精品解析：云南开远市第一中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

开远一中2025~2026学年高二上学期期中考试 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 3. 已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 记等差数列的前项和为，已知，则公差（ ） A. -1 B. C. D. 2 5. 已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若，则（ ） A. -2 B. 1 C. -1 D. 0 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ） A. 点的坐标为 B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 点到平面的距离是定值 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 13. 从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________. 14. 在数列中，，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知函数（，且）. （1）若，求函数在上的最值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开远一中2025~2026学年高二上学期期中考试 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再利用交集运算求解. 【详解】由可得， 所以. 故选：B 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用利用复数的乘除运算求出复数即可得解. 【详解】依题意，复数，所以复数的虚部为. 故选：A 3. 已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义直接判断即可. 【详解】根据双曲线的定义，只有当时，点的轨迹才是双曲线， 所以乙甲，但甲乙，所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 4. 记等差数列的前项和为，已知，则公差（ ） A. -1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式得到方程组，求出公差. 【详解】由等差数列求和公式得， 解得. 故选：A 5. 已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可以判断分段函数是上的单调递减函数，结合一次函数单调性可以求解，再结合处的函数值的关系建立关于的不等式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且在上为单调函数， 所以为上的单调递减函数. 当时，一次函数单调递减， 当时，对数函数单调递减， 当时，， 又因为在上为单调递减函数， 所以，解得：. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案. 【详解】设，则 . 故选：A 7. 如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用垂直关系求出，再利用向量运算将所求式转化为，进而可得答案. 【详解】记的中点为，由题可知，， 所以. 故选：A. 8. 若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若，则（ ） A. -2 B. 1 C. -1 D. 0 【答案】AD 【解析】 【分析】由空间向量的模长公式求出，再由垂直向量的坐标表示解方程即可得出答案. 【详解】， 又， 当时，，则； 当，时，则． 故选：AD. 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ） A. 点的坐标为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点的坐标，从而可得答案. 【详解】由题可知， 因为点在抛物线上，且， 所以， 解得， 所以， 故选：BD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 点到平面的距离是定值 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用空间中到定点的距离为定长的点的集合为一个球，在正方体表面上的交线为圆求得的轨迹长度；选项B：可以证得平面，结合平面，所以点到平面的距离是定值；选项C：要求直线与平面所成角的正切值的最大值，则求得在平面的投影为，当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大；选项D：要求的最小值，则利用到直线的距离为，当点落在上时，求得的最小值. 【详解】对于A，因为，即，所以， 即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上， 所以点的轨迹长度为，故A错误； 对于B，在正方体中，， 又平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段， 又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确； 对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角， 因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为， 所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大， 又， 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确； 对于D，到直线的距离为， 当点落在上时，，故D正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得. 【详解】设直线在轴､轴上的截距均为， ① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得， 故直线方程为，即； ② 若，则直线方程为，代入可得， 解得，故直线方程为. 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型，利用列举法找到所有基本事件，从而计算出概率. 【详解】从这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个， 所取2个数之和为9的基本事件有，共2个， 故所求概率. 故答案为：. 14. 在数列中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据递推关系转化为等差数列，利用等差数列的通项公式求解通项公式得解. 【详解】因为，又， 所以，即，又， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用特殊角的余弦值及角的范围可得； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 即，所以， 又，所以，所以，即， 所以； 【小问2详解】 在中，由，，及得， ，即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得， 解得，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 所以 所以． 17. 已知函数（，且）. （1）若，求函数在上的最值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先判断复合函数的单调性，再根据单调性求最值； （2）首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，设， 函数在上递减，在上递增，函数在上递减， 则函数在上递增，在上递减，，，， 所以当，时，，. 【小问2详解】 函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若需满足题意，则，得. 综上，的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，正方形的边长为2，取的中点，连接，， 由，，得，由为的中点，得， 由为等边三角形，得，于是，即， 又，则，而，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合勾股定理的逆定理，利用线面垂直的判定推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用线面垂直的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内过点作， 又平面平面，因此平面，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 有， 在中，由，，得，， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 【答案】（1） （2） 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， 设点P的坐标为，，有，可得， 直线BD的方程为，整理为； 直线AD的方程为，整理为； 直线AP的方程为； 联立方程，解得，M的横坐标为， 直线BP的方程为， 联立方程，解得：，N的横坐标为， ， 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直. 【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程. （2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标，作差为0得到证明. 【小问1详解】 设椭圆C的焦距为2c，由题意有：，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线与的垂直关系转化为横坐标相等是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $