第1期：1.1 多项式的因式分解 1.2 提公因式法 1.3 公式法-【数理报】2026-2027学年八年级上册数学学案（湘教版·新教材）

S981000-1590 8t1L0S-1/0 《金年· T2号 (公)电三号 璧 明 21.(8分) 已知A +2,B a 7,其中a>2,试比较 23.(12分)我们已经学过将 个多项式分解因式的方法有提 24.(14分)阅读下列因式分解的过程，再解答问题， A与B的大小N 公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法等 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 分组分解法： =(1+x)[1+x+x(x+1)] 例如：x2-2xy+y-4=(x2-2y+y2) -4= (x -)2 -22 =(1+x)2(1+x) =(x-y+2)(x-y-2) =(1+x)3. (1)仿照以上方法分解因式： (1)上述分解因式的方法是 ,共用了 次； ①25x2+10x-y2+1; (2)因式分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)224 ②x2-4y2+2x+4y. (3)依照上述方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+… (2)已知a,b,c为三角形ABC的三边长，a2+5b2+c2-4ab-6b +x(x+1)"(n为正整数). 10c+34=0,求三角形ABC的周长 初中数学· 湘教 22.(10分)“以形释数”是利用数形结合思想说明代数问题的 八年级同步达标检测卷 种体现，利用图3中边长分别为a,b的正方形，以及长为a,宽为b 的长方形卡片若干张，拼成图4的长方形 (1)请用两种不同的整式表示图4的面积，写出一个表示因式 分解的等式； 初中数学·湘教八年级同步达标检测卷 (2)利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求 出此长方形的周长（用含a,b的代数式表示） 图3 图4 参考答案见3期 数评超 2026年7月1日·星期三 初中数学 1 期总第1197期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 入门向导 三、认清因式分解的结果 因式分解是初中数学 学习因式分 因式分解的结果是几个整式的积的形式，的重要知识，同时它也是 不是部分的积，也不是积的和；因式要为整式 ,种重要的数学模型，与因式 “四认清” 例如：x2-3x+2=x(x-3)+2,这种变形只对分解有关的题型颇多，现撷 名师点晴 前面两项进行了分解，最后的结果是和的形式，取几例加以分析说明，供同 ⊙湖南江毅 这不是因式分解；ab+bc+ ac =学们学习时参考 因式分解是初中数学中的一种重要的恒等 变形，指的是把一个多项式表示成若干个整式的 a(++后面的式子的分母中出现了 一、简便运算 因式分解 例1计算1252-50 积的形式正确理解因式分解的概念是进行因式 字母，不是整式，因而不是因式分解 ×125+252的结果为 分解的前提和基础同学们在学习这一知识时，要 四、认清因式分解的特殊要求 认清以下几点， 因式分解应分解到不能再分解为止，相同的 A.100 B.150 一、认清因式分解与整式乘法的关系 因式要写成幂的形式，每一个因式要尽量化简例 C.10000D.22500 大秀 因式分解是和差化积，整式乘法是积化和如：a3-64a-a(a2-64)这个分解就不彻底，因 解：原式=1252-2× 鬻 差，是两种互逆的恒等变形的过程，所以，因式为。2-64还可以再分解为(a+8)(a-8). 25×125+25 分解的结果是否正确，可以用整式乘法来检验. 下列从左到右的变形中，属于因式分 =(125-25)2 李丽 如(a+1)(a-1)=a2-1就是整式的乘法，而解的是 =1002=10000. a2-1=(a+1)(a-1)就是因式分解. A.(x+2y)2=x2+4xy+4y 故选C 二、认清因式分解的对象 B.-18xy3=-6x2y2.3x2y 二、解决整除问题 因式分解的对象不仅要是整式，而且还必 C.x(2x-y)+2y(2x-y)=(2x-y)(x+2y) 例2 对于任意整数m,多项式(4m+5) 须是多项式，如果不是多项式也就谈不上因式 D.x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1 9都能 分解，例如：xy2:=x·y·y·z就不是因式分解， 分析：根据因式分解的意义求解」 A.被8整除 B.被m整除 这是因为xz是单项式，它本身就是整式的积的 解：选项A中，等式从左到右的变形属于整 C.被(m-1)整除D.被(2m-1)整除 1 式的乘法；选项B中，等式左边是单项式，不能因 形式再例如：a-方=(6-1）也不是因式 解：原式=(4m+5)2-32 式分解；选项C中，等式左边是多项式，等式右边 =(4m+8)(4m+2) 分解，这是因为a-。 是整式的积，属于因式分解；选项D中，等式右边 不是整式 =8(m+2)(2m+1) 不是积的形式.故选C 因为m是整数，而(m+2)和(2m+1)都是 品味方法 用完全平方公式分解，仔细观察多项式会发现各 随着m的变化而变化的数， 项含有公因式2x,所以应先提取公因式提取公因 所以该多项式一定能被8整除 因式分解之 式后，第一项为m2,第三项可变为32，第二项可变 故选A. 三、求代数式的值 方法指导 为(-2m×3),符合完全平方公式的特征 解：原式=2x(m2-2m×3+32)=2x(m-3)2 例3 已知心2+48=2a-6-2,则3a 四、因式分解后的某一因式含有公因式或符 +1 @江西卢芳 合公式时，应想到继续进行分解，直到每个因式不 b的值为 因式分解的方法有提公因式法、公式法等， 同学们在因式分解时往往会使用多种方法相结 能再分解为止 A.4 B.2 例4因式分解：(a2+4)2-16a2 C.-2 D.-4 合.在因式分解时，应根据所给多项式的结构特 征，确定分解方法以及使用顺序，做到目的明 分析：所给多项武是平方差的形式，可用平方 解因为心2+48=2a-6-2. 确、思路清晰、方法恰当. 差公式分解为(a2+4+4a)(a2+4-4a),发现每个 一、当多项式的各项含有公因式时，应想到 因式又都符合完全平方公式，所以可运用完全平方 所以。2-2a+1+8+6+1=0, 用提公因式法 公式进行二次分解 例1因式分解：6x3y-12y2+3xy 解：原式=(a2+4)2-(4a)2 所以(a-1)2+(26+1)=0 分析：所给多项式的公因式为3xy,运用提 =(a2+4+4a)(a2+4-4a) 公因式法分解即可. =(a+2)2(a-2)2 以a-1=0,分0+1=0 五、当多项式不能直接分解时，应想到先进 所以a=1,b=-2. 解：原式=3xy(2x2-4y+1) 二、当多项式为二项式，且每一项都有平方 行整理变形，再分解 所以3-2=3+1=4 的形式时，应想到用平方差公式 例5把多项式(a+b)(a+4b)-9ab分解 故选A 例2分解因式：m2n-4n= 因式正确的是 分析：所给多项式为二项式，可用到平方差 A.(a-2b)2 B.(a+2b)2 公式分解.但由于各项含有公因式，所以先提 C.(a-3b)2 D.ab(a+3)(a-3) 因式分解 取公因式再进行分解 分析：所给多项式既没有公因式，也不能用 M 口决 解：原式=n(m2-4)=n(m+2)(m-2). 公式法分解，所以应想到先对多项式进行整理， 故填n(m+2)(m-2). 然后再分解因式 因式分解并不难，分解方法要记全： 各项若有公因式，首先提出莫迟缓 三、当多项式为三项式，且其中两项含有平 解：原式=a2+5ab+4b2-9ab 各项若无公因式，乘法公式看一看 方的形式时，应想到用完全平方公式 =a2-4ab+4b2 以上方法若不行，分组分解做试验： 例3因式分解：2xm2-12xm+18. =(a-2b)2. 因式分解若不完，继续分解到完全 分析：因为所给多项式为三项式，所以考虑到 故选A 2 素养专练 数理极 1.1多项式的因式分解 (3)(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a). 任务： 1.对于①(x+1)(x-1)=x2-1,②x-2 (1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并 =x(1-2y),从左到右的变形，表述正确的是 帮助他指出错误的原因； (2)请尝试写出正确的因式分解过程 A.都是乘法运算 B.都是因式分解 C.①是乘法运算，②是因式分解 D.①是因式分解，②是乘法运算 1.3.1公式法（平方差公式） 2.下列各式从左到右的变形属于因式分解的 1.将多项式a3-16a进行因式分解的结果是 是 ( ) A.(x-2)(x+3)=x2+5x+6 A.a(a+4)(a-4) B.(a-4)2 B.10y=2x·5y C.a(a-16) D.(a+4)(a-4) C.x2+2x+1=x(x+2)+1 2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的 D.x2-9=(x-3)(x+3) 是 ( 3.如果多项式x2-3x+n分解因式得(x- A.x2+4y2 B.x2+2x-1 1)(x+m),那么m= ,n= C.-x2-4y2 D.-x2+4y2 4.检验下列因式分解是否正确. 3.已知42-1可以被10到20之间的某两个 1.3.2公式法（完全平方公式） (1)3x2-6x=3x(x-2); 整数整除，则这两个数是 () 1.运用因式分解计算：1252-50×125+252 A.12,14 B.13,15 () C.14,16 D.15,17 A.100 B.150 4.分解因式：x2+x2-x-1= C.10000 D.22500 5.分解因式： 2.若a+b=2,ab=-2,则整式a3b+2a2b2 (1)x2-25y2: +ab3的值为 (2)2-3x+2=(x+1)(x-2); 3.分解因式：4m2-4m-4n2+1= 4.分解因式： (1)4a2+12ab+9b2; (3)9-4x2=(3+2x)(3-2x). (2)a2(x-y)+b2(y-x); (2)4(x-2)(x+3)+25; 1.2提公因式法 1.已知a+b=3,ab=2,则a2b+ab2的值为 () (3)x4-81 A.5 B.6 c.9 D.10 (3)-ab+2a3b-ab. 2.因式分解：xy2-2xy= 3.已知a+3b=0,则a3+3a2b-2a-6b- 5的值为 4.分解因式： (1)3a-21: 5.已知x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz 的值是不是定值.如果是定值，求出它的值；如果 6.因式分解(3x+y)2-(x+3y)2.小禾因式 不是定值，请说明理由. 分解后，通过代人特殊值检验时，发现左、右两边 的值不相等.下面是他的解答和检验过程，请认真 (2)3x2-6x+12xy; 阅读并完成相应的任务， 小禾的检验 小禾的解法： 当x=0,y=1时， (3x+y尸-(x+3y)2 =(3x+y+x+3y)(3x+y-x+3y)① (3x+y)2-(x+3y28(x+y)(x+2y =132 =8×1×2 =(4x+4y)(2x+4y) ② =1-9 =16. =8(x+y)(x+2y)】 =-8. 因为-8≠16， 数理报社试题研究中心 所以分解因式错误。 参考答案见3期 10.若a2(b+c)=b2(a+c)=2024,a≠b,则abc的值为 18.(6分)某商贸大楼共有四层，如果第一层有商品(a+b)2 1.1~1.3同步达标检测卷 ( 种，第二层有商品a(a+b)种，第三层有商品b(a+b)种，第四层有 A.2024 B.1012 商品(b+a)2种，且a+b=10,那么这座商贸大楼共有商品多少种？ ◆数理报社试题研究中心 C.-2024 D.2025 (答题时长120分钟，满分120分) 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11.因式分解：3m2-3= 1.多项式8x2-4x中各项的公因式是 12.若x2-6x+m因式分解的结果是(x-n)2,则m= ,n= A.4 B.2x-1 C.4x 13.如图2，观察下列拼图过程，写出相应的关系式： D.4x-1 2.多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是( A.m+2 B.m-2 C.m+4 D.m-4 41 3.多项式m2-4m+4因式分解的结果是 ( 图2 19.(8分)若20242024-2024222=2023×2024”×2025，求 n的值 A.m(m-4)+4 B.(m+2)(m-2) C.(m+2)2 D.(m-2)2 14.已知x+y=2灯=-5，则-写-写y= 初 4.下列从左到右是因式分解且正确的是 15.甲、乙两人在对x2+ax+b进行因式分解时，甲看错了a,得 中 A.x2-4=(x-2)2 到的结果为(x+4)2;乙看错了b,得到的结果为(x+1)(x+9),则 B.(x+1)2=x2+2x+1 x2+ax+b因式分解的正确结果为 初中数学· C.x2-4-4x=(x+2)(x-2)-4x 16.已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,则a+b+c的值为 D.xy+x=x(y+1) 八年 5.已知x,y为任意有理数，记M=x2+y,N=2xy,则M与N的 三、解答题（本题共8小题，共72分） 级 大小关系为 ( 17.(6分)把下列多项式因式分解： 步 A.M>N B.M≥N (1)(a+2b)2-(2a-b)2; 20.(8分)先化简，再求值： C.M≤N D.不能确定 (1)4x(m-2)+3x(2-m),其中x=1.5,m=6; 6.关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解 湘教八年级同步达标检测卷 因式，则a的值是 ) A.-6 B.±6 C.12 D.±12 7.如图1，有一张边长为b的正方形纸板，在它 的四角各剪去边长为α的正方形.然后将四周突出 的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示 其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为( (2)ab4-4ab3+4ab2; A.(b-2a)(b-6a) B.(b-2a)(b-3a) (2)(x-1)2+(2x+10(x-1)+32-3,其中x=-2 C.(b-a)(b-5a) D.(b-2a)2 8.已知a-b=3,则a2-b2-6b+2的值为 A.11 B.25 C.26 D.37 9.下列是2x3+x2-13x+6的因式的是 A.x+2 B.x-3 C.2x-1 D.2x+1八年级数学湘教2026年7月第1~5期 数理极 答案详解 2026~2027学年八年级数学湘教 第1~5期(2026年7月) 1期2版 =4x2+4x+1 1.1多项式的因式分解 =(2x+1)2; 1.C;2.D;3.-2,2. (3)原式=-ab(1-2a2+a4) 4.解：(1)因为3x(x-2)=3x2-6x, =-ab(a2-1)2 所以因式分解3x2-6x=3x(x-2)正确； =-ab(a+1)2(a-1)2. (2)因为(x+1)(x-2)=x2-x-2≠2-3x+2, 5.解：x2-9y2+422+4xz 所以因式分解x2-3x+2=(x+1)(x-2)不正确； =(x2+4z2+4z）-9y2 (3)因为(3+2x)(3-2x)=9-4x2, =(x+2z)2-(3y)2 所以因式分解9-42=(3+2x)(3-2x)正确 =(x+2z+3y)(x+2z-3y). 1.2提公因式法 因为x+2z=3y, 1.B; 所以x+2z-3y=0. 2.xy(y-2);3.-5. 所以原式=6y·0=0,其值为定值. 4.解：(1)原式=3(a-7) 1期3,4版 (2)原式=3x(x-2+4y); 一、选择题 (3)原式=(3a+b)(2a-3b+4a) 题号123456789 10 =(3a+b)(6a-3b) 答案CAD DBDAAC C =3(3a+b)(2a-b). 提示： 1.3.1公式法（平方差公式） 5.解：因为M=x2+y2,N=2xy, 1.A;2.D;3.D; 所以M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2. 4.(x+1)2(x-1). 因为(x-y)2≥0， 5.解：(1)原式=(x+5y)(x-5y); 所以M≥N. (2)原式=(x-y)(a2-b2) 6.解：因为关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全 =(x-y)(a+b)(a-b); 平方公式分解因式， (3)原式=(x2+9)(2-9) 所以ax=±2×6x,所以a=±12. =(x2+9)(x+3)(x-3). 7.解：无盖的长方体纸盒的底面积为(b-2a)2, 6.解：(1)小禾的解答是从第①步开始出错的，错误的原 侧面积为4a(b-2a), 因是：去括号时，+3y未改变符号. 所以M=(b-2a)2-4a(b-2a) (2)(3x+y)2-(x+3y)2 =(b-2a)(b-2a-4a) =(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y) =(b-2a)(b-6a). =(4x+4y）(2x-2y) 8.解：因为a-b=3, =8(x+y)(x-y). 所以a2-62=(a-b)(a+b)=3(a+b), 1.3.2公式法（完全平方公式） 所以a2-62-6b+2 1.C;2.-8; =3(a+b)-6b+2 3.(2m-1+2n)(2m-1-2n). =3a+3b-6b+2 4.解：(1)原式=(2a+3b)2: =3a-3b+2 (2)原式=4(x2+x-6)+25 =3(a-b)+2 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 =3×3+2 所以b2+4b+4+2-6c+9=0, =11. 所以(b+2)2+(c-3)2=0, 9.解：因为2x3+x2-13x+6 所以b+2=0,c-3=0, =2x3+x2-10x-3x+6 解得b=-2,c=3, =x(2a2+x-10)-3(x-2) 所以a=-2+4=2, =x(2x+5)(x-2)-3(x-2) 所以a+b+c =(x-2)(2x2+5x-3) =2+(-2)+3 =(x-2)(2x-1)(x+3), =3. 所以2x3+x2-13x+6的因式有(x-2),(2x-1),(x+ 三、解答题 3) 17.解：(1)原式=[a+2b+(2a-b)][a+2b-(2a-b)] 10.解：因为a2(b+c)=b2(a+c)=2024, =(3a+b)(3b-a); 所以2(b+c）-b2(a+c)=0, (2)原式=ab2(62-4b+4) 即a2b+a2c-ab2-62c=0, =ab2(b-2)2. 整理，得ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, 18.解：(a+b)2+a(a+b)+b(a+b)+(b+a)2 所以(a-b)(ab+ac+bc)=0. =(a+b)(a+b+a+b+a+b) 因为a≠b,所以a-b≠0， =3(a+b)2. 所以ab+ac+bc=0,即ab+bc=-ac. 因为a+b=10, 因为b(a+c)=2024, 所以原式=3×102=300（种）. 所以b(ab+bc)=2024, 答：这座商贸大楼共有商品300种. 所以abc=-2024. 19.解：因为2024224-2024202 二、填空题 =202422×(20242-1) 11.3(m+1)(m-1);12.9,3; =202422×(2024+1)×(2024-1) 12+2x+1,+1;14 =2024202×2025×2023 =2023×2024"×2025, 15.(x+2)(x+8);16.3. 所以n=2022. 提示： 20.解：(1)原式=(m-2)(4x-3x) 4解：宁分y =x(m-2). 1 当x=1.5,m=6时，原式1.5×(6-2)=6. =-3x+y) (2)原式=(x-1)2+(2x+1)(x-1)+3(x+1)(x-1) =-3[(x+)2-2] =(x-1)(x-1+2x+1+3x+3) =3(x-1)(2x+1). =-号×(-5)×[2-2×(-5] 当x=-分时，原武=3×(-分-(-7×2+)=0 =亨x14=9 21.解：B-A=a2+a-7-a-2 15.解：因为(x+4)2=x2+8x+16, =a2-9=(a+3)(a-3) 所以b=16. 因为a>2,所以a+3>0. 因为(x+1)(x+9)=x2+10x+9, 当2<a<3时，a-3<0,此时A>B; 所以a=10, 当a=3时，a-3=0,此时A=B: 则x2+10x+16 当a>3时，a-3>0,此时A<B. =x2+(2+8)x+2×8 22.解：(1)图中的面积可以表示为 =（x+2)(x+8). (2a+b)(a+b)或2a2+3ab+b2; 16.解：因为a-b=4, 表示因式分解的等式为 所以a=b+4. 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). 因为ab+c2-6c+13=0, (2)图略.2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b). 所以b(b+4)+c2-6c+13=0, 所以这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b. -2 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 所以此长方形的周长为2(2a+b+a+2b)=6a+6b. 所以b+ac=11-30=-19. 23.解：(1)①25x2+10x-y2+1 8.解：因为边长为a,b的长方形周长为12，面积为5， =(25x2+10x+1)-y 所以a+b=6,ab=5, =(5x+1)2-y2 所以(a+b)2=36, =(5x+1+y)(5x+1-y); 即a2+2ab+62=36, ②x2-4y2+2x+4y 所以a2+62=36-2×5=26. =(x2-4y2)+(2x+4y) 则a3b+ab3=ab(a2+b2) =(x+2y)(x-2y)+2(x+2y) =5×26 =(x+2y)(x-2y+2). =130. (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0, 9.解：将m2=4n+a与n2=4m+a相减，得 所以(a2-4ab+462)+(b2-6b+9)+(c2-10c+25)=0, m2-n2=4n-4m, 所以(a-2b)2+(b-3)2+(c-5)2=0, 即(m+n)(m-n)=-4(m-n), 所以a-26=0,b-3=0,c-5=0, 移项，合并同类项，得(m-n)(m+n+4)=0. 所以a=6,b=3,c=5. 因为m≠n,所以m-n≠0，所以m+n+4=0, 所以三角形ABC的周长为6+3+5=14. 即m+n=-4, 24解：(1)提公因式法，2： 所以m2+2mn+n2=(m+n)2=(-4)2=16. (2)过程略，(1+x)225; 10.解：因为mn-2m-3n-20=0, (3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)” 所以m(n-2)-3n+6-6-20=0, =(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)-1] 所以m(n-2)-3(n-2)-26=0, =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n-2] 所以(m-3)(n-2)=26. =…=(1+x)"+ 因为m,n均为正整数， 2期检测卷 所以m-3为不小于-2的整数， 一、选择题 n-2为不小于-1的整数. 题号12345678910 因为26=1×26或26=-1×(-26)或26=2×13或 答案AAC CCDDCA A 26=-2×(-13), 提示： 所以m-3=1或m-3=26, ln-2=26ln-2=1 5.解：3a(x2-1)-36(x2-1) =(3a-3b)(x2-1) 或m-3=2或m-3=1B, ln-2=13ln-2=2, =3(a-b)(x+1)(x-1), 所以m+n=32或m+n=20, 因为x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应六个字：青，学， 所以m+n的最小值是20. 