第二十一章 圆（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北京版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十一章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 3．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 4．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出的度数，根据切线的性质得出，，然后根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴． 5．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 6．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质得出 ，由点 、 运动速度相同得出 ，结合三角形外角性质推导． 【详解】解：如图，五边形 是正五边形 ， ∴， 点、分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动， ， ∴， ∴． 7．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（     ） A．① B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，可判断①结论；过点作交于点，结合角平分线的性质，可判断②结论；利用三角形的面积公式，求出的长，进而根据可判断③结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，①结论正确； ∴， 如图，过点作交于点， 平分，， ， 是的半径， 与直线相切，②结论正确； ， ， ， ， ， ，③结论正确， 即正确的结论有①②③． 8．（2026·湖北武汉·二模）如图，以的边为直径画半圆O，分别与边，交于D，E两点，，．若点D是的中点，则的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】连接，，证明，根据相似三角形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据勾股定理依次求出，，即可求解． 【详解】解∶∵．点D是的中点， ∴， 连接，， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即 解得（负值舍去）， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 【答案】5 【分析】已知直角三角形两条直角边长，直角三角形外接圆的直径等于斜边长，先由勾股定理求出斜边长，再计算半径即可． 【详解】解：设两条直角边分别为，，斜边为． 由勾股定理得：． ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆直径为， ∴外接圆半径为． 10．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 【答案】 【分析】连接、，设与相交于O，先根据正方形的性质得到，， ，再根据90度的圆周角所对的弦是直径得到，是的直径，点O为圆心，进而利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接、，设与相交于O， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∵正方形是的内接四边形， ∴，是的直径，点O为圆心， ∵的半径为3， ∴弧的长为． 11．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 12．（2026·上海虹口·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 【答案】 【分析】根据正多边形内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为， 设正六边形的边长为， ∴ ， 解得． 则正六边形的边长为3． 13．（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，切线的性质，根据切线的性质得到的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 【答案】或 【分析】根据圆与轴相切的性质可知圆心纵坐标的绝对值等于半径，结合抛物线解析式及取值范围求解即可． 【详解】解：∵的半径为3，且与轴相切 ∴圆心的纵坐标为3或 当时，代入得， 解得， 即， ∴点的坐标为或， 当时，代入得， 整理得， ∴此方程无实数解， 综上所述：点的坐标为或． 16．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的轨迹，再求出点到的距离，从而得到点到距离的取值范围，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点在半径为4的上， ∴， ∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 设点到的距离为， ∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，在的内接四边形中，是直径，过点D的切线与直线交于点P，，连接，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 根据圆内接四边形对角互补可得．··············5分 18．（5分）（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1) ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，        ∴为的中点； (2) 【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定理，进行解答，即可． （1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线是性质，可得， 根据垂径定理，即可； （2）根据三角形的中位线，则，根据，求出，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，        ∴为的中点；·············2分 （2）解：为的中点，为的中点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴．·············5分 19．（6分）（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． (1)画出线段； (2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题考查旋转变换的作图与圆的基本作图． （1）利用旋转的性质(对应点到旋转中心的距离相等、旋转角为)，确定点、绕点逆时针旋转后的对应点、，进而画出线段； （2）先确定的中点作为圆心，以长度的一半为半径画圆，可借助平行四边形的对角线互相平分性质． 【详解】(1) 如图，线段即为所求； ·············3分 (2) 如图，即为所求． ·············6分 20．（6分）（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ；·············3分 （2）证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线．·············6分 21．（6分）（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米；·············3分 （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施．·············6分 22．（8分）（2026·山东潍坊·三模）已知为直角三角形且，点是边上一点． (1)如图1，以为半径的与直线相切于点，与相交于点，若，． ①求的半径； ②求线段的长； (2)若以为半径的与直线相切，请在图2中使用尺规作图作出，并证明． 【答案】(1)①；② (2)解：如图，作的角平分线与交于点，则即为所求； 证明：如图，过作于点， 平分，， ， 为半径， 为圆的半径， 是的切线． 【分析】（1）利用切线性质构造直角三角形，再结合建立关于半径的方程求解；利用以及，求出从而求出的长； （2）通过作的角平分线确定的圆心以及半径，进而作出并证明． 【详解】（1）解：①连接， 设半径为，则，， 与直线相切于点， ， ， ；·············2分 ②由①得， ， 在中，， 设，， 则， ， ∴．·············5分 （2）解：如图，作的角平分线与交于点，则即为所求； 证明：如图，过作于点， 平分，， ， 为半径， 为圆的半径， 是的切线．·············8分 23．（8分）（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得．·············4分 （2）两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即．·············8分 24．（8分）（2026年北京市朝阳区中考考前模拟模拟数学试卷）如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明：，， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； (2) 【分析】（1）先由、为直径推出垂直，再结合垂直平分得到，通过内错角角相等证明，得出垂直于直径，从而证明为圆的切线； （2）先根据垂直平分条件结合证明四边形是菱形得到，算出长度，在直角三角形中利用勾股定理求出半径，再在中利用勾股定理算出长，利用与相等，结合余弦定义求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线；·············3分 （2）解：如图，连接， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 与互相垂直平分， 四边形是菱形， ， ，， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ．·············8分 25．（10分）（2026·北京·模拟预测）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上的一点，且． (1)如图1，求证：为的切线： (2)如图2，连接、、，G为的中点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ， ； D是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，证明即可； （2）连接，过点G作于点H， 设的半径为，根据勾股定理，可得，可得的半径，证明，可得，求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ； D是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为的切线；·············4分 （2）解：连接，过点G作于点H，则， 由（1）得， ，， ， ， G为的中点， ， ， 设的半径为， ，，， 根据勾股定理，得， ， ， 解得，·············7分 ， ， ， ，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得．·············10分 26．（10分）（25-26八年级下·北京海淀·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内半点”． (1)当的半径为4时， ①在点，，中，是的“内半点”的是 ； ②已知一次函数，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； (2)已知点，的半径为6，若线段上存在的“内半点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)m的取值范围为或 【分析】先明确“内半点”的判定条件：若点是的内半点，则首先在内，其次满足（为半径），即的范围是． （1）①计算每个点到圆心的距离，判断是否落在区间内，符合的即为内半点； ②先确定一次函数过定点，再结合“内半点”的范围，得到直线上第二象限的点到的距离需满足，据此找到边界临界情况：一是直线上的点到的最小距离，二是直线与轴交点的纵坐标满足限制，联立求解的范围． （2）由，得到，因为的半径为6，设点P为的“内半点”，所以．当点M在x轴的负半轴时，，令，令；当点M在x轴的正半轴时，，令，令．分情况讨论． 【详解】（1）解：①设点P为的“内半点”， ∵的半径为4， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的“内半点”的有：． 故答案为：；·············2分 ②∵一次函数， ∴令，则，令，则， ∴一次函数与x轴交于点，与y轴交于点， 当时，一次函数在第二象限的图象为从A向左上方延伸的射线，不可能所有点都是的“内半点”，不合题意； 当时，一次函数在第二象限的图象为线段，如图， 过点O作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”， ∴， ∴， ∴． ∴k的取值范围为．·············6分 （2）解：∵， ∴， ∵的半径为6，设点P为的“内半点”， ∴， ①当点M在x轴的负半轴时，，令，如图， ∵， ∴， ∴， 令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴． ②当点M在x轴的正半轴时，，令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∴； 令，如图， ∵， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴． 综上，若线段上存在的“内半点”，m的取值范围为或．·············10分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十一章圆基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 6 8 B A A B B B C A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9.5 1.经 11.①②③ 12.3 13.30°130度 14.35°135度 15.(22,3)或-22,3) 16. 6≤SARMC≤18 三、解答题（共10小题，共72分） 17.(5分) 【答案】∠BCD=115° 【详解】解：，PD是⊙O的切线， .OD⊥DP,即∠ODP=90° :∠ADP=25°， ∴.∠AD0=LODP-∠ADP=90°-25°=65° .OD=OA, ∴.∠OAD=∠AD0=65° 根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD=180°-∠0AD=180°-65°=115°.5分 18.(5分) 【答案】(1) 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AB是⊙O的直径， .∠C=90°， OD‖AC, ∴.∠0EB=∠C=90°， OD⊥BC, .BE=CE, :.E为BC的中点： (2)8 【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定 理，进行解答，即可 (1)根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=90°，根据平行线是性质，可得∠0EB=∠C=90°，根据 垂径定理，即可： (②)根据三角形的中位线，则0E-4C=3,根稀OB=OD=OB+DE,求出OB,根据勾股定理求出 BE,即可 【详解】(1)，AB是⊙0的直径， ∴∠C=90°， ..ODII AC. .∠0EB=∠C=90°， .OD⊥BC, .BE=CE, .E为BC的中点；…2分 (2)解：E为BC的中点，O为AB的中点， o-4c=3 .OB=OD=OE+DE. ..OB=OD=5. 在Rt△BEO中，BO2=BE2+OE2, 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .52=BE2+32, .BE=4, .BC=8.5分 19.(6分) 【答案】(I) 如图，线段DE即为所求： E 3 (2) 如图，⊙0即为所求 【分析】本题考查旋转变换的作图与圆的基本作图. (1)利用旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等、旋转角为90°），确定点B、C绕点A逆时针旋转 90°后的对应点D、E,进而画出线段DE: (2)先确定DE的中点作为圆心，以DE长度的一半为半径画圆，可借助平行四边形的对角线互相平分 性质 【详解】() 如图，线段DE即为所求： 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D …3分 C B (2) 如图，⊙0即为所求. 0 …6分 B 20.(6分) 【答案】(I)∠DCB=20 (②)证明：如图所示，连接OD, E B C .DE⊥CB ∠E=90° ∴∠CDE=90°-∠DCE=90°-20°=70°」 BD=BD ∴.∠DAB=∠DCE=20° .OA=OD ∴.∠ODA=∠OAD=20° ∴.∠ODC=∠ADC-∠AD0=40°-20°=20° 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ODE=∠ODC+∠CDE=20°+70°=90°，即OD⊥DE, 又：OD是⊙0的半径， .DE是⊙O的切线. 【分析】(I)连接AD,根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADC的度数，再根据等弧所对的圆周角相等 得到∠DAC=∠DCA,据此可求出∠DCA的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB的度数，据 此可得答案： (2)连接OD,根据(1)所求可得∠CDE,∠DAB的度数，则可求出∠ODA的度数，再求出∠ODC的度 数，进而求出∠ODE的度数，再由切线的判定定理可证明结论. 【详解】(1)解：如图所示，连接AD, AC=AC ∠ABC=40° D ∴∠ADC=∠ABC=40° .AD=CD .∠DCA=∠DAC=180-∠ADC=180°-40 =70° 2 2 :AB是OO的直径， .∠ACB=90°， ∠DCB=∠ACB-∠DCA=90°-70°=20°：3分 (2)证明：如图所示，连接OD, D B .DE⊥CB ∠E=90°， ∴.∠CDE=90°-∠DCE=90°-20°=70° 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=BD. ∴.∠DAB=∠DCE=20° OA=OD .∠ODA=∠OAD=20°， ∴.∠ODC=∠ADC-∠AD0=40°-20°=20° ∴.∠ODE=∠ODC+∠CDE=20°+70°=90°，即OD⊥DE, 又：OD是⊙0的半径， ∴.DE⊙O 是 的切线.…6分 21.(6分) 【答案】(1)34米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】(I)连接OA,利用r表示出OD的长，在RtAAOD中根据勾股定理求出r的值即可： (2)连接OA',在Rt△M'EO中，由勾股定理得出A'E的长，进而可得出AB的长. 【详解】(1)解：连接OA, A B 由题意得：4AD=4B=30米，OD=-1图米。 2 在RtAD0 2=302+r-18)2 中，有 解得=34 米3分 (2)解：连接0A'. :OE=OP-PE=30米， 在R△AE0中，E=V0-0E=16(米)， .AB=32 米 .AB=32>30 .不需要采取紧急措施。…6分 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(8分) 【答案】(1)①r=3:②AC=6 (2)解：如图，作∠BAC的角平分线与BC交于点O,则⊙O即为所求； M B 图2 证明：如图，过O作OM⊥AB于点M, :A0平分∠BAC,∠C=∠AM0=90°， ..OC=OM, OC为半径， ∴.OM为圆O的半径， .AB是⊙O的切线。 3 【分析】(4)利用切线性质构造直角三角形，再结合sinB=亏建立关于半径的方程求解：利用R△BC 以及sinB=3 ,求出tanB从而求出AC的长： (2)通过作∠BAC的角平分线确定O0的圆心以及半径，进而作出⊙0并证明. 【详解】(1)解：①连接OD, D B 设半径为r,则OD=OE=r,OB=OE+BE=r+2, :⊙O与直线AB相切于点D, ∠ODB=90°， 7/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.sinB= OD r 3 OB r+25: r=3; …2分 ②由①得r=3, ∴.BC=OC+OB=8, 在RIAABC中，snB=4C=3 设AC=3k,AB=5k, 则BC=VAB-AC=4k :tan B=4C_3k3 BC 4k 4' ☑C=BC-tanB=8x365 4 (2)解：如图，作∠BAC的角平分线与BC交于点O,则⊙O即为所求： M B 图2 证明：如图，过O作OM⊥AB于点M, :AO平分∠BAC,∠C=∠AMO=90°， ..OC=OM, :OC为半径， ∴.OM为圆O的半径， ∴AB⊙O 是的切线.…8分 23.(8分) 【答案】（①r= ab a+b+c 8/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的 ab a+b-c 理由：要证明a+b+c 2, (a+b+c)(a+b-c)=2ab 只需证 即n证(a+b-c2=2ab 故只需证a2+2ab+b2-c2=2ab, 故即证a2+b2=c2, 又：△ABC为直角三角形，由勾股定理显然有a2+b2=c2, ab a+b-c “原等式成立，即a+b+c2 【分析】(1)按照题目要求求解即可. (2)利用勾股定理证明两式相等即可. 【详解】(1) 如图，连接OF,OD,OE, ,⊙O为△ABC的内切圆，且点D、E、F分别为切点， .OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB, -Sme=8ae+5ae+SwBcD0+4C-0E+4B-f0, 1 1 2 2c, 1 ∴2ab=(a+b+cr, 2 9/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ab 解得r= a+b+c' …4分 (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的. ab a+b-c 理由：要证明a+b+c2 a+b+c)(a+b-c)=2ab 只需证 即i证（a+b}-c2=-2ab 故只需证a2+2ab+b2-c2=2ab, 故即证a2+b2=c2, 又：△ABC为直角三角形，由勾股定理显然有a2+b2=c2, ab a+b-c 原等式成立，即a+b+c 2 …8分 24.(8分) 【答案】(I)证明：：AC=BC,AO=BO, CO⊥AB, .∠COB=90° DF垂直平分AC, ..DA=DC, ∴∠DAC=∠DCA. ∠DCA=∠OCA, ∠DAC=∠OCA, .AD∥OC, ∴.∠DAB=∠COB=90°， AD⊥AB, :AB是⊙O的直径， .AD是⊙O的切线： 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30 (2)6 【分析】(I)先由AC=BC、AB为直径推出CO垂直AB,再结合DF垂直平分AC得到DA=DC,通 过内错角角相等证明AD‖OC,得出AD垂直于直径AB,从而证明AD为圆的切线： (2)先根据垂直平分条件结合ASA证明四边形ADCF是菱形得到CF=CD=6,算出OC长度，在直角 三角形AOF中利用勾股定理求出半径AO,再在Rt△AOC中利用勾股定理算出AC长，利用∠DAC与 ∠ACO相等，结合余弦定义求解即可. 【详解】(1)证明：AC=BC,AO=BO, .CO⊥AB .∠C0B=90°. :DF垂直平分AC, ..DA=DC, ∠DAC=∠DCA, :∠DCA=∠OCA, ∴.∠DAC=∠OCA, ∴.AD∥OC .∠DAB=∠COB=90°， AD⊥AB AB是⊙O的直径， AD⊙O 是的切线；3分 (2)解：如图，连接AF, 垂直平分 B DE AC ∠CED=∠CEF=∠AED=90°，AE=CE, 在AAED和aCEF中， 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAE=∠FCE AE=CE ∠AED=∠CEF' ∴.△AED≌aCEF(ASA) ..DE=FE, .DF与AC互相垂直平分， 四边形ADCF是菱形， :.AF=CF=AD=DC, CD=6,OF=4, .AF=CF=CD=6. ∴.CO=CF+FO=10 在RtAAOF中，AF=6,OF=4, A0=VAF2-0F2=2N5 在RaM0C中，40=2W5.C0=10 .AC=VA02+C02=2N30 cos∠DAC=cos∠AC0=C0=10=V30 AC2√306.…8分 25.(10分) 【答案】()证明：连接OC,OD, .OC=OD .∠OCD=∠ODC: “D是B的中点， .AD=BD :∠A0D=∠B0D=180°x1=90 2 12/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OED+∠ODC=90° LOED=∠FEC,∠OCD=∠ODC, ∴.∠FEC+∠OCD=90°， CF=EF. ∴.∠FEC=∠FCE, .∠FCE+∠OCD=90°， D F B E ∴.∠FC0=90° ∴.CF为⊙O的切线： 65 (2)5 【分析】(1)连接OC,OD,证明∠OED+∠ODC=90°，可得∠FCE+∠OCD=90°，证明即可： (2)连接AD,OD,过点G作GH⊥AB于点H,设⊙0的半径为x,根据勾股定理，可得 BE BC AH+GH=AG,可得OO的半径，证明ABCE∽ADAE,可得DE=AD,求解即可. 【详解】(1)证明：连接OC,OD, OC=OD. .∠OCD=∠ODC: “D是B的中点， .AD=BD =90° ÷∠A0D=∠B0D=180×2 ∴.∠OED+∠ODC=90° 13/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :LOED=∠FEC.∠OCD=∠ODC, ∴.∠FEC+∠OCD=90°」 .CF=EF, .∠FEC=∠FCE, ∠FCE+∠OCD=90°， F B ∴.∠FC0=90° ∴.C℉⊙O 为的切线：…4分 (2)解：连接AD,OD,过点G作GH⊥AB于点H则∠AHG=90°， F B HE O 由(1)得∠AOD=90°， .AD=VOD2+OA=V2OA∠AHG=∠AOD ∴.GH OD BG BH GD HO G为BD的中点， ..BG=GD. ∴.BH=HO, .GH-1OD 2 14/19 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设⊙0的半径为x, 0m-,m=0-08-,M-B-服=2x 2 2t, 根据勾股定理，得AH2+GH2=AG, 4G=30 2, Gj 解得x=3,…7分 ..OB=OA=OD=3. :4AD=VOA+0D2=V32+32=3V2 OE=1, .AE=OE+OA=1+3=4,BE=OB-OE=3-1=2, 在RIADOE中，DE=VOE2+OD=P+3-Vi0 .∠DAE=∠BCE,∠ADE=∠CBE, ∴，△BCEADAE, BE BC .DE AD' 2 BC .1032, c.626N5 解得 V105.…10分 26.(10分) k1 【答案】四0BB:②3 (2)m的取值范围为 35<m<2-25或22<m<2+35 15/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先明确“内半点”的判定条件：若点P是⊙M的内半点，则首先P在⊙M内，其次满足2MP>r Cr为⊙M半径)，即MP的范围是2<MP<r. (山)①计算每个点到圆心O的距离，判断是否落在24) 区间内，符合的即为内半点： ②先确定一次函数y=x+4k过定点(-4,0)，再结合“内半点”的MP范围，得到直线上第二象限的点到 0的距离需满足2<OP<4,据此找到边界临界情况：一是直线上的点到O的最小距离≥2，二是直线与 y轴交点的纵坐标满足限制，联立求解k的范围， M(m,0)B0-C(2,-）,得到OM=m,oB=bBC=2 (2)由 ,因为OM的半径为6，设点P为 ⊙M的“内半点”，所以3<MP<6.当点M在x轴的负半轴时，m<0,令MB=6,令MC=3:当点M 在x轴的正半轴时，m>0,令MC=6,令MB=3.分情况讨论. 【详解】(1)解：①设点P为⊙O的“内半点”， :⊙0的半径为4， .2<OP<4, ￡(-2,0).B(52).B(1,5) OP=2,OP=5,OP=6 :是⊙0 B:P 的“内半点”的有： B P 故答案为： :…2分 ②：一次函数y=c+4h. ∴令x=0,则y=4,令y=0,则x=4, 小一次函数=红+与轴交于点1(4,0)，与y轴交于点 B(0,4k) 当k<0时，一次函数在第二象限的图象为从A向左上方延伸的射线，不可能所有点都是⊙0的“内半 16/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点”，不合题意： 当k>0时，一次函数在第二象限的图象为线段AB,如图， 养 6 H 2 24-3-2-9123456 2 过点O作OH⊥AB于点H, A(4,0)B0,4) .0A=4,0B=4k. :4B=VOA+0B=6+16k=4N+ :=m=.m OH =04.OB 4k AB +k, :一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的“内半点”， ∴.0H>2,2<0B≤4， [2<4k≤4 4k +2 >2, 3 <k≤1 .3 2ks1 ∴.k的取值范围为3 .…6分 (2②)解：M(m,B0,-少C2,-) 17/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OM=m OB=1,BC=2 :⊙M的半径为6，设点P为⊙M的“内半点”， ∴.3<MP<6, ①当点M在x轴的负半轴时，m<0,令MB=6,如图， M B OM=m=-m,OB=1 :Vm2+1=6 :m=-V35 令MC=3,过点C作CD⊥x轴于点D,如图， 环 MO D B OD=BC=2,CD=OB=1,OM=m=-m V(-m+2y2+1=3 .m=2-2W2 :若线段BC上存在⊙M的“内半点”， V35<m<2-2V2 ②当点M在x轴的正半轴时，m>0,令MC=6,过点C作CD⊥x轴于点D,如图， 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 环 O D M B D=BC=2,CD=OB=1,OM=m=m 则 ,DM=m-2, .Vm-22+1=6 .m=2+V35 令MB=3,如图， ⅓ 1 c B .OM=m,OB=1. Vm2+1=3 :m=2V2 若线段BC上存在OM的“内半点”， .2√2<m<2+V35 综上，若线段BC上存在OM 的“内半点”，的取值范围为 -√35<m<2-2V222<m<2+V35 或1 .…10分 19/19………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十一章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 3．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 4．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 6．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 7．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（     ） A．① B．①② C．①②③ D．①③ 8．（2026·湖北武汉·二模）如图，以的边为直径画半圆O，分别与边，交于D，E两点，，．若点D是的中点，则的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 10．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 11．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 12．（2026·上海虹口·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 13．（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 14．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_________． 15．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 16．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，在的内接四边形中，是直径，过点D的切线与直线交于点P，，连接，求的度数． 18．（5分）（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 19．（6分）（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． (1)画出线段； (2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（6分）（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 21．（6分）（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 22．（8分）（2026·山东潍坊·三模）已知为直角三角形且，点是边上一点． (1)如图1，以为半径的与直线相切于点，与相交于点，若，． ①求的半径； ②求线段的长； (2)若以为半径的与直线相切，请在图2中使用尺规作图作出，并证明． 23．（8分）（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 24．（8分）（2026年北京市朝阳区中考考前模拟模拟数学试卷）如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 25．（10分）（2026·北京·模拟预测）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上的一点，且． (1)如图1，求证：为的切线： (2)如图2，连接、、，G为的中点，若，，求的长． 26．（10分）（25-26八年级下·北京海淀·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内半点”． (1)当的半径为4时， ①在点，，中，是的“内半点”的是 ； ②已知一次函数，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； (2)已知点，的半径为6，若线段上存在的“内半点”，直接写出m的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十一章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 3．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 4．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 6．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 7．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（     ） A．① B．①② C．①②③ D．①③ 8．（2026·湖北武汉·二模）如图，以的边为直径画半圆O，分别与边，交于D，E两点，，．若点D是的中点，则的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 10．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 11．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 12．（2026·上海虹口·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 13．（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 14．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_________． 15．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 16．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，在的内接四边形中，是直径，过点D的切线与直线交于点P，，连接，求的度数． 18．（5分）（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 19．（6分）（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． (1)画出线段； (2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（6分）（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 21．（6分）（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 22．（8分）（2026·山东潍坊·三模）已知为直角三角形且，点是边上一点． (1)如图1，以为半径的与直线相切于点，与相交于点，若，． ①求的半径； ②求线段的长； (2)若以为半径的与直线相切，请在图2中使用尺规作图作出，并证明． 23．（8分）（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 24．（8分）（2026年北京市朝阳区中考考前模拟模拟数学试卷）如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 25．（10分）（2026·北京·模拟预测）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上的一点，且． (1)如图1，求证：为的切线： (2)如图2，连接、、，G为的中点，若，，求的长． 26．（10分）（25-26八年级下·北京海淀·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内半点”． (1)当的半径为4时， ①在点，，中，是的“内半点”的是 ； ②已知一次函数，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； (2)已知点，的半径为6，若线段上存在的“内半点”，直接写出m的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $