1.3 第1课时 利用平方差公式进行因式分解（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第1章 因式分解 1.3 公式法 第1课时 利用平方差公式进行因式分解 【学习目标】 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想． 2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解． 【学习重点】理解利用平方差公式在进行因式分解的过程和方法. 【学习难点】利用转化思想和平方差公式进行因式分解. 【情境导入】 如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？ 【合作探究】 探究点一、用平方差公式进行因式分解 想一想：多项式 x2 - y2有什么特点？你能将它因式分解吗？ 知识要点 在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式： (x＋5)(x－5)＝___________ ＝ ___________ . 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x²－25因式分解： x²－25＝___________ ＝___________. 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 【典型例题】 例1 把多项式 25x²－4y² 因式分解. 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？ (1) а²+b² (2) -а²-b² （3）-x²+y2 (4) x²-25y2 (5) m²-1 做一做：把多项式 (x＋y)²－(x－y)² 因式分解. 例2 把多项式 x4－y4 因式分解. 针对训练 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. 例3 把多项式 x5－x3y² 因式分解. 针对训练 因式分解： (1) 5m2a4－5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. 例4 把多项式 x4－9 因式分解. 方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 做一做：用简便方法计算： (1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882. 例6 试说明：当n为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被8整除． 例7 已知 x2 - y2 ＝ - 2，x ＋ y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值． 课堂检测 1. 下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　　） A．a2＋( - b)2 B．5m2 - 20mn C．-x2 - y2 D． - x2＋9 2. 因式分解 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（　　） A．3( x2 + 4x + 3 ) B．3( x2 + 2x + 3 ) C．( 3x + 3 )( x + 3 ) D．3( x + 1 )( x + 3 ) 3. 若 a + b = 3，a -b = 7，则 b2 -a2 的值为（　　） A．-21 B．21 C．-10 D．10 4. 把下列各式因式分解： (1) 16a2 -9b2 =__________________； (2) ( a + b )2 - ( a - b )2 =_______； (3) 9xy3 - 36x3y =____________________； (4) - a4 + 16 =______________________. 5. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则n的值是______. 6. 已知 4m + n = 40，2m -3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2的值． 7. 如图，在边长为 6.8 cm的正方形钢板上，挖去4个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积． 8. (1) 992 - 1 能被 100 整除吗？ (2) n 为整数，( 2n + 1)2 -25 能否被 4 整除？ 参考答案 情境导入 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 【合作探究】 探究点一、用平方差公式进行因式分解 想一想 是 x，y 两数的平方差的形式，x2-y2=(x+y)x-y). 知识要点 x²－5² x²－25 x²－5² (x＋5)(x－5) 【典型例题】 例1 25x²－4y²=(5x＋2)(5x－2) 辨一辨（1）×（2）-(a2+b2)（3）y2-x2 （4）(x+5y)(x-5y)（5）( m+1)(m-1) 例2 解： x4－y4＝( x2)2－( y2)2＝(x2＋y2)(x2－y2) ＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ). 针对训练 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝ (3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )＝ (2m＋4n)(4m＋2n) ＝ 4(m＋2n)(2m＋n)． 例3 解：x5－x3y²＝x3(x2－y²)＝x3( x＋y )(x－y). 针对训练 解：(1) 原式＝ 5m2( a4－b4 )＝ 5m2( a2＋b2)( a2－b2 ) ＝ 5m2( a2＋b2)( a＋b )( a－b ). (2) 原式＝ ( a2－4b2 )－( a＋2b ) ＝ ( a＋2b )( a－2b )－( a＋2b )＝ ( a＋2b )( a－2b－1 ). 例4 解： x4－9＝( x2 )2－32＝( x2＋3 )( x2－3 )＝( x2＋3 )[ x2－( )2 ] ＝( x2＋3 )( x＋)( x－ ). 做一做 解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 )＝10×2.2＝22. (2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 )＝1×(－0.76 )＝－0.76. 例6 解：原式 = (2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) = 4n • 2 = 8n. 因为n为整数，所以8n一定能被8整除，即多项式 (2n+1)2 -(2n-1)2 一定能被 8 整除． 例7 解：因为x2 -y2＝( x＋y )( x-y )＝-2，x ＋ y ＝ 1 ①，所以x-y＝-2 ②. 联立 ①② 组成二元一次方程组，解得 课堂检测 1.D 2.D 3.A 4.(1) ( 4a+3b )( 4a-3b )(2) 4ab (3) 9xy( y+2x )( y-2x ) (4) ( 4+a2 )( 2+a )( 2-a ) 5. 4 6.解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n). 当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，原式 = -40×5 = -200. 7.解：根据题意，得剩余部分面积为：＝ 6.82 - (2×1.6)2 ＝ 6.82 - (2×1.6)2＝ 6.82 - 3.22＝ (6.8 + 3.2)(6.8 - 3.2) ＝ 10×3.6 ＝ 36 (cm2).答：剩余部分的面积为 36 cm2. 8. 解：(1) 因为 992-1 = (99+1)(99-1) = 100 × 98， 所以 992-1 能被 100 整除. (2) 原式 = ( 2n+1+5 )( 2n+1-5 )= ( 2n+6 )( 2n-4 ) = 2( n+3) × 2( n-2 ) = 4( n+3 )( n-2 ). 所以 ( 2n+1)2-25 能被 4 整除. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $