专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，云南专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知两条直线,,若与平行,则为（       ） A.  B.  C. 或 D.  2．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）若点和点关于直线对称，则（     ） A. 的中点坐标为 B.  C. 直线的斜率为1 D.  3．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）过点的直线l与直线平行，则下列说法正确的是（       ） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的方程为： C. 直线l与直线间的距离为 D. 过点P且与直线l垂直的直线为： 5．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知直线l过定点，且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（       ） A.  B.  C. ( -∞ ,-1] ∪ ^ [5,+∞ ) D. ( -∞ ,-1 ]∪ ^( 5,+∞ ) 6．（25-26学年高二上·云南怒江傈僳族自治州·期中）已知直线和直线平行，则（     ） A. 2 B. 3 C. 2或 D. 3或 7．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·云南红河哈尼族彝族自治州第一中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知直线，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）若直线与垂直，则　　　　　　　． 11．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）已知直线，，若，则m的值为　　　　　　． 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）（多选）下列说法不正确的是（       ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 直线与直线互相平行，则 2．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）直线在轴上的截距为（       ） A. -3 B.  C.  D. 3 4．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）经过点且与直线垂直的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·云南多校·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）的三个顶点是，下列说法正确的是（       ） A. 边上的中线所在的直线的方程： B. 边上的高所在的直线的方程： C. 过点，且平行于边的直线的方程： D. 过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 8．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）不论为何实数，直线恒过定点　　　　　　.（请写出该定点坐标） 10．（25-26学年高二上·云南多校·期中）已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． （1）求直线与轴交点的坐标； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 11．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. （1）若直线在轴上的截距为5，求的值； （2）若时，求直线的斜截式方程. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知直线与，则与之间的距离为（　　） A. 1 B.  C.  D. 2 2．（25-26·云南民族中学·二模）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·云南怒江傈僳族自治州·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 6．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）如图，光线从 出发，经过直线反射到，该光线又在点被轴反射，若反射光线恰与直线平行，且，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 7．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）已知直线过点和，直线：． （1）若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． （2）已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 8．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知直线与直线平行，则平行线间的距离为　　　　　　. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）若点在圆的内部，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D.  2．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）（多选）已知圆，则下列结论正确的有（       ） A. 的取值范围为 B. 若，则点在圆内 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆的方程为 4．（25-26学年高二上·云南多校·期中）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知圆与直线，若平分圆的面积，则的最小值为（　　） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 7．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知圆． （1）求圆心坐标和实数的取值范围； （2）若圆与直线交于两点，且，求的值． 8．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 9．（25-26·云南民族中学·二模）已知圆经过点和，且圆心在直线上，过点的动直线与圆交于两点，线段中点为为坐标原点. （1）求圆的标准方程； （2）求的轨迹方程； （3）若，求直线的方程及三角形面积. 10．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 11．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为　　　　　. 12．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知圆在轴右侧，点在轴上运动，以为直径的圆与圆交于点，且最小值为，点为直线与直线的交点，为坐标原点，则　　　　　　　　　　，最小值　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．A 2．ABD 3．B 4．BCD 5．A 6．A 7．A 8．C 9．C 10．【答案】0 【分析】 根据两直线垂直的结论求. 【详解】 直线与垂直， 可得，解得． 故答案为：0 11．【答案】4 【分析】 根据两直线垂直得到，解出即可. 【详解】 由题意得，解得. 故答案为：4. 考点02 直线的方程 1．ABC 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．ABC 8．【答案】或 【分析】 由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得. 【详解】 设直线在轴､轴上的截距均为， ① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得， 故直线方程为，即； ② 若，则直线方程为，代入可得， 解得，故直线方程为. 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 9．【答案】； 【分析】将直线方程变形,解方程组即可求得所过定点的坐标. 【详解】直线 变形可得 当满足 时,不论为何实数,直线恒过定点 解方程组可得 所以不论为何实数,直线恒过定点的坐标为 故答案为: 【点睛】本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题. 10．【答案】（1）     （2）24      【分析】 （1）由斜率和纵截距写出直线方程，然后求出横截距； （2）写出直线与坐标轴交点坐标，然后得到线段长，然后求得三角形周长. (1) 小问详解： 由已知可得直线的方程为， 令，可得， 所以直线与轴交点的坐标为； (2) 小问详解： 设坐标原点为，，， 由题意及（1）知直线与两坐标轴围成的三角形为， ， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的周长为24. 11．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. (1) 小问详解： 依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； (2) 小问详解： 设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．D 2．C 3．B 4．B 5．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. (1) 小问详解： 易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. (2) 小问详解： 直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 6．【答案】 【分析】 先记经过点的入射光线与直线的交点为，由题意得到直线的斜率为：，与直线垂直的直线斜率为：；设直线斜率为，由到角公式求出 ，再由直线与直线联立求出点坐标，表示出，求出关系，进而可得出结果. 【详解】 记经过点的入射光线与直线的交点为， 由题意可得：直线的斜率为：， 与直线垂直的直线斜率为：； 设直线斜率为， 由到角公式可得：，即， 解得， 又直线的方程为：，由 解得， 因此，解得， 又，所以. 故答案为 【点睛】 本题主要考查直线的应用，熟记直线方程，以及直线的斜率公式即可，属于常考题型. 7．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程. (1) 小问详解： 直线的方程为，即， 取直线上的一点，设关于直线的对称点为， 则 ，解得. 由 解得， 所以直线过点和点， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 直线斜率不存在时，可得， 点与直线的距离为，符合题意. 当直线斜率存在时，设直线斜率为， 故可得直线的方程为， 即， 因为点到直线的距离为， 即， 解得， 故可得直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为：或． 8．【答案】 【分析】 先根据两直线平行的条件求出的值，再将两直线方程化为系数相同的形式，最后利用两平行线间的距离公式计算距离即可. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得，所以直线可化为， 所以两平行直线间的距离是. 故答案为： 考点04 圆的方程 1．A 2．B 3．ABD 4．D 5．B 6．C 7．【答案】（1）圆心为，     （2）      【分析】 （1）将圆的方程配方，即可得到圆心坐标，再由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. (1) 小问详解： 圆，即， 则圆心为， 此方程表示圆，，解得， 故实数的取值范围是； (2) 小问详解： 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 又，即，解得． 即的值为. 8．【答案】（1），     （2）（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆．      【分析】 （1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； （ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入，即可求解. (1) 小问详解： 解：设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. (2) 小问详解： 解：（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 ， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 9．【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）设圆心为，由，求出的值，即可得答案； （2）由题意可得，从而得轨迹为以线段为直径的圆上，即可得答案； （3）由，可得在的圆上，由圆与圆相交，即可得直线的方程，再由三角形的面积公式求解即可. (1) 小问详解： 根据题意，设圆心为， 由， 可得， 解得， 所以，圆心为， 半径为， 因此，圆的方程为. (2) 小问详解： 因为是线段中点， 所以， 所以点轨迹为以线段为直径的圆上， 故轨迹为以为圆心，半径为的圆， 故的轨迹方程：. (3) 小问详解： 因为， 所以在以为圆心，半径为5的圆上， 即在的圆上， 又因为在上， 两圆相减可得：，    因为到的距离， 所以面积为. 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. (1) 小问详解： 设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得， ， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 11．【答案】 【分析】 设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【详解】 设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 12．【答案】①     ② 【分析】 设，可得以为直径的圆的方程，由，结合可求得，与圆的方程相减可得直线的方程，进而求得定点，进而可得的轨迹为以为直径的圆，从而可求的最小值 【详解】 因为点为以为直径的圆与圆交点，所以， 所以，又因为， 所以，解得， 设，则以为直径的圆方程为：， 又圆， 两方程作差：可得为直线的方程， 即为：，所以直线过定点， 由对称性可知：，因为点为直线与直线的交点， 所以的轨迹为以为直径的圆（点除外）， 该圆半径，记圆心， 所以最小值． 故答案为：；2 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知两条直线,,若与平行,则为（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】A 【分析】 根据两直线平行,得出关系求出值. 【详解】 解：由题知,两条直线,, 若与平行,则且, 由解得或, 当时故舍去, 所以. 故选:A． 2．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）若点和点关于直线对称，则（     ） A. 的中点坐标为 B.  C. 直线的斜率为1 D.  【答案】ABD 【分析】 根据题意可知直线为的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论. 【详解】 易知的中点坐标为，则点在直线上， 所以，解得， 所以直线的斜率为. 又因为，所以， 解得. 故选：ABD 3．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据斜率的两点式公式和定义求解. 【详解】 经过两点的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：B 4．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）过点的直线l与直线平行，则下列说法正确的是（       ） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的方程为： C. 直线l与直线间的距离为 D. 过点P且与直线l垂直的直线为： 【答案】BCD 【分析】 由直线的斜率可求得倾斜角即可判断选项A，由直线平行和垂直的斜率关系设出所求方程点代入求得直线方程即可判断B、D，由平行直线间的距离公式计算即可判断C选项. 【详解】 过点的直线l与直线平行， 设直线l方程为，代入可得，解得：,所以直线l的方程为：，B正确， 直线l的斜率，直线l的倾斜角为，则A错误， l与直线的距离为，C正确， 过点P且与直线l垂直的直线可设为：，代入可得，解得：,则过点P且与直线l垂直的直线为：，D正确. 故选：BCD. 5．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知直线l过定点，且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（       ） A.  B.  C. ( -∞ ,-1] ∪ ^ [5,+∞ ) D. ( -∞ ,-1 ]∪ ^( 5,+∞ ) 【答案】A 【分析】 先利用斜率公式求得直线，的斜率结合图象可得则直线的斜率的取值范围． 【详解】 解：直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得则直线的斜率的取值范围是， 即则直线的斜率的取值范围是，， 故选：． 6．（25-26学年高二上·云南怒江傈僳族自治州·期中）已知直线和直线平行，则（     ） A. 2 B. 3 C. 2或 D. 3或 【答案】A 【分析】 由两直线平行建立方程组，即可解得. 【详解】 由题意可得 ，解得. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线斜率和倾斜角的关系，可求直线的倾斜角. 【详解】 设直线的倾斜角为， 由题意可得，又，所以． 故选：A． 8．（25-26学年高二上·云南红河哈尼族彝族自治州第一中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【详解】 直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知直线，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】 当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 10．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）若直线与垂直，则　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 根据两直线垂直的结论求. 【详解】 直线与垂直， 可得，解得． 故答案为：0 11．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）已知直线，，若，则m的值为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据两直线垂直得到，解出即可. 【详解】 由题意得，解得. 故答案为：4. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）（多选）下列说法不正确的是（       ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 直线与直线互相平行，则 【答案】ABC 【分析】 根据直线一般式中平行和垂直满足的关系即可判断AD，根据截距式方程的定义即可判断B,根据两点式的适用条件即可判断C. 【详解】 对于A, 直线与直线互相垂直,则需要满足：，解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 对于B , 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和， 对于C，当或时，不能用表示两点的直线， 对于D，若直线与直线互相平行，则满足 ，解得，D说法正确， 故选：ABC 2．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【详解】 由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 3．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）直线在轴上的截距为（       ） A. -3 B.  C.  D. 3 【答案】C 【分析】 令，求得对应的即可 【详解】 令，得，即在轴上的截距为. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）经过点且与直线垂直的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】 设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程求出斜率，由斜率与倾斜角的关系可得倾斜角. 【详解】 由题知，直线的斜率为， 记直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：D 6．（25-26学年高二上·云南多校·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由斜率，确定高的斜率，再由点斜式求解. 【详解】 ， 所以边上的高所在直线斜率为1， 所以边上的高所在直线的方程为， 即， 故选：C 7．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）的三个顶点是，下列说法正确的是（       ） A. 边上的中线所在的直线的方程： B. 边上的高所在的直线的方程： C. 过点，且平行于边的直线的方程： D. 过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 【答案】ABC 【分析】 A选项，由的坐标求出中点，求出，利用点斜式得到中线为AD的直线的方程；B选项，求出直线的斜率，利用两线垂直，得到上的高所在直线的斜率；C选项，由点斜式可得过点且平行于边的直线的方程；D选项若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为截距式，代入点的坐标得到无解，直线不存在；若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点的坐标得该直线方程. 【详解】 因为，所以中点，边上的中线为AD，所在的直线的方程：，A正确； 由可得直线的斜率为1，所以边上的高所在直线的斜率为-1，方程为：，B正确； 由点斜式可得，过点，且平行于边的直线的方程：，C正确； 若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为：， 代入点，得a无解，直线不存在； 若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点，得该直线方程为：，D错误. 故选：ABC． 8．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得. 【详解】 设直线在轴､轴上的截距均为， ① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得， 故直线方程为，即； ② 若，则直线方程为，代入可得， 解得，故直线方程为. 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 9．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）不论为何实数，直线恒过定点　　　　　　.（请写出该定点坐标） 【答案】； 【分析】将直线方程变形,解方程组即可求得所过定点的坐标. 【详解】直线 变形可得 当满足 时,不论为何实数,直线恒过定点 解方程组可得 所以不论为何实数,直线恒过定点的坐标为 故答案为: 【点睛】本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题. 10．（25-26学年高二上·云南多校·期中）已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． （1）求直线与轴交点的坐标； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 【答案】（1）     （2）24      【分析】 （1）由斜率和纵截距写出直线方程，然后求出横截距； （2）写出直线与坐标轴交点坐标，然后得到线段长，然后求得三角形周长. (1) 小问详解： 由已知可得直线的方程为， 令，可得， 所以直线与轴交点的坐标为； (2) 小问详解： 设坐标原点为，，， 由题意及（1）知直线与两坐标轴围成的三角形为， ， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的周长为24. 11．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. （1）若直线在轴上的截距为5，求的值； （2）若时，求直线的斜截式方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. (1) 小问详解： 依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； (2) 小问详解： 设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知直线与，则与之间的距离为（　　） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 先得到，再利用两平行线间距离公式进行求解. 【详解】 因为 ，所以直线， 设两条平行线间的距离为d， . 故选：D． 2．（25-26·云南民族中学·二模）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用两直线平行求出，利用两平行线间的距离公式求出这两条直线之间的距离. 【详解】 根据题意，直线与直线平行，则有， 则两直线的方程分别为， 直线可化为，则它们之间的距离. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 法一，联立直线方程可得交点坐标，然后结合直线过点可得直线方程；法2，设直线的方程为，代入，可得直线方程. 【详解】 法1， ，则两直线交点为，直线过点， 又经过点，则直线斜率为， 直线方程为； 法2，设直线的方程为， 因经过点，代入所设方程，则， 则直线的方程为. 故选：B 4．（25-26学年高二上·云南怒江傈僳族自治州·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】 设点关于直线的对称点为，则 ， 解得 ，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 5．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. (1) 小问详解： 易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. (2) 小问详解： 直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 6．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）如图，光线从 出发，经过直线反射到，该光线又在点被轴反射，若反射光线恰与直线平行，且，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先记经过点的入射光线与直线的交点为，由题意得到直线的斜率为：，与直线垂直的直线斜率为：；设直线斜率为，由到角公式求出 ，再由直线与直线联立求出点坐标，表示出，求出关系，进而可得出结果. 【详解】 记经过点的入射光线与直线的交点为， 由题意可得：直线的斜率为：， 与直线垂直的直线斜率为：； 设直线斜率为， 由到角公式可得：，即， 解得， 又直线的方程为：，由 解得， 因此，解得， 又，所以. 故答案为 【点睛】 本题主要考查直线的应用，熟记直线方程，以及直线的斜率公式即可，属于常考题型. 7．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）已知直线过点和，直线：． （1）若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． （2）已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程. (1) 小问详解： 直线的方程为，即， 取直线上的一点，设关于直线的对称点为， 则 ，解得. 由 解得， 所以直线过点和点， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 直线斜率不存在时，可得， 点与直线的距离为，符合题意. 当直线斜率存在时，设直线斜率为， 故可得直线的方程为， 即， 因为点到直线的距离为， 即， 解得， 故可得直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为：或． 8．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知直线与直线平行，则平行线间的距离为　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据两直线平行的条件求出的值，再将两直线方程化为系数相同的形式，最后利用两平行线间的距离公式计算距离即可. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得，所以直线可化为， 所以两平行直线间的距离是. 故答案为： 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）若点在圆的内部，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】A 【分析】 利用点到圆心的距离小于半径得到不等式，求出答案． 【详解】 ∵点在圆的内部， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是. 【详解】 易知圆可化为，可得，即； 又在圆外部，可得，解得； 可得. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）（多选）已知圆，则下列结论正确的有（       ） A. 的取值范围为 B. 若，则点在圆内 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆的方程为 【答案】ABD 【分析】 A：化简得到圆的标准方程，根据半径大于求解结果；B：根据与半径的大小关系作出判断；C：根据圆心到直线的距离与半径的关系作出判断；D：先判断点的位置，然后可求圆的方程. 【详解】 ，圆心，半径， 对于A：因为，所以，故正确； 对于B：因为，， 所以，所以点在圆内，故正确； 对于C：当时，，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，故错误； 对于D：因为在直线上，所以圆关于的对称圆即为圆， 所以圆的方程为，故正确； 故选：ABD. 4．（25-26学年高二上·云南多校·期中）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由点在圆外及方程表示圆，列出不等式求解. 【详解】 由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 5．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由圆的性质，结合题意与图象，可得答案. 【详解】 圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为．    故选：B. 6．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知圆与直线，若平分圆的面积，则的最小值为（　　） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 【答案】C 【分析】 由平分圆的面积，所以直线l过圆的圆心，得，再利用不等式即可求得结果. 【详解】 因为平分圆的面积，所以直线l过圆的圆心，即， 即，所以， 当且仅当时取等号. 故选：C 7．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知圆． （1）求圆心坐标和实数的取值范围； （2）若圆与直线交于两点，且，求的值． 【答案】（1）圆心为，     （2）      【分析】 （1）将圆的方程配方，即可得到圆心坐标，再由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. (1) 小问详解： 圆，即， 则圆心为， 此方程表示圆，，解得， 故实数的取值范围是； (2) 小问详解： 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 又，即，解得． 即的值为. 8．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1），     （2）（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆．      【分析】 （1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； （ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入，即可求解. (1) 小问详解： 解：设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. (2) 小问详解： 解：（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 ， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 9．（25-26·云南民族中学·二模）已知圆经过点和，且圆心在直线上，过点的动直线与圆交于两点，线段中点为为坐标原点. （1）求圆的标准方程； （2）求的轨迹方程； （3）若，求直线的方程及三角形面积. 【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）设圆心为，由，求出的值，即可得答案； （2）由题意可得，从而得轨迹为以线段为直径的圆上，即可得答案； （3）由，可得在的圆上，由圆与圆相交，即可得直线的方程，再由三角形的面积公式求解即可. (1) 小问详解： 根据题意，设圆心为， 由， 可得， 解得， 所以，圆心为， 半径为， 因此，圆的方程为. (2) 小问详解： 因为是线段中点， 所以， 所以点轨迹为以线段为直径的圆上， 故轨迹为以为圆心，半径为的圆， 故的轨迹方程：. (3) 小问详解： 因为， 所以在以为圆心，半径为5的圆上， 即在的圆上， 又因为在上， 两圆相减可得：，    因为到的距离， 所以面积为. 10．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. (1) 小问详解： 设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得， ， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 11．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为　　　　　. 【答案】 【分析】 设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【详解】 设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 12．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知圆在轴右侧，点在轴上运动，以为直径的圆与圆交于点，且最小值为，点为直线与直线的交点，为坐标原点，则　　　　　　　　　　，最小值　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 设，可得以为直径的圆的方程，由，结合可求得，与圆的方程相减可得直线的方程，进而求得定点，进而可得的轨迹为以为直径的圆，从而可求的最小值 【详解】 因为点为以为直径的圆与圆交点，所以， 所以，又因为， 所以，解得， 设，则以为直径的圆方程为：， 又圆， 两方程作差：可得为直线的方程， 即为：，所以直线过定点， 由对称性可知：，因为点为直线与直线的交点， 所以的轨迹为以为直径的圆（点除外）， 该圆半径，记圆心， 所以最小值． 故答案为：；2 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $