27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）+学案+2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与反比例函数”，通过“温故知新”回顾反比例函数图象性质、自变量取值范围及长方形面积一定时长宽关系，再以“探究引入”联系生活中乘积为定值的例子，搭建新旧知识桥梁，引导学生建立函数模型。 资料突出数学建模与逻辑推理，从港口卸货、撬棍撬动等实际情境抽象函数关系，结合性质求解范围。习题分层设计必做、选做及实践探究，培养应用意识，助力学生用数学思维解决问题，发展核心素养。

阳泉市第十五中学 九 年级 数学 学科学案（附页1） 阳泉市第十五中学 九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容：27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 课型：新授课 教学随笔 课标要求： 1. 能根据实际问题中变量之间的反比例关系，建立反比例函数模型，并利用其图象与性质解决实际问题。 2. 在用函数解决实际问题的过程中，体会建模思想，发展应用意识。 学科素养： 1. 数学建模：从实际情境中抽象出反比例函数模型。 2. 数学运算与逻辑推理：利用函数性质确定实际问题的解（范围）。 3. 直观想象：借助函数图象分析量的变化趋势。 课后反思： 学习目标： 1. 能从实际问题中找出变量之间的反比例关系，建立反比例函数模型，写出函数解析式。 2. 能利用反比例函数的性质（增减性）确定实际问题中未知量的值或取值范围。 3. 体会“实际问题—数学模型—解决问题”的建模思想，发展应用意识。 学习重难点： 重点：把实际问题转化为反比例函数模型，并运用其性质求解。 难点：从实际情境中抽象出等量关系，并结合实际意义确定自变量的取值范围。 学习过程： 一、温故知新（3分钟） 1. 反比例函数 （k≠0）的图象，当 k＞0 时位于哪些象限？在每个象限内 y 随 x 如何变化？当 k＜0 时呢？ 2. 反比例函数中自变量 x 的取值范围是什么？在实际问题中，自变量的取值还要注意什么？ 3. 长方形的面积 S 一定时，长 a 与宽 b 之间有什么关系？为什么？ 二、探究引入（2分钟） 生活中有许多两个量的乘积为定值的例子（如路程一定时速度与时间）。你能举出一个这样的例子吗？两个量的乘积一定时，这两个量之间是什么关系？ 三、新课探究（20分钟） 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h。 （1） 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m。 （1）动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 四、课堂练习（10分钟） 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 120 cm³（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗。 （1）漏斗口的面积 S（单位：cm²）与漏斗的深 h（单位：cm）有怎样的函数关系？ （2）如果漏斗口的面积不超过 50 cm²，那么漏斗的深 h 至少为多少？ 2. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动。客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可。小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元。他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元。 （1）y 与 x 有怎样的函数关系？ （2）如果小张打算 20 个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ （2） 如果小张打算每月还款不超过 5 000 元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 3. 填空：甲、乙两地相距 120 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间 t（单位：h）与行驶的平均速度 v（单位：km/h）之间的函数关系式为＿＿＿＿；当平均速度为 60 km/h 时，行驶的时间为＿＿＿＿h。 五、课堂小结（3分钟） 填一填：（1）解决实际问题时，先审题，找出题目中的＿＿＿关系，再把实际问题转化为＿＿＿＿函数模型；（2）函数关系式中自变量的取值范围，既要使式子有意义，又要符合＿＿＿＿意义；（3）求“至少”“不超过”一类的问题，常利用反比例函数的＿＿＿＿性进行分析。 六、作业布置（2分钟） 必做题：课本习题 27.3 第 1、2 题。 选做题：已知某个电阻两端电压为 6 V，通过电阻的电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）成反比例关系。（1）写出 I 与 R 的函数关系式；（2）若限制电流不超过 0.5 A，则接入电路的电阻 R 至少应为多少？ 实践探究：用一根长为 24 cm 的铁丝围成一个矩形，当矩形的一边长 x 为多少时，面积最大？矩形面积一定时，相邻两边长之间是什么函数关系？与同伴交流。 学科网（北京）股份有限公司 $