我，数，爱，高， 二、填空题 所以将3a(x2-1)-36(x2-1)因式分解，结果呈现的密 11.x(x+y)(x-y);12.4;13.72;14.4或-4： 码信息可能是：我学高青 15.6;16.-1012. 6.解：对于A.x2+2x+1=(x+1)2,可以； 提示： 对于B.x2-2x+1=(x-1)2,可以； 14.解：将题目中的两个式子相加，得 对于C++1=(分+)，可以： a2-ab+b2-ab=16, 对于D2+1加上-子，无法构成完全平方式，赦选D 即(a-b)2=16, 所以a-b=±4. 7.解：因为77x2-13x-30 15.解：因为a2+2ab+b2=c2+24, =(7x+a)(bx+c) 所以(a+b)2=c2+24, 7bx2 abx +7cx ac, 所以(a+b)2-c2=24, 7bx+(ab +7c)x+ac, 所以(a+b+c)(a+b-c)=24 所以76=77，ab+7c=-13,ac=-30, 因为a+b-c=4, 解得b=11, 所以a+b+c=24÷4=6, 一3 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 即△ABC的周长为6. (2)由题意，得m+n=20÷2=10, 16,解：由题意，得m2-n2=2n-2, 1 m2-n2=(m+n)(m-n）=40, 所以m-n=4, 即(m+(m-a）=-(m-). 所以m=7,n=3, 所以2m+n=17,m+2n=13, 因为m≠n,所以m-n≠0，所以m+2=-子 所以这张长方形纸板的面积为 所以m3-mn+n3=m·m2-mn+n·n (2m+n)(m+2n)=17×13=221(cm2). =m分+2024-m+n(2m+2024) 22.解：设另一个因式为(2x+n) 根据题意，得2x2+3x+k=(x-1)(2x+n). =2n+2024m-mn+号mn+2024n 展开，得2x2+3x+k=2x2+(n-2)x-n. =2024(m+n) 所以-2=3解得=5 lk =-n, lk=-5. =2024×(-2）=-1012 所以另一个因式为(2x+5),k的值为-5. 三、解答题 23.解：(1)原式=x2-4x+4-1 17.解：(1)原式=(x-3)(x+2); =(x-2)2-1 =(x-2+1)(x-2-1) (2)原式=9a2-6a+1-42 =(x-1)(x-3). =(3a-1)2-(2b)2 (2)原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 =(3a-1+2b)(3a-1-2b). -(x2+2x-1)2-4 18.解：(n+7)2-(n-5)2 =(x2+2x-1+2)(x2+2x-1-2) =(n+7+n-5)(n+7-n+5) =(x2+2x+1)(x2+2x-3) =(2n+2)×12 =(x+1)2(x-1)(x+3). =24(n+1). (3)原式=x+4x2+4-4x2 因为n为正整数，所以n+1为正整数， =(x2+2)2-(2x)2 所以24(n+1)能被24整除， =(x2+2+2x)(x2+2-2x). 即(n+7)2-(n-5)2能被24整除. 24.解：(1)52+22. 19.解：(1)原式=40×(31.52-2×31.5×18.5+18.52) (2)k=13.理由如下： =40×(31.5-18.5)2 N=x2-6x+4y2+8y+k =40×169 =x2-6x+9-9+4y2+8y+4-4+k =6760. =(x-3)2+(2y+2)2+k-13. (2)原式=号×[(272)-(52] 因为N是“和数”， 所以k-13=0, =号×(273+52273-52） 解得k=13. (3)因为m,n都是“和数”，设m=a2+2,n=c2+, =号×3×2 所以mn=(a2+62)(c2+d) =242. =a2c2+a2d+b2c2+62d0 20.解：(1)(x-2)4; ac2+bd 2abed 2abed a'd+bc (2)设x2+6x=y =(ac bd)2+(ad-be)2, 原式=y(y+10)+25 所以mn也是“和数”. =y2+10y+25 3期2版 =(y+5)2 2.1.1分式的概念 =(x2+6x+5)2 1.D;2.D;3.4;4.-2 =[(x+1)(x+5)]2 5a52)g0 =(x+1)2(x+5)2. 21.解：(1)(2m+n)(m+2n); 6解：①少要位一号的值存在。 -4 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 则2a-b≠0，即2a≠b, a2-c2 所以当2a≠6时，-+b的值存在。 =(a-b)(a-c) 2a-b =(a+c)(a-c (a-b)(a-c) (2②）妥做2+的值作在： =ate 则21x1+1≠0. a-b' 因为21x1+1≥1， 当a=3,6=-2,c=-1时，8+9=3-1=2 'a-63+2=5 x 所以x为任意数，21x+的值都存在 5.解：根据题意，得g-4=404-4=39(h. 2.1.2分式的基本性质 分 1.A;2.②④： 3.(1)2a2+2ab,(2)-a-b. 答：飞机比船舰先到39eh 4.解：(1)24a=-4ab,60=-6a 2.2.2异分母分式的加减 -4ab 4ab 1.B;2.7;3.1. (2)202-6 2d-ab 1 2a'b-abb(2a -ab)=b 4解：(1)L-1 xx+2 5.解：(1)m+5m+6 m2-4 =x+2 x+2)x(x+2) =m+2)(m+3) （m+2)(m-2) =x+2-x x(x+2) =m+3 2 m-2 =2+2 当m=-3时，m+3==3+3=0. m-2 -3-2 (2)2红-2+2x ）-1+x+ (2) x2-2xy x'y-4x2y +4xy 2(x-1) 2x+1)(x-1)*2 x+1 x(x-2y）) y(x-2y)2 22x -x+1x+1 = 1 y(x-2y) =2(x+1) x+1 1 = xy-212 =2 当x=4,y=1时，1 1 1 -2y=4×1-2x下=2 3+a*+6-(a+ 2.2.1同分母分式的加减 1+6+1+a-a(1+b)+b1+@ =(1+a)(1+b) (1+a)(1+b) 1.D;2.1. 2+a+b a+b +2ab 1 1 3.解：(1)2x-1-2x =(1+a)(1+b)(1+a)(1+b) 1 1 =2+a+b-a-b-2a6 =2x-1+2x-1 (1+a)(1+b) 2-2ab 2 =2x-T =I+a+b+ab (2)a-1 3期3,4版 1 a2-2aa2-2a 一、选择题 a-2 =&-2a 题号12345678910 答案BACCCDBCA A =a-2 a(a-2) 提示： 1 9.解：因为A。+ 3 的，-2+-3 a2-62 62-c2 A(x-3) 4.解：(a-b)(a-0+(a-b)(a- 3(x-2) =(x-2)(x-3)+(x=2)(x-3 一5- 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 =A(x-3)+3(x-2) 1 (x-2)(x-3) y3= 1-x-1-1 =2-x, =(4+3)x-(3A+6 x-2x-2 (x-2)(x-3) 1 1 4=1-(2-对=x- A 6x+B 所以这列式子的结果以十产二2-为-个循环，反 所以4+3)x(3A+6)= 6x +B (x-2)(x-3) (x-2)(x-3)' 复出现. 所以 A+3=6, 因为2026÷3=675…1， -(3A+6)=B, 所以2s=1=x-了 1 解得A3, 三、解答题 lB=-15. 17解：①)要侧号的值作在。 所以1+，+1+，年+1+=14， 则2x-3≠0，解得x≠立， 3 x+y+2+x+y+2+x+y+2=14, 所以当子子时，的值作在 x+y y+z z+x (2)要使6(x+3》的值存在， 所以红+y+(六克中)M, 1x1-12 则1x1-12≠0，解得x≠±12， 所+ 14 ,6(x+3的值存在。 所以当x≠士12时x-2 而1+1+12 a-4ab2 x +yy+zz+x6' 18解。-4r6+4ab 所以14.7 a(a2-4b2) 以x+y+=6 a(a2-4ab+4b2) 所以x+y+z=12. =a(a+2b)(a-2b) 二、填空题 a(a-2b)2 122:1-414nm nw =0+2b 15.12; a-2b 16六 当a=-2.6=宁时， -2+2×2.2号 1 提示： a+26 1 15解：2 ,2+2x+18 a-26= 1 -21=3 +3+3-x+X-9 -2-2×2 2(x-3) 2(x+3) 2x+18 4y 5x (x+3)(x-3)(x+3)(x-3+(x+3)(x-3) 19解：1)x+x-刀+7+- 4v 2x+6 5x =(x+3)(x-3) =(x+y)(x-y)+(x+y)(x-)(x+y)(x-刀 4y+4x 2 =x-3 =(x+y)(x-y) 由于x为整数，且原式为整数， 、4 x-Y 所以x-3=±1或±2， a-32a+4 所以x=4或2或5或1， (2)+2a+2+2a+1a+2 所以4+2+5+1=12. a(a-3) 2aa+元+0+2-2u+2 = a+2 16.解：因为=x- a-3 a-3 所以为=1 1 =2a+i+0+i-2 1- =(a-3)(a+1)+2(a-3)-4(a+1)2 x-1x-1 2(a+1)2 —6 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 =-302-8a-13 2(a+1)2 所以原式-3x2.5-片 -2+6 20.解：因为abc=1, 24.解：(1)将等号右边通分，得 所以，1 ac A B ab +b+=ab+b+abe=a +I+ac" x+6+4-3元 1 A(4-3x)+B(x+6) be+c+1=a(be+e+1)=abc+ae+a=I+ac+a (x+6)(4-3x) 21.解：1)-2x-4与之 -4与x一2是一对整合分式.理由如 =-3A+B)x+(4A+6B) -3x2-14x+24 下： 11x 因为2-4+x2 -3x2-14x+24 2-4+x-2 所以{3A+B=11, ==2x-4x+2(x+2) l44+6B=0, x2-4 x3-4x 解得A3, = lB=2. x2-4 (2)在已知等式中取x=3,有C+D=6. =x, 所以2x-4与2 取x=1,有-C+D=4. 2-4与，一2是一对整合分式 解C+D=6,得G= 〔2)答案不准一如N:的，后：+碧 l-C+D=4,lD=5. a +b 4期2版 2解+证明如下 2.3.1分式的乘除 atb 1.A;2.D;3.2a-36 2ab a3+(a-b) a2-16 2a (a+b)(a2-ab+b2)】 =[a+(a-b)][a-a(a-b)+(a-b)] 4.解：)。-80+16+4a (a+b)(a2-ab+b2) =a+4)(a-4).2a (a-4)2a(a+4) [a+(a-b)](a2-ab+b2) a+b =（a+4)(a-4)·2a (a-4)2·a(a+4) a+(a-b) 23.解：(1)“方法二”中运用的分式的基本性质是分式的 2 a-4 分子与分母同时除以一个不等于0的整式，分式的值不变. x2-9y2 故答案为：分式的分子与分母同时除以一个不等于0的整 2+2r+二3 x+y 式，分式的值不变 =x+3y)(x-32.x+y (2)因为xy≠0， (x+y)2 x-3y 所以原式=(3x-5xy-3y)÷y =x+3y)x-3y）·(x+2 (x+6xy-y）÷y (x+y)2·(x-3y) =+3y x+y = +6-工 y 8号-2 x-2 =(x+2)(x-22.1,1 11+6 (x+2) x-2x-2 y x (x+2)(x-2) 因为二”=2， =(x+2)(x-2)(x-2) xy 1 所以-=2， =x-2 x Y 2.3.2分式的乘方及乘除混合运算 所以人、1 y=-2, 1B:2宁 -7- 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 3解：①(.g 2.4.3整数指数幂的基本性质 1.D2.-4:3.18 1 =-8 4.解：(1)m3÷(m)-2 =-·6y =m3÷m8 8y3·x m3(-8 =m. (2)a262.(a2b2)3 28y()±( =a262·a6b =8y 器（别 =a2+(-6).62+6 =a-8·b =8y9x2·(-22 68 16y°·xy 、9 (3)(2x3y2)2÷(x2y)3 3 1 2.4.1同底数幂的除法 (2xy22(y) 1.C;2.D;3.2. 