第5期：2.5 可化为一元一次方程的分式方程-【数理报】2026-2027学年八年级上册数学学案（湘教版·新教材）

S931L58-1SS0 8621L0S-1590 冷 非 1 )- 2)m) f 5+) =0 " a(I) 可 19.(8分)小丽解分式方程1 x-3 x+时，出现了错误， 3x 22.(9分)一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行 24.(13分)八年级甲、乙两个班全体同学踊跃参与“携手抗洪， 2x+2 驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8km/h,平时逆 共渡难关”捐款活动，甲班共捐款882元，乙班共捐款1092元.下面 她的解题过程如下： 水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度是 是甲、乙两班同学的一段对话： 解：去分母得1-（x-3)=6x 第一步 原来的2倍，这条船往返共用了9h.求甲、乙两港之间的距离。 我们班的人数比你 我们班的人均捐款数是 解得x=4 ·中…+*。 第二步 们班的人数少3人 你们班的名 所以原分式方程的解是x= 4 第三步 甲班同学 乙班同学 7 图 (1)小丽的解答过程从第 步开始出错，这一步应为 (1)甲、乙班各有多少人？ ,这一步的依据是 (2)现甲、乙两班共同使用这笔捐款用于购买A,B两种不同型 (2)小丽解答过程缺少的步骤是 号的手套（两种手套都有购买），购买信息如下表： (3)请写出正确的解题过程 名称单价（整数元/包数量（包） 金额（元） A m ■ ◆ m+18 总计 两个班全部捐款额 求符合条件的整数m的值， 韶 数学 23.（13分)阅读下列材料： 1 20.(8分)抗洪工作中，某区有甲、乙两组志愿者分装蔬菜各 八 210吨，乙组分装的速度是甲组分装速度的2倍，甲组所需的时间比 方程1、1 34的解为x=2: 年级 规定时间多1小时，乙组所需的时间比规定时间少2小时，求规定的 方程2=45的解为3 1 1 1 量 时间. … 标检测卷 )请直接写出方程，'4'5=7g的解为 初中数学·湘教八年级同步达标检测卷 (2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为x=-5的分式方 程： (3)观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律 的方程，并直接写出这个方程的解。 21.(9分)若分试方程3+管=3无解，求4的值 x-3 参考答案见7期 数理报 2026年7月29日·星期三 初中数学 5 期总第1201期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 品味方 方法一、分子化 专题销导 2x=0有增根，所以x=2,所以-m+1 相等 2-x 三法 如果分式方程的 含参数分式方程 2,解得m=-5. 分子都是常数，也可 以选择利用分式的基 十四模 模型三、已知分式方程无解，求参数的值 本性质把各分子化为 ⊙湖南马志刚 例9若关于：的方2=2x-无解，则 巧 它们的最小公倍数， 我们在解分式方程时，经常会遇到含有参m的值为 数的分式方程，现针对这类题型归纳总结如下， m 分式方 河南 即完成分子通分.由 于各分式的分子相 供同学们参考学习 解：子=2两边乘4(2x+1),得红+2 武苏苏 同，要使分式左、右两 模型一、已知分式方程的解，求参数的值 =mx整理，得(4-m)=-2因为2=2x牛 边相等，其分母也必 例1x=2是分式方程2+a 相等，从而得出一个 +0=2的无解，所以4-m=0或x=-分，解得m=4或 一元一次方程，解方 解，则a的值为 ( m=0. 程即可. A.1 B.2 C.3 D.4 模型四、已知分式方程有解，求参数满足的 例1 方程 解：把：=2代入子+是=2，得1+4：条件 a 3x3的解是 2,解得a=1. 4若关于：的分式方程，2+子2 模型二、已知分式方程有增根，求参数的值 解：由分式的基本性质，将左边分式的分子 ￥+2m有解，则m满足的条件是 例2若关于的方程号2-0有 x2-4 变为2，原方程变形为号-32百 2 解： 增根，则m的值为 :2+子2=24两边乘(x+ 所以2x=3x-3,解得x=3. 解：+1 2x 2)(x-2),得x+2+2x-4=x+2m,解得x= 检验：把x=3代入原方程，得左边= x-2-2-x =0两边乘(x-2),得m 3 m+1.因为，2+子2斗2四有解所以m 2 右边，所以原分式方程的解为x=3. +1+2x=0,解得x=-m+1因为方程m+1 2 方法二、换元 x-2 +1≠2且m+1≠-2，解得m≠1且m≠-3. 把某个式子看成一个整体，用一个变量去 列分式方程解决实际问题是一类常考题， 数眼看世界 代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫作换 这种考题形式活泼多样，背景千变万化，下面举 元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设 例说明两种常见问题 分式程 元，理论依据是等量代换，目的是使复杂问题简 一、工程问题 单化，变得容易处理.若分式方程中总是有相同 例1为了解决雨季时城市内涝的难题，我 走进实际生活 的式子，可把它们用一个字母代替，即应用换元 市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在 ◎青海王琪莹 法求解方程。 改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的 (1)绳子和实心球的单价各是多少元？ 例2 1-x 解方程-2+2=2 施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度 (2)如果本次购买的总费用为510元，且购 可以比原计划提前10天完成任务： 买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳 解：原方程变形为，2+2=二 2设y (1)求实际施工时，每天改造管网的长度； 子和实心球的数量各是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的 解：(1)设绳子的单价是x元， -2,则x-1=y+1.原方程可化为} +2= 影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保 根据题意，得84-360 y+1,化简，得0=-1，显然不成立. 总工期为40天，那么以后每天改造管网还要增 Fx+23,解得x=7. 加多少米？ 经检验，x=7是原分式方程的解，且符合 解：(1)设原计划每天改造管网x米 题意 所以原分式方程无解 所以x+23=30. 方法三、特殊套用法 根据题意，得3600 3600 有的分式方程可逆用法则或公式求解。 (1+20%)x=10, 答：绳子的单价是7元，实心球的单价是30元 1 解得x=60 (2)设购买实心球的数量是m个. 例3解分式方程： x+10 经检验，x=60是原分式方程的解，且符合 根据题意，得7×3m+30m=510 题意 解得m=10.所以3m=30. (x+1)(x+2)+(x+2)(x+3) 十… 所以(1+20%)x=72. 答：购买绳子30条，实心球10个 答：实际施工时，每天改造管网的长度是2米 温馨提示：列分式方程解决实际问题的一 (x+9)(x+10) =10 (2)设以后每天改造管网还要增加m米. 般步骤： 1 解：原分式方程变形为+10 根据题意，得(40-20)(72+m)=3600 (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量之间 72×20. 的关系； x+1-x+2 +… 解得m=36. (2)找：找出题目中的等量关系； 答：以后每天改造管网还要增加36米， (3)设：根据题意设出未知数； 1 1=10, x+9-x+10 二、销售问题 (4)列：列出分式方程； 例2为了加强学生的体育锻炼，某班计划 (5)解：解这个分式方程； 即十7=0解得=-品 购买部分绳子和实心球.已知每条绳子的价格 (6)验：检验，既要检验所得的解是否是原 9 比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子分式方程的解，又要检验解是否符合题意； 经检验x=-0是原分式方程的解 的数量与360元购买实心球的数量相同. (7)答：写出答案 2 素养专练 人 数理极 1.5.1分式方程及其解法 任务，列出方程500-6000=3，则6000 表示 7.随着高考、中考的到来，某服装店老板预测 x 1.25x 1.已知方程：01-9r=0:2-5+ 有关“势在必得”“逢考必过”之类的短袖T恤衫 x2 2 = 能钟畅销，委托某服装车间加工280件此类服装，现 A.原计划每天种植树木的数量 1;③x+2 分配给甲、乙两人加工，已知乙加工的件数比甲的 万=2±25；④(x+5)（x-6)= B.志愿者加人后实际每天种植树木的数量 2倍少80件 -1,其中分式方程的个数是 ( C.原计划完成树木种植的天数 (1)甲、乙加工服装的件数分别是 A.4 B.3 C.2 D.1 D.志愿者加入后实际完成树木种植的天数 件和件： 2把分式方程3， ,1去分母后化 3.在“脱贫攻坚”检查验收期间，甲、乙两个 22=12-x (2)若乙每天比甲多加工5件，且两人所用时 检查组到某县开展检查验收工作，已知乙组单独 间相同，求乙每天加工服装的件数 为整式方程为 ( ) 完成比甲组单独完成多用6天：若两个组同时进 A.-3=x-2-1B.-3=x-2+1 行工作4天后，再由乙组单独完成，那么乙组一共 C.3=x-2+1 D.3=x-2-1 所用的时间刚好和甲组单独完成所用的时间相 3.若关于x的方程，0=2的解是=3，则 同，则乙组单独完成该县检查验收工作所需的时 间是 ( a的值为 A.12天 B.18天 4用换元法解方程，2+士2=3时，如果 C.24天 D.30天 4.某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅 设，十2=y,那么原方程可化为关于y的整式方 销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后 程是 很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运 5.已知关于x的分式方程x二”=1的解是 动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套 x-3 进价多了10元.若这两批运动服每套的售价相 非负数，则m的取值范围是■ 同，且全部售完后总利润率为20%，那么每套售 6.解方程： 价是 元（利润车=费架x10%) 3= 3 5.如下图，快递员甲和乙同时从配送点A和 8.在“双减”背景下，某中学为让学生们扔下 D出发，分别沿不同路线前往仓库C.甲从A经过 繁重的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划 中转站B再到C,乙从D直接前往C,且乙的速度 开展以“我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活 与甲从B到C的速度相同.两人在各路段均保持 动，学校图书室计划选购甲、乙两种图书.已知甲 匀速行驶，各点间距如下图所示.若甲从A到B的 图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800 速度比从B到C的速度慢I0m/min,且从A到B 元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要 4 3 的时间为从B到C时间的一半，则 （填 (2)+x2- =0; 少24本. “甲”或“乙”)先到达仓库C (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ C(仓库) (2)如果学校图书室计划购买乙图书的本数 240m 720m 比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲 B 乙两种图书的总经费为1060元，那么该图书室可 D 以购买多少本乙图书？ 6.王鹏家住成都，今年暑假，他们全家计划到 (3)5x-4=4+10-1. 贵州旅游，第一站到遵义参观遵义会议遗址.王鹏 x-2 3x-6 在做旅游攻略时发现成都火车东站距离遵义火车 站530km,乘坐高铁列车从成都火车东站到遵义 火车站比乘坐特快列车少用3小时，高铁列车的 平均行驶速度是特快列车的2.8倍.请你帮王鹏 计算一下从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁 列车所需时间. 2.5.2分式方程与实际问题 1.某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要 耕作.