第二十章 解直角三角形（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学第二十章解直角三角形单元卷，以生活情境与真实问题为载体，覆盖锐角三角函数定义及应用，梯度设计适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|三角函数定义、简单应用|如人字梯高度（第2题）、快递员斜坡（第3题），体现生活观察| |填空题|8/24|解直角三角形、建模|如共享单车车座高度（第12题）、海警船航行（第14题），培养模型意识| |解答题|10/72|综合应用、推理|如教学楼测量（第21题）、爱眼日坐姿计算（第24题），提升运算与创新能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 解直角三角形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D B A D B C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．/ 10． 11． 12．70 13． 14．68.3 15． 16．/ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】 【分析】先算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式，然后应用实数的运算法则即可． 【详解】解：原式 ．·····························5分 18．（5分） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 易证得，进而证得，根据相似三角形的性质得到，设、，进而求出，根据勾股定理求出的长，利用求解即可． 【详解】解：， ， 在中，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 设、， ， 在中，由勾股定理得：， ．·····························5分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系． （1）过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度； （2）根据（1）可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出的长度，从而可求的长度，根据正切的定义可求的值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 是的高， ． ． ． ， 即， 解得．     ， ． 解得．·····························3分 （2）解：由（1）可得，，， ．     ，，   ． ，，   ． ． ． ．·····························6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 解：安全，理由如下： ∵ ∴这艘船继续向东航行安全． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）过点C作于点D，先得到，然后解即可； （2）由求解得到的与进行比较即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D    由题意可知， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴灯塔到航线的垂直距离为；·····························3分 （2）解：安全，理由如下： ∵ ∴这艘船继续向东航行安全．·····························6分 21．（6分） 【答案】该教学楼的高度为12米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先说明，可得①，再根据可得②，然后将两式联立求出答案即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ∴， 即①．·····························2分 ，， 在中，， ， 即，②·····························4分 联立①②解得， ∴该教学楼的高度为12米．·····························6分 22．（8分） 【答案】(1)解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，得到，再根据垂直的定义进而得出，即可根据证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）先求出的长，再根据勾股定理求出的长，再证，由性质求出的长，最后根据，可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴；·····························3分 （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴ ， 即， ∴ ， ∴．·····························8分 23．（8分） 【答案】， 【分析】在中，，，延长至点，使，连接，得，设，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴，·····························3分 设，则， 在中，，， ∴．·····························8分 24．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，根据求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为．·····························3分 （2）解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为．·····························8分 25．（10分） 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴ ∵， ∴是 的中位线， ∴， 即． ∵， ∴四边形为平行四边形． (2) 【分析】（1）先得出是的中位线，即，再结合两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）结合，，得出，运用勾股定理列式计算得，根据中位线的性质以及平行四边形的性质得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴ ∵， ∴是 的中位线， ∴， 即． ∵， ∴四边形为平行四边形．·····························4分 （2）解：∵ ∴ 在中，， ∵ ∴． 根据勾股定理，．·····························6分 由（1）得是的中位线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，．·····························10分 26．（10分） 【答案】(1) (2) ①如图所示； ②，证明：如图，过点作于，过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ，， ， ， ． 【分析】（1）因为是等腰直角三角形且，所以先得出的长度；因为，是直角三角形，已知的值，所以结合勾股定理可求出的长度，又因为，即可得到的长． （2）①依据题干描述的点的位置、连线关系补全图形即可． ②首先证明和全等，得到对应角相等，进而推出；如果M是中点，可过点作于，过点作交于，结合线段的和差关系推导与的数量关系． 【详解】解：， ， 在中： ， 设，． ， 根据勾股定理： ，即， 解得（）， ． ．·····························4分 （2）①如图所示； ·····························6分 ②， 证明：如图，过点作于，过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ，， ， ， ．·····························12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 2．（2026·福建泉州·二模）人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 则就是离地面的高度，是直角三角形， ∵，， ∴根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中， ∴． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）快递员往卡车上装载较重的货物时，常常会在车尾斜搭一块木板，将货物沿着木板往上推，这样比直接向上抬起货物省力很多．如图所示，木板与水平面夹角，车尾距地面高米，则木板长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在中，，和的对边分别为a，c，已知和直角边a，求斜边c，则下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·浙江温州·三模）如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 7．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·河北保定·模拟预测）物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景，如图，一束光从天花板点P射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑，第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为α，β已知天花板与地板是平行的，且它们的高度为，当，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026·福建泉州·三模）在中，，，，那么的值是________． 10．（25-26八年级下·北京·期中）若是锐角，，则取值范围为________． 11．（25-26九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，，，则的值是______． 12．（2022·山东济宁·模拟预测）2017年，温州市积极推进共享单车服务（如图①），努力构建绿色环保出行城市，图②是某品牌26寸单车的车架示意图（车轮半径约为），其中直线l，，，则单车车座E到地面的高度为______．（结果精确到，参考数据：，，） 13．（25-26八年级下·山东济南·期中）定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 14．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 15．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 16．（2026·北京房山·二模）如图，在等边中，点在边上，点，在边上，于点，交于点，．若，，，则________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2026九年级下·北京西城·专题练习）计算：． 18．（5分）（2026九年级下·广东汕头·专题练习）如图，在中，，于D，若，求． 19．（6分）（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 20．（6分）（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 21．（6分）（25-26九年级上·陕西汉中·期末）九年级一班综合实践小组利用所学知识测量了某教学楼的高度（如图），测量过程与数据信息如下： ①小亮在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得该教学楼顶端A的仰角； ②小强站在点D处，某一时刻，该教学楼在阳光下的影子顶端和小强在阳光下的影子顶端重合于地面上的点F处； ③小强的身高米，小亮用皮尺测得米，米． 已知，，点B、D、F、C在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该教学楼的高度．（参考数据：，，） 22．（8分）（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，点E，F分别在正方形的边上，且，点G，H分别在边，上，且，垂足为P． (1)求证：； (2)若正方形边长为5，，，求的长度． 23．（8分）（26-27九年级上·北京·课后作业）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 材料：构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，，延长至点D，使得，连接，易知，，所以． 任务：类比这种方法，画出图形，并计算的值． 24．（8分）（2026·山东枣庄·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 25．（10分）（2026·北京·三模）如图，在四边形 中，是 的中点，，交于点 ，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求 的长． 26．（10分）（2026·北京平谷·二模）如图，在中，，，过点作射线，交线段于，，过点作于点，延长到点，使． (1)若，，求的长； (2)连接，交射线于点，为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②猜想与的数量关系，并证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将特殊角的三角函数值，代入后按实数运算法则计算即可得到结果. 【详解】解：原式 . 2．（2026·福建泉州·二模）人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过人字梯顶端作底边的垂线构造直角三角形，结合已知斜边长和底角，利用正弦三角函数的定义计算得到顶端离地面的高度． 【详解】解：过人字梯顶端作于点， 则就是离地面的高度，是直角三角形， ∵，， ∴根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中， ∴． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）快递员往卡车上装载较重的货物时，常常会在车尾斜搭一块木板，将货物沿着木板往上推，这样比直接向上抬起货物省力很多．如图所示，木板与水平面夹角，车尾距地面高米，则木板长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】首先判断为直角三角形，为直角，这是解题的突破口．根据正弦函数公式，变形即可得到的表达式． 【详解】由题意可知，是直角三角形，， ， 米． 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在中，，和的对边分别为a，c，已知和直角边a，求斜边c，则下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角的正弦定义，利用正弦定义变形即可求出斜边c的表达式． 【详解】解：根据正弦的定义可得，， ∴将上式变形得，， 故选：B． 5．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，求角的余弦值，由折叠的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 6．（2025·浙江温州·三模）如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于，证明四边形为矩形，可得，再分别求解，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 7．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 8．（2026·河北保定·模拟预测）物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景，如图，一束光从天花板点P射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑，第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为α，β已知天花板与地板是平行的，且它们的高度为，当，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过点P，A，B作的垂线，利用入射角等于反射角和平行线间的距离相等，证明全等三角形，借助特殊角的锐角三角函数值求出和，再作差即可． 【详解】解：如图，设第一小组和第二小组的入射光线与地板的交点分别为C，D，作，，，则， 又， ∴，四边形和四边形都为矩形， 在中，； 在中，， ∵，，， ∴， ∴， 同理，， ∴，， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026·福建泉州·三模）在中，，，，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出的值. 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：． 10．（25-26八年级下·北京·期中）若是锐角，，则取值范围为________． 【答案】 【分析】先根据是锐角得到的初步范围，再结合特殊角的正弦值得到，根据锐角正弦函数的增减性即可求出的取值范围． 【详解】解：是锐角， ， ，锐角的正弦值随角度的增大而增大，且， ， 综上可得 ． 11．（25-26九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据同角的余角相等，推出，进而得到，进行求解即可. 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故. 12．（2022·山东济宁·模拟预测）2017年，温州市积极推进共享单车服务（如图①），努力构建绿色环保出行城市，图②是某品牌26寸单车的车架示意图（车轮半径约为），其中直线l，，，则单车车座E到地面的高度为______．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】70 【分析】过点E作于点F，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵直线l，车轮半径约为， ∴， ∴单车车座E到地面的高度为． 13．（25-26八年级下·山东济南·期中）定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 【答案】 【分析】由，再结合新定义求解即可． 【详解】解： ． 14．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】68.3 【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解． 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 15．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点G，则，再由矩形的性质得，从而有；在中由正弦函数关系求得，由勾股定理求得，在中由正弦函数关系求得，即可求得矩形的面积． 【详解】解：如图，过点B作于点G，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为． 16．（2026·北京房山·二模）如图，在等边中，点在边上，点，在边上，于点，交于点，．若，，，则________． 【答案】/ 【分析】由，得，又，故，，在中，，，，由勾股定理得，，又，故在中，，由勾股定理得，，又，故，解得． 【详解】， ∴， ，， ， ，， ∵是等边三角形， ∴， ∵在中，，， ， ， ， 在中，，， ∴， ， ， ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2026九年级下·北京西城·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】先算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式，然后应用实数的运算法则即可． 【详解】解：原式 ．·····························5分 18．（5分）（2026九年级下·广东汕头·专题练习）如图，在中，，于D，若，求． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 易证得，进而证得，根据相似三角形的性质得到，设、，进而求出，根据勾股定理求出的长，利用求解即可． 【详解】解：， ， 在中，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 设、， ， 在中，由勾股定理得：， ．·····························5分 19．（6分）（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系． （1）过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度； （2）根据（1）可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出的长度，从而可求的长度，根据正切的定义可求的值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 是的高， ． ． ． ， 即， 解得．     ， ． 解得．·····························3分 （2）解：由（1）可得，，， ．     ，，   ． ，，   ． ． ． ．·····························6分 20．（6分）（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：安全，理由如下： ∵ ∴这艘船继续向东航行安全． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）过点C作于点D，先得到，然后解即可； （2）由求解得到的与进行比较即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D    由题意可知， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴灯塔到航线的垂直距离为；·····························3分 （2）解：安全，理由如下： ∵ ∴这艘船继续向东航行安全．·····························6分 21．（6分）（25-26九年级上·陕西汉中·期末）九年级一班综合实践小组利用所学知识测量了某教学楼的高度（如图），测量过程与数据信息如下： ①小亮在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得该教学楼顶端A的仰角； ②小强站在点D处，某一时刻，该教学楼在阳光下的影子顶端和小强在阳光下的影子顶端重合于地面上的点F处； ③小强的身高米，小亮用皮尺测得米，米． 已知，，点B、D、F、C在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该教学楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】该教学楼的高度为12米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先说明，可得①，再根据可得②，然后将两式联立求出答案即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ∴， 即①．·····························2分 ，， 在中，， ， 即，②·····························4分 联立①②解得， ∴该教学楼的高度为12米．·····························6分 22．（8分）（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，点E，F分别在正方形的边上，且，点G，H分别在边，上，且，垂足为P． (1)求证：； (2)若正方形边长为5，，，求的长度． 【答案】(1)解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，得到，再根据垂直的定义进而得出，即可根据证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）先求出的长，再根据勾股定理求出的长，再证，由性质求出的长，最后根据，可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴；·····························3分 （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴ ， 即， ∴ ， ∴．·····························8分 23．（8分）（26-27九年级上·北京·课后作业）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 材料：构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，，延长至点D，使得，连接，易知，，所以． 任务：类比这种方法，画出图形，并计算的值． 【答案】， 【分析】在中，，，延长至点，使，连接，得，设，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴，·····························3分 设，则， 在中，，， ∴．·····························8分 24．（8分）（2026·山东枣庄·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，根据求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为．·····························3分 （2）解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为．·····························8分 25．（10分）（2026·北京·三模）如图，在四边形 中，是 的中点，，交于点 ，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴ ∵， ∴是 的中位线， ∴， 即． ∵， ∴四边形为平行四边形． (2) 【分析】（1）先得出是的中位线，即，再结合两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）结合，，得出，运用勾股定理列式计算得，根据中位线的性质以及平行四边形的性质得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴ ∵， ∴是 的中位线， ∴， 即． ∵， ∴四边形为平行四边形．·····························4分 （2）解：∵ ∴ 在中，， ∵ ∴． 根据勾股定理，．·····························6分 由（1）得是的中位线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，．·····························10分 26．（10分）（2026·北京平谷·二模）如图，在中，，，过点作射线，交线段于，，过点作于点，延长到点，使． (1)若，，求的长； (2)连接，交射线于点，为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ①如图所示； ②，证明：如图，过点作于，过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ，， ， ， ． 【分析】（1）因为是等腰直角三角形且，所以先得出的长度；因为，是直角三角形，已知的值，所以结合勾股定理可求出的长度，又因为，即可得到的长． （2）①依据题干描述的点的位置、连线关系补全图形即可． ②首先证明和全等，得到对应角相等，进而推出；如果M是中点，可过点作于，过点作交于，结合线段的和差关系推导与的数量关系． 【详解】解：， ， 在中： ， 设，． ， 根据勾股定理： ，即， 解得（）， ． ．·····························4分 （2）①如图所示； ·····························6分 ②， 证明：如图，过点作于，过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ，， ， ， ．·····························12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 2．（2026·福建泉州·二模）人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 则就是离地面的高度，是直角三角形， ∵，， ∴根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中， ∴． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）快递员往卡车上装载较重的货物时，常常会在车尾斜搭一块木板，将货物沿着木板往上推，这样比直接向上抬起货物省力很多．如图所示，木板与水平面夹角，车尾距地面高米，则木板长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在中，，和的对边分别为a，c，已知和直角边a，求斜边c，则下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·浙江温州·三模）如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 7．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·河北保定·模拟预测）物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景，如图，一束光从天花板点P射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑，第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为α，β已知天花板与地板是平行的，且它们的高度为，当，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026·福建泉州·三模）在中，，，，那么的值是________． 10．（25-26八年级下·北京·期中）若是锐角，，则取值范围为________． 11．（25-26九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，，，则的值是______． 12．（2022·山东济宁·模拟预测）2017年，温州市积极推进共享单车服务（如图①），努力构建绿色环保出行城市，图②是某品牌26寸单车的车架示意图（车轮半径约为），其中直线l，，，则单车车座E到地面的高度为______．（结果精确到，参考数据：，，） 13．（25-26八年级下·山东济南·期中）定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 14．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 15．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 16．（2026·北京房山·二模）如图，在等边中，点在边上，点，在边上，于点，交于点，．若，，，则________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2026九年级下·北京西城·专题练习）计算：． 18．（5分）（2026九年级下·广东汕头·专题练习）如图，在中，，于D，若，求． 19．（6分）（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 20．（6分）（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 21．（6分）（25-26九年级上·陕西汉中·期末）九年级一班综合实践小组利用所学知识测量了某教学楼的高度（如图），测量过程与数据信息如下： ①小亮在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得该教学楼顶端A的仰角； ②小强站在点D处，某一时刻，该教学楼在阳光下的影子顶端和小强在阳光下的影子顶端重合于地面上的点F处； ③小强的身高米，小亮用皮尺测得米，米． 已知，，点B、D、F、C在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该教学楼的高度．（参考数据：，，） 22．（8分）（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，点E，F分别在正方形的边上，且，点G，H分别在边，上，且，垂足为P． (1)求证：； (2)若正方形边长为5，，，求的长度． 23．（8分）（26-27九年级上·北京·课后作业）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 材料：构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，，延长至点D，使得，连接，易知，，所以． 任务：类比这种方法，画出图形，并计算的值． 24．（8分）（2026·山东枣庄·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 25．（10分）（2026·北京·三模）如图，在四边形 中，是 的中点，，交于点 ，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求 的长． 26．（10分）（2026·北京平谷·二模）如图，在中，，，过点作射线，交线段于，，过点作于点，延长到点，使． (1)若，，求的长； (2)连接，交射线于点，为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②猜想与的数量关系，并证明． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $