精品解析：云南省昆明市西山区2025-2026学年上学期期中考试高二年级数学试卷

2025-2026学年上学期期中考试 高二年级数学试卷 （考试用时120分钟，满分150分） 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效； 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知是实数集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知在三棱锥中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设直线与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 4 6. 若圆与圆有3条公切线，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 直线与直线互相平行，则 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（    ） A. B. 平面ABCD C. D. 三棱锥的体积为定值 11. 阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______. 13. 已知向量与的夹角为，则__________. 14. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在钝角中，已知． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 16. 某中学为了调查某年级学生劳动实践活动情况，对名学生某周的劳动时间统计如下： 周劳动时间（小时） 人数 20 80 140 200 60 （1）根据提供的数据，直接在答题卡中补充完整周劳动时间的频率分布直方图（用阴影填涂，需要书写具体步骤）； （2）求周劳动时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （3）根据图表，估计周劳动时间的样本数据的第80百分位数. 17. 已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到，使得平面平面. （Ⅰ）求证：平面ABD； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 19. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中考试 高二年级数学试卷 （考试用时120分钟，满分150分） 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效； 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知是实数集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由韦恩图可得阴影部分表示的集合是，再利用补集与交集定义计算即可得. 【详解】由图可得图中阴影部分表示的集合为， 由，则或， 又，则. 故选：D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法法则以及共轭复数、虚部的概念即可求解. 【详解】由题意，则的虚部为. 故选：C. 3. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：D 4. 如图所示，已知在三棱锥中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求得答案. 【详解】依题意， . 故选：D. 5. 设直线与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求得的高，利用圆的几何性质求得的底边长，进而可求的面积. 【详解】由题意，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则， 由此，. 故选：B. 6. 若圆与圆有3条公切线，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】若两圆有3条公切线，则外切.我们需要先通过圆的方程，求出圆心坐标和半径，再根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和来求解的值. 【详解】圆，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距. 根据两点间距离公式，圆心与的距离. 又因为，即. 移项可得. 两边平方可得，解得. 故选：A. 7. 已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【详解】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 8. 若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由是定义在上的偶函数，且，得的周期为， 当时，，故当时，， 因此在一个周期内的值域为． 函数在区间内有个不同零点， 等价于与的图象在内有个不同交点， 结合的周期性与图象可知，满足且，解得． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 直线与直线互相平行，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行和垂直满足的关系即可判断AD，根据截距式方程的定义即可判断B,根据两点式的适用条件即可判断C. 【详解】对于A, 直线与直线互相垂直,则需要满足：，解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 对于B , 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和， 对于C，当或时，不能用表示两点的直线， 对于D，若直线与直线互相平行，则满足，解得，D说法正确， 故选：ABC 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（    ） A. B. 平面ABCD C. D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线、线面垂直、线面平行、锥体体积、异面直线概念等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知；又平面，平面， 故，由于，平面，所以平面， 由于平面，所以，所以A选项正确. B选项，根据正方体的性质可知， 由于平面，平面，所以平面，所以B选项正确. C选项，由于平面，平面，且，A在平面外， 故为异面直线，C错误； D选项，对于三棱锥，三角形的面积为，为定值， 到平面的距离即为到平面的距离，为定值， 所以三棱锥的体积为定值，所以D选项正确. 故选：ABD 11. 阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】AD 【解析】 【分析】设，由点满足，求得曲线的轨迹方程为，结合圆的性质，直线与圆的位置关系和圆的切线长公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，因为，且点满足， 可得，即， 可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 对于B，由曲线的方程为，可得其圆心，半径为， 设过点的直线的斜率为，则其直线方程为，即， 若直线与圆有公共点，则满足圆心到直线的距离小于等于半径，即， 可得，解得，即直线的斜率范围是，所以B错误； 对于C，由圆心到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的最小距离为，所以C不正确； 对于D，由圆心到点的距离为， 根据圆的切线长公式，可得切线长为，所以D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】因为选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中， 设每种选法可标记为，其中分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，，共6种. 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，，共2种， 故所求概率为. 13. 已知向量与的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模、向量夹角的余弦公式、向量的数量积等知识进行求解即可. 【详解】向量与的夹角为， 所以， 即， . 又，所以. 故答案为：. 14. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数在区间上单调递减，建立不等式，即可求的取值范围． 【详解】令，则， 函数在区间上单调递减， 所以，解得，， 又因为,所以，可得的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在钝角中，已知． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，得到，故或，舍去不合要求的解，得到答案； （2）在（1）基础上得到，根据周长得到，求出三角形面积. 【小问1详解】 由余弦定理可知，所以， 故， ，， 则， ， 或． 当时，，不为钝角三角形，舍去， 时，满足要求． 【小问2详解】 由（1）可得， 由正弦定理，即． 周长，所以． 则的面积． 16. 某中学为了调查某年级学生劳动实践活动情况，对名学生某周的劳动时间统计如下： 周劳动时间（小时） 人数 20 80 140 200 60 （1）根据提供的数据，直接在答题卡中补充完整周劳动时间的频率分布直方图（用阴影填涂，需要书写具体步骤）； （2）求周劳动时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （3）根据图表，估计周劳动时间的样本数据的第80百分位数. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由统计表格中的数据，求得劳动时间在和的矩形的高度，进而得到频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （3）设样本数据的第分位数为，求得前三个矩形和前四个矩形的面积，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 解：由统计表格中的数据，可得劳动时间在和的人数分别为人和人， 因为频率分布直方图的组距为， 所以劳动时间在和的矩形的高度分别为：和， 可得其频率分布直方图为： 【小问2详解】 解：由频率分布直方图的数据，可得其平均数为： . 【小问3详解】 解：根据题意，设样本数据的第分位数为， 前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以位于之间，可得， 即样本数据的第分位数为. 17. 已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到，使得平面平面. （Ⅰ）求证：平面ABD； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） （Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）翻折后成以后线段的长度不发生变化，所以可得CD=6，， ，即，所以，再结合面面垂直的性质定理可得线面垂直； （Ⅱ）根据题意建立空间直角坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再利用向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而转化为线面角； （Ⅲ）根据建立的坐标系分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角得到答案； 【详解】（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，沿直线BD将△BCD翻折成△，可知CD=6，，BD=8，即，故． 因为平面⊥平面，平面平面=，平面， 所以平面． （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且， 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． 则，，，.． 由于E是线段AD的中点，所以，． 在平面中，，， 设平面法向量为， 所以，即， 令，得，． 设直线与平面所成角为，则 ． 故直线与平面所成角的正弦值为． （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，而平面的法向量为，故， 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，求出即可. （2）首先求出，的坐标，设，由面积公式求出，再由点在椭圆上求出，即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得（负值已舍去），则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为椭圆的方程为，所以， 则，，所以. 设，则，所以， 又，所以， 所以点的坐标为或或或； 【小问3详解】 由，消去整理得， 设点，则， 而，依题意， 所以 . 19. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）是“不动点”函数，不动点是和2； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义列出方程，求解方程即可； （2）根据新定义列出方程，求解方程即可得； （3）设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答． 【小问1详解】 设是的不动点，则，所以，解得或， 所以是“不动点”函数，不动点是和2； 【小问2详解】 因为a是的次不动点，所以，显然，解得； 【小问3详解】 设分别是在上的不动点和次不动点，且唯一， 由得，即，， 令，显然在上单调递增，所以，， 所以， 由得：，即，， 时， 综上，， 所以的范围是． 【点睛】思路点睛：本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $