第二十九章 圆 单元小结（复习课件）数学新教材人教版九年级上册

人教版(新教材) 九年级上册 第二十九章 圆 单 元 小 结 第二十九章 圆 环节一：圆的定义与性质 1.圆的定义： （1）描述性定义（动态）： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆. O （2）集合性定义（静态）：圆心为O，半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. r 注 意 A ①圆是一条封闭曲线. ②确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ③圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. O · A 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：圆的定义与性质 2.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆的圆弧. 5.优弧:大于半圆的圆弧. 6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. A · O B C 劣弧 优弧 直径 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：：圆的定义与性质 3.点与圆的位置关系： O r P d O r P d O r P d 点P在⊙O外 点P在⊙O上 点P在⊙O内 d > r d = r d < r 特别说明： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的， 即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 M' O M A B N 环节一：：圆的定义与性质 4 圆的对称性质 （1）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. （2）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合； 圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：圆的定义与性质 O C 5. 圆的确定： A B 经过不在同一条直线上的三点确定一个圆 6.三角形的外接圆： 经过三角形三个顶点的圆角三角形外接圆，三角形式圆的内接三角形 注意: (1) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点； (2) 一个三角形的外接圆是唯一的. 7.外心：三角形的外接圆的圆心叫作这个三角形的外心. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：圆的定义与性质 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点， 8. 三角形外心的位置 钝角三角形的外心位于三角形外. 锐角三角形的外心位于三角形内， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：垂径定理及其推论 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的________. 两条弧 O M M′ A B N 9.垂径定理及推论： 条件 结论 (1)直线过_____； (2)直线和弦_____； (3)直线____弦； (4)直线____弦所对的劣弧； (5)直线____弦所对的优弧； 圆心 垂直 平分 平分 平分 AB是⊙O的直径 AB⊥MM′ MN=M′N MA=M′A MB=M′B 【注意】①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. （2）垂径定理的推论： 环节二：垂径定理及其推论 O M M′ A B N （3）根据垂径定理与推论总结 对于一个圆和一条直线来说.如果具备： 过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 知 二 推 三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：垂径定理及其推论 O M M′ A N （4）常用辅助线：作(找)垂径，构造直角三角形 圆中与弦有关的计算或证明问题，利用垂径定理，连接半径，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算. d r a 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：垂径定理及其推论 例1.（2023秋·浙江台州·九年级校考期中）我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭(图1)，图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG=4m， FH=2.4m， 点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？   解：过点O作FG的垂线，垂足为M，过点O作PQ的垂线，垂足为N， ∵PQ⊥FG，∴四边形MONH是矩形， 则(m)，(m)， ∵O到FG，PQ的距离之比为，即， ∴(m)，连接OF和OP，则在直角三角形OFM中， (m)， ∴直角三角形OPN中， (m)， ∴(m)故则PH的长约为1.2米． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. A O r B O A B A' B' (A') (B') （2）圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 10.圆心角定义及其性质 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，这三组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. （3）圆心角定理推论： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：与圆有关的角 弦、弧、圆心角的关系定理及推论应用： 前提：在同圆或等圆中. O A B B′ A′ O A B B′ A′ O B′ A′ A B 圆心角相等 弧相等 弦相等 结果：知一推二 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：与圆有关的角 11.圆周角及其性质 （1）圆周角： 顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. A O r B C 圆周角 ①同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ② 90°的圆周角所对的弦为直径； 半圆或直径所对的圆周角为直角. （2）圆周角的定理： 一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ∠ACB = ∠AOB （3）圆周角的定理推论： 【注意】 “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； 等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”； “同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：与圆有关的角 （4）圆周角的定理拓展： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 r A B C O ∟ 示例： 如图，△ABC中，OB是中线且OB=AC，则△ABC是直角三角形 理由： ∵△ABC中，OB是中线且OB=AC， ∴OA=OB=OC， ∴A、B、C三点在以O点为圆心，AC为直径的圆上 ∴∠ABC=90° 即△ABC是直角三角形 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 环节三：与圆有关的角 （5）圆内接四边形的性质： （6）四点共圆的条件： · O D B C A E · O D B C A ①对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上 ∵∠A+∠C=180°， ∴A,B,C,D四点在同一个圆上 D B C A ∟ ∟ ∵∠A=∠D=90°， ∴A,B,C,D四点在同一个圆上 拓展 · O 拓展 · O D B C A ∵∠A=∠D， ∴A,B,C,D四点在同一个圆上 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节四：弧长和扇形面积 n° 12.圆中弧与扇形的计算： R 周长：C=2πR 面积：S=πR2 （2）半径为R，圆心角为n°的圆心角所对的弧长的计算公式： l = O （3）半径为R，圆心角为n°的扇形面积的计算公式： S扇形 = = ××R S扇形 = l弧 R. 已知S扇形，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个. （1）半径为RD 圆的周长和面积： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节五：圆锥的侧面展开图 （1）圆锥是由一个____和一个____围成的几何体，连接圆锥____和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接顶点和________的线段叫做圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图是一个____，其半径为圆锥的____，弧长是圆锥底面圆的 ． 底面 侧面 顶点 底面圆心 扇形 母线 周长 侧面 展开图 r l母线 l母线 （3）圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式： S侧 = l弧长R = ×2πr×l母线 S侧 = πrl母线 S全= S底+S侧 = πr(r+l母线) l母线2＝h2＋r2 h 13.圆锥的计算： l弧长 l弧长=2πr 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例2.如图，分别过的直径上的点，作弦， ，若， .求证： （1） ； （2） . 证明： （1）如图，连接， . ， . 为直径， ， . （2）， ， ， . ，即 . ， . 又， . 又， . 例题讲解 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例3.（2025•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） 解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． O A． B．2 C． D． B 例题讲解 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例4.如图，已知圆锥的底面圆的半径r为10 cm，母线长l为40 cm，求它的侧面展开图的圆心角和它的全面积． 解：设侧面展开图的圆心角为n°. ∴的长为2πr＝20π cm. ∵SA＝40 cm， ∴20π＝，解得n＝90， ∴它的侧面展开图的圆心角为90°， ∴S全＝S侧＋S底＝＋100π＝500π(cm2). 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂小结与知识梳理 圆 圆有关的概念 点与圆的位置关系 过三点的圆 圆有关的性质 圆的 对称性 圆的 轴对称性 圆的 旋转对称性 垂径定理 弧、弦、圆心角 之间的关系 同弧所对圆周角和圆心角的关系 圆有关的计算 弧长 扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 1.下列命题中，真命题的个数是（    ） ①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弦相等；③等边三角形的外心与内心重合；④任意三点可以确定一个圆；⑤三角形有且只有一个外接圆． A．0 B．1 C．2 D．3 解： 能够完全重合的弧是等弧，故①假命题； 在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故②是假命题， 等边三角形的外心与内心重合；故③是真命题， 不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故④是假命题， 三角形有且只有一个外接圆，故⑤是真命题； C 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 2．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（    ）  A．4 B．6 C．8 D．9 解：连接如图所示：  ∵，， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴的直径为： C 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 3.小明在做一个实验，把一个球放在透明的长方体盒子内，球的一部分露出盒外，过球心的截面示意图如图所示，经测量知，盒子的高，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 解：如图所示，过点O作交于点N，交于点M，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ， 在中，根据勾股定理得 B M ∟ N 即， ， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 4.下列命题正确的是(   ) A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．三点确定一个圆 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 解： （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角和圆周角相等，故A选项正确； （2）平分弦（不是直径）的直径平分线弦，并且平分弦所对的两条弧，故B选项不正确； （3）不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故C选项不正确； （4）再同圆或等圆中，相等的弦所对的弧可以为优弧也可为劣弧，故D选项中说相等所以不对， A 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 5．如图，在中，已知弦，，，则的半径长为 . 解：作直径，连接，如图所示： ∵， 而， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 6.如图，用一张边长为6 cm的等边三角形铁皮，剪下一个面积最大的扇形ADE，围成一个圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则围成圆锥形工件的底面圆半径为(　　)  A. cm B. cm C. cm D.3 cm 解：∵扇形ADE是面积最大的扇形， ∴以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切，设切点为F，连接AF， ∴∠AFB=90°，AD=AF. ∵△ABC为等边三角形， ∴BF=CF=BC=3 cm，∠BAC=60°， ∴AD=AF==3 cm. 设围成圆锥形工件的底面圆半径为r cm， 根据题意得2πr=，解得r=， ∴围成圆锥形工件的底面圆半径为 cm， B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 7.如图，是半圆O的直径，且，点C，D，E将半圆O四等分，连接，其中交于点F，求图中阴影部分的周长． 解：如图，连接， ∵点C，D，E将半圆O四等分， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴阴影部分的周长为， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 8.如图，中， ， ，，以 为直径的半圆交斜边于点，以点为圆心， 的长为半径画弧，交于点 ，求图中阴影部分面积（结果保留 ）． 课堂演练 解：如图，连接 ， , ， , . ，, . 是直径， . , 是的中点， 是 的中线， . 易知 . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 9 .（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，求的度数 解：如图，延长到H， 四边形内接于， ， ， ，，的度数之比为， ，，，的度数之比为， ， ， ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 10.在数学试验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用某作图软件画出如图所示的示意图. 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到的，所以它们的侧面积相等.”你认同小亮的说法吗？请说明理由. 甲 乙 解：　本题通过作图软件作出两个圆锥，考查圆锥的侧面积的大小比较. 我不认同小亮的说法. 理由：设直角三角尺的边BC的长为a，则AC=a，AB=2a， 则甲圆锥的侧面积为π·BC·AB=π×a×2a=2πa2， 乙圆锥的侧面积为π·AC·AB=π×a×2a=2πa2， ∴它们的侧面积不相等，∴我不认同小亮的说法. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 11.[中考·遂宁]我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出的4 个四边形．其中是邻等内接四边形的有________(填序号)． ③ 课堂演练 (2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AB=AD，求四边形ABCD的面积． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 即()2-x2=32-(-x)2，解得x=0.7. ∴OH=0.7,AH=2.5-0.7=1.8. ∴BH=2=2.4. ∴BD=2.4×2=4.8. ∵BC是直径，∴∠BDC=90°. ∵BH=DH，BO=OC， ∴OH是△BDC的中位线. ∴DC=2HO=1.4. ∴S△BDC=×BD×DC=×4.8×1.4=3.36， S△BDA=×BD×AH=×4.8×1.8=4.32. ∴S四边形ABCD=S△BDC+S△BDA=3.36+4.32=7.68． 11.[中考·遂宁]我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． 课堂演练 (2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AB=AD，求四边形ABCD的面积． 解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4， ∴BC==5. ∵四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90°， ∴A,B,C,D四点共圆，且BC为直径. 如图，把BC的中点记为点O， 即A,B,C,D四点在⊙O上， 连接BD，AO交于点H. ∵BC=5，∴BO=OA=. O 设OH=x，则AH=-x. ∵AB=AD，∴易得AO⊥BD，BH=DH. 在Rt△ABH中，BH2=AB2-AH2； 在Rt△BOH中，BH2=BO2-OH2， ∴BO2-OH2=AB2-AH2， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 谢谢聆听 $