27.3 实际问题与反比例函数 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与反比例函数”，引导学生从杠杆、功等实际情境中抽象反比例函数模型，通过“知识链接”回顾反比例函数解析式求解，衔接旧知，为实际问题建模提供基础学习支架。 资料分层次设计纯文字、图象表格、双函数组合三类实际问题，例题与变式贴近教材，注重引导学生经历“找等量关系—建模型—求解析式—解问题”过程，培养抽象能力与模型意识，通过当堂检测强化应用意识，助力学生用数学思维解决实际问题。

27.3 实际问题与反比例函数 班级______　姓名______　学号______ 【学习目标】 ① 能从杠杆、功等实际问题中抽象出反比例函数模型，并用待定系数法求解析式 ② 能利用反比例函数解析式求给定自变量（或函数值）对应的值与取值范围 ③ 能综合运用函数思想分析药物含量、酒精代谢等实际问题的变化规律并作出决策 【学习重难点】 重点：实际问题中反比例函数模型的建立：找等量关系（如阻力×阻力臂＝动力×动力臂＝定值、W＝Fs定值）；利用解析式由自变量求函数值、由函数值求自变量，并结合实际意义确定取值范围　难点：分段函数情境（如含药量先增后减）中自变量取值范围的划分，以及由增减性反推不等关系（如位移小于100m时力的范围） 【知识链接】 已知反比例函数的图象经过点(－4，3). (1)该函数的解析式为 ； (2)若该函数的图象经过点(2，m)，则m的值为 ⁠. 【合作交流】 知识点1 　用反比例函数解决实际问题(纯文字型) 【例1】(人教新教材P75例2)某工人欲利用杠杆原理，用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m. (1)动力F(单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 用撬棍撬动大石头的杠杆原理示意图 【变式1】(人教新教材P74例1)港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t(单位：h)之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 知识点2　反比例函数实际学科问题(图象型或表格型) 【例2】(人教新教材P76例3)在力F(单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位：m)，则力F所做的功W(单位：J)满足W＝Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 力F作用下物体发生位移s的做功示意图 【变式2】(人教新教材P80T4改编)在对地面的压力一定的情况下，地面所受的压强p(单位：Pa)是受力面积S(单位：m2)的反比例函数， (1)请填下表： (2)p关于S的函数解析式为 ⁠； (3)当600＜p≤6 000时，求受力面积的变化范围. p/Pa 1 200 1 000 600 500 400 300 200 150 120 100 S/m2 0.5 0.6 1 1.2 1.5 2 3 4 5 6 知识点3　双函数组合的实际问题 【例3】一位病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2 h，每毫升血液中的含药量达到最大值为4 mg，已知服药后，2 h前每毫升血液中的含药量y(单位：mg)与时间x(单位：h)成正比例，2 h后y与x成反比例(如图)，解答下列问题： (1)求当0≤x≤2时，y与x的函数关系式； (2)求当x＞2时，y与x的函数关系式； (3)若每毫升血液中的含药量不低于2 mg时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 【图片提取失败：yt_image_12919，请从课件手动提取】 【变式3】一般成人喝半斤低度白酒后，1.5 h内(包括1.5 h)其血液中酒精含量y(单位：mg/100 mL)与时间x(单位：h)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x表示；1.5 h后(包括1.5 h)y与x的关系可近似地用反比例函数y＝ (k＞0)表示，如图所示. (1)求k的值； (2)某驾驶员晚上喝完半斤低度白酒，则有多长时间其血液中酒精含量不低于72 mg/100 mL？ 【图片提取失败：yt_image_12935，请从课件手动提取】 【当堂检测】 (2025龙岩月考)为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p(kPa)与气体体积V(mL)关系如下表： V/mL 15 20 25 30 40 50 p/kPa 400 300 240 200 150 120 (1)根据表中的数据，在图中描出实数对(V，p)的对应点，画出其图象，并写出p与V之间的函数表达式； (2)当气体体积为60 mL时，气体的压强为 kPa； (3)若注射器内气体的压强不能超过500 kPa，则其体积V要控制在什么范围？ 【学习小结】 ① 实际问题与反比例函数的一般步骤：审题找等量关系→设变量→建立反比例函数模型→求解析式→结合自变量取值范围求解 ② 杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂（定值），动力与动力臂成反比例关系 ③ 函数值大小与增减性的应用要结合图象和实际意义，注意分段讨论与端点的开闭 参考答案与解析 知识链接 review_1　答案：y＝－()/()、－6 合作交流 例1　 解：(1)由“杠杆原理”得Fl＝1 200×0.5， 即Fl＝600，∴F＝ (l＞0). 当l＝1.5时，F＝ ＝400. 答：撬动石头至少需要400 N的力. 解：(2)由(1)可知F＝ (l＞0)， 当F＝ ×400＝200时，l＝ ＝3， ∵在l＞0内，F随l的增大而减小，且3－1.5＝1.5(m)， ∴动力臂l至少要加长1.5 m. 变式1　 解：(1)轮船上的货物总量为700×9＝6 300(t)， 所以v关于t的函数解析式为v＝ . 解：(2)把t＝6代入v＝ ，得v＝ ＝1 050. 当t＞0时，t越小，v越大. 因此，若货物不超过6 h卸载完，则平均每小时至少 要卸载1 050 t货物. 例2　 解：(1)由图可知，当力F为10 N时， 物体在力F的方向上发生的位移s为50 m， 此时F所做的功W＝Fs＝10×50＝500 J. 解：(2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之 间的关系.由(1)可知其解析式为s＝ . 解：(3)将s＝100代入s＝ ，可得 F＝5. 因为s随着F的增大而减小， 所以要使物体在力的作用下的位移小于100m， 力F要大于5 N. 变式2　答案：p＝()/() 解：(3)当p＝6 000时，S＝ ＝0.1， 当p＝600时，S＝ ＝1. ∴受力面积的变化范围为0.1≤S＜1. 例3　 解：(1)根据图象，正比例函数图象经过点(2，4). 设函数关系式为y＝kx(k≠0). 则2k＝4，解得k＝2. ∴正比例函数关系式为y＝2x(0≤x≤2). 解：(2)根据图象，可知反比例函数图象经过点(2，4). 设反比例函数关系式为y＝ . 则 ＝4，解得k′＝8. ∴反比例函数关系式为y＝ (x＞2). 解：(3)当y＝2时，2x＝2，解得x＝1. 当y＝2时， ＝2，解得x＝4. ∵4－1＝3 (h)， ∴服药一次，治疗疾病的有效时间是3 h. 变式3　 解：(1)当x＝1.5时， y＝－200x2＋400x＝－200×2.25＋400×1.5＝150. ∴k＝1.5×150＝225. 解：(2)当y＝72时，－200x2＋400x＝72， 解得x＝ (不符合题意，舍去)或 . h＝12 min；由(1)，得当x≥1.5时，y＝ . 则y＝72时，72＝ ，解得x＝3.125. 3.125 h＝187.5 min，187.5－12＝175.5(min)， ∴175.5 min内其血液中酒精含量不低于72 mg/100 mL. 当堂检测 第1题　答案：100 解：(1)根据表中的数据， 在图中描出实数对(V，p)的对应点， 画出其图象，如图所示. 设p＝ ，由题意知200＝ ， ∴k＝6 000，即p＝ . 解：(3)由(1)知p＝ ，当p＝500时， V＝ ＝12. ∴气体的体积应不少于12 mL，即V≥12. 气体压强p与体积V的对应点描点图象 学科网（北京）股份有限公司 $