1 4.解：(1)(m4)2÷m3 =4y·x7 =m8÷m3 =-1 =m8-3 7 =m. 47 (2)(-ab)°÷(-ab)2÷(-ab) 4期3,4版 =ab÷a2b2÷(-ab) 一、选择题 =-a6-2-1·66-2-1 题号12345678910 =-a363 答案BD B DBBDB D C 5.解：因为4m+3×8m+1÷2m+7 提示： =22(m+3)×23(m+)÷24m+7 10.解：原式=a, 2a .(a-1)2(a+1)2 =22m+6X23咖+3÷24m+7 a-1(a+1)(a-1) 4a =2m+2=16=24, 2a2 (a-1)2(a+1)2 (a-1)2(a+1) 4a 所以m+2=4, 解得m=2. -0+1 2 2.4.2零次幂和负整数指数幂 由于是正整数.(a-1)a+D≠0.a头0. 1B:2A:3-琴：4 所以a为大于1的奇数描述最准确。 5.解：(1)32+(-2)°-17 二、填空题 =9+1-17 11.<；122.8×108m;13.4x;14.-xy x+xy =-7. 15.2;16.14. 2(）+2 提示： =士+ 15.解：最后甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为29-2+ 2,29+2-(2+2)=29-2,5+(2+2)-2'=5+2. 2 因为一共有29+29+5=63（个）球，且最后三个袋子中 =2+4 的球的个数相同， 9 所以最后三个袋子中的球都是21个， 4 所以29-2=21,5+2=21， 8 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 所以2=8,2=16， =x.x+1 所以2-y=2÷2y=16÷8=2. x-1x 16.解：因为大正方形的面积为49， s+1 x-1 所以(a+b)2=49. 又因为a>b>0,所以a+b=7. 当=10时台-8兰号 因为中间小正方形的面积为1， 21.解：(1)因为(a")”=a, 所以(a-b)2=1, 所以am=a, 所以(a+6)2-(a-b)2=48, 所以mn=6. 所以a2+2ab+62-a2+2ab-b2=48, 因为(a)2÷a"=a2, 所以ab=12, 所以a2m=a23, 所以(a-6)÷。+E÷(6a-66) 所以2m-n=3. ab (2)因为33·9m4÷272m-1=729, =(a2+b)(a-b)(a+b)·d+6‘6(a-万 ab 1 所以33·32+8÷36m-3=36, =ab(a+b) 所以33+咖+8-6m3=36, 6 所以3+2m+8-6m+3=6, =2×7 解得m=2. 6 22.解：原式=(a-(a+(2+子d+)(+) =14. 三、解答题 =a(e-(a2+(a+(as+) 17.解：他的计算不对.正确过程如下： -(-)(a+)+) 64m÷16”×4 =(43)m÷(42)”×4 =a(a-(e+） =43m÷42×4 =a(a6-) =43m-2n+1 18.解：依题意，得(3.6×104)÷(6×101)=(3.6÷6) =a”六 ×104-1=600(滴)， 23.解：(1)根据题意，得(m+z）=a, 所以需要这种杀菌剂600÷15=40（毫升）. (b(vm-v2)=a. 19解：(1（会÷(） 26,6- 所以仰=a+b, 26 品刳) (2)因为里=4+6=7 为2=6-=3， =-.6g 9a46 所以a+6=子6-子， 7 2 =-3a26 所以号=寺， 然*2 所以号=号 2 -2x+3)2-3》.(4-2)‘2x- 1 a 2x-1 6 26 2×6 26 =2(2x+3) 2a6 ab =4x+6. Fa+6÷6-a =2ab.b-4 a+b ab -别 2b-2a a +b =( 1 1 24.解：(1)因为，+3x+2=-(x+2)(x+3) 9 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 1 1 x+3×x+2=（x+2)x3 检验：把x=号代入原方程，得左边=-4=右边， 1 1 1 因此x=号是原方程的解 所以分式，十2不是分式，+3的“可存异分式” (2)方程两边同乘最简公分母x(x+1)(x-1),得 4(x-1)-3(x+1)=0. 故答案为：不是 解得x=7. (2)设产4的可存异分式”为N, 3 检验：把x=7代入原方程，得左边=十77二7=0 则4-N=产4×水， =右边， 所以（产4+N=产4 因此x=7是原方程的解。 (3)方程两边同乘最简公分母3x-6,得 所以N=x之4(4+刂 3(5x-4)=4x+10-(3x-6). 解得x=2. 2x-4 检验：把x=2代入原方程，方程两边的分式的分母都为0， =x.x-4 这样的分式没有意义， x-42x-4 因此，x=2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解 =2x-4 2.5.2分式方程与实际问题 1.D;2.C;3.B;4.200;5.甲. 故答案为：2x-4 6.解：设从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需 (3①因为分式十号是分式4的可作异分式 时间为x小时 根据题意，得30=28×530 所以A-号=A×+号 2x+3 x+3 3x+3 解得x=了 5 所以A(1-)-数+号 2x+3 5 经检验，x=弓是原分式方程的解，且符合题意。 所以A= 号(1-别 答：从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间 2x+3.3x+3-2x-3 -3x+5 3x+3 为号小时 2x+3,3x+3 7.解：(1)设甲加工服装x件，乙加工服装y件， 3x+3 x =2x+3 根据题意，得+y=280, y=2x-80, ②分式A的值为1,3,5. 解得120， 因为整数x使得分式A的值是正整数，A=2红+3=2+ y=160. 所以甲加工服装120件，乙加工服装160件. 3 故答案为：120,160. (2)设乙每天加工服装m件， 所以x=1时，A=5;x=3时，A=3;x=-3时，A=1, 则甲每天加工服装(m-5)件. 所以分式A的值是1,3,5. 5期2版 根据题意，得120=160 m-5=m 2.5.1分式方程及其解法 解得m=20. 1.B;2.C;3.4;4.2y2-3y+1=0; 经检验，m=20是原分式方程的解，且符合题意. 5.m≥3且m≠6. 答：乙每天加工服装20件 6.解：(1)方程两边同乘最简公分母(x-3)(x-2),得 8.解：(1)设乙图书每本价格为x元， x-2=-3(x-3) 则甲图书每本价格为2.5x元. 解得号 根据题意，得00-80=24 x2.5x -10 八年级数学湘教 2026年7月第1~5期 解得x=20. 二、填空题 经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意 11.x(x+1);12.-2:13.900=1500 40-x 所以2.5x=50. 14.15:15.x=1或x=-3:16.3. 答：甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元. 提示： (2)设购买甲图书a本， 则购买乙图书(2a+8)本. 15解当>0时，m{-上}==写2 根据题意，得50a+20(2a+8)=1060. 所以 2 解得a=10. 元=33-x=2x, 所以2a+8=28. 解得x=1. 答：该图书室可以购买28本乙图书. 经检验，x=1是原分式方程的解，且满足题意 5期3,4版 当0时，m士}-2 一、选择题 所以、1 2 题号123456789 =3二x-(3-0=2x, 10 D 解得x=-3. 经检验，x=-3是原分式方程的解，且满足题意。 提示： 综上，x=1或x=-3. 9.解：设甲每天做x个， 16.解：方程两边都乘以(x-1)(x+2)得， 则30=子×品” x(x+2)-(x-1)(x+2)=m, 故A选项不符合题意； 化简，得m=x+2. 设乙每天微个则”子×足 因为分式方程有增根， 5.240 所以(x-1)(x+2)=0, 变形后得4×130-x =5×240 350 所以x-1=0或x+2=0, 解得x=1或x=-2. 故B选项符合题意； 当x=1时，m=x+2=1+2=3, 设乙做240个零件所用时间为x, 此时原方程化为-1=-：+2 3 则350+240=130， 5 方程确实有增根； 4 当x=-2时，m=x+2=-2+2=0, 故C选项不符合题意； 设乙做240个零件所用时间为4x, x-1-1=0, 此时原方程化为x, 则50+240=130. 所以x-(x-1)=0,此方程无解， 5x 4x 所以m=0不符合题意， 故D选项不符合题意。 所以m的值为3. 10解+3=2， 三、解答题 17.解：(1)方程两边同乘最简公分母x(x+2),得 去分母，得ax-8=2(x-1), 8(x+2)=12x 移项、合并同类项，得(a-2)x=6, 解得x=4. 系数化为1，得x=。2 检验：把x=4代人原方程，得左边=2=右边， 因此，x=4是原方程的解。 因为分式方程+3。=2的解是正整数且x-1 (2)方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得 0, 3(x-1)+5(x+1)=10. 所以a-2=1或2或3或6且21， 解得x=1. 检验：把x=1代入原方程，方程两边的分式中有分母为0， 所以a=3或4或5， 这样的分式没有意义， 所以符合条件的所有整数a的和为3+4+5=12. 因此，x=1不是原分式方程的根，从而原分式方程无解。 -11 八年级数学湘教2026年7月第1~5期 品》出 由题点得38中 3=2:1, =-1.x+11 =+'xx-x+ 即8+=2，解得x=氵 8 8-x 经检验，=号是原方程的解且符合题意。 =+1-x 因为某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返 x(x+1) 共用了9h, 1 x(x+1) 2 所以 89, 部方程2+品 8+2×3 解得s=20. 方程两边同乘最简公分母2(x-2),得 答：甲、乙两港之间的距离为20km. 2x2+2(x-3)=2x(x-2)+9(x-2) 23.解：(1)x=6. 解得x=4. (2)1.1 =1-1 x+7x+6=x+4x+3 检验：把x=4代入原方程，得左边=号=右边。 (3)答案不唯一，如1 1 1 x-n+2-x-n+1-x-n-1 因此，x=4是原方程的解。 -n-2这个方程的解为x=n 1 1 当x=4时x+=4×(4+1)=20 24.解：(1)设甲班有x人，则乙班有(x+3)人 19.解：(1)小丽的解答过程从第一步开始出错， 这一步应为2x+2-(x-3)=6x, 根据题花，得名×婴-1 xx+3 这一步的依据是等式的性质。 解得x=49. 故答案为：一，2x+2-(x-3)=6x,等式的性质 经检验，x=49是原分式方程的解，且符合题意. (2)小丽解答过程缺少的步骤是检验 所以x+3=52 故答案为：检验， 答：甲班有49人，乙班有52人. (3)1-x-3。 (2)设购买A种手套a包，则购买B种手套(5-a)包. 根据题意，得am+(5-a)(m+18)=882+1092, 去分母得2x+2-(x-3)=6x, 解得x=1, 化简，得m=1884+18a 5 经检验，x=1是原方程的解， 因为a,5-a均为正整数，所以a的值为1或2或3或4. 所以原分式方程的解是x=1. 20.解：设规定的时间为x小时. 当a=1时a-1481-12,不合题意，舍去： 5 根据题意，得2”-2×21识 当4=2时，m=184+18×2=384,符合题意： x+11 5 解得x=5. 当a=3时，m=1884士18×3=138，不合题意，舍去： 5 5 经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意。 答：规定的时间为5小时. 当a=4时，m184专18X4.16,不合题意，合去 5 21.解：3+2-x。 1 x-3=3-x 综上，符合条件的整数m的值为384. 两边乘(x-3),得3(x-3)+2-kx=-1, 整理，得(3-)x=6. 因为分式方程3+二答=写 1一无解， 所以3-k=0或x=3, 解得k=3或k=1. 22.解：设甲、乙两港之间的距离为skm, 平时水流速度为xkm/h. —12-