每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩 数多4亩.该农户耕作完旱地所用的时间是耕作 完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的 亩数.设平均每天耕作水田x亩，则回可以得到的方 程为 ( A.36 t-4=2×30 t+4=2x30 B.36 c36=2×30 x-4 D.36=2×30 x+4 2.某地为了响应习总书记提出的“绿水青山 就是金山银山”的发展理念，计划在山坡上种植 树木6000棵由于志愿者的加人，实际每天植树 数理报社试题研究中心 的数量比原计划增加了25%，结果提前3天完成 参考答案见7期 等式右边是有理数运算例如：1※3= 三、解答题（本题共8小题，共72分） 2.5同步达标检测卷 1-32=- 名，则方程 17.(6分)解方程： 5 x※(-2)= x-4 ,-2的解是 ◆数理报社试题研究中心 0=2 A.x=4 B.x=5 (答题时长120分钟，满分120分) C.x=6 D.x=7 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做350个零件的时间是乙 1.下列关于x的方程中，不是分式方程的是 ( 做240个零件所用时间的子倍，两人每天共做130个零件.八()班 A1=2 R= 同学根据条件提出了不同的问题，设出相应的未知数x,并列出如下 1 D.t-1 t+7s2 方程，数学老师批阅后，发现一个不正确，这个不正确的方程一定是 2分式方程+=1的解为 240 350 B5×130元=4×1 240 x A.x=-1 B.x=0 c.350+240=130 C.x=1 D.x=2 5 5x 5 10 4x 梁架-0 3小明板书解方产子+1=上2 1.5的过程如下：方程两边都 初 10若关于：的分式方程，+8。=2的解是正整数，则所 中 乘以2x-1,得x-2+(2x-1)=-1.5,解这个方程，得x=分所 初 有符合条件的整数a的和为 数学 1 A.6 B.8 C.10 D.12 以原方程的根为x=2同学们都认为小明的解法不对，他错误的原 中数学· 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 因是 八 11.解分式方程2-1 A.去分母时，常数项没有乘以公分母 x+=0去分母时，方程两边同乘的最简 必 级 B.去括号移项时，没有变号 公分母是 湘教八年级同 C.求出整式方程的根没有检验 12.点A,B在数轴上的位置如图1所示，它们 步 D.解整式方程得到的根不正确 对应的数分别为-2，十若点4，B到原点的距 -20 标 图1 4使分式，3和分式相等的：值是 离相等，则x= 1.(6分)先化简再求值：1-子小+其中x 测 步达标检测 卷 A.0 B.1 C.3 D.-1 13.位于今陕西省西安市的秦始皇兵马俑，作为“世界第八大奇 是方，。+号的解 卷 2 5.已知方程，二x=x产3的解为x= 各则方程五 2 迹”和首批中国世界遗产，成为了中华文明对外传播的核心符号.某 文创商店计划购进甲、乙两种兵马俑摆件，已知每件甲种摆件的单 2y 2y-1 -3的解为y= 价与每件乙种摆件的单价的和为40元，用900元购得甲种摆件的件 数与用1500元购得乙种摆件的件数相同.求甲、乙两种摆件的单价 A.5 B.5 2 .5 3 D.5 各是多少元/件.若设甲种摆件的单价为每件x元，可列出关于x的 4 方程为 6若关于：的分式方程，”4+是 x+2 =0无解，则m的值为 14.某校有210名学生参加课后延时服务，原计划平均分成若干 ( ) 组，实际分组时每组人数是原计划的1.5倍，最终组数比原计划少7 A.6 B.5 C.4 D.3 组，则实际分组时每组的人数为 名 15.对于两个不相等的实数a,b,规定：maxa,b}表示a,b中的 7.关于x的分式方程m。 ,+6=1,下列说法正确的是 较大值，如mx2,4=4.按照这个规定，方程ma{-} A.方程的解是x=m-6 B.当m<6时，方程的解是负数 32的解为 C.当m>6时，方程的解是正数 D.以上说法均不正确 16已知分式方程，-1=g-祝x+2)有增根，则m的 m 8.对于有理数a,b,定义一种新运算“※”：a※b= a-2,这里 值为八年级数学湘教2026年7月第1~5期 数理极 答案详解 2026~2027学年八年级数学湘教 第1~5期(2026年7月) 1期2版 =4x2+4x+1 1.1多项式的因式分解 =(2x+1)2; 1.C;2.D;3.-2,2. (3)原式=-ab(1-2a2+a4) 4.解：(1)因为3x(x-2)=3x2-6x, =-ab(a2-1)2 所以因式分解3x2-6x=3x(x-2)正确； =-ab(a+1)2(a-1)2. (2)因为(x+1)(x-2)=x2-x-2≠2-3x+2, 5.解：x2-9y2+422+4xz 所以因式分解x2-3x+2=(x+1)(x-2)不正确； =(x2+4z2+4z）-9y2 (3)因为(3+2x)(3-2x)=9-4x2, =(x+2z)2-(3y)2 所以因式分解9-42=(3+2x)(3-2x)正确 =(x+2z+3y)(x+2z-3y). 1.2提公因式法 因为x+2z=3y, 1.B; 所以x+2z-3y=0. 2.xy(y-2);3.-5. 所以原式=6y·0=0,其值为定值. 4.解：(1)原式=3(a-7) 1期3,4版 (2)原式=3x(x-2+4y); 一、选择题 (3)原式=(3a+b)(2a-3b+4a) 题号123456789 10 =(3a+b)(6a-3b) 答案CAD DBDAAC C =3(3a+b)(2a-b). 提示： 1.3.1公式法（平方差公式） 5.解：因为M=x2+y2,N=2xy, 1.A;2.D;3.D; 所以M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2. 4.(x+1)2(x-1). 因为(x-y)2≥0， 5.解：(1)原式=(x+5y)(x-5y); 所以M≥N. (2)原式=(x-y)(a2-b2) 6.解：因为关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全 =(x-y)(a+b)(a-b); 平方公式分解因式， (3)原式=(x2+9)(2-9) 所以ax=±2×6x,所以a=±12. =(x2+9)(x+3)(x-3). 7.解：无盖的长方体纸盒的底面积为(b-2a)2, 6.解：(1)小禾的解答是从第①步开始出错的，错误的原 侧面积为4a(b-2a), 因是：去括号时，+3y未改变符号. 所以M=(b-2a)2-4a(b-2a) (2)(3x+y)2-(x+3y)2 =(b-2a)(b-2a-4a) =(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y) =(b-2a)(b-6a). =(4x+4y）(2x-2y) 8.解：因为a-b=3, =8(x+y)(x-y). 所以a2-62=(a-b)(a+b)=3(a+b), 1.3.2公式法（完全平方公式） 所以a2-62-6b+2 1.C;2.-8; =3(a+b)-6b+2 3.(2m-1+2n)(2m-1-2n). =3a+3b-6b+2 4.解：(1)原式=(2a+3b)2: =3a-3b+2 (2)原式=4(x2+x-6)+25 =3(a-b)+2 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 =3×3+2 所以b2+4b+4+2-6c+9=0, =11. 所以(b+2)2+(c-3)2=0, 9.解：因为2x3+x2-13x+6 所以b+2=0,c-3=0, =2x3+x2-10x-3x+6 解得b=-2,c=3, =x(2a2+x-10)-3(x-2) 所以a=-2+4=2, =x(2x+5)(x-2)-3(x-2) 所以a+b+c =(x-2)(2x2+5x-3) =2+(-2)+3 =(x-2)(2x-1)(x+3), =3. 所以2x3+x2-13x+6的因式有(x-2),(2x-1),(x+ 三、解答题 3) 17.解：(1)原式=[a+2b+(2a-b)][a+2b-(2a-b)] 10.解：因为a2(b+c)=b2(a+c)=2024, =(3a+b)(3b-a); 所以2(b+c）-b2(a+c)=0, (2)原式=ab2(62-4b+4) 即a2b+a2c-ab2-62c=0, =ab2(b-2)2. 整理，得ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, 18.解：(a+b)2+a(a+b)+b(a+b)+(b+a)2 所以(a-b)(ab+ac+bc)=0. =(a+b)(a+b+a+b+a+b) 因为a≠b,所以a-b≠0， =3(a+b)2. 所以ab+ac+bc=0,即ab+bc=-ac. 因为a+b=10, 因为b(a+c)=2024, 所以原式=3×102=300（种）. 所以b(ab+bc)=2024, 答：这座商贸大楼共有商品300种. 所以abc=-2024. 19.解：因为2024224-2024202 二、填空题 =202422×(20242-1) 11.3(m+1)(m-1);12.9,3; =202422×(2024+1)×(2024-1) 12+2x+1,+1;14 =2024202×2025×2023 =2023×2024"×2025, 15.(x+2)(x+8);16.3. 所以n=2022. 提示： 20.解：(1)原式=(m-2)(4x-3x) 4解：宁分y =x(m-2). 1 当x=1.5,m=6时，原式1.5×(6-2)=6. =-3x+y) (2)原式=(x-1)2+(2x+1)(x-1)+3(x+1)(x-1) =-3[(x+)2-2] =(x-1)(x-1+2x+1+3x+3) =3(x-1)(2x+1). =-号×(-5)×[2-2×(-5] 当x=-分时，原武=3×(-分-(-7×2+)=0 =亨x14=9 21.解：B-A=a2+a-7-a-2 15.解：因为(x+4)2=x2+8x+16, =a2-9=(a+3)(a-3) 所以b=16. 因为a>2,所以a+3>0. 因为(x+1)(x+9)=x2+10x+9, 当2<a<3时，a-3<0,此时A>B; 所以a=10, 当a=3时，a-3=0,此时A=B: 则x2+10x+16 当a>3时，a-3>0,此时A<B. =x2+(2+8)x+2×8 22.解：(1)图中的面积可以表示为 =（x+2)(x+8). (2a+b)(a+b)或2a2+3ab+b2; 16.解：因为a-b=4, 表示因式分解的等式为 所以a=b+4. 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). 因为ab+c2-6c+13=0, (2)图略.2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b). 所以b(b+4)+c2-6c+13=0, 所以这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b. -2 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 所以此长方形的周长为2(2a+b+a+2b)=6a+6b. 所以b+ac=11-30=-19. 23.解：(1)①25x2+10x-y2+1 8.解：因为边长为a,b的长方形周长为12，面积为5， =(25x2+10x+1)-y 所以a+b=6,ab=5, =(5x+1)2-y2 所以(a+b)2=36, =(5x+1+y)(5x+1-y); 即a2+2ab+62=36, ②x2-4y2+2x+4y 所以a2+62=36-2×5=26. =(x2-4y2)+(2x+4y) 则a3b+ab3=ab(a2+b2) =(x+2y)(x-2y)+2(x+2y) =5×26 =(x+2y)(x-2y+2). =130. (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0, 9.解：将m2=4n+a与n2=4m+a相减，得 所以(a2-4ab+462)+(b2-6b+9)+(c2-10c+25)=0, m2-n2=4n-4m, 所以(a-2b)2+(b-3)2+(c-5)2=0, 即(m+n)(m-n)=-4(m-n), 所以a-26=0,b-3=0,c-5=0, 移项，合并同类项，得(m-n)(m+n+4)=0. 所以a=6,b=3,c=5. 因为m≠n,所以m-n≠0，所以m+n+4=0, 所以三角形ABC的周长为6+3+5=14. 即m+n=-4, 24解：(1)提公因式法，2： 所以m2+2mn+n2=(m+n)2=(-4)2=16. (2)过程略，(1+x)225; 10.解：因为mn-2m-3n-20=0, (3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)” 所以m(n-2)-3n+6-6-20=0, =(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)-1] 所以m(n-2)-3(n-2)-26=0, =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n-2] 所以(m-3)(n-2)=26. =…=(1+x)"+ 因为m,n均为正整数， 2期检测卷 所以m-3为不小于-2的整数， 一、选择题 n-2为不小于-1的整数. 题号12345678910 因为26=1×26或26=-1×(-26)或26=2×13或 答案AAC CCDDCA A 26=-2×(-13), 提示： 所以m-3=1或m-3=26, ln-2=26ln-2=1 5.解：3a(x2-1)-36(x2-1) =(3a-3b)(x2-1) 或m-3=2或m-3=1B, ln-2=13ln-2=2, =3(a-b)(x+1)(x-1), 所以m+n=32或m+n=20, 因为x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应六个字：青，学， 所以m+n的最小值是20. 我，数，爱，高， 二、填空题 所以将3a(x2-1)-36(x2-1)因式分解，结果呈现的密 11.x(x+y)(x-y);12.4;13.72;14.4或-4： 码信息可能是：我学高青 15.6;16.-1012. 6.解：对于A.x2+2x+1=(x+1)2,可以； 提示： 对于B.x2-2x+1=(x-1)2,可以； 14.解：将题目中的两个式子相加，得 对于C++1=(分+)，可以： a2-ab+b2-ab=16, 对于D2+1加上-子，无法构成完全平方式，赦选D 即(a-b)2=16, 所以a-b=±4. 7.解：因为77x2-13x-30 15.解：因为a2+2ab+b2=c2+24, =(7x+a)(bx+c) 所以(a+b)2=c2+24, 7bx2 abx +7cx ac, 所以(a+b)2-c2=24, 7bx+(ab +7c)x+ac, 所以(a+b+c)(a+b-c)=24 所以76=77，ab+7c=-13,ac=-30, 因为a+b-c=4, 解得b=11, 所以a+b+c=24÷4=6, 一3 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 即△ABC的周长为6. (2)由题意，得m+n=20÷2=10, 16,解：由题意，得m2-n2=2n-2, 1 m2-n2=(m+n)(m-n）=40, 所以m-n=4, 即(m+(m-a）=-(m-). 所以m=7,n=3, 所以2m+n=17,m+2n=13, 因为m≠n,所以m-n≠0，所以m+2=-子 所以这张长方形纸板的面积为 所以m3-mn+n3=m·m2-mn+n·n (2m+n)(m+2n)=17×13=221(cm2). =m分+2024-m+n(2m+2024) 22.解：设另一个因式为(2x+n) 根据题意，得2x2+3x+k=(x-1)(2x+n). =2n+2024m-mn+号mn+2024n 展开，得2x2+3x+k=2x2+(n-2)x-n. =2024(m+n) 所以-2=3解得=5 lk =-n, lk=-5. =2024×(-2）=-1012 所以另一个因式为(2x+5),k的值为-5. 三、解答题 23.解：(1)原式=x2-4x+4-1 17.解：(1)原式=(x-3)(x+2); =(x-2)2-1 =(x-2+1)(x-2-1) (2)原式=9a2-6a+1-42 =(x-1)(x-3). =(3a-1)2-(2b)2 (2)原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 =(3a-1+2b)(3a-1-2b). -(x2+2x-1)2-4 18.解：(n+7)2-(n-5)2 =(x2+2x-1+2)(x2+2x-1-2) =(n+7+n-5)(n+7-n+5) =(x2+2x+1)(x2+2x-3) =(2n+2)×12 =(x+1)2(x-1)(x+3). =24(n+1). (3)原式=x+4x2+4-4x2 因为n为正整数，所以n+1为正整数， =(x2+2)2-(2x)2 所以24(n+1)能被24整除， =(x2+2+2x)(x2+2-2x). 即(n+7)2-(n-5)2能被24整除. 24.解：(1)52+22. 19.解：(1)原式=40×(31.52-2×31.5×18.5+18.52) (2)k=13.理由如下： =40×(31.5-18.5)2 N=x2-6x+4y2+8y+k =40×169 =x2-6x+9-9+4y2+8y+4-4+k =6760. =(x-3)2+(2y+2)2+k-13. (2)原式=号×[(272)-(52] 因为N是“和数”， 所以k-13=0, =号×(273+52273-52） 解得k=13. (3)因为m,n都是“和数”，设m=a2+2,n=c2+, =号×3×2 所以mn=(a2+62)(c2+d) =242. =a2c2+a2d+b2c2+62d0 20.解：(1)(x-2)4; ac2+bd 2abed 2abed a'd+bc (2)设x2+6x=y =(ac bd)2+(ad-be)2, 原式=y(y+10)+25 所以mn也是“和数”. =y2+10y+25 3期2版 =(y+5)2 2.1.1分式的概念 =(x2+6x+5)2 1.D;2.D;3.4;4.-2 =[(x+1)(x+5)]2 5a52)g0 =(x+1)2(x+5)2. 21.解：(1)(2m+n)(m+2n); 6解：①少要位一号的值存在。 -4 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 则2a-b≠0，即2a≠b, a2-c2 所以当2a≠6时，-+b的值存在。 =(a-b)(a-c) 2a-b =(a+c)(a-c (a-b)(a-c) (2②）妥做2+的值作在： =ate 则21x1+1≠0. a-b' 因为21x1+1≥1， 当a=3,6=-2,c=-1时，8+9=3-1=2 'a-63+2=5 x 所以x为任意数，21x+的值都存在 5.解：根据题意，得g-4=404-4=39(h. 2.1.2分式的基本性质 分 1.A;2.②④： 3.(1)2a2+2ab,(2)-a-b. 答：飞机比船舰先到39eh 4.解：(1)24a=-4ab,60=-6a 2.2.2异分母分式的加减 -4ab 4ab 1.B;2.7;3.1. (2)202-6 2d-ab 1 2a'b-abb(2a -ab)=b 4解：(1)L-1 xx+2 5.解：(1)m+5m+6 m2-4 =x+2 x+2)x(x+2) =m+2)(m+3) （m+2)(m-2) =x+2-x x(x+2) =m+3 2 m-2 =2+2 当m=-3时，m+3==3+3=0. m-2 -3-2 (2)2红-2+2x ）-1+x+ (2) x2-2xy x'y-4x2y +4xy 2(x-1) 2x+1)(x-1)*2 x+1 x(x-2y）) y(x-2y)2 22x -x+1x+1 = 1 y(x-2y) =2(x+1) x+1 1 = xy-212 =2 当x=4,y=1时，1 1 1 -2y=4×1-2x下=2 3+a*+6-(a+ 2.2.1同分母分式的加减 1+6+1+a-a(1+b)+b1+@ =(1+a)(1+b) (1+a)(1+b) 1.D;2.1. 2+a+b a+b +2ab 1 1 3.解：(1)2x-1-2x =(1+a)(1+b)(1+a)(1+b) 1 1 =2+a+b-a-b-2a6 =2x-1+2x-1 (1+a)(1+b) 2-2ab 2 =2x-T =I+a+b+ab (2)a-1 3期3,4版 1 a2-2aa2-2a 一、选择题 a-2 =&-2a 题号12345678910 答案BACCCDBCA A =a-2 a(a-2) 提示： 1 9.解：因为A。+ 3 的，-2+-3 a2-62 62-c2 A(x-3) 4.解：(a-b)(a-0+(a-b)(a- 3(x-2) =(x-2)(x-3)+(x=2)(x-3 一5- 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 =A(x-3)+3(x-2) 1 (x-2)(x-3) y3= 1-x-1-1 =2-x, =(4+3)x-(3A+6 x-2x-2 (x-2)(x-3) 1 1 4=1-(2-对=x- A 6x+B 所以这列式子的结果以十产二2-为-个循环，反 所以4+3)x(3A+6)= 6x +B (x-2)(x-3) (x-2)(x-3)' 复出现. 所以 A+3=6, 因为2026÷3=675…1， -(3A+6)=B, 所以2s=1=x-了 1 解得A3, 三、解答题 lB=-15. 17解：①)要侧号的值作在。 所以1+，+1+，年+1+=14， 则2x-3≠0，解得x≠立， 3 x+y+2+x+y+2+x+y+2=14, 所以当子子时，的值作在 x+y y+z z+x (2)要使6(x+3》的值存在， 所以红+y+(六克中)M, 1x1-12 则1x1-12≠0，解得x≠±12， 所+ 14 ,6(x+3的值存在。 所以当x≠士12时x-2 而1+1+12 a-4ab2 x +yy+zz+x6' 18解。-4r6+4ab 所以14.7 a(a2-4b2) 以x+y+=6 a(a2-4ab+4b2) 所以x+y+z=12. =a(a+2b)(a-2b) 二、填空题 a(a-2b)2 122:1-414nm nw =0+2b 15.12; a-2b 16六 当a=-2.6=宁时， -2+2×2.2号 1 提示： a+26 1 15解：2 ,2+2x+18 a-26= 1 -21=3 +3+3-x+X-9 -2-2×2 2(x-3) 2(x+3) 2x+18 4y 5x (x+3)(x-3)(x+3)(x-3+(x+3)(x-3) 19解：1)x+x-刀+7+- 4v 2x+6 5x =(x+3)(x-3) =(x+y)(x-y)+(x+y)(x-)(x+y)(x-刀 4y+4x 2 =x-3 =(x+y)(x-y) 由于x为整数，且原式为整数， 、4 x-Y 所以x-3=±1或±2， a-32a+4 所以x=4或2或5或1， (2)+2a+2+2a+1a+2 所以4+2+5+1=12. a(a-3) 2aa+元+0+2-2u+2 = a+2 16.解：因为=x- a-3 a-3 所以为=1 1 =2a+i+0+i-2 1- =(a-3)(a+1)+2(a-3)-4(a+1)2 x-1x-1 2(a+1)2 —6 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 =-302-8a-13 2(a+1)2 所以原式-3x2.5-片 -2+6 20.解：因为abc=1, 24.解：(1)将等号右边通分，得 所以，1 ac A B ab +b+=ab+b+abe=a +I+ac" x+6+4-3元 1 A(4-3x)+B(x+6) be+c+1=a(be+e+1)=abc+ae+a=I+ac+a (x+6)(4-3x) 21.解：1)-2x-4与之 -4与x一2是一对整合分式.理由如 =-3A+B)x+(4A+6B) -3x2-14x+24 下： 11x 因为2-4+x2 -3x2-14x+24 2-4+x-2 所以{3A+B=11, ==2x-4x+2(x+2) l44+6B=0, x2-4 x3-4x 解得A3, = lB=2. x2-4 (2)在已知等式中取x=3,有C+D=6. =x, 所以2x-4与2 取x=1,有-C+D=4. 2-4与，一2是一对整合分式 解C+D=6,得G= 〔2)答案不准一如N:的，后：+碧 l-C+D=4,lD=5. a +b 4期2版 2解+证明如下 2.3.1分式的乘除 atb 1.A;2.D;3.2a-36 2ab a3+(a-b) a2-16 2a (a+b)(a2-ab+b2)】 =[a+(a-b)][a-a(a-b)+(a-b)] 4.解：)。-80+16+4a (a+b)(a2-ab+b2) =a+4)(a-4).2a (a-4)2a(a+4) [a+(a-b)](a2-ab+b2) a+b =（a+4)(a-4)·2a (a-4)2·a(a+4) a+(a-b) 23.解：(1)“方法二”中运用的分式的基本性质是分式的 2 a-4 分子与分母同时除以一个不等于0的整式，分式的值不变. x2-9y2 故答案为：分式的分子与分母同时除以一个不等于0的整 2+2r+二3 x+y 式，分式的值不变 =x+3y)(x-32.x+y (2)因为xy≠0， (x+y)2 x-3y 所以原式=(3x-5xy-3y)÷y =x+3y)x-3y）·(x+2 (x+6xy-y）÷y (x+y)2·(x-3y) =+3y x+y = +6-工 y 8号-2 x-2 =(x+2)(x-22.1,1 11+6 (x+2) x-2x-2 y x (x+2)(x-2) 因为二”=2， =(x+2)(x-2)(x-2) xy 1 所以-=2， =x-2 x Y 2.3.2分式的乘方及乘除混合运算 所以人、1 y=-2, 1B:2宁 -7- 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 3解：①(.g 2.4.3整数指数幂的基本性质 1.D2.-4:3.18 1 =-8 4.解：(1)m3÷(m)-2 =-·6y =m3÷m8 8y3·x m3(-8 =m. (2)a262.(a2b2)3 28y()±( =a262·a6b =8y 器（别 =a2+(-6).62+6 =a-8·b =8y9x2·(-22 68 16y°·xy 、9 (3)(2x3y2)2÷(x2y)3 3 1 2.4.1同底数幂的除法 (2xy22(y) 1.C;2.D;3.2. 1 4.解：(1)(m4)2÷m3 =4y·x7 =m8÷m3 =-1 =m8-3 7 =m. 47 (2)(-ab)°÷(-ab)2÷(-ab) 4期3,4版 =ab÷a2b2÷(-ab) 一、选择题 =-a6-2-1·66-2-1 题号12345678910 =-a363 答案BD B DBBDB D C 5.解：因为4m+3×8m+1÷2m+7 提示： =22(m+3)×23(m+)÷24m+7 10.解：原式=a, 2a .(a-1)2(a+1)2 =22m+6X23咖+3÷24m+7 a-1(a+1)(a-1) 4a =2m+2=16=24, 2a2 (a-1)2(a+1)2 (a-1)2(a+1) 4a 所以m+2=4, 解得m=2. -0+1 2 2.4.2零次幂和负整数指数幂 由于是正整数.(a-1)a+D≠0.a头0. 1B:2A:3-琴：4 所以a为大于1的奇数描述最准确。 5.解：(1)32+(-2)°-17 二、填空题 =9+1-17 11.<；122.8×108m;13.4x;14.-xy x+xy =-7. 15.2;16.14. 2(）+2 提示： =士+ 15.解：最后甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为29-2+ 2,29+2-(2+2)=29-2,5+(2+2)-2'=5+2. 2 因为一共有29+29+5=63（个）球，且最后三个袋子中 =2+4 的球的个数相同， 9 所以最后三个袋子中的球都是21个， 4 所以29-2=21,5+2=21， 8 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 所以2=8,2=16， =x.x+1 所以2-y=2÷2y=16÷8=2. x-1x 16.解：因为大正方形的面积为49， s+1 x-1 所以(a+b)2=49. 又因为a>b>0,所以a+b=7. 当=10时台-8兰号 因为中间小正方形的面积为1， 21.解：(1)因为(a")”=a, 所以(a-b)2=1, 所以am=a, 所以(a+6)2-(a-b)2=48, 所以mn=6. 所以a2+2ab+62-a2+2ab-b2=48, 因为(a)2÷a"=a2, 所以ab=12, 所以a2m=a23, 所以(a-6)÷。+E÷(6a-66) 所以2m-n=3. ab (2)因为33·9m4÷272m-1=729, =(a2+b)(a-b)(a+b)·d+6‘6(a-万 ab 1 所以33·32+8÷36m-3=36, =ab(a+b) 所以33+咖+8-6m3=36, 6 所以3+2m+8-6m+3=6, =2×7 解得m=2. 6 22.解：原式=(a-(a+(2+子d+)(+) =14. 三、解答题 =a(e-(a2+(a+(as+) 17.解：他的计算不对.正确过程如下： -(-)(a+)+) 64m÷16”×4 =(43)m÷(42)”×4 =a(a-(e+） =43m÷42×4 =a(a6-) =43m-2n+1 18.解：依题意，得(3.6×104)÷(6×101)=(3.6÷6) =a”六 ×104-1=600(滴)， 23.解：(1)根据题意，得(m+z）=a, 所以需要这种杀菌剂600÷15=40（毫升）. (b(vm-v2)=a. 19解：(1（会÷(） 26,6- 所以仰=a+b, 26 品刳) (2)因为里=4+6=7 为2=6-=3， =-.6g 9a46 所以a+6=子6-子， 7 2 =-3a26 所以号=寺， 然*2 所以号=号 2 -2x+3)2-3》.(4-2)‘2x- 1 a 2x-1 6 26 2×6 26 =2(2x+3) 2a6 ab =4x+6. Fa+6÷6-a =2ab.b-4 a+b ab -别 2b-2a a +b =( 1 1 24.解：(1)因为，+3x+2=-(x+2)(x+3) 9 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 1 1 x+3×x+2=（x+2)x3 检验：把x=号代入原方程，得左边=-4=右边， 1 1 1 因此x=号是原方程的解 所以分式，十2不是分式，+3的“可存异分式” (2)方程两边同乘最简公分母x(x+1)(x-1),得 4(x-1)-3(x+1)=0. 故答案为：不是 解得x=7. (2)设产4的可存异分式”为N, 3 检验：把x=7代入原方程，得左边=十77二7=0 则4-N=产4×水， =右边， 所以（产4+N=产4 因此x=7是原方程的解。 (3)方程两边同乘最简公分母3x-6,得 所以N=x之4(4+刂 3(5x-4)=4x+10-(3x-6). 解得x=2. 2x-4 检验：把x=2代入原方程，方程两边的分式的分母都为0， =x.x-4 这样的分式没有意义， x-42x-4 因此，x=2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解 =2x-4 2.5.2分式方程与实际问题 1.D;2.C;3.B;4.200;5.甲. 故答案为：2x-4 6.解：设从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需 (3①因为分式十号是分式4的可作异分式 时间为x小时 根据题意，得30=28×530 所以A-号=A×+号 2x+3 x+3 3x+3 解得x=了 5 所以A(1-)-数+号 2x+3 5 经检验，x=弓是原分式方程的解，且符合题意。 所以A= 号(1-别 答：从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间 2x+3.3x+3-2x-3 -3x+5 3x+3 为号小时 2x+3,3x+3 7.解：(1)设甲加工服装x件，乙加工服装y件， 3x+3 x =2x+3 根据题意，得+y=280, y=2x-80, ②分式A的值为1,3,5. 解得120， 因为整数x使得分式A的值是正整数，A=2红+3=2+ y=160. 所以甲加工服装120件，乙加工服装160件. 3 故答案为：120,160. (2)设乙每天加工服装m件， 所以x=1时，A=5;x=3时，A=3;x=-3时，A=1, 则甲每天加工服装(m-5)件. 所以分式A的值是1,3,5. 5期2版 根据题意，得120=160 m-5=m 2.5.1分式方程及其解法 解得m=20. 1.B;2.C;3.4;4.2y2-3y+1=0; 经检验，m=20是原分式方程的解，且符合题意. 5.m≥3且m≠6. 答：乙每天加工服装20件 6.解：(1)方程两边同乘最简公分母(x-3)(x-2),得 8.解：(1)设乙图书每本价格为x元， x-2=-3(x-3) 则甲图书每本价格为2.5x元. 解得号 根据题意，得00-80=24 x2.5x -10 八年级数学湘教 2026年7月第1~5期 解得x=20. 二、填空题 经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意 11.x(x+1);12.-2:13.900=1500 40-x 所以2.5x=50. 14.15:15.x=1或x=-3:16.3. 答：甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元. 提示： (2)设购买甲图书a本， 则购买乙图书(2a+8)本. 15解当>0时，m{-上}==写2 根据题意，得50a+20(2a+8)=1060. 所以 2 解得a=10. 元=33-x=2x, 所以2a+8=28. 解得x=1. 答：该图书室可以购买28本乙图书. 经检验，x=1是原分式方程的解，且满足题意 5期3,4版 当0时，m士}-2 一、选择题 所以、1 2 题号123456789 =3二x-(3-0=2x, 10 D 解得x=-3. 经检验，x=-3是原分式方程的解，且满足题意。 提示： 综上，x=1或x=-3. 9.解：设甲每天做x个， 16.解：方程两边都乘以(x-1)(x+2)得， 则30=子×品” x(x+2)-(x-1)(x+2)=m, 故A选项不符合题意； 化简，得m=x+2. 设乙每天微个则”子×足 因为分式方程有增根， 5.240 所以(x-1)(x+2)=0, 变形后得4×130-x =5×240 350 所以x-1=0或x+2=0, 解得x=1或x=-2. 故B选项符合题意； 当x=1时，m=x+2=1+2=3, 设乙做240个零件所用时间为x, 此时原方程化为-1=-：+2 3 则350+240=130， 5 方程确实有增根； 4 当x=-2时，m=x+2=-2+2=0, 故C选项不符合题意； 设乙做240个零件所用时间为4x, x-1-1=0, 此时原方程化为x, 则50+240=130. 所以x-(x-1)=0,此方程无解， 5x 4x 所以m=0不符合题意， 故D选项不符合题意。 所以m的值为3. 10解+3=2， 三、解答题 17.解：(1)方程两边同乘最简公分母x(x+2),得 去分母，得ax-8=2(x-1), 8(x+2)=12x 移项、合并同类项，得(a-2)x=6, 解得x=4. 系数化为1，得x=。2 检验：把x=4代人原方程，得左边=2=右边， 因此，x=4是原方程的解。 因为分式方程+3。=2的解是正整数且x-1 (2)方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得 0, 3(x-1)+5(x+1)=10. 所以a-2=1或2或3或6且21， 解得x=1. 检验：把x=1代入原方程，方程两边的分式中有分母为0， 所以a=3或4或5， 这样的分式没有意义， 所以符合条件的所有整数a的和为3+4+5=12. 因此，x=1不是原分式方程的根，从而原分式方程无解。 -11 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 品》出 由题点得38中 3=2:1, =-1.x+11 =+'xx-x+ 即8+=2，解得x=氵 8 8-x 经检验，=号是原方程的解且符合题意。 =+1-x 因为某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返 x(x+1) 共用了9h, 1 x(x+1) 2 所以 89, 部方程2+品 8+2×3 解得s=20. 方程两边同乘最简公分母2(x-2),得 答：甲、乙两港之间的距离为20km. 2x2+2(x-3)=2x(x-2)+9(x-2) 23.解：(1)x=6. 解得x=4. (2)1.1 =1-1 x+7x+6=x+4x+3 检验：把x=4代入原方程，得左边=号=右边。 (3)答案不唯一，如1 1 1 x-n+2-x-n+1-x-n-1 因此，x=4是原方程的解。 -n-2这个方程的解为x=n 1 1 当x=4时x+=4×(4+1)=20 24.解：(1)设甲班有x人，则乙班有(x+3)人 19.解：(1)小丽的解答过程从第一步开始出错， 这一步应为2x+2-(x-3)=6x, 根据题花，得名×婴-1 xx+3 这一步的依据是等式的性质。 解得x=49. 故答案为：一，2x+2-(x-3)=6x,等式的性质 经检验，x=49是原分式方程的解，且符合题意. (2)小丽解答过程缺少的步骤是检验 所以x+3=52 故答案为：检验， 答：甲班有49人，乙班有52人. (3)1-x-3。 (2)设购买A种手套a包，则购买B种手套(5-a)包. 根据题意，得am+(5-a)(m+18)=882+1092, 去分母得2x+2-(x-3)=6x, 解得x=1, 化简，得m=1884+18a 5 经检验，x=1是原方程的解， 因为a,5-a均为正整数，所以a的值为1或2或3或4. 所以原分式方程的解是x=1. 20.解：设规定的时间为x小时. 当a=1时a-1481-12,不合题意，舍去： 5 根据题意，得2”-2×21识 当4=2时，m=184+18×2=384,符合题意： x+11 5 解得x=5. 当a=3时，m=1884士18×3=138，不合题意，舍去： 5 5 经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意。 答：规定的时间为5小时. 当a=4时，m184专18X4.16,不合题意，合去 5 21.解：3+2-x。 1 x-3=3-x 综上，符合条件的整数m的值为384. 两边乘(x-3),得3(x-3)+2-kx=-1, 整理，得(3-)x=6. 因为分式方程3+二答=写 1一无解， 所以3-k=0或x=3, 解得k=3或k=1. 22.解：设甲、乙两港之间的距离为skm, 平时水流速度为xkm/h. —12-