26.2.3 第2课时 公式法求抛物线y＝ax²＋bx＋c的顶点坐标 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，核心为公式法求顶点坐标。通过“知识链接”复习顶点式及配方法，搭建旧知支架，引导学生推导顶点公式，实现从配方法到公式法的自然过渡。 资料以自主探究、合作交流为主线，通过例题变式训练培养学生推理能力与运算能力，跨学科体育运动例题体现应用意识，当堂检测分层设计，助力学生掌握方法，发展数学思维与问题解决能力。

第二十六章　二次函数　26.2 二次函数的图象与性质　26.2.3 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与性质（第2课时）——公式法求顶点坐标 【学习目标】 ① 理解顶点公式的推导，会用公式 h＝－、k＝ 求抛物线 y＝a＋bx＋c 的顶点坐标与对称轴； ② 会用公式法或配方法求二次函数的顶点坐标、对称轴，并能由已知条件求待定系数； ③ 能结合顶点坐标判断二次函数的增减性与最值，解决函数图象与性质的综合问题。 【学习重难点】 重点：顶点公式 h＝－、k＝ 的记忆与运用；用公式法求顶点坐标与对称轴。 难点：利用顶点坐标判断图象的增减性与最值；含参数的二次函数最值与取值范围问题。 【知识链接】（复习旧知） 1. 二次函数 y＝a(x－h)²＋k 叫做顶点式，其图象的顶点坐标为（________，________），对称轴为直线 x＝________。 2. 用配方法把 y＝x²－4x＋3 化为顶点式：y＝x²－4x＋3＝(x²－4x＋________)－________＋3＝(x－________)²＋________。 3. 配方法步骤：① 提二次项系数；② 加上并减去________的一半的平方；③ 写成________的形式。 【自主探究】 探究1　顶点公式的推导与应用 例1 用配方法求下列抛物线的顶点坐标： (1) y＝－4x＋3＝(x²－4x＋4)－4＋3＝(x－________)²＋________，抛物线开口向________，对称轴为直线 x＝________，顶点坐标为（________，________）； (2) y＝－2x－1＝(x²－4x＋4)－2－1＝(x－________)²＋________，抛物线开口向________，对称轴为直线 x＝________，顶点坐标为（________，________）。 顶点公式：对任意抛物线 y＝a＋bx＋c（a≠0），其对称轴为直线 x＝h＝－，纵坐标为 k＝，即顶点坐标为（－，）。 探究2　运用顶点公式求待定系数 例2 已知抛物线 y＝＋（m＋1）x 的对称轴为直线 x＝－2，则 m 的值为（　　）。 　解：由对称轴公式 x＝－，a＝1，b＝m＋1，得 －(m＋1)／2＝－2，解得 m＝________； 　　此时顶点横坐标为 －2，纵坐标 k＝(－2)²＋(m＋1)·(－2)＝4－2(m＋1)＝4－2×4＝________，故顶点坐标为（－2，________）。 　【变式2】已知抛物线 y＝－＋mx＋m＋1 有最大值 4，求 m 的值与对称轴。 　解：a＝－1＜0，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标 k＝＝________＝4，整理得 m²＋4m－12＝0，解得 m＝________或________； 　　当 m＝－6 时，对称轴 x＝－＝－(－6)／(－2)＝________；当 m＝2 时，对称轴 x＝－2／(－2)＝________。 探究3　二次函数的图象与性质（增减性与最值） 例3 关于抛物线 y＝－2＋4x＋1，下列结论正确的是（　　）。 　A. 开口向上；　B. 对称轴为直线 x＝－1；　C. 顶点坐标为(－1,3)；　D. 当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大。 　解：a＝－2＜0，开口向________；对称轴 x＝－b/(2a)＝－4／(－4)＝________，顶点纵坐标 k＝＝________，故顶点为（________，________）。故选________。 　【变式3】已知抛物线 y＝－＋2x＋c 上有三点 A(－1,y₁)、B(3,y₂)、C(5,y₃)，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　）。 　解：a＝－1＜0，开口向下，对称轴为直线 x＝－b/(2a)＝－2／(－2)＝________；点 A(－1,y₁) 与 B(3,y₂) 关于直线 x＝1 对称，故 y₁________y₂；又 C(5,y₃) 到对称轴的距离最________，故 y₁＝y₂________y₃。 【合作交流】（方法归纳，师生共研） 求二次函数 y＝a＋bx＋c 的对称轴和顶点坐标，常用的两种方法：① ________（将一般式化为顶点式 y＝a(x－h)²＋k）；② ________（直接用顶点公式）。 当 a＝1 且 b 为偶数时，用________较简便；当 a≠1 时，一般用________更方便。两种方法在本质上________（填“相同”或“不同”）。 【当堂检测】 1. 抛物线 y＝－4x＋2 的对称轴是直线（　　）。A.x＝2　B.x＝3　C.x＝4　D.x＝6 2. 已知二次函数 y＝2＋bx＋c 的部分对应值如下表： 　　x　　 －3　　－2　　－1　　 0　　 1 　　y　　 3　　 －3　　－5　　－3　　________ 　　由表格的对称性可知，当 x＝________时 y 取得最小值 －5，故对称轴为直线 x＝________；x＝1 与 x＝－3 关于对称轴对称，故 x＝1 时 y＝________。 3. 已知二次函数 y＝－2－4x＋2 的部分对应值如下表： 　　x　　 －3　　－2　　－1　　 0　　 1 　　y　　 －4　　 2　　 4　　 2　　－4 　　该函数在 －2＜x＜4 的取值范围是（　　）。提示：顶点横坐标 x＝－＝－(－4)／(－4)＝________，最大值为 y＝________；当 x＝4 时 y＝－2×16－16＋2＝________，故取值范围为________。 4. 二次函数 y＝－mx＋3，当 x≥1 时 y 随 x 增大而增大，则 m 的取值范围是（　　）。 　A.m≥1　B.m≤1　C.m≤2　D.m≥2 　解：a＝1＞0，开口向上，对称轴 x＝－＝－(－m)／2＝________；要使 x≥1 时 y 随 x 增大而增大，需对称轴 x≤1，即________≤1，解得 m≤2。故选________。 5. 已知点 A(0,y₁)、B(1,y₂)、C(5,y₃) 在抛物线 y＝a－2ax－5（a＜0）上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　）。 　A.y₃＞y₂＞y₁　B.y₂＞y₃＞y₁　C.y₁＞y₃＞y₂　D.y₂＞y₁＞y₃ 　解：对称轴 x＝－b/(2a)＝－(－2a)／(2a)＝________；点 B 在对称轴上，y₂最________；点 A 到对称轴距离为________，点 C 到对称轴距离为________，因 a＜0，离对称轴越远函数值越________，故 y₂＞y₁＞y₃。选________。 6.（跨学科·体育运动）某投篮出手后球的高度 y（m）与水平距离 x（m）满足 y＝－0.1＋2.6x＋43。 　(1) 化为顶点式：y＝－0.1(x²－26x)＋43＝－0.1(x－________)²＋________； 　(2) 当 0≤x≤13 时，y 随 x 增大而________（增强/减弱）；当 13＜x≤30 时，y 随 x 增大而________；在 x＝________时球达到最强，最强高度为________。 【学习小结】 1. 公式法：抛物线 y＝a＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝h＝－，顶点纵坐标 k＝，顶点坐标为（h，k）。 2. 配方法（y＝a(x－h)²＋k）与公式法本质________（相同/不同），结果一致。 3. 利用顶点可求最值：a＞0 时有最________值；a＜0 时有最________值；还可判断对称轴两侧的增减性。 【拓展延伸】 思考：① 顶点公式 h＝－、k＝ 与配方法 y＝a(x－h)²＋k 本质一致，你知道为什么吗？ ② 利用顶点坐标，除求最值外，还能解决哪些问题？例如判断________、求给定范围内的________等。 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. (h,k)；x＝h。 2. 4；－4；2；－1。 3. 一次项系数；a(x－h)²＋k（顶点式）。 二、自主探究 探究1 例1 (1) y＝(x－2)²－1，开口向上，对称轴 x＝2，顶点(2,－1)；(2) y＝½(x－2)²－3，开口向上，对称轴 x＝2，顶点(2,－3)。顶点公式：h＝－b/(2a)，k＝(4ac－b²)/(4a)。 探究2 例2 m＝3，顶点(－2,－4)；变式2 m＝－6 或 2，当 m＝－6 时对称轴 x＝－3，当 m＝2 时对称轴 x＝1。 探究3 例3 选 D（a＝－2＜0 开口向下，对称轴 x＝1，顶点(1,3)）；变式3 A、B 关于 x＝1 对称，故 y₁＝y₂＞y₃。 三、合作交流 两种方法：① 配方法（化为顶点式）；② 公式法。a＝1 且 b 为偶数时用配方法简便；a≠1 时用公式法；二者本质相同。 四、当堂检测 1. D（对称轴 x＝－(－4)/(2×⅓)＝6）。 2. 当 x＝1 时 y＝3；最小值在 x＝－1 处，对称轴为直线 x＝－1。 3. 顶点横坐标 x＝－1 时 y 最大为 4；x＝4 时 y＝－46；故 －46＜y≤4。 4. C（对称轴 x＝m/2≤1，得 m≤2）。 5. D（对称轴 x＝1，y₂ 最大；a＜0 离对称轴越远函数值越小，故 y₂＞y₁＞y₃）。 6. (1) y＝－0.1(x－13)²＋59.9；(2) 0≤x≤13 时增强，13＜x≤30 时降低，x＝13 时最强，最强高度 59.9。 五、学习小结 1. h＝－b/(2a)，k＝(4ac－b²)/(4a)。　2. 配方法（a(x－h)²＋k）与公式法本质相同。　3. a＞0 有最小值，a＜0 有最大值。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $