专题03 轴对称（期中真题汇编，海南专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．B 9．B 10．B 11．C 12．B 13．C 14．C 15．C 16．B 17．D 18．【答案】(度 【分析】 根据三角形内角和定理得到，根据对称性质得到，计算即可． 【详解】 ∵，， ∴， 根据对称性质得到， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 19．【答案】-10 【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x, y), 关于x轴的对称点的坐标是(x, -y), 关于y轴的对称点的坐标是(-x, y), 根据关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数得出m, n的值, 从而得出mn. 【详解】解:点A (2, m) 关于y轴的对称点是B (n，5), n=-2,m=5, mn=-10. 故答案为-10. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系. 关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数, 是需要识记的内容. 考点02 线段的垂直平分线 1．A 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．D 8．B 9．C 10．【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】 解：点在线段的垂直平分线上，， ， 故答案为： ． 11．【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴；     （2） 证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分；     （3）      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论； （3）根据，得出，即可求出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 12．【答案】① 同旁内角互补，两直线平行    ② 真 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“两直线平行，同旁内角互补”的条件是两直线平行，结论是同旁内角互补，故其逆命题是同旁内角互补，两直线平行，因为逆命题是平行线的判定定理，故是真命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题同旁内角互补，两直线平行．它是真命题． 故答案为同旁内角互补，两直线平行；真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13．【答案】（1） 如图3所示：      （2） 如图4所示： 【分析】 （1）根据图形轴对称的性质“若对应线段所在直线相交，则交点在对称轴上”，设BC、EF交于点G，作过点A和点G的直线，即为所作直线L； （2）根据图形轴对称的性质“若对应线段所在直线相交，则交点在对称轴上”，分别延长两组对应边AB与DE，CB与FE，得到两个交点M和N，然后过M、N作直线，即为对称直线L． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了作对称轴的知识，熟练掌握图形轴对称的性质是解题关键． 考点03 画轴对称的图形 1．D 2．A 3．B 4．A 5．D 6．A 7．C 8．B 9．D 10．A 11．B 12．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质进行判定即可求解． 【详解】 解：根据轴对称图形的性质，如图所示， ∴该车的后5位号码实际上， 故答案为： ． 13．【答案】（1） 解：如图，即为所求，点的坐标为．      （2） 解：如图所示，即为所求．      （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，解题的关键是熟记作图方法：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形． （1）根据画轴对称图形的方法进行作图即可得，再根据用坐标表示轴对称即可得点的坐标； （2）根据画轴对称图形的方法进行作图即可； （3）用长方形面积减去三个小三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 故的面积为． 14．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 （1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）由图形可直接得出结果； （3）根据割补法即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质以及割补法的运用． 15．【答案】（1）-1，2；-3，1；-4，3；     （2）     （3） 解：如图作A点关于x轴的对称点，连接C与，与x轴交点为P， 如图所示，点P即为所求作点．      【分析】 （1）先求出A，B，C三点坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征为，纵坐标相同横坐标互为相反数，分别求出其对应点即可； （2）利用割补法求面积，先将三角形补成一个规则的长方形，再用长方形的面积减去三个多余的三角形面积即可； （3）本题利用轴对称原理，先作A点关于x轴的对称点，连接C与，与x轴交点即为P点． (1) 小问详解： 解：关于y轴对称的点的坐标特征为，纵坐标相同横坐标互为相反数， ∵，，， ∴，，， 故答案为：-1，2；-3，1；-4，3； (2) 小问详解： △ABC的面积为长方形面积减去三块三角形面积， 故， 故答案为：． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查平面直角坐标系上点的坐标，轴对称，能够求出某点关于坐标轴的对称点为解题的关键． 16．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．      （2），，     （3）      【分析】 （1）作出点A，B，C的对称点，，，依次连接即可解答； （2）直接根据平面直角坐标系写出各点坐标； （3）根据割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 17．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可．由图可得答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接交y轴于点P，点P即为所求，求出直线的解析式，求其与y轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求； 由图可知 故答案为：； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 如图，点P即为所求， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得： ， 即， 当时，， 即． 故答案为：． 18．【答案】（1）如图，△ ABC为所求 （2）如图，先作BC的垂直平分线，再找出A点关于垂直平分线的对称点D，该D点即为所求点 【分析】 利用轴对称图形的性质分别得出对应点位置进而画出△A'B'C'. 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查轴对称变换和垂直平分线性质，根据题意得出对应点位置是关键. 19．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，点P即为所求．坐标为 【分析】 本题主要考查作图轴对称变换、最短距离问题，解题的关键是根据轴对称的性质作出变换后的对应点． （1）分别作出点，，关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得，直接写出点的坐标即可； （2）作出点关于轴的对称点，再连接，与轴的交点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】(1) B点坐标（2，﹣2）；(2) 2 【分析】 （1）作BD⊥CO，根据同角的余角相等可得∠BCD＝∠CAO，然后证明ACO≌△CBD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）作BG⊥y轴，根据同角的余角相等可得∠CAO＝∠BCG，然后证明△CAO≌△BCG，可得CG＝AO＝4，BG＝OC，进而得到CF＝BG，然后再证明△BGM≌△FCM，根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】 （1）作BD⊥CO， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠BCD＝∠CAO， 在△ACO和△CBD中， ， ∴△ACO≌△CBD（AAS）， ∴CD＝AO＝4，BD＝CO＝2， ∴OD＝2， ∴B点坐标为（2，﹣2）； （3）作BG⊥y轴， ∵∠CAO+∠OCA＝90°，∠OCA+∠BCG＝90°， ∴∠CAO＝∠BCG， 在△CAO和△BCG中， ， ∴△CAO≌△BCG（AAS）， ∴CG＝AO＝4，BG＝OC， ∵OC＝CF， ∴CF＝BG， 在△BGM和△FCM中， ， ∴△BGM≌△FCM（AAS）， ∴MC＝MG， ∴MC＝CG＝2． 【点睛】 本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解本题的关键． 21．【答案】（1） 如图即为所作；      （2）如图即为所作；     （3）      【分析】 此题主要考查了坐标与轴对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）在平面直角坐标系中描点A，B，C，然后依次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵点D与点C关于y轴对称， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 22．【答案】（1） 如图：即为所求；      （2），，；     （3）或      【分析】 本题主要考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出即可； （2）根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可； （3）先根据对称的性质求出点P的横坐标，进而确定点P的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； (3) 小问详解： 解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 即 ∴或， ∴点P的坐标或． 故答案为：或． 23．【答案】（1）画图见解析，     （2）见解析      【分析】 本题考查作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题．熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，首尾连接各点，即可得出答案． （2）连接交y轴于点P，根据C，两点关于y轴对称，得，得，最小． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求．由图可得． (2) 小问详解： 解：如图，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 考点04 等腰三角形 1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．C 13．C 14．C 15．A 16．【答案】4 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，条件辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质，可得，从而得到，进而得到，再由含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4 17．【答案】6 【分析】 本题主要考查了三线合一定理，三角形中线的性质，根据三线合一定理得到，则由三角形中线平分三角形面积可得；可证明，则根据图形面积之间的关系可得． 【详解】 解：∵，是边上的高， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．【答案】74 【分析】 连接BD，由题意易得BD=CD=AB，然后可得∠DBC=∠C=37°，进而根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解． 【详解】 解：连接BD，如图所示： ∵DE垂直平分BC，AB=CD， ∴BD=CD=AB， ∵∠C=37°， ∴∠DBC=∠C=37°， ∴∠ADB=2∠C=74°， ∵AB=BD， ∴∠A=∠ADB=74°， 故答案为74． 【点睛】 本题主要考查线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 19．【答案】（1） 证明： ， 即 ， 在和中， ； ；     （2）      【分析】 （1）根据已知条件得出，进而证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，由得出，继而根据平角的定义即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（）知：， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．【答案】40° 【分析】先由直角三角形两锐角互余得到∠C＝70°．再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠BAC的度数． 【详解】解：∵   BD为△ABC的高， ∴   ∠BDC＝90°． ∵   ∠CBD＝20°， ∴   ∠C＝90°－∠CBD＝90°－20°＝70°． ∵   AB＝AC， ∴   ∠ABC＝∠ACB． ∴   ∠ABC＝70°． 又∵   ∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°． ∴   ∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB ＝180°－70°－70°＝40°． 【点睛】本题考查了直角三角形和等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的两个底角相等，也考查了三角形的内角和是180°. 21．【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，需分情况讨论给定内角是顶角或底角，从而求解顶角度数． 【详解】 设等腰三角形的一个内角为．若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一个底角也为，根据三角形内角和定理，顶角为． 故顶角为或． 故答案为：或． 22．【答案】3 【分析】 根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 23．【答案】（1） 证明：于点E，于点D， ， 在和中， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，确定全等条件是解题的关键． （1）先证明，再证即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据等边对等角求得，即可根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 的度数是． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查线段垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质是解答的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得到，进而根据三角形的周长求解即可； （2）先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用线段的垂直平分线的性质得到，进而利用等边对等角求得即可解答． (1) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∴． 25．【答案】10 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】 解：∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长为， 故答案为：10． 26．【答案】 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和． 根据得到，进而得到，，根据得到，根据计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴． 27．【答案】∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 【分析】 设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数． 【详解】 解：设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x， ∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， ∴在△ABC中，x+2x+2x=180°， ∴x=36°，2x=72°， 即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键． 28．【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 29．【答案】（1）8     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将线段进行转化． （1）利用线段垂直平分线的性质，将转化为转化为，再结合的周长求出的长； （2）利用等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形内角和求出的度数． (1) 小问详解： 解：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质， ， 是的垂直平分线， 同理可得， 的周长为， 将代入可得： ， 的长为8； (2) 小问详解： 解：， ； ， ． 在中，， ，且， ，即， ， ． 30．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴在和中， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴． 31．【答案】①     ② 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数； （2）设，根据三角形外角性质得，由此得，再求出，则，再由三角形外角性质得，证明和中全等得，则，进而得，由此解出继而可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【详解】 解：（1）当D为中点时，如图1所示： 在中，，， ， 为中点， ， ， ， ， 是的外角， ， 故答案为：90； （2）当时，如图2所示： 设， 是的外角， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， 是的外角， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 解得：， 故答案为： 32．【答案】（1） 证明：， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由，可得，利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形． （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数，进而可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，    ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 33．【答案】（1）；；     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ；     （3）．      【分析】 （）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，平行线间的距离等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．D 2．A 3．A 4．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠ACD＝120°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）；     （2）△ADE是等边三角形，证明如下： 由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， 即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE为等边三角形．      【分析】 （1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再证∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再证∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等边三角形的判定即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 5．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过E作，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】 解：过E作，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 连接交于F，连接， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为． 6．【答案】3 【分析】 根据等边三角形的性质可得,再根据得，根据含的直角三角形三边关系可计算出然后再利用得到，再根据含的直角三角形三边的关系可计算出． 【详解】 解：是等边三角形， ， 而， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质以及含的直角三角形的三边关系，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 7．【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上．      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和与外角的性质、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和与外角的性质、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求证． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 8．【答案】 【分析】 过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可． 【详解】 解：过点P作交于点F，    ∵，是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了平行线性质、等边三角形性质与判定、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键． 9．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）；     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题． （1）根据是等边三角形得到，，证明； （2）根据得到，根据计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 10．【答案】（1）证明见解析     （2）① 证明见解析；② 相等；理由见解析      【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． (1) 小问详解： 证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． (2) 小问详解： 证明：，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ② 解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 11．【答案】（1） 证明： 和是等边三角形， ，，， ， ， ；     （2） 证明:由（1）可知， ；     （3） 证明：由（1）可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 和是对顶角， ．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可证明，，，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质，即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可知，即，所以，即可求得和的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 12．【答案】 【分析】 本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】 解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．【答案】（1）     （2） 证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质即可解答； （2）证明再根据证明即可； （3）由得，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴， 由（2）知， ∴， ∴点N始终在过点B且与垂直的直线上运动，根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 中，， ∴，即的最小值为． 14．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 为等边三角形，理由如下： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形；     （3）4      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再证明，得出，由等边对等角可得，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，证明，得出，，，证明为等边三角形，得出，求出，即可得解； （3）证明，得出，即，再证明，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 15．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2） ． 证明：在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即．      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定及等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关证明方法是解决本题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据题意，在FB上截取，连接AM，通过证明，得出，，证明是等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．【答案】（1） 证明：与都是等边三角形， ， ， ， ；     （2）     （3） 由（2）知，， 为等边三角形．      【分析】 本题考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证，再根据全等三角形对应边相等即可； （2）先证，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解； （3）利用有一个是的等腰三角形是等边三角形即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知， ， ， ， ， (3) 小问详解： 略 17．【答案】① 25    ② 【分析】 （）证明，可得，，进而根据平行线的性质得到，即可得是等边三角形，得到，再得到是等边三角形，即得，又根据三角形内角和定理可得，最后根据角的和差关系即可求解； （）由等腰三角形的性质得，同理（）可得，得到，即得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； 【详解】 解：（）∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （）∵，， ∴， ∵， ∴， 同理（）可证， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·海南三亚崖州区·期中）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）下列图形中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）现实世界中，对称现象无处不在．下列四个汉字中，从数学角度可以看作是轴对称图形的是（       ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 4．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）下列网格图中的两个阴影图形，其中一个图形可以看成由另一个轴对称变换得到的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）下列图案是轴对称图形的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9．（25-26学年八上·海南保亭·期中）下列四个图标中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）下列图形中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）下面英语字母图标中不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）我们生活在一个充满对称的世界中：许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，与关于直线l对称，若，则的长是（   ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，与关于直线对称，的周长为，若，，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，与关于直线l对称，若，，则　　　　　　． 19．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知点P在线段的垂直平分线上，且，则线段的长度是（       ） A. 10cm B. 5cm C. 15cm D. 8cm 2．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 D. 两直线平行，同位角相等 6．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（       ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 9．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C. 垂直平分 D.  10．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，已知点在线段的垂直平分线上，且，则线段的长度是　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． （1）证明：； （2）证明：垂直平分； （3）若，，求的长． 12．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题　　　　　　，逆命题是　　　　　　命题．（填“真”或“假”） 13．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）与关于直线成轴对称，如图所示： （1）请用无刻度的直尺，在图1中作出对称轴所在直线． （2）类比图1的思维方式，请用无刻度的直尺，在图2中作出对称轴所在直线． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）已知点与关于x轴对称，则的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　） A. （﹣2，1） B. （﹣1，1） C. （1，﹣2） D. （﹣1，﹣2） 4．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）点关于x轴的对称点是，则的坐标为(       ) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）点A（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（            ） A. （3，－2 ） B. （ －3，2） C. （－3，－2 ） D. （ 3，2） 7．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 9．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）和点关于x轴对称的点是（        ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·海南保亭·期中）点关于y轴对称点是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）在平面直角坐标系中，点P（5,6）关于y轴对称的点是（       ） A. （6,5） B. （－5,6） C. （5，－6） D. （－5，－6） 12．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）（多选）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是： ，则该车的后5位号码实际上　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B、C三点在格点上． （1）作出关于y轴对称的 ，并写出点的坐标； （2）作出关于x轴对称的； （3）求的面积． 14．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）在平面直角坐标系中，． （1）请画出关于y轴对称的． （2）写出三点的坐标：             ，             ，             ． （3）的面积是             ． 15．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（　        　），B1（　        　），A1（　        　）； （2）直接写出△ABC的面积为　        　； （3）在x轴上画点P，使PA+PC最小． 16．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，均在格点上． （1）作出关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求出的面积． 17．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）关于y轴对称图形为，画出的图形，并写出，，三点的坐标； （____，____），（____，_____），（_____，_____）； （2）计算的面积； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置，并直接写出点的坐标：P（_____，____）． 18．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）（多选）如图，网格中每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 在小正方形的顶点上.    （1）在网格纸中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A'B'C'； （2）再找一个格点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是轴对称图形，并画出对称轴. 19．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，三个顶点的坐标分别为：，，． （1）作出与关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标为：___________，___________，___________； （2）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 20．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），点C是y轴正半轴上的一点，且∠ACB＝90°，AC＝BC （1）如图①，若点B在第四象限，C（0，2），求点B的坐标； （2）如图②，若点B在第二象限，以OC为直角边在第一象限作等腰Rt△COF，连接BF，交y轴于点M，求CM的长． 21．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出， （2）画出关于x轴对称的图形； （3）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______． 22．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴对称的． （2）点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． （3）若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 23．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，在平面直角坐标系中，且、、． （1）在图上画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上画出一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（       ） A.  B. 或 C. 或 D. 或 2．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）已知中，，，，则的值为（） A. 5 B. 8 C. 10 D. 以上都不对 4．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）如图，中，，，平分交于，于E，且，则等于（     ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）若等腰三角形的一个角是，则它的顶角可能是（     ） A.  B.  C. 或 D. 无法确定 6．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，连接，延长交于点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，锐角中，于D，于E，与相交于F，若，那么的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 11．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，在△ABC和△A′B′C中，△ABC≌△A′B′C，AA′∥BC，，，则，满足关系(       ) A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，在中，，交于点D，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 10.5 13．（25-26学年八上·海南海口龙华区华侨中学·期中）如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕点转动．点固定，，点可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（       ） A. 65 B. 66 C. 68 D. 70 15．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 16．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为　　　　　． 17．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A=　　　　°． 19．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，点是的边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20．（25-26学年八上·海南保亭·期中）在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高，若∠CBD＝20°，求∠BAC的度数． 21．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为边的中点．若，则的长为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·海南海口龙华区华侨中学·期中）如图，在中，，于点E，于点D，，相交于点P． （1）证明：． （2）若，求的度数． 24．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，，求的度数． 25．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为　　　　． 26．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，在中，，，求的度数． 27．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数． 28．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． （1）求证：； （2）如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 29．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点（在的左侧）．若的周长为8，． （1）求的长； （2）求的度数． 30．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 31．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时，　　　　　　； （2）当时，　　　　　　 32．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，在点D、E、F分别在边上，且，．    （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 33．（25-26学年八上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： （1）如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； （2）如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； （3）如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为(       ) A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（     ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 4．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）（多选）如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）试判断△ADE的形状，并证明． 5．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，是等边三角形，若，则　　　　　cm 7．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：点在线段的垂直平分线上． 8．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，过边长为a的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，在中，以为边作等边三角形（点C，D在边的同侧），连接．若． （1）求证：； （2）求的度数． 10．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． （1）如图1，若为的中点，求证：． （2）如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 11．（25-26学年八上·海南海口·期中）如图，等边与等边，B、C、E三点共线，连结、交于点F，交于点G，交于点H，连结、，则： （1）； （2）； （3）． 12．（25-26学年八上·海南海口·期中）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为　　　　　． 13．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）在平面直角坐标系中，，点M为y轴负半轴上一动点．如图，点B在第一象限，为等边三角形，连接，以为边，在上方作等边，连接，点M在运动过程中： （1）当时，              （2）求证： （3）连接，求的最小值； 14．（25-26学年八上·海南海口龙华区华侨中学·期中）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连．判断的形状，并说明理由； （3）如图3，若，，延长、交于N，当时，求的长． 15．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）在等腰三角形中，，点是上一动点，在的延长线上取一点满足，平分交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，当时，线段，，之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． 16．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证；是等边三角形． 17．（25-26学年八上·海南海口龙华区华侨中学·期中）如图，在中，，D为线段上一动点（不与点B、C重合），连接，作，且，连接． （1）如图1，当时，若，则　　　　　　　　　　度； （2）如图2，设，在点D运动过程中，当时， 　　　　　　　　　　．（用含α的式子表示） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·海南三亚崖州区·期中）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，是轴对称图形； 对四个选项逐一分析即可． 【详解】 选项A：“爱”找不到这样的对称轴，折叠后无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； 选项B：“我”左右结构不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形，不符合题意； 选项C：“中”沿竖直中线折叠，直线两旁部分可以完全重合，是轴对称图形，符合题意； 选项D：“华”结构不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形，不符合题意． 2．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）下列图形中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）现实世界中，对称现象无处不在．下列四个汉字中，从数学角度可以看作是轴对称图形的是（       ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形． 轴对称图形是指图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合．通过观察每个汉字的结构，“中”字具有垂直对称轴，符合轴对称图形的定义． 【详解】 解：“爱”字左右结构不对称，无对称轴； “我”字笔画布局不均衡，无对称轴； “中”字沿垂直中线对折后左右部分能完全重合； “华”字左右部分差异明显，不对称 即“中”是轴对称图形． 故选：C． 4．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）下列网格图中的两个阴影图形，其中一个图形可以看成由另一个轴对称变换得到的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】 解：由轴对称图形的定义可知，四幅图中只有B选项中的图可以通过轴对称变换得到，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意， 故选：B． 5．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 6．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据轴对称图形的意义，对四个汉字逐一分析，再作判断． 【详解】 解： 不能看作轴对称图形，故A不符合； 不能看作轴对称图形，故B不符合； 能看作轴对称图形，故C符合； 不能看作轴对称图形，故D不符合， 故选：C． 7．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断选择即可． 【详解】 解：A、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、此图案是轴对称图形，故该选项符合题意； D、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）下列图案是轴对称图形的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】 解：观察图形可知，第一个和第四个图形能够找到一条直线，使图形沿直线翻折后能够互相重合，是轴对称图形； 故选B． 9．（25-26学年八上·海南保亭·期中）下列四个图标中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 10．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）下列图形中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 11．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）下面英语字母图标中不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 12．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择即可． 【详解】 解：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义，只有B选项符合要求． 故选：B． 13．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）我们生活在一个充满对称的世界中：许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】 解：轴对称图形是 ， 故选C． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 14．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，与关于直线l对称，若，则的长是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质．根据轴对称图形的性质可得，再由全等三角形的判性质解答即可． 【详解】 解：∵与关于直线l对称， ∴， ∴． 故选：C． 15．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，与关于直线对称，的周长为，若，，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质，熟悉掌握轴对称图形的特点是解题的关键． 根据轴对称的性质得到的长后，再根据三角形的周长运算方法列式运算即可． 【详解】 解：∵与关于直线对称， ∴， ∵的周长， ∴， 故选：C． 16．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称的性质，根据对称点之间的连线被对称轴垂直平分求解即可 【详解】 解：与点关于直线l对称， 线段被直线l垂直平分， 故选：B 17．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 【详解】 解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 18．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，与关于直线l对称，若，，则　　　　　　． 【答案】(度 【分析】 根据三角形内角和定理得到，根据对称性质得到，计算即可． 【详解】 ∵，， ∴， 根据对称性质得到， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 19．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是　　　　　． 【答案】-10 【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x, y), 关于x轴的对称点的坐标是(x, -y), 关于y轴的对称点的坐标是(-x, y), 根据关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数得出m, n的值, 从而得出mn. 【详解】解:点A (2, m) 关于y轴的对称点是B (n，5), n=-2,m=5, mn=-10. 故答案为-10. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系. 关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数, 是需要识记的内容. 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知点P在线段的垂直平分线上，且，则线段的长度是（       ） A. 10cm B. 5cm C. 15cm D. 8cm 【答案】A 【分析】 根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】 解：∵点P在线段的垂直平分线上，且， ∴， 故选A． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 2．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【详解】 解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 3．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了逆命题的定义及真假性，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】 ①逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题； ②逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； ③逆命题是等边对等角，真命题； ④逆命题是同位角相等，两条直线平行，真命题； ⑤逆命题是面积相等两三角形全等，假命题． 故选：B． 4．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，由的周长是21得出，结合计算即可得出答案． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是21， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】 本题考查了逆命题，真假命题的判定，理解并掌握全等三角形的判定，平方数的特点，对顶角的定义，平行线的判定是解题的关键． 根据题意，先改写为逆命题，再根据全等三角形的判定，平方数的特点，对顶角的定义，平行线的判定等知识进行分析即可求解． 【详解】 解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为“三个角分别相等的三角形全等”，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等的逆命题为“两个有理数的平方相等，这两个有理数也相等”，是假命题，不符合题意； C、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等的逆命题是“两个角相等，这两个角是对顶角”，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题，符合题意； 故选：D ． 6．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质得到，进而作答即可． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长． 故选：B． 7．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】 解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵ ，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】 本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 8．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（       ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等量代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴△ACE的周长=AC+CE+AE =AC+CE+BE =AC+BC =5+6 =11． 故选B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 9．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C. 垂直平分 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，三角形三边关系，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，得出，得到，得出，根据三角形三边关系得到，由，即可得到答案． 【详解】 解： 平分，于点，于点， ，，，故B正确； ， ， ∴垂直平分，无法证明垂直平分，故C错误； ， ，故A正确； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 10．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，已知点在线段的垂直平分线上，且，则线段的长度是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】 解：点在线段的垂直平分线上，， ， 故答案为： ． 11．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． （1）证明：； （2）证明：垂直平分； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴；     （2） 证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分；     （3）      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论； （3）根据，得出，即可求出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 12．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题　　　　　　，逆命题是　　　　　　命题．（填“真”或“假”） 【答案】① 同旁内角互补，两直线平行    ② 真 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“两直线平行，同旁内角互补”的条件是两直线平行，结论是同旁内角互补，故其逆命题是同旁内角互补，两直线平行，因为逆命题是平行线的判定定理，故是真命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题同旁内角互补，两直线平行．它是真命题． 故答案为同旁内角互补，两直线平行；真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）与关于直线成轴对称，如图所示： （1）请用无刻度的直尺，在图1中作出对称轴所在直线． （2）类比图1的思维方式，请用无刻度的直尺，在图2中作出对称轴所在直线． 【答案】（1） 如图3所示：      （2） 如图4所示： 【分析】 （1）根据图形轴对称的性质“若对应线段所在直线相交，则交点在对称轴上”，设BC、EF交于点G，作过点A和点G的直线，即为所作直线L； （2）根据图形轴对称的性质“若对应线段所在直线相交，则交点在对称轴上”，分别延长两组对应边AB与DE，CB与FE，得到两个交点M和N，然后过M、N作直线，即为对称直线L． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了作对称轴的知识，熟练掌握图形轴对称的性质是解题关键． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）已知点与关于x轴对称，则的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标关系，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数进行解答即可． 【详解】 解：∵点与关于x轴对称， ∴点的坐标为． 故选D． 2．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标是解题的关键；因此此题可根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后问题可求解． 【详解】 解：由题意得：点关于轴的对称点坐标是； 故选A． 3．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　） A. （﹣2，1） B. （﹣1，1） C. （1，﹣2） D. （﹣1，﹣2） 【答案】B 【详解】 解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴， 右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴， 则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形． 故选：B． 4．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】 解：由题意得，点关于y轴对称的点是， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 5．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）点关于x轴的对称点是，则的坐标为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了关于x轴对称的特征，点关于x轴对称时，x坐标不变，y坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的特征作答即可． 【详解】 解：点关于x轴的对称点是，则的坐标为， 故选：D． 6．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）点A（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（            ） A. （3，－2 ） B. （ －3，2） C. （－3，－2 ） D. （ 3，2） 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点A（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，−2）． 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 7．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】 解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 8．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】 解：∵点和关于x轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）和点关于x轴对称的点是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数． 【详解】 解：点P的坐标为，关于x轴对称时，横坐标保持2不变，纵坐标由变为5，因此对称点的坐标为， 故选：D． 10．（25-26学年八上·海南保亭·期中）点关于y轴对称点是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】 解：点关于y轴对称点是． 故选：A． 11．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）在平面直角坐标系中，点P（5,6）关于y轴对称的点是（       ） A. （6,5） B. （－5,6） C. （5，－6） D. （－5，－6） 【答案】B 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）即可得到点P（5，6）关于y轴对称的点的坐标． 【详解】解：点P（5，6）关于y轴的对称点的坐标是（-5，6）. 故选B. 【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 12．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）（多选）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是： ，则该车的后5位号码实际上　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质进行判定即可求解． 【详解】 解：根据轴对称图形的性质，如图所示， ∴该车的后5位号码实际上， 故答案为： ． 13．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B、C三点在格点上． （1）作出关于y轴对称的 ，并写出点的坐标； （2）作出关于x轴对称的； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，点的坐标为．      （2） 解：如图所示，即为所求．      （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，解题的关键是熟记作图方法：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形． （1）根据画轴对称图形的方法进行作图即可得，再根据用坐标表示轴对称即可得点的坐标； （2）根据画轴对称图形的方法进行作图即可； （3）用长方形面积减去三个小三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 故的面积为． 14．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）在平面直角坐标系中，． （1）请画出关于y轴对称的． （2）写出三点的坐标：             ，             ，             ． （3）的面积是             ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 （1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）由图形可直接得出结果； （3）根据割补法即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质以及割补法的运用． 15．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（　        　），B1（　        　），A1（　        　）； （2）直接写出△ABC的面积为　        　； （3）在x轴上画点P，使PA+PC最小． 【答案】（1）-1，2；-3，1；-4，3；     （2）     （3） 解：如图作A点关于x轴的对称点，连接C与，与x轴交点为P， 如图所示，点P即为所求作点．      【分析】 （1）先求出A，B，C三点坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征为，纵坐标相同横坐标互为相反数，分别求出其对应点即可； （2）利用割补法求面积，先将三角形补成一个规则的长方形，再用长方形的面积减去三个多余的三角形面积即可； （3）本题利用轴对称原理，先作A点关于x轴的对称点，连接C与，与x轴交点即为P点． (1) 小问详解： 解：关于y轴对称的点的坐标特征为，纵坐标相同横坐标互为相反数， ∵，，， ∴，，， 故答案为：-1，2；-3，1；-4，3； (2) 小问详解： △ABC的面积为长方形面积减去三块三角形面积， 故， 故答案为：． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查平面直角坐标系上点的坐标，轴对称，能够求出某点关于坐标轴的对称点为解题的关键． 16．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，均在格点上． （1）作出关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求．      （2），，     （3）      【分析】 （1）作出点A，B，C的对称点，，，依次连接即可解答； （2）直接根据平面直角坐标系写出各点坐标； （3）根据割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 17．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）关于y轴对称图形为，画出的图形，并写出，，三点的坐标； （____，____），（____，_____），（_____，_____）； （2）计算的面积； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置，并直接写出点的坐标：P（_____，____）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可．由图可得答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接交y轴于点P，点P即为所求，求出直线的解析式，求其与y轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求； 由图可知 故答案为：； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 如图，点P即为所求， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得： ， 即， 当时，， 即． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）（多选）如图，网格中每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 在小正方形的顶点上.    （1）在网格纸中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A'B'C'； （2）再找一个格点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是轴对称图形，并画出对称轴. 【答案】（1）如图，△ ABC为所求 （2）如图，先作BC的垂直平分线，再找出A点关于垂直平分线的对称点D，该D点即为所求点 【分析】 利用轴对称图形的性质分别得出对应点位置进而画出△A'B'C'. 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查轴对称变换和垂直平分线性质，根据题意得出对应点位置是关键. 19．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，三个顶点的坐标分别为：，，． （1）作出与关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标为：___________，___________，___________； （2）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，点P即为所求．坐标为 【分析】 本题主要考查作图轴对称变换、最短距离问题，解题的关键是根据轴对称的性质作出变换后的对应点． （1）分别作出点，，关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得，直接写出点的坐标即可； （2）作出点关于轴的对称点，再连接，与轴的交点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），点C是y轴正半轴上的一点，且∠ACB＝90°，AC＝BC （1）如图①，若点B在第四象限，C（0，2），求点B的坐标； （2）如图②，若点B在第二象限，以OC为直角边在第一象限作等腰Rt△COF，连接BF，交y轴于点M，求CM的长． 【答案】(1) B点坐标（2，﹣2）；(2) 2 【分析】 （1）作BD⊥CO，根据同角的余角相等可得∠BCD＝∠CAO，然后证明ACO≌△CBD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）作BG⊥y轴，根据同角的余角相等可得∠CAO＝∠BCG，然后证明△CAO≌△BCG，可得CG＝AO＝4，BG＝OC，进而得到CF＝BG，然后再证明△BGM≌△FCM，根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】 （1）作BD⊥CO， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠BCD＝∠CAO， 在△ACO和△CBD中， ， ∴△ACO≌△CBD（AAS）， ∴CD＝AO＝4，BD＝CO＝2， ∴OD＝2， ∴B点坐标为（2，﹣2）； （3）作BG⊥y轴， ∵∠CAO+∠OCA＝90°，∠OCA+∠BCG＝90°， ∴∠CAO＝∠BCG， 在△CAO和△BCG中， ， ∴△CAO≌△BCG（AAS）， ∴CG＝AO＝4，BG＝OC， ∵OC＝CF， ∴CF＝BG， 在△BGM和△FCM中， ， ∴△BGM≌△FCM（AAS）， ∴MC＝MG， ∴MC＝CG＝2． 【点睛】 本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解本题的关键． 21．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出， （2）画出关于x轴对称的图形； （3）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______． 【答案】（1） 如图即为所作；      （2）如图即为所作；     （3）      【分析】 此题主要考查了坐标与轴对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）在平面直角坐标系中描点A，B，C，然后依次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵点D与点C关于y轴对称， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴对称的． （2）点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． （3）若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 【答案】（1） 如图：即为所求；      （2），，；     （3）或      【分析】 本题主要考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出即可； （2）根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可； （3）先根据对称的性质求出点P的横坐标，进而确定点P的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； (3) 小问详解： 解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 即 ∴或， ∴点P的坐标或． 故答案为：或． 23．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，在平面直角坐标系中，且、、． （1）在图上画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上画出一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）画图见解析，     （2）见解析      【分析】 本题考查作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题．熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，首尾连接各点，即可得出答案． （2）连接交y轴于点P，根据C，两点关于y轴对称，得，得，最小． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求．由图可得． (2) 小问详解： 解：如图，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（       ） A.  B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】 解：① 当为顶角时，即顶角的度数为， ② 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：C． 2．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【分析】 根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】 解：如图所示： 故选：B． 【点睛】 本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰． 3．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）已知中，，，，则的值为（） A. 5 B. 8 C. 10 D. 以上都不对 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形，熟知所对的直角边是斜边一半是解题的关键． 计算，确定三角形为直角三角形，利用角所对直角边等于斜边一半的性质求解． 【详解】 解：如图， ， ， ，且为所对的直角边， ∴， 故选：C． 4．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）如图，中，，，平分交于，于E，且，则等于（     ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查角平分线的性质定理． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后求出． 【详解】 解：∵，平分交于，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）若等腰三角形的一个角是，则它的顶角可能是（     ） A.  B.  C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】 解：当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故选：C． 6．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B． 7．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，连接，延长交于点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，锐角中，于D，于E，与相交于F，若，那么的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了垂线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识． 首先证明，，进而根据“”证明，进而可知，易得为等腰直角三角形，即可获得答案． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查与三角板有关的计算，等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角求出的度数，进而求出的度数，再利用外角的性质，求出的度数即可. 【详解】 解：由题意，得：，， ， ， ， ； 故选：C. 10．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 【答案】D 【详解】①若40°是顶角，则底角==70°；②若40°是底角，那么顶角 =180°﹣2×40°=100°．故选D． 11．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，在△ABC和△A′B′C中，△ABC≌△A′B′C，AA′∥BC，，，则，满足关系(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据△△，证得,=,再利用∥BC得到=，再根据三角形内角和定理即可得到结论. 【详解】∵△△， ∴,∠ACB=, ∴,=, ∵∥BC, ∴=, ∴, 故选：C. 【点睛】此题考查旋转图形的性质，等腰三角形的性质，两直线平行内错角相等，三角形的内角和定理. 12．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，在中，，交于点D，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 10.5 【答案】C 【分析】 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，可得，，根据三角形外角的性质求出，可得，然后根据计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含直角三角形的性质等知识，灵活运用各性质是解题的关键． 13．（25-26学年八上·海南海口龙华区华侨中学·期中）如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 14．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕点转动．点固定，，点可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（       ） A. 65 B. 66 C. 68 D. 70 【答案】C 【分析】 根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 【详解】 解：， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 15．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】A 【分析】 连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论． 【详解】 连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∵△CDM周长的最小值为8， ∴AD=8-BC=8-2=6 ∴S△ABC=BC•AD=×4×6=12， 故选A． 【点睛】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 16．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，条件辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质，可得，从而得到，进而得到，再由含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4 17．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了三线合一定理，三角形中线的性质，根据三线合一定理得到，则由三角形中线平分三角形面积可得；可证明，则根据图形面积之间的关系可得． 【详解】 解：∵，是边上的高， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A=　　　　°． 【答案】74 【分析】 连接BD，由题意易得BD=CD=AB，然后可得∠DBC=∠C=37°，进而根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解． 【详解】 解：连接BD，如图所示： ∵DE垂直平分BC，AB=CD， ∴BD=CD=AB， ∵∠C=37°， ∴∠DBC=∠C=37°， ∴∠ADB=2∠C=74°， ∵AB=BD， ∴∠A=∠ADB=74°， 故答案为74． 【点睛】 本题主要考查线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 19．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，点是的边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： ， 即 ， 在和中， ； ；     （2）      【分析】 （1）根据已知条件得出，进而证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，由得出，继而根据平角的定义即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（）知：， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（25-26学年八上·海南保亭·期中）在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高，若∠CBD＝20°，求∠BAC的度数． 【答案】40° 【分析】先由直角三角形两锐角互余得到∠C＝70°．再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠BAC的度数． 【详解】解：∵   BD为△ABC的高， ∴   ∠BDC＝90°． ∵   ∠CBD＝20°， ∴   ∠C＝90°－∠CBD＝90°－20°＝70°． ∵   AB＝AC， ∴   ∠ABC＝∠ACB． ∴   ∠ABC＝70°． 又∵   ∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°． ∴   ∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB ＝180°－70°－70°＝40°． 【点睛】本题考查了直角三角形和等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的两个底角相等，也考查了三角形的内角和是180°. 21．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，需分情况讨论给定内角是顶角或底角，从而求解顶角度数． 【详解】 设等腰三角形的一个内角为．若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一个底角也为，根据三角形内角和定理，顶角为． 故顶角为或． 故答案为：或． 22．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为边的中点．若，则的长为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 23．（25-26学年八上·海南海口龙华区华侨中学·期中）如图，在中，，于点E，于点D，，相交于点P． （1）证明：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：于点E，于点D， ， 在和中， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，确定全等条件是解题的关键． （1）先证明，再证即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据等边对等角求得，即可根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 的度数是． 24．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查线段垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质是解答的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得到，进而根据三角形的周长求解即可； （2）先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用线段的垂直平分线的性质得到，进而利用等边对等角求得即可解答． (1) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】 解：∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长为， 故答案为：10． 26．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和． 根据得到，进而得到，，根据得到，根据计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴． 27．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数． 【答案】∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 【分析】 设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数． 【详解】 解：设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x， ∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， ∴在△ABC中，x+2x+2x=180°， ∴x=36°，2x=72°， 即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键． 28．（25-26学年八上·海南临高思源实验学校·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． （1）求证：； （2）如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点（在的左侧）．若的周长为8，． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】（1）8     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将线段进行转化． （1）利用线段垂直平分线的性质，将转化为转化为，再结合的周长求出的长； （2）利用等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形内角和求出的度数． (1) 小问详解： 解：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质， ， 是的垂直平分线， 同理可得， 的周长为， 将代入可得： ， 的长为8； (2) 小问详解： 解：， ； ， ． 在中，， ，且， ，即， ， ． 30．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴在和中， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴． 31．（25-26学年八上·海南琼海嘉积中学）如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时，　　　　　　； （2）当时，　　　　　　 【答案】①     ② 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数； （2）设，根据三角形外角性质得，由此得，再求出，则，再由三角形外角性质得，证明和中全等得，则，进而得，由此解出继而可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【详解】 解：（1）当D为中点时，如图1所示： 在中，，， ， 为中点， ， ， ， ， 是的外角， ， 故答案为：90； （2）当时，如图2所示： 设， 是的外角， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， 是的外角， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 解得：， 故答案为： 32．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，在点D、E、F分别在边上，且，．    （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由，可得，利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形． （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数，进而可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，    ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 33．（25-26学年八上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： （1）如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； （2）如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； （3）如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 【答案】（1）；；     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ；     （3）．      【分析】 （）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，平行线间的距离等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·海南农垦中学·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】 解：等边中，点，分别是、的中点，如图，连接，与交于点， ，，， ， ， 即长就是的最小值， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为：D． 2．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等边三角形的性质与判定，作角平分线，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意得出是等边三角形，根据作图可得平分，根据三线合一得出，，进而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】 解：由图中的尺规作图得到平分， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴的周长为 故选：A． 3．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（     ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 【答案】A 【分析】 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】 解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】 本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 4．（25-26学年八上·海南昌江县思源实验学校·期中）（多选）如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）试判断△ADE的形状，并证明． 【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠ACD＝120°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）；     （2）△ADE是等边三角形，证明如下： 由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， 即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE为等边三角形．      【分析】 （1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再证∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再证∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等边三角形的判定即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过E作，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】 解：过E作，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 连接交于F，连接， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为． 6．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）如图，是等边三角形，若，则　　　　　cm 【答案】3 【分析】 根据等边三角形的性质可得,再根据得，根据含的直角三角形三边关系可计算出然后再利用得到，再根据含的直角三角形三边的关系可计算出． 【详解】 解：是等边三角形， ， 而， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质以及含的直角三角形的三边关系，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 7．（25-26学年八上·海南临高县红华中学·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上．      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和与外角的性质、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和与外角的性质、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求证． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）如图，过边长为a的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可． 【详解】 解：过点P作交于点F，    ∵，是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了平行线性质、等边三角形性质与判定、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键． 9．（25-26学年八上·海南保亭·期中）如图，在中，以为边作等边三角形（点C，D在边的同侧），连接．若． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）；     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题． （1）根据是等边三角形得到，，证明； （2）根据得到，根据计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 10．（25-26学年八上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． （1）如图1，若为的中点，求证：． （2）如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析     （2）① 证明见解析；② 相等；理由见解析      【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． (1) 小问详解： 证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． (2) 小问详解： 证明：，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ② 解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 11．（25-26学年八上·海南海口·期中）如图，等边与等边，B、C、E三点共线，连结、交于点F，交于点G，交于点H，连结、，则： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） 证明： 和是等边三角形， ，，， ， ， ；     （2） 证明:由（1）可知， ；     （3） 证明：由（1）可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 和是对顶角， ．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可证明，，，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质，即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可知，即，所以，即可求得和的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·海南海口·期中）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】 解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·海南海口琼山区海南中学·期中）在平面直角坐标系中，，点M为y轴负半轴上一动点．如图，点B在第一象限，为等边三角形，连接，以为边，在上方作等边，连接，点M在运动过程中： （1）当时，              （2）求证： （3）连接，求的最小值； 【答案】（1）     （2） 证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质即可解答； （2）证明再根据证明即可； （3）由得，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴， 由（2）知， ∴， ∴点N始终在过点B且与垂直的直线上运动，根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 中，， ∴，即的最小值为． 14．（25-26学年八上·海南海口龙华区华侨中学·期中）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连．判断的形状，并说明理由； （3）如图3，若，，延长、交于N，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 为等边三角形，理由如下： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形；     （3）4      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再证明，得出，由等边对等角可得，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，证明，得出，，，证明为等边三角形，得出，求出，即可得解； （3）证明，得出，即，再证明，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·海南万宁某校·期中）在等腰三角形中，，点是上一动点，在的延长线上取一点满足，平分交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，当时，线段，，之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2） ． 证明：在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即．      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定及等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关证明方法是解决本题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据题意，在FB上截取，连接AM，通过证明，得出，，证明是等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·海南临高县临高中学·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证；是等边三角形． 【答案】（1） 证明：与都是等边三角形， ， ， ， ；     （2）     （3） 由（2）知，， 为等边三角形．      【分析】 本题考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证，再根据全等三角形对应边相等即可； （2）先证，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解； （3）利用有一个是的等腰三角形是等边三角形即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知， ， ， ， ， (3) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·海南海口龙华区华侨中学·期中）如图，在中，，D为线段上一动点（不与点B、C重合），连接，作，且，连接． （1）如图1，当时，若，则　　　　　　　　　　度； （2）如图2，设，在点D运动过程中，当时， 　　　　　　　　　　．（用含α的式子表示） 【答案】① 25    ② 【分析】 （）证明，可得，，进而根据平行线的性质得到，即可得是等边三角形，得到，再得到是等边三角形，即得，又根据三角形内角和定理可得，最后根据角的和差关系即可求解； （）由等腰三角形的性质得，同理（）可得，得到，即得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； 【详解】 解：（）∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （）∵，， ∴， ∵， ∴， 同理（）可证， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $