26.2.3 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过自主预习的表格梳理开口方向、顶点坐标等核心要素，以配方法转化一般式为顶点式为学习支架，衔接已学的二次函数顶点式知识，帮助学生构建知识脉络。 资料亮点在于结构化预学表格培养抽象能力，合作探究中题型分类及变式训练发展逻辑推理，课堂检测强化应用意识，整体设计促进学生自主学习，提升数形结合与函数变换的综合应用能力。

26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 素养目标 1.能用配方法确定抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标、函数的增减性和最值. 2.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象,知道其性质. 3.经历将一般式转化为顶点式的探究过程,发展数学抽象与逻辑推理素养,提高数形结合与函数变换的综合应用能力. 重点 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质. 【自主预习】 预学思考 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 　　阅读课本本课时的内容,补全下列新知要点: 　　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质: 表达式 y =ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 开口 方向 顶点 坐标 (-,) (-,) 对称轴 直线x=- 直线x=- 增减性 当x<-时,y随x的增大而 ;  当x>-时,y随x的增大而 当x<-时,y随x的增大而 ;  当x>-时,y随x的增大而 最值 最小值: x=-时, ymin= 最大值:x=-时,ymax= 自学检测 1.二次函数y=x2+x-2的常数项为 ( ) A.　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.-2 2.把二次函数y=x2-2x-1配成顶点式为 ( ) A.y=(x-1)2　　　　 B.y=(x-1)2-2 C.y=(x+1)2+1　　　　 D.y=(x+1)2-2 3.关于抛物线y=-2x2-8x+1,下列说法错误的是 .(填序号)  ①开口向上; ②顶点坐标是(-2,1); ③对称轴是直线x=-4; ④x>-1时,y随x的增大而减小. 【合作探究】 题型精讲 题型1 抛物线y=ax2+bx+c的顶点与对称轴 例1　已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上,求a的值. 变式训练　在平面直角坐标系中,若抛物线y=2x2+8x-m的顶点在坐标轴上,则m的值为 ( ) A.-4　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.-8 题型2 系数与图象的关系 例2　已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列结论:①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0;④a-b+c>0.其中正确的有 ( ) A.4个　　　　B.3个　　　　C.2个　　　　D.1个 变式训练　 已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,下面四个结论:①abc<0;②a+c<b;③2a+b=1;④a+b≥m(am+b).其中正确的是 .(填序号)  题型3 抛物线y=ax2+bx+c的平移 例3　抛物线y=x2+bx+c先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得新抛物线的解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为 ( ) A.2,6　　　　 B.2,0 C.-6,8　　　　 D.-6,2 【方法归纳交流】抛物线y=ax2+bx+c的平移问题的解题步骤: 变式训练　 二次函数y=x2图象可以看作是由y=x2+4x+4的图象平移得到的,下列正确的叙述是 ( ) A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向上平移4个单位长度 D.向下平移4个单位长度 题型4 函数y=ax2+bx+c的增减性 例4　已知抛物线y=-x2+2x+3. (1)当函数值y随x的增大而增大时,x的取值范围为 .  (2)若点A(-1,y1),B(2,y2)在抛物线上,则y1,y2的大小关系为 .  课堂检测 1.对于二次函数y=x2-2mx-3,若当x=2时的函数值与x=4时的函数值相等,则二次函数有 ( ) A.最小值-12　　　　B.最小值12 C.最大值-12　　　　D.最大值12 2.已知抛物线y=-3x2+12x-8. (1)用配方法求它的顶点坐标. (2)求它与y轴的交点坐标. (3)当x为何值时,y有最大值或最小值? 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点 向上　向下　减小　增大　增大　减小 自学检测 1.D　2.B 3.①②③ 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:抛物线的顶点坐标是(,).当顶点在x轴上时,有=0,解得a=4或a=-8;当顶点在y轴上时,有=0,解得a=-2.所以当抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上时,a的值为-2或4或-8. 变式训练 D 题型2 例2　B 变式训练　 ①②④ 题型3 例3　B 变式训练 B 题型4 例4 (1)x<1　(2)y1<y2 课堂检测 1.A 2.解:(1)y=-3x2+12x-8=-3(x2-4x)-8=-3(x-2)2+12-8=-3(x-2)2+4, ∴顶点坐标为(2,4). (2)令x=0,则y=-8, ∴抛物线y=-3x2+12x-8与y轴的交点坐标为(0,-8). (3)∵-3<0, ∴抛物线开口向下,函数有最大值, 当x=2时,y有最大值,最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $