精品解析：海南枫叶教育集团九年级数学2025-2026学年第一学期期中考试数学试卷

海南枫叶教育大区2025-2026学年度第一学期九年级数学学科期中考试试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质进行计算． 先计算，再化简二次根式即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列函数中，自变量的取值范围是的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 通过分析每个函数自变量的取值范围，判断哪个函数的自变量取值范围满足即可． 【详解】解：A：，∴ ，不满足，不符合题意； B：，∴ ，但包括，不满足，不符合题意； C： 恒成立，∴ 取一切实数，不满足 ，不符合题意； D：，∴，符合题意， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，通过根式的运算法则判断每个选项的正确性，选项D符合根式的乘法法则． 【详解】解：对于选项A：，∴错误； 对于选项B：∵不能合并，且，∴错误； 对于选项C：∵不能合并，且，∴错误； 对于选项D：∵，∴正确． 故选：D． 4. 下列各数中，与的积是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，有理数的定义，正确计算是解题的关键． 将各选项的数分别与相乘，求出结果并判断是否为有理数即可． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是无理数，不符合题意； D、，是有理数，符合题意， 故选：D． 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】直接开平方即可得到x﹣9=0，从而得出x的值． 【详解】开方得：x﹣9=，解得：x1=x2=9． 故选A． 【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，是基础知识，比较简单． 6. 将一元二次方程配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式解答即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得 （两边加一次项系数一半的平方）， 即， 故配方后的方程为 ． 故选：D． 7. 下列方程中，两根分别是和的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 9. 下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积． 【详解】解：A．最小最大，另两条，故不成比例，此选项不符合题意； B．∵，∴成比例，此选项符合题意； C．最小最大，另两条，故不成比例，此选项不符合题意； D．最小最大，另两条，故不成比例，此选项不符合题意． 故选：B． 10. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 11. 如图，中，点在上，交于点，若．则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合平行四边形的性质证明是解题的关键． 利用平行四边形的性质得到相似三角形，再根据相似三角形的性质求出线段比即可． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选． 12. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值的性质， 根据二次根式的性质， = ，由此将原式化为绝对值方程，再根据绝对值的非负性求解． 【详解】解：因为 = ， 所以原式即 ， 根据绝对值的意义，当且仅当时，该等式成立， 解得， 即 ． 故答案为：． 14. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质化简，通过交叉相乘将比例转化为整式方程，再通过移项和合并同类项得到x与y的关系式，最后求出比值． 【详解】解：由 ，得 = ， 即， 移项，合并同类项，得， 因此． 故答案为：． 15. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，一元二次方程的解法，掌握其概念是解决此题关键．根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得或， 当时，无意义， 故． 故答案为：6 16. 如图，已知，，则的长为_____ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边的比相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：6． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先分母有理化，再化简二次根式和利用完全平方公式计算，然后进行加减计算； （2）先分母有理化，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程: （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）先将方程整理成的形式，再利用直接开平方法求解即可； （2）先整理方程，再利用因式分解法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）先整理方程，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得； 【小问2详解】 解： 或 解得； 【小问3详解】 解： ， 即； 【小问4详解】 解： 或 解得． 19. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定实数和的正负，然后化简绝对值，合并同类项即可． 【详解】解：根据实数、在数轴上的位置可知：，，， ∴原式， ， ． 【点睛】此题考查了绝对值的性质，合并同类项，根据数轴上点的位置判断代数式的正负情况是解题的关键． 20. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 【答案】56 【解析】 【分析】设降价x元，表示出售价和销售量，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件， 根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080， 解得x=1或x=4， 又∵要让顾客得实惠，故取x=4，即应定价为56元， 答：应将销售单价定位56元． 21. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，可知，，根据，，可知，由此即可证得结果； （2）先由勾股定理求出的长度，再根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得， ∴， 即， 解得：． 22. 如图1，在直角梯形中，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图2，延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的植． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）作于，得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由勾股定理得，然后问题可求解； （2）①当时，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值；②当时，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值； （3）①当时，即为直角三角形，过作于，根据相似三角形的判定得，由相似三角形性质推出又由，根据相似三角形的性质得当时，，即为直角三角形；②当时，即为直角三角形，根据相似三角形得判定得，根据相似的性质可得的值． 【小问1详解】 解：如图1作于， 则四边形是矩形， ∴，， ， ， 由题意，； 【小问2详解】 解：①当时， 得， 解得； 当时，以点、、为顶点的三角形与相似； ②当时， 得， 解得， 当时，以点、、为顶点的三角形与相似， 综上或； 【小问3详解】 解：①当时，即为直角三角形， 如图2，过作于， ， 当时，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形； ②当时，即为直角三角形， 如图3所示， ，， 则， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查相似的综合知识的应用、勾股定理及矩形的性质与判定，解本题要熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质等基本知识点，注意分类讨论的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南枫叶教育大区2025-2026学年度第一学期九年级数学学科期中考试试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 2. 下列函数中，自变量的取值范围是的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各数中，与的积是有理数的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 将一元二次方程配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 下列方程中，两根分别是和的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 11. 如图，中，点在上，交于点，若．则等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若成立，则a的取值范围是______． 14. 若，则_____． 15. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 16. 如图，已知，，则的长为_____ 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程: （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简：． 20. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 21. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图1，在直角梯形中，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图2，延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的植． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $