若反比例函数的图象上存在点C的和谐点D，则k的取值范围是　 　 ． 易错点9：图象平移与性质表述混淆 学习目标 · 会求平移后图象与坐标轴的交点 · 能辨析增减性表述的正误 · 能判断图象所在的象限 纠错指引 图象向上平移 m 个单位，解析式变为 y＝k/x＋m，求与 x 轴交点就令 y＝0 解 x；辨析性质时务必加上「在每个象限内」这个前提，离开象限谈增减性就是错的。 精讲例题 例题9．（2026春•徐汇区校级月考）·【基础】将反比例函数图象向上平移两个单位后与x轴的交点坐标为　 　 ． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把上移写成k/(x＋2)，方向搞混 · 求交点时忘记令y＝0 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固25．（2026•苏家屯区一模）·【基础】已知反比例函数．下列选项正确的是（　　） A．点（1，6）在该函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 本专题错因自查清单 ☐ 双图象共存漏用k的约束 ☐ 跨象限比大小误用增减性 ☐ 由大小反推范围漏情况 ☐ 判断点是否在图象上出错 ☐ 取值范围互求漏看分支 ☐ k的几何意义与面积结合错 ☐ 几何图形中点坐标定位错 ☐ 新定义条件理解不到位 ☐ 图象平移与性质表述混淆 过关测试（综合检测） 1．（2026•巴中）·【提升】函数y＝kx﹣k与y（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•湘阴县期中）·【提升】在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx﹣m与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•锦江区校级月考）·【提升】在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，3这七个数中，随机选取一个数，记为a，那么使得关于x的反比例函数的图象位于第一、三象限，且使得关于x的方程有整数解的概率为 　 　 ． 4．（2026•宁波模拟）·【提升】已知点M（t2，1）、N（3﹣2t，n）在反比例函数图象上，若OM＞ON，则t的取值范围是　 　 ． 5．（2026•北京）·【提升】如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正半轴上的点P作x轴的平行线，分别交函数y（x＞0）和y（x＜0）的图象于点A，B．过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接AC交y轴于点Q，则的值为　 　 ． 6．（2026•雁塔区校级模拟）·【提升】如图，反比例函数的图象与△ABC的两边AB，BC分别交于点，F（n，1）．已知AB∥x轴，点A在y轴上，点C在x轴上，点F为BC的中点，则m+n＝　 　 ． 7．（2026•白银模拟）·【提升】若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，x1＞0＞x2，则y1与y2的大小关系是 　 　 ． 8．（2024秋•岳阳期中）·【基础】已知反比例函数y（k常数，k≠1）． （1）若点A（1，﹣2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若k＝5，试判断点B（，﹣8）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 9．（2026•滨江区校级一模）·【提升】在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，其中k＞0，点A，B的横坐标分别为m﹣2，m+1． （1）若m＞2，设点A，B的纵坐标分别为y1，y2，比较y1与y2的大小，并说明理由； （2）过点B作直线l平行于y轴，点P从点A出发，沿水平方向运动到直线l上，再沿l运动到点B，运动路程记为d（运动路线不重复）若过点A、B的直线经过一、三象限，且k＝﹣（m﹣2）（m+1），则对于任意实数m，路程d是否为定值？若是，求出d的值；若不是，请说明理由． 10．（2025春•钱塘区期末）·【提升】已知A（x1，y1）B（x2，y2）是反比例函数图象上的两点． （1）若x1＝1，x2＝﹣3，求y1﹣y2的值． （2）若A，B关于原点中心对称，求x1y2+x2y1的值． （3）当x1＝m﹣2，x2＝m+2，y1＜y2时，求m的取值范围． 11．（2025春•海淀区校级月考）·【提升】在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），Q（﹣1，2），函数y． （1）当函数的图象经过点P时，求m的值． （2）若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组（m＞0），直接写出m的取值范围． 12．（2024春•商水县期中）·【提升】已知反比例函数的图象经过第一、三象限． （1）求k的取值范围． （2）若a＞0，此函数的图象经过（a+6，y1），（2a+3，y2）两点，且y1＜y2，求a的取值范围． 苏科版2024 · 反比例函数的图象与性质 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $