第4期：26.1 二次函数的概念～26.2.2 二次函和性质-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（人教版·新教材）

初中数学·人教中考第1~4期 ”发理橘 答案详解 2026~2027学年 初中数学·人教中考 第1~4期(2026年7月) 5.没有. 第1期2版 3 6.(1)=立k=1: 25.1一元二次方程的概念 (2)x1=7=-29 1 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.x=-2. 3 6.填表如下： 能力提高7.(1)证明：4=62-4ac=(k-8)2-4×2 方程 一般形式 二次项系数 次项系数 常数项 2x2=7x 2x2-7x=0 2 -7 0 ×(-4)=(k+8)2≥0， 5-3x2=6x 3x2+6x-5=0 3 6 -5 所以该方程总有两个实数根。 (x+1)(x-3》 x2-5x-7=0 1 -5 -7 (2)解方程，得 =3x+4 能力提高 7.(1)x2+3x-4=0. x=-(k-8),±，h+8y_8-k±1k+81 2×2 4 (2)由条件可知，方程x2-2x+c=0的“倒方程”为cx2一 2x+1=0. 所以x1=4,x=-2 把x=-1代入方程cx2-2x+1=0,得c+2+1=0.解 因为该方程有-个根小于3，所以-左<3.解得k>-6, 得c=-3. (3)2026. 第1期3版 25.2.1配方法 一 题号12345678 基础训练1.C;2.C;3.-2;4.-12;5.-1. 答案DCBDBABB 6.(1)x1=1,x2=-3; 二、9.2-8x-4=0;10.m≥0；11.-2；12.-1； 2-2 13.6或15或12；14.- 3 3=-1-6 55 三、15.(1)x1=-7,x2=1; (4)无实数根. (2)=1+=1- 2； 能力提高7.由题意得，小明解的方程是x2+4x+c+1=0. 把x=-1代入方程x2+4x+c+1=0,得1-4+c+1 (3x1=-影 =0.解得c=2. 16.(1)③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方， 所以原方程为x2+4x+2=0. 而右边没有加， 解得x1=2-2,x2=-2-2. (2)2x2-8x-18=0. 25.2.2公式法 移项、二次项系数化为1，得x2-4x=9. 配方，得x2-4x+4=9+4. 基础训练 1A2D:33;4=7.6 6 (x-2)2=13. 初中数学·人教中考第1~4期 由此可得x-2=±√3， 整理，得AD+a·AD=. 所以x=2+√13，x2=2-√3. 所以形如x2+ax=b2的方程的其中一个正根是线段AD 17.(1)将x=1代入原方程，得(a-1)-2+a2+1=0. 的长 整理，得d2+a-2=0.解得a=1,a2=-2. (2)2x+10,/61-5. 因为a-1≠0，所以a≠1.所以a的值为-2. (3)因为x2+2x-4=0,所以x2+2x=4. (2)将a=-2代入原方程，得-3x2-2x+5=0,即x2+ 方法一：如图1，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC= 2 5 2,BC=1,在斜边AB上截取BD=BC 3x=3 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC=√4+I=5, 配方，得(+宁=兰开方，得+了=±寺 4 则该方程的一个正根为AD的长，即5-1. 所以该方程的解为=1，三一亭 x+2 18.(1)4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)= x+2 x+2 (m-3)2. 2 因为方程有两个不相等的实数根， x+2 图1 图2 所以(m-3)2>0且m≠0. 方法二：如图2，用4个长都是(x+2),宽都是x的矩形拼 所以m的取值范围是m≠3且m≠0. 成如图2所示的正方形， (2)证明：因为4=(m-3)2≥0， 因为x2+2x=4,所以x(x+2)=4. 所以x=-6±公-4ac_3(m-1)±(m-3) 2a 2m 所以一个矩形的面积是4. 所以年=3m-3+m-3=2m-3=2-3 所以(2x+2)2=4×4+22=20. 2m m = 所以(x+1)2=5. 3m-3-m+3=1 2m 所以该方程的一个正根为5-1. 所以无论m为何值(m≠0)，方程总有一个固定的根. 第1期4版 19.(1)一元二次方程2x2+x-1=0是“C方程”.理由如 下： 几何加油站 解2x2+x-1=0,得x1=0.5,x2=-1. 1.3.【提示】过点A作AK1HG于点K,连接AH,AM,证 因为c=-1,所以一元二次方程2x2+x-1=0是“C方 明Rt△ADH≌Rt△AKH,Rt△AKM兰Rt△ABM,得到DH= 程”. KH,BM=KM,根据对称可得QG=QB,将△GQM的周长表示 (2)因为关于x的一元二次方程4x2+bx+c=0(c≠0) 出来，再通过边的转化解答即可. 是“C方程”，所以4c2+bc+c=0. 29 【提示】根据折叠和勾股定理依次求出FG,BG的 又因为c≠0，所以b=-4c-1. 长，过点G作GP⊥AD于点P,求出DE,EM的长，得到EM= 所以8-4c-1=2+6=(b+P-子 DE=2,连接EH,即可证明Rt△EMH兰Rt△EDH,推出DH= 因为(6+)2≥0，所以-4e-1的最小值为-子 HM=HC=4,连接CM交GH于点Q,利用三角形的面积即可 求出CQ的长，过点M作MW⊥CD于点N,最后根据三角形 20.(1)该方程的其中一个正根是线段AD的长.理由如 MCH的面积计算MW即可. 下 第2期2版 在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC2+AC= 25.2.3因式分解法 AB. 基础训练1.C;2.C;3.D;4.14. 所以（号）P+6=(号+AD)月 5.(1)x1=-5,x2=-3; 2 初中数学·人教中考第1~4期 (2)x1=2,x2=14: 整理，得x2-30x+125=0. (6-号=5 解得x1=25,x2=5. 答：每件卫衣降价5元或25元时，平均每天可盈利1050 能力提高6.(1)设x2+x=y,则原方程可化为y2+2y 元 -8=0,即(y+4)(y-2)=0,解得y1=-4,y2=2. (3)不能实现.理由如下： 当y=-4时，x2+x=-4,该方程无实数根； 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1500. 当y=2时，x2+x=2,解得x1=-2,x2=1. 整理，得x2-30x+350=0. 故原方程的根为x1=-2,x2=1 因为4=(-30)2-4×1×350=-500<0， (2)设2士2=y则原方程可化为y+子-3=0， 所以此方程无实数根. 即y2-3y+2=0,解得y1=1,2=2. 所以每天的盈利不可能达到1500元，故店长的愿望不能 当y=1时，3x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的解： 实现 当)=2时，32-2，解得：=-2，经检验是原方程的解 第2期3版 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. 题号12345678 答案B CBC CD C A 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础训练1.C;2.A;3.4;4.11. 二、9.x-6=0;10.10;11.14或-14； 5.因为关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+2= 12.(x-1)(2x-1);13.15;14.(5-2)2. 0有两个实数根， 三=-3=子：(2=-}-平 4 4 所以△=[-(2m-1)]2-4(m2+2)=4m2-4m+1- 4m-8=-4m-7≥0.所以m≤-子 、3 :(6)x=2=2 7 由根与系数的关系，得x1+x2=2m-1,x1·x2=m2+2. 16.(1)设进馆人次的月平均增长率为x 所以x2+x22=(x1+x2)2-2x1·62=(2m-1)2-2(m 根据题意，得7500(1+x)2=10800. +2)=27.解得m1=5,m2=-3. 解得气=20%，4=-号（不符合道意，合去) 又因为m≤-子所以m=-3 答：进馆人次的月平均增长率为20%. 25.3实际问题与一元二次方程 (2)不能.理由如下： 基础训练1.A;2.C;3.1;4.6;5.0.4. 由(1)得，第四个月的进馆人数为： 6.设每轮传染中平均一个人传染了x个人 10800×(1+20%)=12960>12000, 根据题意，得1+x+x(1+x)=225. 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次. 解得x=14,x2=-16(不符合题意，舍去). 17.(1)证明：4=62-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人 -1)=(m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2 7.设这4个数中最小的数为y,则最大的数为y+8. -2m+13=(m-1)2+12>0, 根据题意，得y(y+8)=105. 所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根。 整理，得y2+8y-105=0. (2)设AB,CB的长分别为x1,x2, 解得y=7或y=-15(不符合题意，舍去). 则x1,x2是方程x2-(m+3)x+2m-1=0的两个实数根 答：这4个数中最小的数为7. 根据根与系数的关系，得+龙2=m+3,x12=2m-1. 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x). 因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC=35, (2)根据题意，得(40-x)(20+2x)=1050. 所以x12+x22=AC2=35. 一3 初中数学·人教中考第1~4期 又因为x2+22=(（x1+x2)2-2x12, 在Rt△PQE中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=52. 所以(m+3)2-2(2m-1)=35. 解得t=2或t=6. 解得m=-6或m=4. 所以P,Q两点从出发开始到2秒或6秒时，点P和点Q间 因为AB,CB是△ABC的边长，所以x1>0,x3>0. 的距离是5cm. 所以x1+x2=m+3>0,且x12=2m-1>0. (2)连接PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时， 解得m>分 分三种情况： ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 所以m=4, 所以DF=QF, 即当m=4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形. 因为AP=CQ=tcm,所以QF=DF=AP=tcm, 18.(1)(x+2)(x+4). 因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=8cm, (2)①x1=-1,x2=6. 所以CD=DF+FQ+CQ=3tem=8cm, ②解x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5. 由三角形的三边关系可知x=5,所以AB=AC=5. 解得：=号，即当P,0两点从出发开输到号秒时，点P,Q, 过点A作AD1BC于点D,图略.则BD=之BC=4 D组成的三角形是等腰三角形； D 在Rt△ABD中，AD=AB2-BD=3. 所以等腰三角形ABC的面积=BC·AD=2, 19.(1)①(50-2x). ②根据题意，得(50-2x)x=92. 图2 图3 整理，得2-25x+46=0. ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 解得x1=2,2=23. 因为AP=CQ=tcm, 当x=2时，50-2x=50-2×2=46>10,不符合题意， 所以QP=QD=CD-CQ=(8-t)cm,DF=AP=tcm, 舍去； 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm, 当x=23时，50-2x=50-2×23=4<10,符合题意 在Rt△PQF中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=(8-t)2, 答：AB的长为23米 解得t=16±4图-8±37 6 31 (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理由如下： ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图3所示， 假设养蜂场的面积可以达到230平方米. 因为AP=CQ=tcm, 因为4B长为x米，所以BC长为48+2+10-2红米=(30 2 所以DP=QD=CD-CQ=(8-t)cm, -x)米 在Rt△ADP中，由勾股定理，得+32=(8-t)2, 根据题意，得(30-x)x=230. 解得4一瓷 整理，得x2-30x+230=0. 因为4=(-30)2-4×1×230=-20<0， 综上所述，当P,Q两点从出发开始到8秒或誉秒 3 所以原方程没有实数根。 所以假设不正确，即养蜂场的面积不能达到230平方米. 政瓷砂或8+瓦秒时，点PQ,D组成的三角形是等腰三角 16 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E,图略. 形 所以∠PEQ=90°. 第2期4版 由题意，得AP=CQ=tcm,所以BE=CQ=tcm,所以PE 几何加油站 =18-2t1cm 1.58. 【提示】以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB 4 初中数学·人教中考第1~4期 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，以PQ为斜边在PQ下方 20.(1)1和4. 作等腰直角三角形PQG,作GW⊥y轴于点W,作PH⊥GW于 (2)因为口ABCD为正方形，所以方程x2-(2m+1)x+2m 点H,设点Q(0,a),G(x,y),则点P(-a-2,0),F(-8,2),可 =0有两个相等的实数根 证得△PGH≌△GQW(AAS),所以PH=GW,GH=QW,进而 所以4=[-(2m+1)]2-4×2m=0. 得出点G(-1,-1),当F,P,G三点共线时，FP+PG最小，进一 1 解得m=m=2 步得出结果。 2.5-1.【提示】连接AF,CE,AC,设AC与EF的交点为 所以m的值为分 点O,得到平行四边形AECF,故点O是AC的中点，连接BD,则 (3)因为口ABCD的一条对角线的长为m-3,所以(m- BD经过点O,且OA⊥OB,取OB的中点H,连接AH,GH,根据 3)2-(2m+1)(m-3)+2m=0. 三角形的三边关系，计算最值即可. 解得m=4或m=-3. 第3期综合测评卷 当m=-3时，m-3=-3-3=-6<0,故此情况不符合 题意，舍去 题号 2345 6 7 89 所以m的值为4. 答案C 21.(1)设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平 二、11.22+x-4=0:12.k≤1且k≠2 13.12; 均增长率为x 由题意，得3(1+x)2=3.63. 14.-2026; 15.7或-号 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去 三、16.：1=-2+25，：2=-2-25.第一步变形的依据 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 是等式的基本性质1. 率为10%。 17.设方程的另一个根为x2: (2)设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人 因为方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-√2， 机的售价为(2.5-a)万元. 所以1-万+5=-2，（1-)=3婴 由题意，得(25-1.5-a)(80+05)=45. 所以5=反+1，m=-子， 整理，得4a2+12a-7=0. 解得a1=0.5,a2=-3.5(不符合题意，舍去) 即方程的另一个根为万+1，m的值为-子 所以2.5-0.5=2（万元） 18.设应邀请的俱乐部个数为n,则比赛总场数为 答：下调后每架无人机的售价为2万元 n(n-1) 五、22.(1)解x2+3x+2=0,得x1=-2,x2=-1. 因为-1-（-2)=1，所以该方程是“邻根方程” 根据题意，得(n,)=21. 2 (2)解x2-(m+2)x+2m=0,得x1=m,x2=2. 解得n=7或n=-6(不符合题意，舍去). 因为该方程是“邻根方程”， 答：应邀请的俱乐部个数为7. 所以m=2-1=1或m=2+1=3. 四、19.（1)解方程x2=2x,得1=0,2=2. 所以m的值为1或3. 因为：1≤2，所以P(0,2) (3)解ar+bx+2=0,得x=二b±-8a 2a (2)设方程x2-(m+√2)x-3=0的两根为x1和2(x 因为该方程是“邻根方程”， ≤x2),则P(x1,x2). 因为点P在直线y=-x上， 所以26+6=80--6--8a-1 2a 2a 所以x+x2=0,即m+√2=0，解得m=-√2. 整理，得b2=a2+8a 初中数学·人教中考第1~4期 因为t=12a-62-4, 所以点B(-1,-4)不在此抛物线上： 所以t=12a-(a2+8a)-4=-a2+4a-4=-(a-2)2. 7.(1)因为二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-4， 因为a>0,所以t的最大值为0. 4),所以4=a·(-4)产，解得a=4 1 23.(1)设剪去的小正方形的边长为xcm. 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600. 所以二次函数的解析式为y=子之。 解得x1=10,x2=60(60>40不符合题意，舍去). (2)将y=1代人y=子2，解得=2=-2 答：剪去的正方形的边长为10cm. (2)不能.理由如下： 所以点M,N的坐标分别为(-2,1)，(2,1). 根据题意，设该收纳盒的高为acm, 所以MN=2-(-2)=4,FM=FN=2. 则收纳盒底面的长为100,2acm=(50-)cm,宽为(40 因为△PMW是等边三角形，MW∥x轴， 2 所以点P在y轴上，且PM=4. 2a)em 所以∠PFM=90°.所以PF=√PM-FM证=25. 根据题意，得(50-a)(40-2a)=608. 因为点F的坐标为(0,1)，所以点P的坐标为(0,1+23) 解得a1=12,a2=58(58>50不符合题意，舍去) 或(0,1-25). 所以50-a=38.40-2a=16, 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 所以收纳盒的高为12cm,长为38cm,宽为16cm. 因为35<38（玩具车长小于收纳盒长），但13>12（玩具 基础训练1.D;2.A；3.A; 4.y=4x2+1;5.<;6.6;7.8. 车高大于收纳盒高)，17>16（玩具车宽大于收纳盒宽），所以 玩具车不能完全立着放入该收纳盒并盖上盖子 8.(1)m. (2)因为a=-1<0,所以该二次函数的图象开口向下. 第4期2版 所以当x<m时，y随着x的增大而增大；当x>m时，y随 着x的增大而减小 26.1二次函数的概念 当m≥1时，根据题意，得x=1时，y取得最大值，即-(1 基础训练1.C；2.B;3.C;4.-4;5.一 -m)2+m2+1=4,解得m=2; r60k+b=80, 6.(1)设y=kx+b,根据题意，得 当-2<m<1时，根据题意，得x=m时，y取得最大值， 50k+b=100. k=-2, 即m2+1=4,解得m=-√3或3（不符合题意，舍去）； 解得 b=200. 当m≤-2时，根据题意，得x=-2时，y取得最大值，即 所以y=-2x+200(30≤x≤70). -(2-m)+m2+1=4,解得m=-子（不符合随意，合 (2)0=(x-30)y-450=(x-30)(-2x+200)-450, 去). 即0=-2x2+260.x-6450(30≤x≤70). 综上所述，m的值为2或-5. 26.2.1二次函数y=a2的图象和性质 能力提高9.(1)由题意，得A(-2,-4). 基础训练1.C;2.B;3.B; 当x=0时，y=4,所以B(0,4) 4.a2>a3>a1;5.m>3. (2)因为过点B平行于x轴的直线交抛物线于点C,该抛 6.(1)因为抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),所以a· 物线的对称轴为直线x=-2,所以0D=2,C(-4,4). (-2)2=-8. 所以BC=4,0B=4. 解得a=-2.所以此抛物线的函数解析式为y=-2x2. (2)这个抛物线的顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口 所以Sem=之(0D+BC)·0B=12. 向下. (3)存在点P. (3)把x=-1代入，得y=-2×(-1)2=-2, ①当BC为边时，有DP=BC=4,且点P必在x轴上， 6 初中数学·人教中考第1~4期 设P(m,0),所以DP=1m+21,所以1m+21=4, 由y=一子(：-2)2+4可得抛物线顶点P的坐标为(2， 解得m1=2,m2=-6,所以P1(2,0),P2(-6,0): 4). ②当BC为对角线时，PD和BC互相平分，BC中点的坐标 为(-2,4)，所以P(-2,8) 对于y=-子+3，令y=0,解得x=2 综上所述，满足条件的点P有三个，P1(2,0),P2(-6,0), 所以C(2,0).所以0C=2. P3(-2,8). 所以PC⊥x轴，且PC=4.所以DE=OC=2, 第4期3版 对于y=-(x-2)2+4,令y=0,得-x-2+4 =0. 题号12345678 答案C D AA C BCC 解得x1=6,x2=-2.所以A(-2,0),所以AC=4. 1 二、9.-2，-1；10.y=-x2+8x-16; 所以Sg边形Aom=Sacn+Sar@=左×4×3+2×4×2 11.-1(答案不唯一)；12.10；13.8； =10. 4.-是≤n≤10， 18(0）当m=2时y=-7(-4-1 三、15.(1)因为抛物线y=2x2+n过点M(2,3),所以2× 因为点A(6,n)在该函数图象上， 22+n=3. 1 所以n=-2×(6-4)2-1=-3. 解得n=-5.所以该抛物线的解析式为y=2x-5. 所以该抛物线的顶点坐标为(0，-5)，对称轴为直线x= (②)直线订=-分+1 0. (3)因为点P(a+1,c),Q(4m-7+a,c)都在该二次函数 (2)因为2>0，所以函数图象开口向上 图象上， 因为对称轴为直线x=0,所以在x≤0时，y随x的增大而 所以对称轴为直线x=4+1+4m-7+0=a+2m-3. 2 减小 所以a+2m-3=2m.所以a=3.所以P(4,c). 16.(1)当x=0时，y=4,即C(0,4). 当y=0时，-x2+4=0,解得x=±2， 所以e=-号(4-2m)2+1-m=-2(m-子2-子 所以B(2,0),A(-2,0). 所以c≤-8 (2)因为AB=4,C(0,4),四边形ABCD是平行四边形， 19.(1)令y=0,则a(x-3)2-4a=0, 所以CD∥AB,CD=AB=4,所以D(-4,4). 解得x1=1,x2=5. 设平移后的抛物线为y=-x2+4+m, 所以A(1,0),B(5,0).所以AB=5-1=4. 则-(-4)2+4+m=4, (2)当a=1时，y=（x-3)2-4,所以顶点C(3,-4) 解得m=16,所以平移后抛物线的解析式为y=-x2+20. 设直线BC的解析式为y=kx+b. 3 17.(1)对于y=-x+3,令x=0,得y=3, 把B(5,0),C(3,-4)代入， 所以D(0,3). 5k+b=0, 解得 k=2, 因为抛物线y=-子(x-2)2+k经过点D(0,3), 3k+b=-4,b=-10. 所以直线BC的解析式为y=2x-10. 所以-子×(0-2)2+长=3，解得长=4， 因为S ARCD=S△ABC,所以AD∥BC. 所以设直线AD的解析式为y=2x+n. 1 所以抛物线的函数解析式为y=-4(x-2)2+4 把A(1,0)代人，得2+n=0,解得n=-2. (2)过点D作DE⊥PC于点E,图略. 所以直线AD的解析式为y=2x-2 初中数学·人教中考第1~4期 y=2x-2, 所以△ABF≌△DAE(AAS). 联立，得 y=(x-3)2-4 所以AE=BF=m,AF=DE=n ”(不特合题意，舍去)， =1, 2=7， 所以m=n2-n-m2. 解得 y1=0 y2=12. 所以m+n=(n-m)(n+m). 所以D(7,12) 因为点B,D在y轴的右侧， 20.