专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中真题汇编，云南专用）高二数学上学期

专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）设直线与圆相交于两点，则的面积为（       ） A. 8 B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 根据点到直线的距离公式求得的高，利用圆的几何性质求得的底边长，进而可求的面积. 【详解】 由题意，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则， 由此，. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）（多选）已知直线与圆相交于两点，则（       ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 【答案】BD 【分析】 根据圆的方程可得圆心和半径，知A、B正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得C、D正误. 【详解】 对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确； 直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误； 对于C，圆心到直线的距离，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：BD. 3．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】 由题可得， 解得：． 故选：B 4．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由过点的切线与垂直求其方程. 【详解】 圆的圆心为，因为点在圆上，且， 所以所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）下列直线中，与圆：不相切的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先找出圆的圆心和半径，然后利用几何法逐项判断即可. 【详解】 圆：可化为，其圆心为，半径， 对于A, 圆心到该直线的距离等于，所以该直线与圆相切； 对于B, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于C,同理圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于D, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆不相切. 故选：D 6．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B.  C. 2 D. 2 【答案】A 【分析】 由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】 由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 7．（25-26·云南民族中学·二模）过点作的两条切线，切点分别为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合图象，利用二倍角公式求解即可. 【详解】 由可得， 因为平分，且，， 所以， 故选：D. 8．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）若圆与圆有3条公切线，则（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【分析】 若两圆有3条公切线，则外切.我们需要先通过圆的方程，求出圆心坐标和半径，再根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和来求解的值. 【详解】 圆，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距. 根据两点间距离公式，圆心与的距离. 又因为，即. 移项可得. 两边平方可得，解得. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线过定点以及垂直关系确定点在以为直径的圆上，进而根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】 由直线，的方程知直线过定点，直线过定点， 又，所以，即，所以点在以为直径的圆上， 的中点,, 故在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点， 即，又，所以，即的取值范围是． 故选:D． 10．（25-26学年高二上·云南多校·期中）（多选）已知点与圆：，则下列说法正确的有（     ） A. 点在圆上 B.  C. 若AP与圆相切于点，则 D. 若圆A与圆相切，则圆的半径为 【答案】BC 【分析】 对于A选项，根据点到点距离与圆的半径判断即可；于选项B，根据，两点间的距离公式求解即可；对于选项C，根据直线与圆相切，可判断，再根据勾股定理求解即可；对于选项D，圆A与圆相切，分两圆相外切与内切进行讨论即可. 【详解】 已知圆：，所以圆的标准方程为：， 对于选项A，，圆心，半径，根据两点间的距离公式，所以点不在圆上，故A错误； 对于选项B，由A选项可知，，故B正确； 对于选项C，若AP与圆相切于点，所以，所以，，故C正确； 对于D选项，圆A与圆相切，若圆A与圆相外切，则圆的半径为，若圆A与圆相内切，则圆的半径为，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）（多选）圆和圆的交点为，，则（     ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】 对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】 对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 12．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）直线被圆截得的弦的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由圆的方程确定圆心和半径，应用点线距离、圆中弦长的几何求法求弦长. 【详解】 由圆，则圆心，半径为， 所以圆心到直线距离为， 所以截得的弦长为. 故选：D 13．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若直线的倾斜角为，则它的斜率为 B. 直线过定点 C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】BC 【分析】 利用正切函数的意义可判断A；求得定点判断B；求得圆心到直线的距离可判断C；利用两圆外切求得判断D. 【详解】 对于A，若直线的倾斜角为，无意义，直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，因为总成立，所以直线过定点，故B正确； 对于C，由圆得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交，圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故C正确； 对于D，由圆，可得圆心，半径， 由得，圆心，半径， 因为圆与圆恰有三条公切线， 所以两圆外切，所以，解得，故D错误. 故选：BC. 14．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【分析】 由题意得到，再由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】 由可得圆心坐标， 由题意，即， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为4， 故选：A 15．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点，则圆C的半径为（     ） A. 8 B.  C. 10 D.  【答案】B 【分析】 根据图象求得切点，结合圆经过点，求得圆的半径. 【详解】 由图可知，直线过点，所以直线方程为， 即，斜率为. 由切点为，而在圆上， 所以圆心的纵坐标为. 设圆心坐标为， 则，解得， 所以圆心坐标为. 所以半径为. 故选：B 16．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知圆与直线交于两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求得圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求解即可. 【详解】 由圆，得， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交的弦. 故选：A． 17．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）（多选）已知点，，P是圆上的点，且，则实数的可能取值为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】BCD 【分析】 由可得在以为直径的圆上，求出圆的半径和圆心，由圆与圆有公共点，则，解不等式即可得出答案. 【详解】 ，在以为直径的圆上，其圆心为， 半径，圆的圆心为，半径． 由题知，圆与圆有公共点，则， 即， 解得或， 故选：BCD． 18．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）（多选）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（       ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】AD 【分析】 设，由点满足，求得曲线的轨迹方程为，结合圆的性质，直线与圆的位置关系和圆的切线长公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】 对于A，设，因为，且点满足， 可得，即， 可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 对于B，由曲线的方程为，可得其圆心，半径为， 设过点的直线的斜率为，则其直线方程为，即， 若直线与圆有公共点，则满足圆心到直线的距离小于等于半径，即， 可得，解得，即直线的斜率范围是，所以B错误； 对于C，由圆心到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的最小距离为，所以C不正确； 对于D，由圆心到点的距离为， 根据圆的切线长公式，可得切线长为，所以D正确. 19．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】 由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 20．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）（多选）已知圆：，直线：，则以下说法正确的是（     ） A. 直线与圆恒相交 B. 当圆上恰有4个点到直线的距离等于1时， C. 直线被圆截得的最短弦的长度为2 D. 若圆与圆：有三条公切线，则 【答案】AD 【分析】 求出直线所过定点，判断定点与圆的关系可判断A；验证直线过圆心可判断B；根据直线垂直时弦长最短可判断C；根据两圆外切可判断D. 【详解】 对A，直线方程化为，由 得 ， 所以直线过定点， 因为，即点在圆内， 所以直线与圆恒相交，正确； 对B，圆的圆心为，半径为， 要使圆上恰有4个点到直线的距离等于1， 则直线分圆所得的劣弧上的点到直线的最大距离大于1，即圆心到直线的距离小于2， 所以，解得，不一定等于0，错误； 对C，易知当直线垂直时，直线被圆截得的弦最短， 此时，，错误； 对D，圆的圆心为，若两圆有三条公切线，则两圆外切， 所以，得，正确. 故选：AD 21．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）（多选）已知圆：，圆：（）交于不同的，两点，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 利用圆的公共弦所在直线方程可判定A，D，利用圆半径相同，再根据圆的性质判定圆心连线与公共弦垂直且平分，利用中点坐标公式可判定B，C. 【详解】 圆和圆交于不同的两点，， ∴两圆方程相减可得直线的方程为：， 即，分别把点，两点坐标代入 得：，， 上面两式相减得：， 即，所以选项A正确； 由上得：，所以选项D正确； ∵两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段与线段互相平分， 则有，， 变形可得，，故C正确，B错误. 故选：ACD 22．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用待定系数法求圆的方程； （2）由已知求出圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在讨论，再利用点到直线的距离公式，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程. (1) 小问详解： 设圆， 则 ，解得 ，满足， 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）知，，半径， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，故，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 23．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为　　　　　　. 【答案】 【分析】 求得圆的半径，进而求得圆的面积. 【详解】 因为圆M与直线.相切， 所以点到直线：的距离即为圆M的半径， 所以，圆C的面积为. 故答案为： 24．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）已知关于x，y的方程. （1）若该方程表示圆C，求m的取值范围； （2）若圆C与圆外切，求m的值； （3）若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1）；     （2）4；     （3）或.      【分析】 （1）化给定方程为，利用方程表示圆，即可求出范围. （2）根据给定条件，利用两圆相外切，列出方程，求出的值. （3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类求出方程. (1) 小问详解： 方程，变形得， 由方程表示圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 由圆，得，此圆圆心，半径为， 又圆的圆心，半径， 由圆与圆相外切，得，即， 所以. (3) 小问详解： 由（2）知，圆的圆心，半径， 由圆的弦长，得圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，解得，直线的方程为， 所以直线l的方程为或. 25．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解． 【详解】 依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然，在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 故答案为：． 26．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知圆经过点，且与圆相切于原点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）先判断出与圆外切，从而得三点共线，则有圆心在直线，用待定系数法求解即可； （2）先求出直线恒过点，从而得当时，取最小值，即可求出直线的方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可. (1) 小问详解： 解：因为圆与图相切，且点在圆的外部， 所以圆与圆外切， 则三点共线， 图， 化为标准形式为：， 所以圆心， 故圆心在直线上， 设圆的标准方程为， 又圆过原点，则， 圆经过点，则，解得， 故圆的标准方程为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，圆的圆心坐标为， 由直线，化为， 所以直线恒过点， 易知点在圆的内部， 设点到直线的距离为，则， 要使取得最小值，则取得最大值，所以， 此时，所以， 则直线的方程为，即. 又圆心到直线的距离， 所以. 27．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题可知，圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】 由题意得圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即， 解得或， 故答案为：. 28．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知圆的方程为，直线经过圆的圆心，且倾斜角． （1）求直线的方程； （2）过点的直线与垂直，且直线与圆交于两点，求弦的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将圆化为标准方程得出圆心坐标，再利用点斜式求方程； （2）求出直线的方程，再利用几何法求弦长. (1) 小问详解： 由题意得，圆C的标准方程为，所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为， 即； (2) 小问详解： 直线的斜率为，则直线的斜率为， 因为直线过点，所以直线m的方程为，即， 圆心到直线m的距离为， 所以弦AB的长为． 29．（25-26学年高二上·云南多校·期中）已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据圆的性质可得四边形的周长为，根据切线长的求法及点到直线距离公式，分析计算，可得的最小值，即可得答案. 【详解】 圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 因为为直角三角形， 所以， 又为直线上一点与圆心C之间的距离， 所以的最小值为点到直线的距离，且为， 所以的最小值为， 则四边形的周长的最小值为. 故答案为： 30．（25-26学年高二上·云南怒江傈僳族自治州·期中）已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是　　　　　　　　　　小时． 【答案】5 【分析】 以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可得到答案； 【详解】 以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标， 以为圆心，千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点， 过点作，垂足为． 由题意可知千米，千米，， 则千米，从而千米， 故点处于危险区域的时长是小时． 故答案为：5 31．（25-26学年高二上·云南怒江傈僳族自治州·期中）已知，，在平面内有一动点，满足，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知过点的直线与曲线交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设，由结合两点距离公式化简即可得轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否为0，结合直线与圆相交弦长确定直线方程即可. (1) 小问详解： 设，则，，      因为，所以，              所以，即曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知曲线的圆心的坐标为，半径，           当直线的斜率为0时，，则直线的斜率不为0，      设直线，即， 则圆心到直线的距离，                     所以，解得，                            故直线的方程为或. 32．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）已知圆的方程为． （1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程； （2）点为圆上任意一点，求的最大值和最小值． 【答案】（1）或；     （2）最大值为，最小值为.      【分析】 （1）求出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出对应的直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）取点，则，数形结合可得出的最大值和最小值，即可得解. (1) 小问详解： 解：圆的圆心为坐标原点，半径为， 设圆心到直线的距离为，则. ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； ② 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. (2) 小问详解： 解：取点，则， 如下图所示，设直线交圆于点、， 由图可知，当点与点重合时，取最小值，且， 当点与点重合时，取最大值，且. 因此，的最大值为，最小值为. 33．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足． （1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过作该圆的切线，求的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】 （1）设，直接用坐标表示并化简即可； （2）分类斜率不存在和斜率存在，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数，得切线方程． 【详解】 （1）设动点坐标为，则，， 又知，则，得． （2）当的斜率存在为时，则的方程为：，与圆相切， 则，得：， 此时的方程为：； 当的斜率不存在时，此时的方程为：， 综上：的方程为或． 【点睛】 本题考查求圆的方程，考查求圆的切线方程．求圆的方程采取直接法，即把已知关系用坐标表示化简即可，而求圆的切线方程必须分类讨论，即分斜率不存在和斜率存在两类，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求参数． 34．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是　　　　　　． 【答案】 【分析】 由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程. 【详解】 解：由得，所以圆的圆心为， 所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得， 所以直线l的方程为，即， 故答案为：. 35．（25-26学年高二上·云南红河哈尼族彝族自治州第一中学·期中）曲线方程，其图像与直线有两个不同的交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　 . 【答案】 【分析】 首先确定所给曲线的特征，然后结合直线与圆的位置关系考查临界条件即可求得实数的取值范围. 【详解】 曲线方程表示圆位于轴上方的部分， 直线表示斜率为1的直线系， 如图所示，当直线与半圆有两个不同的交点时，考查临界条件： 当直线经过点时：， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即： ，解得：(舍去负值)， 综上可得：的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 36．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足. （1）求动点P的阿氏圆C的标准方程； （2）直线：与圆C交于点M，N两点，若x轴平分，证明：不论k取何值，直线与x轴的交点为定点，并求出此定点坐标. 【答案】（1）     （2）直线与x轴的交点为，证明如下： 设，由（1）可知动点P的阿氏圆C的标准方程， 联立 ，得，即， ， 又x轴平分，， ， 又在直线上 ，， 上式化为，通分可得， 即，合并同类项，得， 将带入得，， 两边同乘并整理，得， ， ， 因此直线的方程为， 令，得，直线与x轴的交点为， 故不论k取何值，直线与x轴的交点都为定点，其坐标为.      【分析】 （1）先设出动点P的坐标，再根据已知的距离之比列出等式，最后化简等式即可求出； （2）先设出，将直线的方程与圆的方程进行联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到的表达式，再根据x轴平分，得，进而求出直线与x轴的交点坐标. (1) 小问详解： 设动点P的坐标为，又，， ， 又动点P满足，，即， 两边同时平方，得，即， 化简配方得， 故动点P的阿氏圆C的标准方程. (2) 小问详解： 略 37．（25-26·云南民族中学·二模）已知直线不全为0与直线不全为0分别与圆交于与，则四边形的面积取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据直线的方程可知且都过定点，记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理可得，求出后，分类讨论可得出四边形的面积取值范围． 【详解】 因为且都过点，可得点在圆内， 又圆的圆心，半径． 记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理， 得， 根据几何性质得，而当或，即有一条过圆心时，四边形面积最小为， 当时，得， 当且仅当时，四边形面积最大为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．B 2．BD 3．B 4．D 5．D 6．A 7．D 8．A 9．D 10．BC 11．ABD 12．D 13．BC 14．A 15．B 16．A 17．BCD 18．AD 19．D 20．AD 21．ACD 22．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用待定系数法求圆的方程； （2）由已知求出圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在讨论，再利用点到直线的距离公式，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程. (1) 小问详解： 设圆， 则 ，解得 ，满足， 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）知，，半径， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，故，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 23．【答案】 【分析】 求得圆的半径，进而求得圆的面积. 【详解】 因为圆M与直线.相切， 所以点到直线：的距离即为圆M的半径， 所以，圆C的面积为. 故答案为： 24．【答案】（1）；     （2）4；     （3）或.      【分析】 （1）化给定方程为，利用方程表示圆，即可求出范围. （2）根据给定条件，利用两圆相外切，列出方程，求出的值. （3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类求出方程. (1) 小问详解： 方程，变形得， 由方程表示圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 由圆，得，此圆圆心，半径为， 又圆的圆心，半径， 由圆与圆相外切，得，即， 所以. (3) 小问详解： 由（2）知，圆的圆心，半径， 由圆的弦长，得圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，解得，直线的方程为， 所以直线l的方程为或. 25．【答案】 【分析】 根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解． 【详解】 依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然，在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 故答案为：． 26．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）先判断出与圆外切，从而得三点共线，则有圆心在直线，用待定系数法求解即可； （2）先求出直线恒过点，从而得当时，取最小值，即可求出直线的方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可. (1) 小问详解： 解：因为圆与图相切，且点在圆的外部， 所以圆与圆外切， 则三点共线， 图， 化为标准形式为：， 所以圆心， 故圆心在直线上， 设圆的标准方程为， 又圆过原点，则， 圆经过点，则，解得， 故圆的标准方程为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，圆的圆心坐标为， 由直线，化为， 所以直线恒过点， 易知点在圆的内部， 设点到直线的距离为，则， 要使取得最小值，则取得最大值，所以， 此时，所以， 则直线的方程为，即. 又圆心到直线的距离， 所以. 27．【答案】 【分析】 由题可知，圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】 由题意得圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即， 解得或， 故答案为：. 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将圆化为标准方程得出圆心坐标，再利用点斜式求方程； （2）求出直线的方程，再利用几何法求弦长. (1) 小问详解： 由题意得，圆C的标准方程为，所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为， 即； (2) 小问详解： 直线的斜率为，则直线的斜率为， 因为直线过点，所以直线m的方程为，即， 圆心到直线m的距离为， 所以弦AB的长为． 29．【答案】 【分析】 根据圆的性质可得四边形的周长为，根据切线长的求法及点到直线距离公式，分析计算，可得的最小值，即可得答案. 【详解】 圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 因为为直角三角形， 所以， 又为直线上一点与圆心C之间的距离， 所以的最小值为点到直线的距离，且为， 所以的最小值为， 则四边形的周长的最小值为. 故答案为： 30．【答案】5 【分析】 以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可得到答案； 【详解】 以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标， 以为圆心，千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点， 过点作，垂足为． 由题意可知千米，千米，， 则千米，从而千米， 故点处于危险区域的时长是小时． 故答案为：5 31．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设，由结合两点距离公式化简即可得轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否为0，结合直线与圆相交弦长确定直线方程即可. (1) 小问详解： 设，则，，      因为，所以，              所以，即曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知曲线的圆心的坐标为，半径，           当直线的斜率为0时，，则直线的斜率不为0，      设直线，即， 则圆心到直线的距离，                     所以，解得，                            故直线的方程为或. 32．【答案】（1）或；     （2）最大值为，最小值为.      【分析】 （1）求出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出对应的直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）取点，则，数形结合可得出的最大值和最小值，即可得解. (1) 小问详解： 解：圆的圆心为坐标原点，半径为， 设圆心到直线的距离为，则. ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； ② 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. (2) 小问详解： 解：取点，则， 如下图所示，设直线交圆于点、， 由图可知，当点与点重合时，取最小值，且， 当点与点重合时，取最大值，且. 因此，的最大值为，最小值为. 33．【答案】（1）；（2）或． 【分析】 （1）设，直接用坐标表示并化简即可； （2）分类斜率不存在和斜率存在，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数，得切线方程． 【详解】 （1）设动点坐标为，则，， 又知，则，得． （2）当的斜率存在为时，则的方程为：，与圆相切， 则，得：， 此时的方程为：； 当的斜率不存在时，此时的方程为：， 综上：的方程为或． 【点睛】 本题考查求圆的方程，考查求圆的切线方程．求圆的方程采取直接法，即把已知关系用坐标表示化简即可，而求圆的切线方程必须分类讨论，即分斜率不存在和斜率存在两类，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求参数． 34．【答案】 【分析】 由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程. 【详解】 解：由得，所以圆的圆心为， 所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得， 所以直线l的方程为，即， 故答案为：. 35．【答案】 【分析】 首先确定所给曲线的特征，然后结合直线与圆的位置关系考查临界条件即可求得实数的取值范围. 【详解】 曲线方程表示圆位于轴上方的部分， 直线表示斜率为1的直线系， 如图所示，当直线与半圆有两个不同的交点时，考查临界条件： 当直线经过点时：， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即： ，解得：(舍去负值)， 综上可得：的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 36．【答案】（1）     （2）直线与x轴的交点为，证明如下： 设，由（1）可知动点P的阿氏圆C的标准方程， 联立 ，得，即， ， 又x轴平分，， ， 又在直线上 ，， 上式化为，通分可得， 即，合并同类项，得， 将带入得，， 两边同乘并整理，得， ， ， 因此直线的方程为， 令，得，直线与x轴的交点为， 故不论k取何值，直线与x轴的交点都为定点，其坐标为.      【分析】 （1）先设出动点P的坐标，再根据已知的距离之比列出等式，最后化简等式即可求出； （2）先设出，将直线的方程与圆的方程进行联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到的表达式，再根据x轴平分，得，进而求出直线与x轴的交点坐标. (1) 小问详解： 设动点P的坐标为，又，， ， 又动点P满足，，即， 两边同时平方，得，即， 化简配方得， 故动点P的阿氏圆C的标准方程. (2) 小问详解： 略 37．【答案】 【分析】 根据直线的方程可知且都过定点，记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理可得，求出后，分类讨论可得出四边形的面积取值范围． 【详解】 因为且都过点，可得点在圆内， 又圆的圆心，半径． 记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理， 得， 根据几何性质得，而当或，即有一条过圆心时，四边形面积最小为， 当时，得， 当且仅当时，四边形面积最大为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）设直线与圆相交于两点，则的面积为（       ） A. 8 B.  C.  D. 4 2．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）（多选）已知直线与圆相交于两点，则（       ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 3．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）下列直线中，与圆：不相切的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B.  C. 2 D. 2 7．（25-26·云南民族中学·二模）过点作的两条切线，切点分别为，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）若圆与圆有3条公切线，则（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·云南多校·期中）（多选）已知点与圆：，则下列说法正确的有（     ） A. 点在圆上 B.  C. 若AP与圆相切于点，则 D. 若圆A与圆相切，则圆的半径为 11．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）（多选）圆和圆的交点为，，则（     ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 12．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）直线被圆截得的弦的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若直线的倾斜角为，则它的斜率为 B. 直线过定点 C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 14．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 15．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点，则圆C的半径为（     ） A. 8 B.  C. 10 D.  16．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知圆与直线交于两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）（多选）已知点，，P是圆上的点，且，则实数的可能取值为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  18．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）（多选）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（       ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 19．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）（多选）已知圆：，直线：，则以下说法正确的是（     ） A. 直线与圆恒相交 B. 当圆上恰有4个点到直线的距离等于1时， C. 直线被圆截得的最短弦的长度为2 D. 若圆与圆：有三条公切线，则 21．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）（多选）已知圆：，圆：（）交于不同的，两点，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 23．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）已知关于x，y的方程. （1）若该方程表示圆C，求m的取值范围； （2）若圆C与圆外切，求m的值； （3）若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 25．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为　　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知圆经过点，且与圆相切于原点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值. 27．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知圆的方程为，直线经过圆的圆心，且倾斜角． （1）求直线的方程； （2）过点的直线与垂直，且直线与圆交于两点，求弦的长． 29．（25-26学年高二上·云南多校·期中）已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高二上·云南怒江傈僳族自治州·期中）已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是　　　　　　　　　　小时． 31．（25-26学年高二上·云南怒江傈僳族自治州·期中）已知，，在平面内有一动点，满足，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知过点的直线与曲线交于，两点，若，求直线的方程. 32．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）已知圆的方程为． （1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程； （2）点为圆上任意一点，求的最大值和最小值． 33．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足． （1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过作该圆的切线，求的方程． 34．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是　　　　　　． 35．（25-26学年高二上·云南红河哈尼族彝族自治州第一中学·期中）曲线方程，其图像与直线有两个不同的交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　 . 36．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足. （1）求动点P的阿氏圆C的标准方程； （2）直线：与圆C交于点M，N两点，若x轴平分，证明：不论k取何值，直线与x轴的交点为定点，并求出此定点坐标. 37．（25-26·云南民族中学·二模）已知直线不全为0与直线不全为0分别与圆交于与，则四边形的面积取值范围为　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $