第11讲 与圆有关的位置关系 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“与圆有关的位置关系”，涵盖点与圆、线与圆的位置关系，切线性质与判定、切线长定理及三角形内切圆等核心内容。通过海上日出情境导入线与圆关系，结合动态演示（如点拖动观察d与r变化），引导学生从直观感知过渡到数量刻画，构建“定义—动态演示—数量关系—应用”的学习支架。 其亮点在于以动态演示（如点与圆位置关系的d、r参数变化）培养几何直观，落实数学眼光；通过切线判定“连半径，证垂直”等推理过程强化逻辑思维，发展数学思维；以规范几何语言（如“内心到三边距离相等”）促进数学表达。例如切线长定理例题利用等长关系求△PCD周长，既巩固知识又提升应用能力，助力学生直观理解与逻辑推理，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

wkwkwwwkh 讲次： 与圆有关的位置 关系 thmlhnihnlnlalolnlhanltluln 模块： 点与圆的位置关 系 tlhtahnlnlhnlinlnililtolili 知识解读 AIXUEXI 点与圆的位置关系 8 9 8 ②思考 思考点与圆有什么样的位置关系 P笔记 。点与圆的位置关系 笔记 点与圆的位置关系有三种： 点在圆内：点在圆的内部. 如图，点A在圆内 点在圆上：点在圆周上 如图，点B在圆上 点在圆外：点在圆的外部 如图，点C在圆外 ⑦思考 眼拙看不清点在哪儿， 怎么用数量刻画点与圆的位置关系？ ·动态展示 点与圆的位置关系 动态展示点与圆的位置关系 动态演示： d=2.9516 r=6.5 d<r点在圆内 提示：点B也可拖动 半径 点吸附圆上 点与圆的位置关系 动态展示点与圆的位置关系 动态演示： d=6.5 r=6.5 d=r点在圆上 提示：点B也可拖动 半径 点吸附圆上 点与圆的位置关系 动态展示点与圆的位置关系 动态演示： d=3.63652 r=6.5 d<r点在圆内 提示：点B也可拖动 半径 点吸附圆上 点与圆的位置关系 动态展示点与圆的位置关系 动态演示： d=9.03105 r=6.5 d>r点在圆外 提示：点B也可拖动 半径 点吸附圆上 点与圆的位置关系 笔记 设圆的半径为r,设一个点到圆心的距离为d, 则有： 点在圆内 点在圆上 点在圆外 P一点画圆 点与圆的位置关系 笔记 设圆的半径为r,设一个点到圆心的距离为d, 则有： 点在圆内 d<r 点在圆上 点在圆外 P一点画圆 点与圆的位置关系 笔记 设圆的半径为r,设一个点到圆心的距离为d, 则有： 点在圆内 > d<r 点在圆上 <> d=r 点在圆外 > P一点画圆 点与圆的位置关系 笔记 设圆的半径为r,设一个点到圆心的距离为d, 则有： 点在圆内 > d<r 点在圆上， <>d=r 点在圆外 > d>r P一点画圆 点与圆的位置关系一一 点画圆 确定一点A,过点A可以画多少个圆？ Q探究 圆心的位置在哪？ 动态演示： 过一点作圆 规律作圆1 规律作圆2 ● 无规律作圆 ● 归位 答： 点与圆的位置关系一一 点画圆 确定一点A,过点A可以画多少个圆？ Q探究 圆心的位置在哪？ 动态演示： 过一点作圆 规律作圆1 规律作圆2 无规律作圆 ● 归位 答： ◆点与圆的位置关系一一 点画圆 确定一点A,过点A可以画多少个圆？ Q探究 圆心的位置在哪？ 动态演示： 过一点作圆 规律作圆1 规律作圆2 ● 无规律作圆 ● 归位 答： 点与圆的位置关系一一 点画圆 Q探究 确定一点A,过点A可以画多少个圆？ 圆心的位置在哪？ 动态演示： 过一点作圆 规律作圆1 规律作圆2 无规律作圆 ● 归位 答： 点与圆的位置关系一一点画圆 确定一点A,过点A可以画多少个圆？ Q探究 圆心的位置在哪？ 动态演示： 过一点作圆 规律作圆1 规律作圆2 无规律作圆 归位 答：可以画无数个！ 圆心可以在除 以外任意位置 点与圆的位置关系一一点画圆 确定一点A,过点A可以画多少个圆？ Q探究 圆心的位置在哪？ 动态演示： 过一点作圆 规律作圆1 规律作圆2 无规律作圆 归位 答：可以画无数个！ 圆心可以在除点4以外任意位置 P两点画圆 ◆点与圆的位置关系— 两点画圆 Q探究 过A、B两点，可以画多少个圆？ 圆心的位置在哪？ 动态演示： B 两点确定圆 ● 画圆 A 答： ◆点与圆的位置关系一 两点画圆 Q探究 过A、B两点，可以画多少个圆？ 圆心的位置在哪？ 动态演示： 两点确定圆 画圆 答： ◆点与圆的位置关系一 两点画圆 Q探究 过A、B两点，可以画多少个圆？ 圆心的位置在哪？ 动态演示： 两点确定圆 画圆 答： ◆点与圆的位置关系一 两点画圆 Q探究 过A、B两点，可以画多少个圆？ 圆心的位置在哪？ 动态演示： 两点确定圆 画圆 答：可以画无数个！ 圆心在线段AB的 上. ◆点与圆的位置关系一 两点画圆 Q探究 过A、B两点，可以画多少个圆？ 圆心的位置在哪？ 动态演示： 两点确定圆 画圆 ● 答：可以画无数个！ 圆心在线段AB的垂直平分线上. P三点画圆 点与圆的位置关系一三点画圆 Q探究 过三点A、B、C,可以画几个圆？ 动态演示： 三点确定圆 提示：A,B,C可拖动 ■ 显示中垂线 任意连接 ● B 答： 点与圆的位置关系一三点画圆 Q探究 过三点A、B、C,可以画几个圆？ 动态演示： 三点确定圆 提示：A,B,C可拖动 ☑显示中垂线 任意连接 ● 答： 点与圆的位置关系一三点画圆 Q探究 过三点A、B、C,可以画几个圆？ 4- 动态演示： 三点确定圆 提示：A,B,C可拖动 ☑显示中垂线 任意连接 ● B 答： >点与圆的位置关系一三点画圆 Q探究 过三点A、B、C,可以画几个圆？ 动态演示： 三点确定圆 提示：A,B,C可拖动 ☑显示中垂线 任意连接 ● B 答：分两种情况： ①A、B、C三点不在同一条直线上， 有确定的圆，圆心是AB、BC ②A、B、C三点共线，不能画圆. >点与圆的位置关系一三点画圆 Q探究 过三点A、B、C,可以画几个圆？ 动态演示： 三点确定圆 提示：A,B,C可拖动 ☑显示中垂线 任意连接 ● B 答：分两种情况： ①A、B、C三点不在同一条直线上， 有唯二确定的圆，圆心是AB、BC ②A、B、C三点共线，不能画圆. >点与圆的位置关系一三点画圆 Q探究 过三点A、B、C,可以画几个圆？ 动态演示： 三点确定圆 提示： A,B,C可拖动 ☑显示中垂线 任意连接 ● 答：分两种情况： ①A、B、C三点不在同一条直线上， 有唯二确定的圆，圆心是AB、BC垂直平分线的交点 ②A、B、C三点共线，不能画圆 D外心 点与圆的位置关系 笔记 外心的性质： 性质1：外心到各顶点的距离相等， 即AO=BO=CO. B 性质2：对于给定的三角形，其外心唯一， 但一个圆的内接三角形有无数个， 这些三角形的外心重合. ⑦思考 点与圆的位置关系 笔记 外心的性质： 性质1：外心到各顶点的距离相等， 即AO=BO=CO. B 性质2：对于给定的三角形，其外心唯一， 但一个圆的内接三角形有无数个， 这些三角形的外心重合. ②思考 外心与三角形有什么位置关系？ ●外心与三角形位置关系 点与圆的位置关系 笔记 外心与三角形： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外接圆圆心 外接圆圆心 外接圆圆心 在它的 在斜边 在它的 点与圆的位置关系 笔记 外心与三角形： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外接圆圆心 外接圆圆心 外接圆圆心 在它的内部 在斜边 在它的 点与圆的位置关系 笔记 外心与三角形： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外接圆圆心 外接圆圆心 外接圆圆心 在它的内部 在斜边中点 在它的 点与圆的位置关系 笔记 外心与三角形： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外接圆圆心 外接圆圆心 外接圆圆心 在它的内部 在斜边中点 在它的外部 点与圆的位置关系 笔记 点到圆上的点的距离最大值和最小值 如图，求平面内任意一点P到圆O上的点 的距离最大值和最小值： (1)把点P和圆心O相连并延长； (2)直线PO与圆有两个交点A、B, B 设B为离P更近的交点； A (3)PA的长即为所求距离最大值， PB的长即为所求距离最小值. 例1 (1).⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm, 则点A与⊙的位置关系为（) A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定 答秦 例1 (1).⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm, 则点A与⊙的位置关系为（) A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定 答秦B 例1 (2).在平面直角坐标系中，点的坐标为(2,0)，⊙的半 径为4，那么点P(-2,3)与⊙M的位置关系是（) A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 答秦 例1 (2).在平面直角坐标系中，点的坐标为(2,0)，⊙的半 径为4，那么点P(-2,3)与⊙M的位置关系是（) A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 答案C 练1.1 ⊙O的半径为4cm,点A到圆心O的距离OA=4.5cm,则点A 与⊙O的位置关系为() A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定 答秦 解析 练1.1 ⊙O的半径为4cm,点A到圆心O的距离OA=4.5cm,则点A 与⊙O的位置关系为（) A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定 答案C 解析由OA>r,所以点在圆外 thmlhnihnlnlalolnlhanltluln 模块： 线与圆的位置关 系 tlhtahnlnlhnlinlnililtolili 知识解读 AIXUEXI 线与圆的位置关系 你看过海上的日出么？ 太阳先是露出海平面一些 ◆太阳刚露出海平面 线与圆的位置关系 然后刚好全部露出海平面 P太阳完全升起 线与圆的位置关系 最后完全升起 ②思考 太阳和海平线有几种位置关系呢？ 由此能得出直线和圆的位置关系吗？ 。直线和圆的位置关系 线与圆的位置关系 笔记根据圆心O到直线的距离确定直线和圆的位置关系： 直线和圆相交→d_P公共点 直线和圆相切→d_r一_公共点 直线和圆相离→dr_公共点 线与圆的位置关系 笔记根据圆心O到直线的距离确定直线和圆的位置关系： 直线和圆相交→d≤P_公共点 a 直线和圆相切→d_r一_公共点 直线和圆相离→dr_公共点 线与圆的位置关系 笔记根据圆心O到直线的距离确定直线和圆的位置关系： 直线和圆相交→d≤r2个公共点 直线和圆相切→d_r一_公共点 直线和圆相离→dr_公共点 线与圆的位置关系 笔记根据圆心O到直线的距离确定直线和圆的位置关系： 直线和圆相交→d≤P2个公共点 直线和圆相切→d三r-_公共点 直线和圆相离→dr_公共点 线与圆的位置关系 笔记根据圆心O到直线的距离确定直线和圆的位置关系： 直线和圆相交→d≤P2个公共点 直线和圆相切→d三r1个公共点 直线和圆相离→dr公共点 线与圆的位置关系 笔记根据圆心O到直线的距离确定直线和圆的位置关系： 直线和圆相交→d≤r2个公共点 d 直线和圆相切→d三r1个公共点 直线和圆相离→d>r公共点 线与圆的位置关系 笔记根据圆心O到直线的距离确定直线和圆的位置关系： 直线和圆相交→d≤r2个公共点 d 直线和圆相切→d三r1个公共点 直线和圆相离→d>r无公共点 一割线和切线 线与圆的位置关系 笔记 割线：直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线 切线：直线和圆一，这条直线叫做圆的切线 d 线与圆的位置关系 笔记 割线：直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线 切线：直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线 d P练习 线与圆的位置关系 练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC3cm,AC4cm, 以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与 直线AB的关系是 分析：根据勾股定理可知 AB=cm 作CD⊥AB于D点 则 的长表示圆心C到AB的距离 由 CD·AB 得CD=__cm 2 CD r .⊙C与直线AB 线与圆的位置关系 练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC3cm,AC4cm, 以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与 直线AB的关系是 分析：根据勾股定理可知 AB=5 cm 作CD⊥AB于D点 则 的长表示圆心C到AB的距离 由 CD·AB 得CD=__cm 2 CD r .⊙C与直线AB 线与圆的位置关系 练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC3cm,AC4cm, 以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与 直线AB的关系是 分析：根据勾股定理可知 AB=5cm 作CD⊥AB于D点 则CD的长表示圆心C到AB的距离 由 CD·AB 2 得CD=__cm CDr .⊙C与直线AB 线与圆的位置关系 练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC3cm,AC4cm, 以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与 直线AB的关系是 分析：根据勾股定理可知 AB=5 cm 作CD⊥AB于D点 则CD的长表示圆心C到AB的距离 AC·BC 由 CD·AB 2 -2 得CD=_cm CDr .⊙C与直线AB 线与圆的位置关系 练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC3cm,AC4cm, 以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与 直线AB的关系是 分析：根据勾股定理可知 AB=5 cm 作CD⊥AB于D点 则CD的长表示圆心C到AB的距离 AC·BC 由 CD·AB 2 得CD=2.4cm 2 CDr .⊙C与直线AB 线与圆的位置关系 练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC3cm,AC4cm, 以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与 直线AB的关系是 分析：根据勾股定理可知 AB=5 cm 作CD⊥AB于D点 则CD的长表示圆心C到AB的距离 AC·BC 由 CD·AB 2 得CD=2.4cm 2 .'CD≤r .⊙C与直线AB 线与圆的位置关系 练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC3cm,AC4cm, 以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与 直线AB的关系是相交， 分析：根据勾股定理可知 AB=5 cm 作CD⊥AB于D点 则CD的长表示圆心C到AB的距离 AC·BC 由 CD·AB 2 2 得CD=2.4cm CD<r .⊙C与直线AB相交 例2 (1).在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以 点C为圆心，2为半径的圆与AB的位置关系是（) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 答案 (2).已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3, 则直线AB与⊙O的位置关系为（) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相切或相交 答案 例2 (1).在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以 点C为圆心，2为半径的圆与AB的位置关系是（) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 答秦 C (2).已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3, 则直线AB与⊙O的位置关系为（) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相切或相交 答案 例2 (1).在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以 点C为圆心，2为半径的圆与AB的位置关系是（) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 答秦 C (2).已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3, 则直线AB与⊙O的位置关系为（) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相切或相交 答案 练2.1 设⊙O的半径为3，点O到直线的距离为d,若直线l与⊙O至 少有一个公共点，则d应满足的条件是（) A.d=3 B.d≤3 C.d<3 D.d>3 答案 练2.1 设⊙O的半径为3，点O到直线的距离为d,若直线l与⊙O至 少有一个公共点，则d应满足的条件是（) A.d=3 B.d≤3 C.d<3 D.d>3 答案B thhtnihndlnlhlolnliltoldln 知识解读 AIXUEXI 切线的性质 笔记 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言： 直线1是⊙O的切线，点A为切点 A .OA⊥1 注意 当题目出现圆的切线时，常连接 得 切线的性质 笔记 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言： 直线1是⊙O的切线，点A为切点 A .OA⊥1 注意 当题目出现圆的切线时，常连接过切点的半径， 得 切线的性质 笔记 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言： 直线1是⊙O的切线，点A为切点 A ∴.OA⊥1 注意 当题目出现圆的切线时，常连接过切点的半径， 得切线垂直于半径 P练习 切线的性质 练习 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点， ∠BAC70°，求∠BOC的度数. 分析： B 一切线的性质 练习 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点， ∠BAC70°，求∠BOC的度数. 分析：连接OB、OC,如图 ·AB、AC是⊙O的 B 一切线的性质 练习 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点， ∠BAC70°，求∠BOC的度数. 分析：连接OB、OC,如图 .'AB、AC是⊙O的切线 B ∴.OB⊥--，--⊥AC A 一切线的性质 练习 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点， ∠BAC70°，求∠BOC的度数. 分析：连接OB、OC,如图 .'AB、AC是⊙O的切线 B ∴.OB⊥B,--⊥AC 一切线的性质 练习 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点， ∠BAC70°，求∠BOC的度数. 分析：连接OB、OC,如图 .'AB、AC是⊙O的切线 B ∴.OB⊥4B,OC⊥AC ∴.∠ABO=∠ACO= 一切线的性质 练习 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点， ∠BAC70°，求∠BOC的度数. 分析：连接OB、OC,如图 .'AB、AC是⊙O的切线 B ∴.OB⊥4B,OC⊥AC .∴.∠ABO=∠ACO=90° A 在四边形ABOC中 ∠B0C-360----∠AC0_=_ 一切线的性质 练习 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点， ∠BAC70°，求∠BOC的度数. 分析：连接OB、OC,如图 .'AB、AC是⊙O的切线 B ∴.OB⊥4B,OC⊥AC .∴.∠ABO=∠ACO=90° A 在四边形ABOC中 ∠BOC=360°∠4B0-∠AC0 一切线的性质 练习 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点， ∠BAC70°，求∠BOC的度数. 分析：连接OB、OC,如图 .'AB、AC是⊙O的切线 B ∴.OB⊥4B,OC⊥AC ∴.∠ABO=∠ACO=90° 在四边形ABOC中 ∠BOC=360°∠ABO-∠ACO∠BAC=_ 一切线的性质 练习 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点， ∠BAC70°，求∠BOC的度数. 分析：连接OB、OC,如图 .'AB、AC是⊙O的切线 B ∴.OB⊥4B,OC⊥AC ∴.∠ABO=∠ACO=90° A 在四边形ABOC中 ∠BOC=360°∠ABO-∠ACO-∠BAC=110° 例3 nwkwkkk 如图，PC为⊙O的切线，C为切点.PO的延长线、PO与⊙O 分别交于点A、点B,∠P=30°，连接CO AC BC.求证： △AC≌△PCO. C A O B 答案 答案证明：，‘PC为⊙O的切线， lnltnltiltwlilioi .∠PCO=90°. 又.∠P=30°， ∴.∠COP=60°， .OA=OC, ∴.∠A=∠OCA, .'∠COP=∠A+∠OCA, ∠A=5∠C0P=30, 2 ∴.∠A=∠P, ∴.CA=CP. 又AB为⊙O直径， .∴.∠ACB=∠PCO=90°， ∴.△AC≌△PCOASA). 练3.1 nbwkkkuk 如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=50°，⊙A与BC相切于 点D,与A相交于点E,则∠AED=（) E B D A.50° B.60° C.70° D.80° 如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=50°，⊙A与BC相切于 点D,与A相交于点E,则∠AED=（) nwkkw E B D C A.50° B.60° C.70° D.80° 答案C 练3.2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,若以点C为圆心， 以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于 A.2cm B.2v2cm C.2v3cm D.4cm 答案 练3.2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,若以点C为圆心， 以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于 A.2cm B.2v2cm C.2v√/3cm D.4cm 答案B thltihndlnlhilolnliltoldln 知识解读 AIXUEXI 切线的判定 笔记 切线的判定定理： 经过半径的 并且 于这条半径的直线 是圆的切线， 几何语言： .OA是⊙O的半径，OA⊥1于点A. ∴.直线是⊙O的切线 A 证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种办法： ①当直线与圆有公共点，“连半径、证 ” ②当直线与圆无公共点，“作垂直、证 切线的判定 笔记 切线的判定定理： 经过半径的外端并且 于这条半径的直线 是圆的切线 几何语言： .OA是⊙O的半径，OA⊥1于点A. ∴.直线是⊙O的切线 A 证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种办法： ①当直线与圆有公共点，“连半径、证__” ②当直线与圆无公共点，“作垂直、证 切线的判定 笔记 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线 几何语言： .OA是⊙O的半径，OA⊥1于点A. ∴.直线是⊙O的切线 A 证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种办法： ①当直线与圆有公共点，“连半径、证 ” ②当直线与圆无公共点，“作垂直、证 切线的判定 笔记 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线 几何语言： .OA是⊙O的半径，OA⊥1于点A. ∴.直线是⊙O的切线 A 证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种办法： ①当直线与圆有公共点，“连半径、睡直” ②当直线与圆无公共点，“作垂直、证 切线的判定 笔记 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线 几何语言： .OA是⊙O的半径，OA⊥1于点A. ∴.直线是⊙O的切线 A 证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种办法： ①当直线与圆有公共点，“连半径、睡直” ②当直线与圆无公共点，“作垂直、衅径” D练习 切线的判定 练习 如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4,点C在直线 AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD,且CD=OA, OC2√2，求证：CD是⊙O的切线， 证明：连接OD 已知：CD=0D=0A=2AB=一4 1 .OD2+CD2= .∴△OCD为直角三角形，OD LDC 又.·点D在⊙O上 .'.CD是⊙O的切线 注意 切线的判定 练习 如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4,点C在直线 AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD,且CD=OA, OC2√2，求证：CD是⊙O的切线. 证明：连接OD 已知：CD=0D=0A=2AB=2.4 1 .OD2+CD2= .∴△OCD为直角三角形，OD LDC 又.·点D在⊙O上 .'.CD是⊙O的切线 注意 切线的判定 练习 如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4,点C在直线 AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD,且CD=OA, OC2√2，求证：CD是⊙O的切线. 证明：连接OD 1 已知：CD=OD=0A=2AB=2 .'OD2+CD2=OC2 .∴△OCD为直角三角形，OD LDC 又.·点D在⊙O上 .CD是⊙O的切线， 注意 切线的判定 练习 如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4,点C在直线 AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD,且CD=OA, OC2√2，求证：CD是⊙O的切线. 证明：连接OD 1 已知：CD=0D=0A=2AB=2 .'OD2+CD2=OC2 .∴△OCD为直角三角形，OD LDC 又.·点D在⊙O上 .CD是⊙O的切线， 注意 连半径，证垂直， 例4 如图，已知AB是⊙的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与 A的延长线交于P. (1)若∠CAB=∠P=30°，求证：PC是⊙的切线； (2)若∠COB=2∠PCB,求证：PC是⊙O的切线. C A B 答案 答案 (1).∠CAP=∠P=30°， .∴.∠ACP=120°， .∴.∠ACO=∠CAP=30°， .∴.∠OCP=120°-30°=90°， ∴PC是⊙O的切线； (2).AC=PC, .∴.∠PAC=∠P=∠OCA, .'∠CAP+∠OCA=∠COB=2∠PCB, .∴.∠PCB=∠CAP=∠P, 而∠OCB= 2(180°-∠C0B) =90°-∠PCB=90°-∠BCP, 故∠OCP=∠OCB+∠BCP=90°， ∴.PC是⊙O的切线.