第1期 1.1 多项式 的因式分解 1.2 提公因式法 1.3 公式法-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（湘教版2024）

八年级数学湘教第1~5期 线理橘 答案详解 2025~2026学年八年级数学湘教 第1~5期 1期2版 =4x2+4x+1 1.1多项式的因式分解 =(2x+1)2; 1.C;2.D;3.-2,2. (3)原式=-ab(1-2a2+a4) 4.解：(1)因为3x(x-2)=3x2-6x, =-ab(a2-1)2 所以因式分解3x2-6x=3x(x-2)正确； =-ab(a+1)2(a-1)2 (2)因为(x+1)(x-2)=x2-x-2≠x2-3x+2, 5.解：x2-9y2+4z2+4xz 所以因式分解x2-3x+2=(x+1)(x-2)不正确； =(x2+4z2+4z）-9y2 (3)因为(3+2x)(3-2x)=9-4x2, =(x+2z)2-(3y)2 所以因式分解9-42=(3+2x)(3-2x)正确. =(x+2z+3y)(x+2z-3y). 1.2提公因式法 因为x+2z=3y, 1.B; 所以x+2z-3y=0. 2.x(y-2);3.-5. 所以原式=6y·0=0,其值为定值. 4.解：(1)原式=3(a-7)； 1期3,4版 (2)原式=3x(x-2+4y); 一、选择题 (3)原式=(3a+b)(2a-3b+4a) 题号123456789 10 =(3a+b)(6a-3b) 答案CAD DBDAA CC =3(3a+b)(2a-b). 提示： 1.3.1公式法（平方差公式） 5.解：因为M=x2+y2,N=2, 1.A;2.D;3.D; 所以M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2. 4.(x+1)2(x-1) 因为(x-y)2≥0， 5.解：(1)原式=(x+5y)(x-5y); 所以M≥N. (2)原式=(x-y)(a2-b2) 6.解：因为关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全 =(x-y)(a+b)(a-b); 平方公式分解因式， (3)原式=(x2+9)(x2-9) 所以ax=±2×6x,所以a=±12. =(x2+9)(x+3)(x-3) 7.解：无盖的长方体纸盒的底面积为(b-2a)2, 6.解：(1)小禾的解答是从第①步开始出错的，错误的原 侧面积为4a(b-2a), 因是：去括号时，+3y未改变符号. 所以M=(b-2a)2-4a(b-2a) (2)(3x+y)2-(x+3y)2 =(b-2a)(b-2a-4a) =(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y) =(b-2a)(b-6a). =(4x+4y)(2x-2y) 8.解：因为a-b=3, =8(x+y)(x-y). 所以a2-b2=(a-b)(a+b)=3(a+b), 1.3.2公式法（完全平方公式） 所以a2-62-6b+2 1.C;2.-8; =3(a+b)-6b+2 3.(2m-1+2n)(2m-1-2n). =3a+3b-6b+2 4.解：(1)原式=(2a+3b)2: =3a-3b+2 (2)原式=4(x2+x-6)+25 =3(a-b)+2 八年级数学湘教第1~5期 =3×3+2 所以b2+4b+4+2-6c+9=0, =11. 所以(b+2)2+(c-3)2=0, 9.解：因为2x3+x2-13x+6 所以b+2=0,c-3=0, =2x3+x2-10x-3x+6 解得b=-2,c=3, =x(2a2+x-10)-3(x-2) 所以a=-2+4=2, =x(2x+5)(x-2)-3(x-2) 所以a+b+c =(x-2)(2x2+5x-3) =2+(-2)+3 =(x-2)(2x-1)(x+3), =3. 所以2x3+x2-13x+6的因式有(x-2),(2x-1),(x+ 三、解答题 3) 19.解：(1)原式=[a+2b+(2a-b)][a+2b-(2a-b)] 10.解：因为a2(b+c)=b2(a+c)=2024, =(3a+b)(3b-a); 所以2(b+c）-b2(a+c)=0, (2)原式=ab2(62-4b+4) 即a2b+a2c-ab2-b2c=0, =ab2(b-2)2. 整理，得ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, 20.解：(a+b)2+a(a+b)+b(a+b)+(b+a)2 所以(a-b)(ab+ac+bc）=0. =(a+b)(a+b+a+b+a+b) 因为a≠b,所以a-b≠0， =3(a+b)2. 所以ab+ac+bc=0,即ab+bc=-ac. 因为a+b=10, 因为6(a+c)=2024, 所以原式=3×102=300（种）. 所以b(ab+bc)=2024, 答：这座商贸大楼共有商品300种. 所以abc=-2024. 21.解：因为20242024-202422 二、填空题 =202422×(20242-1) 11.3(m+1)(m-1);12.9,3;13.(x-3); =20242×(2024+1)×(2024-1) 142+2x+1,(+1;15.-6:169 =202420m×2025×2023 =2023×2024"×2025, 17.(x+2)(x+8);18.3. 所以n=2022. 提示： 22.解：(1)原式=(m-2)(4x-3x) 16解：了方y =x(m-2）. 1 当x=1.5,m=6时，原式1.5×(6-2)=6. =-3x+y) (2)原式=(x-1)2+(2x+1)(x-1)+3(x+1)(x-1) =-3[(x+)2-2] =(x-1)(x-1+2x+1+3x+3) =3(x-1)(2x+1). =-号×(-5)×[2-2×(-5] 当x=-分时，原式=3×(-方-(-方×2+)=0 =亨x4=9 23.解：B-A=a2+a-7-a-2 17.解：因为(x+4)2=x2+8x+16, =a2-9=(a+3)(a-3). 所以b=16. 因为a>2,所以a+3>0. 因为(x+1)(x+9)=x2+10x+9, 当2<a<3时，a-3<0,此时A>B; 所以a=10, 当a=3时，a-3=0,此时A=B; 则x2+10x+16 当a>3时，a-3>0,此时A<B. =x2+(2+8)x+2×8 24.解：(1)图中的面积可以表示为 =(x+2)(x+8). (2a+b)(a+b)或2a2+3ab+b2: 18.解：因为a-b=4, 表示因式分解的等式为 所以a=b+4. 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) 因为ab+c2-6c+13=0, (2)图略.2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b). 所以b(b+4)+c2-6c+13=0, 所以这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b. -2 八年级数学湘教第1~5期 所以此长方形的周长为2(2a+b+a+2b)=6a+6b. 所以b+ac=11-30=-19. 25.解：(1)①25x2+10x-y2+1 8.解：因为边长为a,b的长方形周长为12，面积为5， =(25x2+10x+1)-y月 所以a+b=6,ab=5, =(5x+1)2-y2 所以(a+b)2=36, =(5x+1+y)(5x+1-y); 即a2+2ab+b2=36, ②x2-4y2+2x+4y 所以a2+62=36-2×5=26. =(x2-4y2）+(2x+4y) 则a3b+ab3=ab(a2+b) =(x+2y)(x-2y)+2(x+2y) =5×26 =(x+2y)(x-2y+2). =130. (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0, 9.解：将m2=4n+a与n2=4m+a相减，得 所以(a2-4ab+462)+(62-6b+9)+(2-10c+25)=0, m2-n2=4n-4m, 所以(a-2b)2+(b-3)2+(c-5)2=0, 即(m+n)(m-n)=-4(m-n), 所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0, 移项，合并同类项，得(m-n)(m+n+4)=0. 所以a=6,b=3,c=5. 因为m≠n,所以m-n≠0，所以m+n+4=0, 所以三角形ABC的周长为6+3+5=14. 即m+n=-4, 26.解：(1)提公因式法，2； 所以m2+2mn+n2=(m+n)2=(-4)2=16. (2)(1+x)225; 10.解：因为mn-2m-3n-20=0, (3)1+x+x(x+1）+x(x+1)2+…+x(x+1)9 所以m(n-2)-3n+6-6-20=0, =(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)-1] 所以m(n-2)-3(n-2)-26=0, =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)"-2] 所以(m-3)(n-2)=26. =…=(1+x)" 因为m,n均为正整数， 2期检测卷 所以m-3为不小于-2的整数， 一、选择题 n-2为不小于-1的整数. 题号12345678910 因为26=1×26或26=-1×(-26)或26=2×13或 答案AAC CCDD CA A 26=-2×(-13), 提示： 所以m-3=1或m-3=26。 5.解：3a(x2-1)-36(x2-1) ln-2=26ln-2=1 =(3a-3b)(x2-1) 或m-3=2或m-3=1B, =3(a-b)(x+1)(x-1), ln-2=13ln-2=2, 因为x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应六个字：青，学， 所以m+n=32或m+n=20, 我，数，爱，高， 所以m+n的最小值是20. 所以将3a(x2-1)-36(x2-1)因式分解，结果呈现的密 二、填空题 码信息可能是：我学高青。 11.x(x+y)(x-y);12.4;13.72;14.6: 6.解：对于A.x2+2x+1=(x+1)2,可以； 15令；16,4或-4：17.6：18-1012. 对于B.x2-2x+1=（x-1)2,可以； 提示： 对于C+2+1=(分+)，可以： 16.解：将题目中的两个式子相加，得 a2-ab+b2-ab=16, 对于D.2+1加上-子，无法构成完全平方式，故选D 即(a-b)2=16, 7.解：因为77x2-13x-30 所以a-b=±4. =(7x+a)(bx+c) 17.解：因为a2+2ab+b2=c2+24, =7bx2 abx +7cx ac, 所以(a+b)2=c2+24, 7bx2+(ab +7c)x+ac, 所以(a+b)2-c2=24, 所以7b=77,ab+7c=-13,ac=-30, 所以(a+b+c)(a+b-c)=24. 解得b=11, 因为a+b-c=4, 一3 八年级数学湘教第1~5期 所以a+b+c=24÷4=6, 23.解：(1)(2m+n)(m+2n); 即△ABC的周长为6. (2)由题意，得m+n=20÷2=10, 18解：由题意，得m2-7=之， 1 m2-n2=(m+n)(m-n)=40, 所以m-n=4, 即(m+(m-)=-方(m-. 所以m=7,n=3, 所以2m+n=17,m+2n=13, 因为m≠，所以m-≠0，所以m+2=一分 所以这张长方形纸板的面积为 所以m3-mn+n3=m·m2-mn+n·n (2m+n)(m+2n)=17×13=221(cm2). =m(+2024)-m+n(2m+202个 24.解：设另一个因式为(2x+n. 根据题意，得2x2+3x+k=（x-1)(2x+n). =2nn+2024m-m+2n+2024n 展开，得2x2+3x+k=2x2+(n-2)x-n. =2024(m+n) 所以-2=3解得=5， lk =-n, lk=-5. =2024×(-7)=-1012 所以另一个因式为(2x+5),k的值为-5. 三、解答题 25.解：(1)原式=x2-4x+4-1 19.解：(1)原式=(x-3)(x+2); =(x-2)2-1 (2)原式=9a2-6a+1-462 =(x-2+1)(x-2-1) =(3a-1)2-(2b)2 =(x-1)(x-3). =(3a-1+2b)(3a-1-2b). (2)原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 20.解：(n+7)2-(n-5)2 =(x2+2x-1)2-4 =(n+7+n-5)(n+7-n+5) =(x2+2x-1+2)(x2+2x-1-2) =(2n+2)×12 =(x2+2x+1)(x2+2x-3) =24(n+1). =(x+1)2(x-1)(x+3). 因为n为正整数，所以n+1为正整数， (3)原式=x+4x2+4-4x2 所以24(n+1)能被24整除， =(x2+2)2-(2x)2 即(n+7)2-(n-5)2能被24整除. =(x2+2+2x)(x2+2-2x). 21.解：(1)原式=40×(31.52-2×31.5×18.5+18.52) 26.解：(1)52+22. =40×(31.5-18.5)2 (2)k=13.理由如下： N=x2-6x+4y2+8y+k =40×169 =6760. =x2-6x+9-9+4y2+8y+4-4+ =(x-3)2+(2y+2)2+k-13. (2)原式=号×[(27)-(52] 因为N是“和数”， =寸×(2分+5号27分-5) 所以k-13=0, 解得k=13. =分×3x2 (3)因为m,n都是“和数”，设m=a2+2,n=2+d, 所以mn=(a2+b2)(c2+） =242. =a2c2+a2+b2c2+b 22.解：(1)(x-2); a c2+bd 2abed -2abed a'd +b2c2 (2)设x2+6x=y =(ac +bd)2+(ad-be)2, 原式=y(y+10)+25 所以mn也是“和数”. =y2+10y+25 3期2版 =(y+5)2 2.1.1分式的概念 =(x2+6x+5)2 1.D;2.D;3.4;4.-2. =[(x+1)(x+5)]2 =(x+1)2(x+5)2. 5.(0,252)300 a 一4 八年级数学湘教第1~5期 6解：(1)要使-±的值存在， 62-2 2a-b 4.解：a-b)(a-c)+(a-b)(a二 则2a-b≠0，即2a≠b, a2-c2 a+b =(a-b)(a-c) 所以当2a≠6时，-2a-2的值存在 =(a+c)(a-c) (a-b)(a-c) (2)要使+的值存在， =atc 则21x1+1≠0. a-b 因为21x1+1≥1， 当a=36-2e-1时碧光=+号=号 所以x为任意数21+的值都存在。 5解：根超题在，得兰日-地二=。 -U 2.1.2分式的基本性质 40 1.A;2.②④； 3.(1)2a2+2ab,(2)-a-b. 答：飞机比船舰先到390h 4解：(1)24a2:-4ah:60=-6a 2.2.2异分母分式的加减 -4ab 4ab 1.B;2.73.1. (2)2a3-6 2a2-ab 1 2a2b-ab2 6(2a2-ab)=b 4.解：(1)1-1 xx+2 5.解：(1)m+5m+6 m2-4 龙+2 x(x+2)x(x+2) =(m+2)(m+3) (m+2)(m-2) =龙+2-x x(x+2) =m+3 2 m-2 =2+2 当m=-3时只号=号=0 m-2 2子+ x2-2xy (2)y-4y+4 2(x-1) 2x =(x+1(x-1)+x+i =x(x-2y) xy(x-2y)2 2 2x = +i+x+ 1 -y(x-2y） =2(x+1) x+1 1 xy-2y2 =2. 当x=4,y=1时，1。 1 1 1 y-27=4x1-2×1下=2 ()+a++6(。++ 2.2.1同分母分式的加减 =1+6+1+a-a(1+b)+b(1+m) (1+a)(1+b)(1+a)(1+b) 1.D;2.1. 2+a+b a +b+2ab 3解：)22 1 =(1+a)(1+b)(1+a)(1+b 1 1 =2+a+6-a-b-2ab =2x-+2x- (1+a)(1+b) 2-2ab 2 =2x-T =I+a+b+ab (2)a-1-1 3期3,4版 a2-2aa2-2a 一、选择题 a-2 = 题号12345678910 a2-2a 答案BA CCCDBC AA a-2 =a(a-2) 提示： 1 3 =d 9.解：因为x2+x-3 A 5 八年级数学湘教第1~5期 A(x-3) 3(x-2) 1 =x-2)(x-3)+(x=2)(x-3) y3= 1 1 =2-x, =4(x-3)+3(x-2) x-2x-2 （x-2)(x-3) 1 1 =A+3)x-(3A+6) 4=1-(2-0=x-五 (x-2)(x-3) 所以这列式子的结果以十产二2-×为-个循环，反 2+3- 6x+B 复出现. 所以4±324=g-- 6x+B 因为2026÷3=675…1， (x-2)(x-3) 1 所以A+3=6, 所以y2s=1=x- 1-(3A+6)=B, 三、解答题 解得A3, LB=-15. 19解：1)要使号的值存在。 0因为+=1山， 则2x-3≠0，解得x≠之， 3 所以1+，+1+。+1+=14， 'x+y 所以当大子时，号的值在在 x+y+2++y+2+x+y+区=14， (2)要使6(x+3》的值存在， x+y y+z z+x 1x|-12 所以a+++,+4, 则1x1-12≠0，解得x≠±12， 所以1+11 14 (x+3的值存在 所以当x≠±12时，x-12 以x+y+y+:+z+xx+y+云 a-4ab2 而1+ 1+ 7 20.解。-4a6+4ab “x+yy+zz+x6 a(a2-4b2) 所以石 7 a(a2-4ab+4b2) =a(a+2b)(a-2b) 所以x+y+z=12. a(a-2b)2 二、填空题 =4+26 a-2b l212a≠6：13.2：4-6：5-4 当a=-2.6=宁时， 16. n0 17.12；18.1 m mn .x-1 1 1 提示： a+26 a-26 -2+2×立-2出 1 以解3+与己+8 -2-2×2 =-21=3 x2-9 4y 5x 2(x-3) 2(x+3) 2x+18 (x+3(x-3）-(x+3)(x-3)+(x+3)(x-3) = 21.解：(Dx+x-刀+7+- 4y 5x 2x+6 =(x+3)(x-3) =(x+y)(x-y)+(x+y)(x-)(x+)(x-) 4y+4x =x-3 =(x+y)(x-y） 由于x为整数，且原式为整数， 、4 x-Y 所以x-3=±1或±2， a-32a+4 所以x=4或2或5或1， 2+2。+8+2n+14+2 所以4+2+5+1=12. a(a-3) 2aa++a0+22a+2 = a+2 18解：因为=1 =2a品+-2 a-3 所以归= 1 1 1- =(a-3)(a+1)+2(a-3)-4(a+1)2 x-1x-1 2(a+1)2 —6 八年级数学湘教第1~5期 =-302-8a-13 2(a+1)2 所以原式=3×(，2)=5=-1 -2+6 4 22.解：因为abc=1, 26.解：(1)将等号右边通分，得 1 所以b+b+=ab+b+abe=a++e ac A B x+6+4-3x 1 A(4-3x)+B(x+6) be+c+l=a(be+e+1)=abe+ac+a=I+ac+a (x+6)(4-3x) 23.解：)-2×-4与2 2-4与，一2是一对整合分式.理由如 =-3A+B)x+(4A+6B) -3x2-14x+24 下： 11x 因为2-4+ -3x2-14x+24 2-4+x-2 所以3A+B=11, =-2-4x+2(x+2) l4A+6B=0, x2-4 x3-4x 解得1=-3， lB=2. x2-4 (2)在已知等式中取x=3,有C+D=6. =x, 所以2x-4与2 取x=1,有-C+D=4. 2-4与一2是一对整合分式 解6+D=6,得C= ②)答案不惟一如N=的后牛+尝 l-C+D=4,lD=5. a +b 4期2版 2解+若亚明如下 2.3.1分式的乘除 a3+63 1.A;2.D;3.20-36 2ab a3+(a-b) a2-16 2a (a+b)(a2-ab+b2)】 =[a+(a-b)][a2-a(a-b)+(a-b)] 4.解：0。-80+16+4a (a+b)(a2-ab+b2) =a+4)(a-4).2a =a+(a-b)](a2-ab+6) (a-4)2a(a+4) a +b =（a+4)(a-4).2a (a-4)2·a(a+4) a+(a-b) 25.解：(1)“方法二”中运用的分式的基本性质是分式的 2 a-4 分子与分母同时除以一个不等于0的整式，分式的值不变. x2-92 故答案为：分式的分子与分母同时除以一个不等于0的整 2+2+二3 x+y 式，分式的值不变 =x+3y)(x-3y.x+y (2)因为xy≠0， (x+y)2 x-3y 所以原式=(3x-5xy-3y)÷y =(x+3y)(x-3y）·(x+2 (x+6xy-y）÷y (x+y)2·(x-3y) =+3y x+y 1+6-工 y u-2 =(x+2)(x-2).1,1 x-2x-2 11+6 (x+2) y x (x+2)(x-2) 因为二”=2， =(x+2)(x-2)(x-2 xy 1 =x-2 所以-↓=2， x y 2.3.2分式的乘方及乘除混合运算 所以人、1 y元=-2， 1B:2宁 -7 八年级数学湘教第1~5期 3解：(2.g 2.4.3整数指数幂的基本性质 -8· 1D2-435 4.解：(1)m3÷(m4)2 =m3÷m8 8y3·x 三m3-(-8) =m3. (2)a262·（a2b-2)3 2()+() =a262·a66 =8y 器( =a2(-6).b2+6 =a8·b =8y.9x2(-2 16y·x2y 、93 (3)(2x3y2)2÷(x2y)3 3 1 1 2.4.1同底数幂的除法 =2x7)‘x) 1 1.C;2.D;3.2. =4y·xy 4.解：(1)(m4)2÷m 1 =m3÷m3 =4x y 三m8-3 =m. 4r7 4期3,4版 (2)(-ab)6÷(-ab)2÷(-ab) =ab÷a2b2÷(-ab) 一、选择题 =-a6-2-1·66-2-1 题号12345678910 =-a3b3 答案BDBDBBDB D C 5.解：因为43×8m1÷2m+7 提示： =22(m+3)×23(m+0÷24m+7 10.解：原式= 2a .(a-1)2(a+1)2 a-1(a+1)(a-1) 4a2 =22m+6X23咖3÷24m+7 2a2 .(a-1)2(a+1)2 =2m+2=16=24, =(a-1)产(a+1) 4a2 所以m+2=4, =a+1 2 解得m=2. 2.4.2零次幂和负整数指数幂 由于户生是正整数.(a-1a+)≠0，a≠0. 1B:2:3-琴：47 所以a为大于1的奇数描述最准确。 二、填空题 5.解：(1)3+(-2)°-17 1.<；122.8×10m;13.±(g+0；140 1 =9+1-17 =-7. 154,16-7.2:1814 2()+22 提示： =士+ 17.解：最后甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为29-2+ 2',29+2-(2+2）=29-2,5+(2+2)-2'=5+2. 2 因为一共有29+29+5=63（个）球，且最后三个袋子中 =2+4 的球的个数相同， 9 所以最后三个袋子中的球都是21个， 二4 所以29-2=21,5+2=21， —8 八年级数学湘教第1~5期 所以2=8,2=16， =x.+1 所以2-y=2÷2=16÷8=2. x-1x 18.解：因为大正方形的面积为49， +1 x-1 所以(a+b)2=49. 又因为a>b>0,所以a+b=7. 当=10时出8出号 因为中间小正方形的面积为1， 23.解：(1)因为(a")”=a, 所以(a-b)2=1, 所以am“=a, 所以(a+b)2-(a-b)2=48, 所以mn=6. 所以a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=48, 因为(a)2÷a=a3, 所以ab=12, 所以a2m=a23, 所以(0-6)s“÷(6a-6) 所以2m-n=3. (2)因为33·9m4÷272m-1=729, =(a2+b)(a-b)(a+b)·d+B‘6(a- ab 1 所以33·32m+8÷36m-3=36, =ab(a+b) 所以33+2+8-6m3=36, 6 所以3+2m+8-6m+3=6, =2×7 解得m=2. 6 24.解：原武=(a-合(a+(+子(d+)(a+) =14. 三、解答题 =a(a-a(a2+(c+(a+) 19.解：他的计算不对.正确过程如下： =a(a-c+(+) 64m÷16"×4 =(43)m÷(42)”×4 =a(a-(+） =43m÷42×4 =a(a6-) =43m-2n+1 20.解：依题意，得(3.6×104)÷(6×101)=(3.6÷6) =a-六 ×104-1=600(滴)， 25解：(1)根据题意，得(p+z)=a, 所以需要这种杀菌剂600÷15=40（毫升）. b(v甲-Uz)=a. 21解：1（会）÷(-) 所以仰=a+b, 26 =品() (2)因为里=4+b=7 为2=6-=3, =-62.64 9a6 所以a+6=子6-子， 2 =-3a26 所以号=， 2 所以号=号 2 -2x+32x-3》.(4-2)‘2x-3 1 a 2x-1 26 2×6 =2(2x+3) ab =4x+6. 2ab Fa+b÷6-a =2ab.b-4 atb ab -【别奇 =26-2a a +b =( 1 1 26.解：(1)因为x+3x+2=(x+2)(x+3 9 八年级数学湘教第1~5期 1 x+3×x+2=（x+2)（x3 检验：把x=头代入原方程，得左边=-4=右边， 4 1 1 1 x+3-x+2子x+2X、 因此x=号是原方程的解 所以分式，十2不是分式+3的“可存异分式” (2)方程两边同乘最简公分母x(x+1)(x-1),得 4(x-1)-3(x+1)=0. 故答案为：不是 解得x=7. (2)设4的可存异分式”为N, 4 3 检验：把x=7代人原方程，得左边=7+77之一70 则，4-N=产4×N, =右边， 所以（产4+xN=产4 因此x=7是原方程的解。 (3)方程两边同乘最简公分母3x-6,得 所以N=x之4(4+ 3(5x-4)=4x+10-(3x-6). 解得x=2. 4 2x-4 检验：把x=2代人原方程，方程两边的分式的分母都为0， =.x-4 这样的分式没有意义， x-42x-4 因此，x=2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解 x =2x-4 2.5.2分式方程与实际问题 1.D;2.C;3.B;4.200;5.甲. 故答案为：2x-4 6.解：设从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需 (3D因为分式号是分式A的可作异分式， 时间为x小时 根据题意，得30=2.8×530 所以4-号=A×牛号 x+3 3x+3 5 所以A1-)-0+号 2x+3 解得x=子 经检验，x=弓是原分式方程的解，且符合题意。 5 所以A= 号(1-别 答：从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间 2x+3.3x+3-2x-3 -3x+5 3x+3 为号小时 2x+3,3x+3 7.解：(1)设甲加工服装x件，乙加工服装y件， 3x+3 =2x+3 根据题意，得：+y=280, ly=2x-80, ②分式A的值为1,3,5. 解得120， 因为整数使得分式A的值是正整数，A=2红+3=2+ y=160. 所以甲加工服装120件，乙加工服装160件. 故答案为：120,160. (2)设乙每天加工服装m件， 所以x=1时，A=5;x=3时，A=3;x=-3时，A=1, 则甲每天加工服装(m-5)件 所以分式A的值是1,3,5. 5期2版 根据题意，得120=160 m-5=m 2.5.1分式方程及其解法 解得m=20. 1.B;2.C;3.4;4.2y2-3y+1=0: 经检验，m=20是原分式方程的解，且符合题意. 5.m≥3且m≠6. 答：乙每天加工服装20件 6.解：(1)方程两边同乘最简公分母(x-3)(x-2),得 8.解：(1)设乙图书每本价格为x元， x-2=-3(x-3). 则甲图书每本价格为2.5x元. 解得x=号 根据题意，得00-0=24 x2.5x -1023.(9分)已知A=a+2,B=a2+a-7,其中a>2,试比较 25.(10分)我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提 26.（10分)阅读下列因式分解的过程，再解答问题： A与B的大小、 公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法等 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 分组分解法： =(1+x)[1+x+x(x+1)] 例如：x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=(x-y)2-22 =(1+x)2(1+x) =(x-y+2)(x-y-2). =（1+x)3. (1)仿照以上方法分解因式： (1)上述分解因式的方法是 ,共用了次； ①25x2+10x-y2+1; (2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2024 ②x2-4y2+2x+4y 则结果是一； (2)已知a,b,c为三角形ABC的三边长，a2+5b2+c2-4ab-6b (3)依照上述方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+… 10c+34=0,求三角形ABC的周长 +x(x+1)”(n为正整数) 初中数学·湘教八年级同步达标检测卷 24.(9分)“以形释数”是利用数形结合思想说明代数问题的 种体现，利用图3中边长分别为a,b的正方形，以及长为a,宽为b的 长方形卡片若干张，拼成图4的长方形 (1)请用两种不同的整式表示图4的面积，写出一个表示因式 分解的等式； 初中数学·湘教八年级同步达标检测卷 (2)利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求 出此长方形的周长（用含a,b的代数式表示） 参考答案见3期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话， 2025年7月2日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话， 数评橘 第 1 期总第1145期 (湘教八年级) 0351-5271248 数理报2025~2026学年 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F 《做学湘教八年级》 入门向导贴 三、认清因式分解的结果 因式分解是初中数学 第一学期编辑计划 学习因式分 因式分解的结果是几个整式的积的形式，的重要知识，同时它也是 不是部分的积，也不是积的和；因式要为整式种重要的数学模型，与因式 第1期1.1多项式 例如：x2-3x+2=x(x-3)+2,这种变形只对分解有关的题型颇多，现撷 名师点晴 的因式分解；1.2提公因 四认清 前面两项进行了分解，最后的结果是和的形式，取几例加以分析说明，供同 式法；1.3公式法 ⊙湖南江毅 这不是因式分解；ab+bc+ac =学们学习时参考. 第2期《因式分 因式分解是初中数学中的一种重要的恒等 ac个++》，后面的式子的分中出现了 一、简便运算 变形，指的是把一个多项式表示成若干个整式的 解》章节检测 例1计算1252-50 积的形式正确理解因式分解的概念是进行因式 字母，不是整式，因而不是因式分解 ×125+252的结果为 第3期2.1分式的 分解的前提和基础同学们在学习这一知识时，要 四、认清因式分解的特殊要求 概念及基本性质；2.2分 认清以下几点. 因式分解应分解到不能再分解为止，相同的 因式分解大秀 A.100 B.150 式的加法和减法 一、认清因式分解与整式乘法的关系 因式要写成幂的形式，每一个因式要尽量化简.例 C.10000 D.22500 第4期2.3分式的 因式分解是和差化积，整式乘法是积化和 如：a-64a=a(a2-64)这个分解就不彻底，因 解：原式=1252-2× 湖南 为a2-64还可以再分解为(a+8)(a-8). 乘法和除法；2.4整数指 差，是两种互逆的恒等变形的过程，所以，因式 25×125+252 李 分解的结果是否正确，可以用整式乘法来检验. 下列从左到右的变形中，属于因式分 =(125-25)2 数幂 如(a+1)(a-1)=a2-1就是整式的乘法，而解的是 =1002=10000 第5期2.5可化为 a2-1=(a+1)(a-1)就是因式分解 A.(x+2y)2=x2+4x+4y 故选C. 元一次方程的分式方 二、认清因式分解的对象 B.-18xy3=-6x2y2·3x2y 二、解决整除问题 因式分解的对象不仅要是整式，而且还必 C.x(2x-y)+2y(2x-y)=(2x-y)(x+2y) 例2 对于任意整数m,多项式(4m+5) D.x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1 第6期《分式》章 须是多项式，如果不是多项式也就谈不上因式 9都能 分解，例如：xx=x·y·y·z就不是因式分解， 分析：根据因式分解的意义求解 节检测 A.被8整除 B.被m整除 这是因为x)z是单项式，它本身就是整式的积的 解：选项A中，等式从左到右的变形属于整 C.被(m-1)整除 D.被(2m-1)整除 第7期3.1二次根 式的乘法；选项B中，等式左边是单项式，不能因 解：原式=(4m+5)2-32 式的概念及性质；3.2 形式再例如：a-方= b (ab-1)也不是因式 式分解；选项C中，等式左边是多项式，等式右边】 =(4m+8)(4m+2) 次根式的乘法和除法 是整式的积，属于因式分解；选项D中，等式右边 分解，这是因为a- 不是整式 =8(m+2)(2m+1) b 不是积的形式.故选C 第8期3.3二次根 因为m是整数，而(m+2)和(2m+1)都是 式的加法和减法 品味方法 用完全平方公式分解，仔细观察多项式会发现各 随着m的变化而变化的数， 第9期 《二次根 项含有公因式2x,所以应先提取公因式提取公因 所以该多项式一定能被8整除 故选A. 式》章节检测 因式分解之 式后，第一项为m2,第三项可变为32，第二项可变 三、求代数式的值 第10期期中复习 +方法指 为(-2m×3),符合完全平方公式的特征 解：原式=2x(m2-2m×3+32)=2x(m-3)2 例3 已知a2+ =2a-b-2,则3a 第11期4.1认识 四、因式分解后的某一因式含有公因式或符 三角形；4.2命题与证明 @江西卢芳 合公式时，应想到继续进行分解，直到每个因式不 2b的值为 第12期 4.3全等 因式分解的方法有提公因式法、公式法等， 能再分解为止 A.4 B.2 同学们在因式分解时往往会使用多种方法相结 三角形 合在因式分解时，应根据所给多项式的结构特 例4因式分解：(a2+4)2-16a2 C.-2 D.-4 第13期4.4尺规 征，确定分解方法以及使用顺序，做到目的明 分析：所给多项式是平方差的形式，可用平方 解：因为d2+8=2a-6-2, 作图：4.5等腰三角形 确、思路清晰、方法恰当. 差公式分解为(a2+4+4a)(a2+4-4a),发现每个 第14期《三角形》 一、当多项式的各项含有公因式时，应想到 因式又都符合完全平方公式，所以可运用完全平方 所以。2-2a+1+子8+6+1=0 章节检测 用提公因式法 公式进行二次分解 例1因式分解：6xy-12x2+3xy 解：原式=(a2+4)2-(4a)2 所以(a-1)2+(26+)=0 第15期5.1直角 三角形的性质定理 分析：所给多项式的公因式为3xy,运用提 =(a2+4+4a)(a2+4-4a) =(a+2)2(a-2)2. 所以a-1=0,26+1=0, 公因式法分解即可. 第16期5.2勾股 所以a=1,b=-2. 解：原式=3xy(2x2-4y+1) 五、当多项式不能直接分解时，应想到先进 定理及其逆定理 二、当多项式为二项式，且每一项都有平方 行整理变形，再分解 所以3a- =3+1=4 第17期5.3直角 的形式时，应想到用平方差公式 例5把多项式(a+b)(a+4b)-9ab分解 故选A 三角形全等的判定； 例2分解因式：m2n-4n= 因式正确的是 5.4角平分线的性质 分析：所给多项式为二项式，可用到平方差 A.(a-2b)2 B.(a+2b)2 C.(a-3b)2 D.ab(a+3)(a-3) 因式分解 第18期《直角三 公式分解.但由于各项含有公因式，所以先提 角形》章节检测 取公因式再进行分解 分析：所给多项式既没有公因式，也不能用 解：原式=n(m2-4)=n(m+2)(m-2). 公式法分解，所以应想到先对多项式进行整理， 决 第1926期巩固 故填n(m+2)(m-2). 然后再分解因式 因式分解并不难，分解方法要记全 提高（合刊） 各项若有公因式，首先提出莫迟缓： 三、当多项式为三项式，且其中两项含有平 解：原式=a2+5ab+4b2-9ab 各项若无公因式，乘法公式看一看 方的形式时，应想到用完全平方公式 =a2-4ab+4b 以上方法若不行，分组分解做试验： 例3因式分解：2xm2-12xm+18x =(a-2b)2. 因式分解若不完，继续分解到完全 分析：因为所给多项式为三项式，所以考虑到 故选A. 2 素养专练 数理招 1.1多项式的因式分解 (3)(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a). 任务： 1.对于①(x+1)(x-1)=x2-1,②x-2xy (1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并 =x(1-2y),从左到右的变形，表述正确的是 帮助他指出错误的原因； (2)请尝试写出正确的因式分解过程 A.都是乘法运算 B.都是因式分解 C.①是乘法运算，②是因式分解 D.①是因式分解，②是乘法运算 1.3.1公式法（平方差公式） 2.下列各式从左到右的变形属于因式分解的 1.将多项式d3-16a进行因式分解的结果是 是 ( A.(x-2)(x+3)=x2+5x+6 A.a(a+4)(a-4) B.(a-4)2 B.10xy=2x·5y C.a(a-16) D.(a+4)(a-4) C.x2+2x+1=x(x+2)+1 2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的 D.x2-9=(x-3)(x+3) ( 3.如果多项式x2-3x+n分解因式得(x- A.x2+4y2 B.x2+2x-1 1)(x+m),那么m= ,n= C.-x2-4y2 D.-x2+4y2 4.检验下列因式分解是否正确 3.已知42-1可以被10到20之间的某两个 1.3.2公式法（完全平方公式） (1)3x2-6x=3x(x-2); 整数整除，则这两个数是 1.运用因式分解计算：1252-50×125+252 A.12,14 B.13,15 () C.14,16 D.15,17 A.100 B.150 4.分解因式：x2+x2-x-1= C.10000 D.22500 5.分解因式： 2.若a+b=2,ab=-2,则整式a3b+2a22 (1)x2-25y2: +ab3的值为 (2)x2-3x+2=(x+1)(x-2); 3.分解因式：4m2-4m-4n2+1= 4.分解因式： (1)4a2+12ab+9%2; (3)9-4x2=(3+2x)(3-2x). (2)a2(x-y)+b2(y-x): (2)4(x-2)(x+3)+25; 1.2提公因式法 1.已知a+b=3,ab=2,则a2b+ab2的值为 () (3)x4-81. A.5 B.6 C.9 D.10 (3)-ab+2a3b-ab. 2.因式分解：xy2-2xy= 3.已知a+36=0,则a3+3a2b-2a-6b- 5的值为 4.分解因式： (1)3a-21: 5.已知x+2x=3y,试判断x2-9y2+4:2+4xz 的值是不是定值.如果是定值，求出它的值；如果 6.因式分解(3x+y)2-(x+3y)2.小禾因式 不是定值，请说明理由 分解后，通过代入特殊值检验时，发现左、右两边 的值不相等.下面是他的解答和检验过程，请认真 (2)3x2-6x+12xy; 阅读并完成相应的任务 小禾的检验： 小禾的解法： 当x=0,y=1时， (3x+yP-(x+3y)2 =(3x+y+x+3y)(3x+y-x+3y)① (3x+y)2-(x+3y28(x+y)(x+2y)） =12-32 =8×1×2 =(4x+4y)(2x+4y) ② =1-9 =16. =8(x+y)(x+2y） =-8. 因为-8≠16， 数理报社试题研究中心 所以分解因式错误 参考答案见3期 10.若a2(b+c)=b2(a+c)=2024,a≠b,则abc的值为 20.(6分)某商贸大楼共有四层，如果第一层有商品(a+b)2 1.1~1.3同步达标检测卷 ( 种，第二层有商品a(a+b)种，第三层有商品b(a+b)种，第四层有 A.2024 B.1012 商品(b+a)2种，且a+b=10,那么这座商贸大楼共有商品多少种？ ◆数理报社试题研究中心 C.-2024 D.2025 (答题时长120分钟，满分120分) 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）】 11.因式分解：3m2-3= 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.多项式8x2-4x中各项的公因式是 12.若x2-6x+m因式分解的结果是(x-n)2,则m= A.4 B.2x-1 ,n= 13.如果一个长方形的面积为(x2-9)m2,它的长为(x+3)m, C.4x D.4x-1 m 2.多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是 ( 那么它的宽为 A.m+2 B.m-2 14.如图2，观察下列拼图过程，写出相应的关系式： C.m+4 D.m-4 3.多项式m2-4m+4因式分解的结果是 21.(8分)若20242024-2024202=2023×2024"×2025，求 ( n的值 A.m(m-4)+4 B.(m+2)(m-2) 1 C.(m+2)2 D.(m-2)2 图2 初 4.下列从左到右是因式分解且正确的是 中数学 A.x2-4=(x-2)2 15.若多项式ax2+bx+c可以因式分解为(x-1)(x-2),则abc B.(x+1)2=x2+2x+1 的值为 初中数学· C.x2-4-4x=(x+2)(x-2)-4x 16已知x+y=2y=-5,则-分-分y 湘教八年 D.xy +x=x(y +1) 17.甲、乙两人在对x2+ax+b进行因式分解时，甲看错了a,得 5.已知x,y为任意有理数，记M=x2+y2,V=2xy,则M与N的 到的结果为(x+4)2;乙看错了b,得到的结果为(x+1)(x+9),则 级 大小关系为 ( 同 x2+ax+b因式分解的正确结果为 步 A.M>N B.M≥N 18.已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,则a+b+c的值为 22.(8分)先化简，再求值： C.M≤N D.不能确定 (1)4x(m-2)+3x(2-m),其中x=1.5,m=6; 6.关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解 三、解答题（本题共8小题，共66分） 湘教八年级同步达标检测卷 卷 因式，则a的值是 19.(6分)把下列多项式因式分解： A.-6 B.±6 (1)(a+2b)2-(2a-b)2; C.12 D.±12 7.如图1，有一张边长为b的正方形纸板，在它 的四角各剪去边长为a的正方形.然后将四周突出 的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示 其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为( A.(b-2a)(b-6a) B.(b-2a)(b-3a) (2)ab4-4ab3+4ab2; (2)(x-1)2+(2x+1)(x-1)+3x2-3,其中x=-。 C.(b-a)(b-5a) D.(b-2a)2 8.已知a-b=3,则a2-b2-6b+2的值为 A.11 B.25 C.26 D.37 9.下列是2x3+x2-13x+6的因式的是 A.x+2 B.x-3 C.2x-1 D.2x+1