(1)设BC交y轴于点E,菱形ABCD的边长为2a, 所以m+n≠0，所以n-m=1.所以n-m为定值. 所以AD∥BC,AB=BC=CD=AD=2a. 第4期4版 因为AD⊥y轴，所以BC⊥y轴，所以B,C关于y轴对称. 重点集训营 所以BE=CE=a,所以B(-a,a2),所以OE=2 1.C;2.D;3.C 在直角三角形ABE中，由勾股定理，得AE=√AB2-BE 几何加油站 =5a, 1.√6.【提示】连接AD,过点A作AG⊥DC交DC延长线 所以OA=OE+AE=a2+5a. 于点G,过点M,D作ED,MW的平行线交于点P,则四边形 MNDP是平行四边形.所以MN=DP,MP=DN.可得AM= 所以D(2a,a2+5a). MP.可知点P的运动轨迹.当DP⊥AP时，DP最小，此时MN= 把D(2a,a2+5a)代入y=x2,得a2+5a=4a2, DP最小.在Rt△ADG中，根据勾股定理求得AD的长，即可求得 解得a,- 3,4=0(不符合题意，舍去). MN的最小值. 所以支形的边长为 2.√5.【提示】过点C作CH上BF于点H,过点B作BK ⊥CM于点K,过点D作DQ⊥MF交MF延长线于点Q,得到CH (2)n-m为定值.理由如下： =HF,△AGB≌△BHC,推出AG=BH,BG=CH,即可得到AG 过点B作BF⊥y轴于点F,过点D作DE⊥y轴于点E,图 1 =FG.易得BG=2GM,根据勾股定理可求得CM的长，再结 略。 由题意得B(m,m2),D(n,n2). 合△BKC≌△CQD即可解决问题. 所以BF=m,OF=m2,DE=n,OE=n2. 3.38.【提示】以AD边在AD上方作等边△ADG,连接 因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAB=90°，AD=AB. CG,取CG的中点H,连接AH,DH,EH,过点C作CK⊥AF于K, 所以∠FAB=90°-∠EAD=∠EDA. 过点F作FL⊥AD于L,先证得△ABD≌△ACG(SAS),再证得 ∠AFB=∠DEA=90°， △ABE≌△ACH(SAS),推出DE=BE=HG=DH,再利用等 在△ABF和△DAE中 ∠FAB=∠EDA, 边三角形性质及勾股定理即可求得答案. AB DA. —8—素养拓展 数理招 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话： (上接第3版) 20.(14分)在平面直角坐标系中，已知点A 0351-5271268 19.(12分)如图7，已知抛物线L:y=a(x在y轴正半轴上， 几何加油站 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 -3)2-4a(a>0)与x轴交于A,B两点（点A在 (1)如图8-①，已知菱形ABCD的顶点B ,点B的左侧)，其J顶点为C,D是抛物线第一象限C,D在二次函数y=x2的图象上，且AD⊥y轴， 第3期综合测评卷 上一点. 求菱形的边长； 参考答案 (1)求线段AB的长； (2)如图8-②，已知正方形ABCD的顶点 1.某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳 -、l.C;2.C; 进行加固处理，如图1.小明收集了该房屋的相 3.B;4.D; (2)当a=1时，若S△D=SABc,求点D的B,D在二次函数y=x2的图象上，点B,D在y轴 5.D;6.A; 坐标 的右侧，且点B在点D的左侧，设点B,D的横坐 关数据，并画出了示意图如图2，△ABC是等腰 7.C;8.B; 标分别为m,n,探究n-m是否为定值 三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD= 9.A;10.B. 2米，∠ACB=30°.MW是一条两端点位置和长 二、11.2x2+x-4 度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE =0:12.k≤1且k 上，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改 变，但需始终保持AM=DN.则钢丝绳MW长度 14.-2026; 的最小值为 米 15分或-号 2 三、16.x1=-2+ 25,x2=-2-25. 第一步变形的依据是 等式的基本性质1. 图 图1 17.方程的另 2.如图3，正方形ABCD中，E为BC上一点， 个根为2+1，m的 过B作BG⊥AE于点G,延长BG至点F,使 ∠CFB=45°，延长FC,AE交于点M,连接DF, 佰为品 BM.若C为FM中点，BM=5,则FD的长为 18.应邀请的俱 乐部个数为7. 数理报社试题研究中心 四、19.（1)解方 (参考答案见下期) 程x2=2x,得x1=0, x,=2.因为x1≤x2 十十十十十十十 第2期2版参考答案 所以P(0,2). 25.2.3因式分解法 (3)=2=2 (2)m=-2. 基础训练1.C;2.C;3.D;4.14 16.(1)设进馆人次的月平均增长率为x 20.(1)1和4. 5.(1)x1=-5,x2=-3; 根据题意，得7500(1+x)2=10800. 图3 2)m的信为号 (2)x1=2,x3=14; 解得石=20%，西=-号（不特合题毫，合 3.如图4，D是等边△ABC外一点，∠ADC= (3)m的值为4. (3)4=号=5. 21.(1)从1月 去) 30°，E是BD的中点，连接AE并延长交CD于点F 答：进馆人次的月平均增长率为20% 若AB=14,CF=10,则BD的长为 份到3月份该品牌无 能力提高6.(1)原方程的根为x,=-2, 人机销售量的月平 x2=1. (2)不能.理由如下： 数理报社试题研究中心 均增长率为10%. (2)原方程的根为x1=-1,x,=-2. 由(1)得，第四个月的进馆人数为： (参考答案见下期)】 (2)下调后每架 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 10800×(1+20%)=12960>12000, 无人机的售价为2万 基础训练1.C;2.A;3.4;4.11. 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人 5.m=-3. 次 17.(1)略 重点集训营 五、22.(1)解x1 +3x+2=0,得x1 25.3实际问题与一元二次方程 (2)当m=4时，△ABC是以AC为斜边的 =-2,x2=-1. 基础训练1.A;2.C;3.1; 直角三角形 因为-1-(-2) 4.6;5.0.4. 18.(1)(x+2)(x+4) =1,所以该方程是 6.每轮传染中平均一个人传染了14个人 1.已知点(-2，y),(3,y2),(7,y3)都在二 “邻根方程”。 7.这4个数中最小的数为7. (2)①x1=-1,x2=6. 次函数y=-(x-4)2+c的图象上，则y1y2y (2)m的值为1 ②等腰三角形ABC的面积为12， 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x) 的大小关系是 ( 或3. 19.(1)①(50-2x). (2)每件卫衣降价5元或25元时，平均每天 A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 (3)t的最大值 ②AB的长为23米 C.y2 >y3 >y D.y3>y2>y1 为0. 可盈利1050元. (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理 23.(1)剪去的 (3)不能实现理由略 2.已知关于x的二次函数y=(x-m) 2 由略 正方形的边长为 1,当x<1时，y随x的增大而减少，则该抛物线 第2期3版参考答案 20.(1)P,Q两点从出发开始到2秒或6秒 10cm. 时，点P和点Q间的距离是5cm 的顶点在 (2)不能.理由 题号12345678 A.第一象限 B.第二象限 略 答案B C B CC D C A (2)当P,Q两点从出发开始到8-，秒 C.第三象限 D.第四象限 二、9.x-6=0:10.10:11.14或-14： 或了秒或瓷秒或8+秒 3.在同一坐标系中，二次函数y=ax2+b 12.(x-1)(2x-1);13.15; 与一次函数y=ax+b的图象可能是（ 14.(5-2)2. 时，点P,Q,D组成的三角形 7 是等腰三角形 三、15.(1)x1=-3,=4 第2期4版参考答案 (2)y=-3-7 44水=3 几何加油站 数理报社试题研究中心 4； 1.√58：2.5-1. (参考答案见下期) 数理格 2026年7月23日·星期四 初中数学 期总第1200期 人教 中考 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-157 入门向导 一、定抛物线动线段 例1 已知抛物线y 推开三次函数的大门 =-(x-1)2+4,点 A(-1,m),点B(2,m),若 ◎河北夏雨桐 抛物线与线段AB有且只 二次函数是函数大家族中极为重要的成 二、建立二次函数模型 有一个交点，则m的取值 员，它的许多性质在我们实际生活中有着广泛 例2如图，有一个 范围为 0米 应用，因此同学们学习时一定要深刻领会二次 长为24米的篱笆，一面靠 解：由抛物线的解析 函数的概念，通过对问题情境的分析确定二次 墙（墙的最大长度为10 式，得它的顶点坐标为(1， 西 4),对称轴为直线x=1. 数的解析式，为运用二次函数及其性质解决 米)围成中间隔有一道篱 形 线牵 实际问题打下坚实的基础： 笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为 令-(x-1)2+4=0,解 S平方米 得3,1.所以抛装 一、二次函数的概念 (1)求S关于x的函数关系式及x的取值范 物线与x轴的交点为(-1， 物 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常 交 围： 0),(3,0) 数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变 (2)如果要围成的花圃ABCD的面积是45 当抛物线与线段AB 量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一 平方米，则AB的长为多少米？ 有且只有一个交点时，有 点 次项系数和常数项 解：(1)S=(24-3x)x=-3x2+24x.又因 两种情况： 例1若函数y=(m-2)x2-2+x是关于 ①当点(1,4)在线段 ≤x<6. x的二次函数，则m的值为 ( 为x>0,且10≥24-3x>所以 AB上时，如图1-①，满足题意，此时m=4; A.2 B.±2 C.-2 D.0 (2)依题意，得-3x2+24x=45.解得x1= 解：由已知可得m-2≠0，m2-2=2.解得 5,x2=3(不符合题意，舍去). 答：AB的长为5米 m=-2.故选C 注意： 方法指导：列二次函数的解析式要遵循以 (1)二次函数的自变量x的最高次数是2： 下步骤：(1)审清题意，找出实际问题中的已知 2 (2)特别要注意a≠0这一条件，若a=0, 量、未知量，并把未知量用字母表示；(2)找出已 图1 解析式y=ax2+bx+c中就不含有二次项，它就 知量、未知量之间的数量关系，用代数式表示； ②当线段AB从y=4开始向下平移时，线 段AB与抛物线有2个交点，直至线段AB过点 成了一次函数y=bx+c; (3)找出等量关系，把文字语言、图形语言等用 (3)当b=0,c=0时，y=a2是特殊的二 等式表示，并把等式化为y=ax2+bx+c(a≠ (2,n)时，此时n=-(2-1)2+4=3,即抛物 线过点(2,3)，由对称性可知，抛物线过点(0 次函数 0)的形式 3),线段AB与抛物线交于(2,3)，(0,3)两个 点 名师⑤睛 线段AB继续向下平移，此时线段AB与抛 赏析二次函数的图象与性质 物线只有一个交点，如图1-②，直至线段AB过 点(-1,0)，此时m=0; ◎山东耿森尧 线段AB继续向下平移，线段AB与抛物线 没有交点 掌握二次函数的图象与性质的精髓，便能线顶点的横坐标为负，纵坐标为正，所以该抛物 综上所述，当m=4或0≤m<3时，线段 领略数学的应用之妙.下面举例加以说明，供同线的顶点在第二象限. AB与抛物线只有一个交点. 学们参考， 故选B. 故填m=4或0≤m<3, 一、比较大小 三、判断函数图象 二、定线段动抛物线 例1已知抛物线y=2(x-1)2+c过点 例3在同一平面直角坐标系中，二次函数 例2在平面直角坐标系中，已知点A(3, (-2,y),(0,y2),(3,y3),则y1y23的大小关 y=mx2与一次函数y=-mx-m的图象可能是 1),B(3,3),抛物线L:y=-(x-t)2+t,当L与 系是 线段AB有公共点时，t的取值范围是( A.y y3 y B.y1>y3>y2 A.3≤t≤4 B.2≤t≤3或4≤t≤5 C.y2>y1>y3 D.y1>y2>y3 C.3≤t≤4或5≤t≤6 解：抛物线y=2(x-1)2+c的开口向上， D.2≤t≤5 对称轴为直线x=1,所以到对称轴的距离越 解：因为y=-mx-m=-m(x+1),所以 解：当抛物线过点A(3,1)时，-(3-)2+ 远，函数值越大.所以y1>y3>y2 y=-mx-m的图象经过点(-1,0)，故选项B, t=1,解得t=2或t=5; 故选B. D不符合题意： 当抛物线过点B(3,3)时，-(3-t)2+1= 二、确定顶点位置 A.由二次函数y=mx2的图象开口向上，可 3,解得t=3或t=4. 例2已知抛物线y=a(x+2)2-a+1(a 知m>0,由一次函数y=-mx-m的图象经过 因为抛物线L的顶点坐标为(t,t),所以它 ≠0)，当x>0时，y随x的增大而减小，则该抛 第一、二、三象限，可知m<0,结论矛盾，选项A 的顶点在直线y=x上移动，顶点由低向高移动 物线的顶点在 不符合题意； 过程中，L与线段AB有公共点的情况如图2， A.第一象限 B.第二象限 C.由二次函数y=mx2的图象开口向下，可 C.第三象限 D.第四象限 知m<0,由一次函数y=-mx-m的图象经过 解：抛物线y=a(x+2)2-a+1的对称轴第一、二、三象限，可知m<0,结论一致，选项C 为直线x=-2,顶点坐标为(-2，-a+1).因为符合题意， 当x>0时，y随x的增大而减小，所以抛物线开 故选C 所以2≤t≤3或4≤t≤5. 口向下，即a<0.所以-a+1>0.因为该抛物 专项练习见本期4版《重点集训营》 故选B. 21 素养专练 人 数理极 A.2 B.-2C.8 D.-8 丝跟踪训练卡 4.已知三个二次函数的 5.已知点A(x1,y),B(x2,y2)在二次函数y 图象如图1所示，那么a1,a2, =(x-1)2+1的图象上，若1>x1>x2,则y 26.1二次函数的概念 a的大小关系是 y2(填“>”“<”或“=”) （用“>”连接). 基础训练 5. 已知点(x1少)， 6,如图1，已知二次函数)=-宁(x-)2+2 1.下列函数中，属于二次函数的是 ( (x2,y2)是二次函数y= 的图象经过点A(2,0),B,设该二次函数的对称轴 A.y=√2x2-3 B.y=(x+2)2-x2 (m-3)x2的图象上的两 与x轴交于点C,连接BA,BC,则△ABC的面积为 C.y=-3x2+1 D.y=5 点，且当0<x1<x2时，有y1<y2,则m的取值范 2 围是 2.关于x的二次函数y=-2x2+4x+1,其中 6.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8). 二次项系数、一次项系数、常数项分别是( (1)求此抛物线的函数解析式； A.2,-4,-1 B.-2,4,1 (2)请写出这个抛物线的顶点坐标、对称轴 C.2,-4,1 D.-2,4,-1 开口方向； 3.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次 (3)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上 函数的是 ( 7.如图2，点A,B的坐标分别为(1,4)和(4， ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y(cm) 4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上 与宽x(cm)的关系； 运动，与x轴交于C,D两点(C在D的左侧)，点C ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积 的横坐标的最小值为-3，则点D的横坐标的最大 y(cm2)与圆柱的高x(cm)的关系； 值为 ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以 8.已知二次函数y=-(x-m)2+m2+1. 每件x元出售，可卖出(200-x)件，利润y(元)与 (1)二次函数图象的对称轴为直线x= 每件售价x(元)的关系. (用含m的代数式表示)； A.①B.② C.③ D.①③ (2)当-2≤x≤1时，数有最大值为4，求 4.已知二次函数y=ax2-2ax+6的图象经 实数m的值. 过点(-1，-6)，则a的值为 7.如图2，二次函数y=ax2(a≠0)的图象经 5.若函数y=(k-2)x2-是关于x的二次函 过点(-4,4)，过点F(0,1)作x轴的平行线交该 数，则一次函数y=x-1的图象不经过第 二次函数的图象于M,N两点. 象限 (1)求二次函数的解析式： 6.某市化工材料经销公司购进一种化工原料 (2)P为平面内一点，当△PMW是等边三角 若干千克，价格为每千克30元.物价部门规定其 形时，求点P的坐标 销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30 元.经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单 价x(元/千克)的一次函数，且当x=60时，y= 80;当x=50时，y=100.在销售过程中，每天还 一能力提高 要支付其他费用450元. 9.如图3，已知二次函数y=2(x+2)2-4的 (1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量 图象的顶点为A,与y轴交于点B. x的取值范围： (1)求点A,B的坐标： (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与 (2)过点B平行于x轴的直线交抛物线于点 销售单价x(元/千克)之间的函数解析式 C,该抛物线的对称轴交x轴于点D,求四边形 OBCD的面积； 262.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 (3)是否存在点P,使以P,B,C,D为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满 基础训练 足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 1.二次函数y=-3(x+2)2+5的顶点坐标 是 A.(2,5) B.(2,-5) 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 C.(-2,-5) D.(-2,5) 基础训练 2.已知抛物线y=(x-h)2,其中h>0,该抛 物线的大致图象是 1.抛物线y=4x2的对称轴是直线 ( A.y=0 B.y=4 C.x=0 D.x=4 0 0 2.已知点A(2,y),B(-1,y2)在二次函数y B D =ax2(a<0)的图象上，则y1与2的大小关系是 3.将抛物线y=x2+1向左平移1个单位，再向 ）下平移2个单位，所得抛物线的解析式是() A.y1>y2 B.YI<Y2 A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+3 C.y1=y2 D.无法判断 C.y=(x-1)2-1D.y=(x-1)2+3 3.已知抛物线y=a2(a≠0)经过两点 4.与抛物线y=-4x2+1的顶点相同，形状相 数理报社试题研究中心 A(m,8)和B(2,8),则m的值是 )同但开口方向相反的抛物线的解析式为 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 16.(10分)如图5，抛物线y=-x2+4与x轴 同步达标检测题 交于A,B两点，与y轴交于点C,四边形ABCD是平 行四边形 (1)写出点A,B,C的坐标； ■■■■■ 【检测范围：26.126.2.2】 (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平 移后抛物线的解析式 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (满分：120分) 9.二次函数y=(2x-1)(1-x)的二次项系 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 数是 ,常数项是 题号1 2 34567 8 10.把抛物线y=-(x-2)2-2先向右平移 2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛 答案 物线的解析式为」 1.若函数y=口-5x+3是二次函数，则“口' 11.已知二次函数y=a(x-1)2+6,当x<1 可以是 ( )时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的 A.y B.22 C.x2 D.2x 值： 2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(1， 12.某圆形喷水池中心0有一雕塑OA,从A点 2),则a的值是 ( )向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同 A. B.4 D.2 如图2，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点 17.(10分)如图6，在平面直角坐标系中，直 C,D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限 3.公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵 线，：-多+3与轴y轴分别交于点C,D,抛物 守“一盔一带”的规定.经销商统计某品牌头盔7 部分的函数解折式为y=石(x-5)2+6,则两个 月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增水柱的最高点M,N之间的距离为， 线y=-子(x-2)2+k(k为常数)经过点D且交 加相同的百分率x,则9月份的销售量y关于每月 x轴于A,B两点 增加的百分率x的函数解析式是 (1)求抛物线的函数解析式； A.y=1500(1+x)2 (2)若点P为抛物线的顶点，连接AD,DP, B.y=1500+(1-x)2 CP.求四边形ACPD的面积 C.y=(1+x)2+1500 图2 D.y=x2+1500 13.如图3，正方形的边长为4，以正方形对角 4二次函数)=分，=-2xy=的图 线的交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数y 象开口最大的是 与)=-了的图象，则阴影部分的面积是 4(x-2)+k B.y=-2x2 图6 14.如图4，A,B两点的坐 C.y D.无法确定 标分别为(1,1)，(4,1).若二 5.抛物线y=-(x-3)2-n(n是常数)经过次函数y=(x-b)2+b-2的 A(,y),B(x2y2),C(x3y3)三点，且x1<x2< 图象与线段AB有交点，则该 3,x3>3,1x1-31<x3-31,则关于y,2,y3的 抛物线与y轴交点的纵坐标n 图4 大小关系是 ) 的取值范围是 18.(10分)已知二次函数y=-(:-2m) A.y1>y3>y2 B.y3 y2 y 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） C.y2>y1>y3 D.y>9>y1 15.(8分)已知抛物线y=2x2+n过点M(2, +1-m(m是实数) 6.如图1，二次函数y= 3) (1)当m=2时，若点A(6,n)在该函数图象 -(x+1)2+4的图象与x轴交 (1)写出抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对 上，求n的值 于A(-3,0),B两点，下列结 称轴； (2)该二次函数图象的顶点在某条」 论：①点B的坐标为(1,0)； (2)对于二次函数y=2x2+n,当x在什么范 (填“直线”或“抛物线”)上，且解析式为 ②AB=4;③当x=1时，y有最 围时，y随x的增大而减小？ 大值是4；④当x>0时，y随x (3)已知点P(a+1,c),Q(4m-7+a,c)都在 的增大而增大；⑤当-2≤x≤2时，-5≤y≤4， 该二次函数图象上，求证：6≤-名 正确的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 7.在同一坐标系中，二次函数y=ax2+c的图 象与一次函数y =cx+a的图象可能是 业架有 8.已知二次函数y=a(x-2)2-4a+3(a为 常数，且a≠0)，当1≤x≤4时，函数的最大值与 最小值之差为8，则a的值为 A.4或-4 B.3或-3 C.2或-2 D.1或-1 (下转第4版)