高中数学单元测试——第4章幂函数、指数函数和对数函数（较难版01）

**基本信息** 本单元卷聚焦幂函数、指数函数和对数函数，以较难难度适配单元复习，通过基础运算、性质综合及新能源汽车销售建模问题，全面考查数学抽象、逻辑推理与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|指数对数运算、幂函数解析式、函数图像识别|第3题通过幂函数过点求解析式，基础巩固与几何直观结合| |多选题|3题/18分|函数奇偶性、单调性及方程解问题|第11题方程四解考查分类讨论，提升逻辑推理能力| |填空题|3题/15分|反函数、单调性参数范围、零点个数|第14题零点问题结合函数图像，强化空间观念| |解答题|5题/77分|化简求值、解析式求解、恒成立及新能源销售建模|第18题三模型选择与预测，突出数学建模与数据意识，体现用数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 2．（本题5分）若，则x的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．或 3．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，设，则下列函数是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 8．（本题5分）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为. B．若为奇函数，则 C．在上单调递减 D．若，则的值域为 11．（本题6分）设函数，若关于的方程有四个实数解，，，，且，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）函数的反函数为，则___________. 13．（本题5分）函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 14．（本题5分）已知函数，若有个零点、、，则的取值范围为______. 四、解答题 15．（本题13分）化简求值 (1) (2)已知，求的值. 16．（本题15分）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 17．（本题15分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 18．（本题17分）中国新能源技术引领全球发展趋势，新能源汽车备受人们喜爱．某销售部统计了6个月新能源汽车的销售量（百辆）如下表： 第个月 1 2 3 4 5 6 销售量（百辆） 3 5 6.2 7 7.6 8.2 为描述从第1个月开始销售量随时间的变化关系，现有三个函数模型可供选择：①；②；③． (1)请选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选择表中的数据，求出函数解析式； (3)预测从第几个月开始销售量不低于11百辆? 19．（本题17分）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2．（本题5分）若，则x的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．或 【答案】C 【分析】先对等式两边平方，消去根式，再解一次方程并验证． 【详解】， ，解得， 将代入原方程左边：，左边等于右边，故是原方程的解， ． 故选：C． 3．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题目条件求出幂函数的表达式，再代入值即可求解． 【详解】幂函数的一般形式为（为常数），所以， 解得，故幂函数解析式为， ． 故选：B． 4．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，且对数函数在上单调递增， 所以，即. 又， 所以. 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断． 【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D． 故选：C． 6．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，设，则下列函数是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性判断函数奇偶性，再根据奇偶函数性质，结合复合函数的单调性逐项判断即可 【详解】对于选项A，令，则，所以是奇函数，所以A错误； 对于选项B，令，则，所以是偶函数，因为当时，，由复合函数单调性知，在上是减函数，所以B正确； 对于选项C，令，则，所以是偶函数，因为当时，，由复合函数单调性知，在上是增函数，所以C错误； 对于选项D，令，则，所以是偶函数，因为当时，，所以，由复合函数单调性知，在上是增函数，所以D错误． 故选：B． 7．（本题5分）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 8．（本题5分）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断A选项；利用对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用指数函数和幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，则，A对； 对于B选项，因为，则，且对数函数为增函数， 所以，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，因为，则， 因为指数函数为减函数，幂函数在上为增函数， 所以，，D对. 故选：ABD. 10．（本题6分）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为. B．若为奇函数，则 C．在上单调递减 D．若，则的值域为 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义域的求法，可判定A正确；根据函数的奇偶性列出方程，求得的值，可判定B正确，化简，结合指数函数的单调性，可判定C错误；化简函数，结合指数函数的值域，可判定D正确. 【详解】由题意，函数， 对于A中，由，所以函数的定义域为，所以A正确； 对于B中，由函数为奇函数，则满足，即， 所以，即， 所以B不正确； 对于C中，由， 因为函数为单调递增函数，则递增函数， 所以函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，当时，可得， 因为，可得，所以， 即函数的值域为，所以D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）设函数，若关于的方程有四个实数解，，，，且，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出函数图象，通过平移水平直线找到与，与的关系，再利用单调性求得范围. 【详解】的图象如图所示： 因为关于的方程有四个实数解，，，， 且，由图可知. 因为的图象的对称轴为，所以. 由可知，，即，即， 所以，即.又因为，所以. 则，而为上的减函数， 所以，则A，B，C正确. 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）函数的反函数为，则___________. 【答案】12 【分析】根据反函数的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， ， 故答案为：12 13．（本题5分）函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，所以， 所以． 故的取值范围是. 故答案为:. 14．（本题5分）已知函数，若有个零点、、，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】分析可知有个非负实根，方程有个不相等的负实根，可求出的取值范围，再由零点的定义得出，其中，构造函数，，求出其值域，即可得出的取值范围. 【详解】若函数有个零点，则当时，因为函数在上单调递增， 则方程有个非负实根，因为，所以； 当时，方程有个不相等的负实根， 所以，，解得， 综上，的取值范围为. 依题意有，则，， 令，， 因为函数、在上均为增函数， 所以在上单调递增，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）化简求值 (1) (2)已知，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用方根的意义及对数运算性质、换底公式计算得解. （2）利用指数运算法则化简计算即得. 【详解】（1） . （2）由，得，， ， 所以. 16．（本题15分）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）对于求的解析式，我们可以通过换元法，将换为来求解.（2）对于求函数单调性，当时，先求出的表达式，再根据对数函数的性质以及复合函数单调性的判断方法（同增异减）来求解. 【详解】（1）设，则. 已知，将代入可得： 所以. （2）当时，. 先求函数的定义域，令，即，解得或. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，二次函数单调递减，因为对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递增. 当时，二次函数单调递增，对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递减. 故函数在上单调递增，在上单调递减. 17．（本题15分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 18．（本题17分）中国新能源技术引领全球发展趋势，新能源汽车备受人们喜爱．某销售部统计了6个月新能源汽车的销售量（百辆）如下表： 第个月 1 2 3 4 5 6 销售量（百辆） 3 5 6.2 7 7.6 8.2 为描述从第1个月开始销售量随时间的变化关系，现有三个函数模型可供选择：①；②；③． (1)请选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选择表中的数据，求出函数解析式； (3)预测从第几个月开始销售量不低于11百辆? 【答案】(1)模型②，理由： 由表中数据可知，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变慢． 对于模型①，销售量逐月减少，不符合题意； 对于模型②，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变慢，符合题意； 对于模型，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变快，不符合题意， 所以最符合实际的函数为模型②． (2) (3)第16个月 【分析】（1）结合表格根据每个函数模型销售量和月份的增减变化逐一判断； （2）选取两组数据，构建关于的方程组，求解即可； （3）根据题意和（1），求解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）选取数据组，代入， （可选择中任意两组） 得，解得， 故函数解析式为． （3）令， 即，解得， 故从第16个月开始销售量不低于11百辆． 19．（本题17分）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3). 【分析】（1）构造方程，解方程组即可求出函数解析式； （2）由一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由不等式恒成立转化为判别式不大于0求解即可. 【详解】（1）由，① 得，② ②①，得， 所以. （2）由（1）得，由，得， 则，得或， ，. 由， 化简得，解得或. （3）由，得， 因为，，所以， 解得，所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $