第二十九章 圆 章末复习课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦人教版九年级上册“圆”章末复习，核心涵盖圆的概念、性质及计算。课堂导入通过5个问题支架，梳理从圆的确定要素、垂径定理到圆心角圆周角关系、外接圆及弧长扇形面积公式的知识脉络。 其亮点在于以问题驱动复习，结合排水管、桨轮船等实际例题及多解法展示，渗透数学眼光（抽象现实问题）和数学思维（推理与运算）。帮助学生构建知识体系提升解题能力，为教师提供系统复习资源，提高教学效率。

第二十八章章末复习 人教版九年级上册数学 　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！ 　　1．圆的位置及大小由哪些要素确定？如何从点的集合的角度理解圆的概念？点和圆有怎么的位置关系？ 　　2．垂直于弦的直径有什么性质？在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？ 　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！ 3．同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？ 　　 4．你能用直尺和圆规作出一个三角形的外接圆吗？圆的内接四边形有什么性质？ 5．怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形面积公式？ 　　∴ ⊙ O的直径为12， 　　∴ ⊙O中弦AB的长度小于或等于12， 　　故选 D． 　　例1　已知⊙O 的半径为 6，则⊙O中弦AB的长度不可能是（　　） 　 　 A．6 B．8 C．12 D．13 考点一　圆的有关概念 　　解析：∵⊙O的半径为6， D 弦长的范围 　　（1）在同一个圆中，直径是最长的弦； 　　（2）若圆半径为 r，则弦长范围：0＜弦长≤2r． 判断弦能否存在，只需对比长度和直径大小． 考点一　圆的有关概念 　　∴点 P 在 ⊙O 内． 　　故选 C． 　　例2　若 ⊙O 的半径为 2，在同一平面内，点 P 与圆心 O 的距离为 1，则点 P 与 ⊙O 的位置关系是（　　） 　 　 A．点 P 在 ⊙O 外 B．点 P 在 ⊙O 上 C．点 P 在 ⊙O 内 D．无法确定 考点一　圆的有关概念 　　解析：∵ ⊙O 的半径为 2，在同一平面内， 点 P 与圆心O的距离为 1， 1＜2， C 点与圆的位置关系 　　 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d： 　　 d ＞ r → 点在圆外； 　　 d = r → 点在圆上； 　　 d ＜ r → 点在圆内． 考点一　圆的有关概念 　　由题意，知 OA＝OD＝1 m，EA＝0.6 m， 　　根据勾股定理，得 OE＝0.8 m． 　　∵EF＝0.2 m， 　　在 Rt△ODF 中，FD＝ ＝0.8 m， 　　∴CD＝1.6 m． 　　例3　一条排水管的截面如图，已知排水管的半径 OA 为 1 m，水面宽 AB 为1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了 0.2 m，则此时排水管水面宽 CD 等于_______m． 考点二　垂径定理及其推论 D B A C F E O 　　解析：如图，连接 OD，作 OE⊥AB，垂足为 E，与 CD 交于点 F．  1.6 ∴ OF＝0.6 m． 考点二　垂径定理及其推论 　　常用的辅助线： 　　在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算，在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个． 考点二　垂径定理及其推论 　　1．如图①，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船．如图②，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m，轮子的吃水深度CD为2m，半径OC⊥AB于点D，则该桨轮船的轮子直径为（　　） 　　A．4 m B．5 m C．8 m D．10 m 考点二　垂径定理及其推论 　　证明：如图，连接OA． 　　 设半径为r m，则OA＝OC＝r m ， ∴OD＝（r2）m，AD＝4 m ． 　　 在Rt△ODA中，由勾股定理得 　　 OA2＝OD2+ AD2， 　　 ∴ r2＝（r2）2+ 42，解得r＝5， 　　 则该桨轮船的轮子直径为10m． 　　 故选D． 垂径定理及其推论的四个应用 　　（1）计算线段的长度：常构造直角三角形，结合勾股定理进行计算； 　　（2）证明线段相等：根据垂径定理平分线段推导线段相等； 　　（3）证明等弧； 　　（4）证明垂直：根据垂径定理的推论证明线段互相垂直． 考点二　垂径定理及其推论 考点三　与圆心角、圆周角有关的计算 　　例4　如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，求∠BCD 的大小． 　　分析：进行与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解． D A C B E O 考点三　与圆心角、圆周角有关的计算 　　解：连接 AC，则∠ACD＝∠E＝20°． 　　∵AB 是⊙O 的直径， 　　∴∠ACB＝90°， 　　∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB 　　　　　　＝20°＋90°＝110°． 　　见到直径，构造直径所对的圆周角，这是圆中重要的辅助线作法． D A C B E O 14 考点三　与圆心角、圆周角有关的计算 　　例5　如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠BDC＝130°，则∠ABC的度数为（　　） 　　解析：∵四边形 ABCD 是半圆O的内接四边形， 　　∴∠A+∠BDC＝180°． 　　∵∠BDC＝130°， 　　∵AB是半圆O的直径， ∴∠A+∠ABC＝90°， 故选 A． ∴∠A＝50°， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝40°． A 15 利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路 　　（1）在同圆或等圆中，要证明弧相等，考虑证明这两条孤所对的圆周角相等． 　　（2）在同圆或等圆中，要证明圆周角相等，考虑证明这两个圆周角所对的弧相等． 　　（3）当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题． 　　（4）涉及圆的外部的角时，可利用圆内接四边形转到圆的内部处理． 考点三　与圆心角、圆周角有关的计算 考点三　与圆心角、圆周角有关的计算 　　2．如图，A，D 是⊙O上的两个点，BC 是直径．若∠D＝32°，则∠OAC 等于（　　）．  A．64°　　　　B．58°　　　　C．72°　　　　 D．55° 　　解析：方法 1：∵∠D＝32°， 　　∴∠AOC＝2∠D＝64°． 　　∵OA＝OC， 　　∴∠OAC＝(180°－64°)＝58°． D A C B O 考点三　与圆心角、圆周角有关的计算 　　2．如图，A，D 是⊙O上的两个点，BC 是直径．若∠D＝32°，则∠OAC 等于（　　）．  A．64°　　　　B．58°　　　　C．72°　　　　 D．55° 　　解析：方法 2：如图，连接 AB，则∠B＝∠D＝32°， D A C B O 　　∵BC为⊙O 的直径，　　 　　∴∠B＋∠ACB＝90°， 　　∴∠ACB＝58°． 　　∵OA＝OC，　　 ∴∠BAC＝90°， ∴∠OAC＝∠ACB＝58°． 18 考点三　与圆心角、圆周角有关的计算 　　2．如图，A，D 是⊙O上的两个点，BC 是直径．若∠D＝32°，则∠OAC 等于（　　）．  A．64°　　　　B．58°　　　　C．72°　　　　 D．55° 　　解析：方法 3：如图，延长 AO 交⊙O 于点 E． D A C B O B E 　　∵∠D＝32°，　 　　∵AE 为⊙O 的直径， 　　∴ 所对的圆心角为180°， 　　∴ 所对的圆心角为116°， 　　∴∠OAC＝58°． ∴ 所对的圆心角为 64°， 　　解析：连接 BC． 考点四　与圆有关的计算 　　例6　如图，从一块直径为 24 cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为 90°的扇形 ABC，使点 A，B，C 在圆周上，则剪下的扇形的弧长是________cm（结果保留 π）． A C B O 　　∵∠BAC＝90°， 　　∴BC 是直径． 　　∵AB＝AC，BC＝24 cm， 　　∴AB＝AC＝12 cm， 　　∴ 的长＝ ＝6 π cm． 6 π 考点四　与圆有关的计算 　　例7　如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 的三等分点，若弦 CD＝2，则图中阴影部分的面积为________． 　　解析：如图，连接 OC，OD，BD． 　　∵C，D 是半圆 O 的三等分点， 　　∴∠1＝∠2＝∠3＝60°． 　　∴△OCD与△OBD都是等边三角形， ∴∠4＝60°，OB＝CD＝2． 　　∵∠3＝∠4＝60°，　　 O D C A B 3 2 1 4 21 考点四　与圆有关的计算 　　例7　如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 的三等分点，若弦 CD＝2，则图中阴影部分的面积为________． 　　　∴CD∥AB，　 ∴S△OBD＝S△OCD＝S△BCD， ∴S阴影＝S△BCD＋S弓形 ＝S△OBD＋S弓形 ＝S扇形OBD ＝ ＝ π． O D C A B 3 2 1 4 π 22 考点四　与圆有关的计算 　　与圆有关的计算问题包括圆的面积和周长、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积等．求弧长及扇形面积时，一要准确记忆相关公式；二要会合理转化图形，即化立体图形为平面图形，化不规则图形为规则图形． 考点四　与圆有关的计算 　　3．如图，分别以五边形 ABCDE 的顶点为圆心，1 为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（　　）． A． π　　　　　B．3π　　　　　C． π　　　　　D．2π 　　解析：∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， 　　∴所有阴影部分扇形的圆心角之和为 5×360°－540°＝1 260°， 　　∴图中阴影部分的面积之和为 ＝ π． D C A B E C 考点四　与圆有关的计算 　　4．如图，已知扇形的圆心角为 120°，面积为 300π cm2．  　　（1）求扇形的弧长； 　　（2）若将此扇形卷成一个圆锥，那么这个圆锥的侧面积和全面积分别为多少？ 　　解：（1）∵300π＝ ， 　　∴R＝30 cm． 　　∴弧长 l＝ ＝20π cm． 考点四　与圆有关的计算 　　4．如图，已知扇形的圆心角为 120°，面积为 300π cm2．  　　（2）若将此扇形卷成一个圆锥，那么这个圆锥的侧面积和全面积分别为多少？ 　　解：（2）设圆锥的底面半径为 r cm． 　　∵此扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 　　∴20π＝2πr，解得 r＝10 cm． 　　由题意，知 S侧面积＝300π cm2， 　　∴S全面积＝π×102＋300π＝400π cm2． 圆的有关概念 圆的有关概念 点与圆的位置关系 圆的有关性质 圆的轴对称性—— 垂径定理 圆周角定理及其推论 圆的旋转对称性——弧、弦、圆心角之间的关系 圆内接四边形 弧长和扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 过三点的圆 弧长公式 扇形面积公式 圆 $