第2期：25.2.3 因式分解法～25.3 实际问题与一元二次方程-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（人教版·新教材）

初中数学·人教中考第1~4期 ”发理橘 答案详解 2026~2027学年 初中数学·人教中考 第1~4期(2026年7月) 5.没有. 第1期2版 3 6.(1)=立k=1: 25.1一元二次方程的概念 (2)x1=7=-29 1 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.x=-2. 3 6.填表如下： 能力提高7.(1)证明：4=62-4ac=(k-8)2-4×2 方程 一般形式 二次项系数 次项系数 常数项 2x2=7x 2x2-7x=0 2 -7 0 ×(-4)=(k+8)2≥0， 5-3x2=6x 3x2+6x-5=0 3 6 -5 所以该方程总有两个实数根。 (x+1)(x-3》 x2-5x-7=0 1 -5 -7 (2)解方程，得 =3x+4 能力提高 7.(1)x2+3x-4=0. x=-(k-8),±，h+8y_8-k±1k+81 2×2 4 (2)由条件可知，方程x2-2x+c=0的“倒方程”为cx2一 2x+1=0. 所以x1=4,x=-2 把x=-1代入方程cx2-2x+1=0,得c+2+1=0.解 因为该方程有-个根小于3，所以-左<3.解得k>-6, 得c=-3. (3)2026. 第1期3版 25.2.1配方法 一 题号12345678 基础训练1.C;2.C;3.-2;4.-12;5.-1. 答案DCBDBABB 6.(1)x1=1,x2=-3; 二、9.2-8x-4=0;10.m≥0；11.-2；12.-1； 2-2 13.6或15或12；14.- 3 3=-1-6 55 三、15.(1)x1=-7,x2=1; (4)无实数根. (2)=1+=1- 2； 能力提高7.由题意得，小明解的方程是x2+4x+c+1=0. 把x=-1代入方程x2+4x+c+1=0,得1-4+c+1 (3x1=-影 =0.解得c=2. 16.(1)③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方， 所以原方程为x2+4x+2=0. 而右边没有加， 解得x1=2-2,x2=-2-2. (2)2x2-8x-18=0. 25.2.2公式法 移项、二次项系数化为1，得x2-4x=9. 配方，得x2-4x+4=9+4. 基础训练 1A2D:33;4=7.6 6 (x-2)2=13. 初中数学·人教中考第1~4期 由此可得x-2=±√3， 整理，得AD+a·AD=. 所以x=2+√13，x2=2-√3. 所以形如x2+ax=b2的方程的其中一个正根是线段AD 17.(1)将x=1代入原方程，得(a-1)-2+a2+1=0. 的长 整理，得d2+a-2=0.解得a=1,a2=-2. (2)2x+10,/61-5. 因为a-1≠0，所以a≠1.所以a的值为-2. (3)因为x2+2x-4=0,所以x2+2x=4. (2)将a=-2代入原方程，得-3x2-2x+5=0,即x2+ 方法一：如图1，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC= 2 5 2,BC=1,在斜边AB上截取BD=BC 3x=3 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC=√4+I=5, 配方，得(+宁=兰开方，得+了=±寺 4 则该方程的一个正根为AD的长，即5-1. 所以该方程的解为=1，三一亭 x+2 18.(1)4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)= x+2 x+2 (m-3)2. 2 因为方程有两个不相等的实数根， x+2 图1 图2 所以(m-3)2>0且m≠0. 方法二：如图2，用4个长都是(x+2),宽都是x的矩形拼 所以m的取值范围是m≠3且m≠0. 成如图2所示的正方形， (2)证明：因为4=(m-3)2≥0， 因为x2+2x=4,所以x(x+2)=4. 所以x=-6±公-4ac_3(m-1)±(m-3) 2a 2m 所以一个矩形的面积是4. 所以年=3m-3+m-3=2m-3=2-3 所以(2x+2)2=4×4+22=20. 2m m = 所以(x+1)2=5. 3m-3-m+3=1 2m 所以该方程的一个正根为5-1. 所以无论m为何值(m≠0)，方程总有一个固定的根. 第1期4版 19.(1)一元二次方程2x2+x-1=0是“C方程”.理由如 下： 几何加油站 解2x2+x-1=0,得x1=0.5,x2=-1. 1.3.【提示】过点A作AK1HG于点K,连接AH,AM,证 因为c=-1,所以一元二次方程2x2+x-1=0是“C方 明Rt△ADH≌Rt△AKH,Rt△AKM兰Rt△ABM,得到DH= 程”. KH,BM=KM,根据对称可得QG=QB,将△GQM的周长表示 (2)因为关于x的一元二次方程4x2+bx+c=0(c≠0) 出来，再通过边的转化解答即可. 是“C方程”，所以4c2+bc+c=0. 29 【提示】根据折叠和勾股定理依次求出FG,BG的 又因为c≠0，所以b=-4c-1. 长，过点G作GP⊥AD于点P,求出DE,EM的长，得到EM= 所以8-4c-1=2+6=(b+P-子 DE=2,连接EH,即可证明Rt△EMH兰Rt△EDH,推出DH= 因为(6+)2≥0，所以-4e-1的最小值为-子 HM=HC=4,连接CM交GH于点Q,利用三角形的面积即可 求出CQ的长，过点M作MW⊥CD于点N,最后根据三角形 20.(1)该方程的其中一个正根是线段AD的长.理由如 MCH的面积计算MW即可. 下 第2期2版 在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC2+AC= 25.2.3因式分解法 AB. 基础训练1.C;2.C;3.D;4.14. 所以（号）P+6=(号+AD)月 5.(1)x1=-5,x2=-3; 2 初中数学·人教中考第1~4期 (2)x1=2,x2=14: 整理，得x2-30x+125=0. (6-号=5 解得x1=25,x2=5. 答：每件卫衣降价5元或25元时，平均每天可盈利1050 能力提高6.(1)设x2+x=y,则原方程可化为y2+2y 元 -8=0,即(y+4)(y-2)=0,解得y1=-4,y2=2. (3)不能实现.理由如下： 当y=-4时，x2+x=-4,该方程无实数根； 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1500. 当y=2时，x2+x=2,解得x1=-2,x2=1. 整理，得x2-30x+350=0. 故原方程的根为x1=-2,x2=1 因为4=(-30)2-4×1×350=-500<0， (2)设2士2=y则原方程可化为y+子-3=0， 所以此方程无实数根. 即y2-3y+2=0,解得y1=1,2=2. 所以每天的盈利不可能达到1500元，故店长的愿望不能 当y=1时，3x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的解： 实现 当)=2时，32-2，解得：=-2，经检验是原方程的解 第2期3版 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. 题号12345678 答案B CBC CD C A 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础训练1.C;2.A;3.4;4.11. 二、9.x-6=0;10.10;11.14或-14； 5.因为关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+2= 12.(x-1)(2x-1);13.15;14.(5-2)2. 0有两个实数根， 三=-3=子：(2=-}-平 4 4 所以△=[-(2m-1)]2-4(m2+2)=4m2-4m+1- 4m-8=-4m-7≥0.所以m≤-子 、3 :(6)x=2=2 7 由根与系数的关系，得x1+x2=2m-1,x1·x2=m2+2. 16.(1)设进馆人次的月平均增长率为x 所以x2+x22=(x1+x2)2-2x1·62=(2m-1)2-2(m 根据题意，得7500(1+x)2=10800. +2)=27.解得m1=5,m2=-3. 解得气=20%，4=-号（不符合道意，合去) 又因为m≤-子所以m=-3 答：进馆人次的月平均增长率为20%. 25.3实际问题与一元二次方程 (2)不能.理由如下： 基础训练1.A;2.C;3.1;4.6;5.0.4. 由(1)得，第四个月的进馆人数为： 6.设每轮传染中平均一个人传染了x个人 10800×(1+20%)=12960>12000, 根据题意，得1+x+x(1+x)=225. 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次. 解得x=14,x2=-16(不符合题意，舍去). 17.(1)证明：4=62-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人 -1)=(m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2 7.设这4个数中最小的数为y,则最大的数为y+8. -2m+13=(m-1)2+12>0, 根据题意，得y(y+8)=105. 所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根。 整理，得y2+8y-105=0. (2)设AB,CB的长分别为x1,x2, 解得y=7或y=-15(不符合题意，舍去). 则x1,x2是方程x2-(m+3)x+2m-1=0的两个实数根 答：这4个数中最小的数为7. 根据根与系数的关系，得+龙2=m+3,x12=2m-1. 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x). 因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC=35, (2)根据题意，得(40-x)(20+2x)=1050. 所以x12+x22=AC2=35. 一3 初中数学·人教中考第1~4期 又因为x2+22=(（x1+x2)2-2x12, 在Rt△PQE中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=52. 所以(m+3)2-2(2m-1)=35. 解得t=2或t=6. 解得m=-6或m=4. 所以P,Q两点从出发开始到2秒或6秒时，点P和点Q间 因为AB,CB是△ABC的边长，所以x1>0,x3>0. 的距离是5cm. 所以x1+x2=m+3>0,且x12=2m-1>0. (2)连接PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时， 解得m>分 分三种情况： ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 所以m=4, 所以DF=QF, 即当m=4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形. 因为AP=CQ=tcm,所以QF=DF=AP=tcm, 18.(1)(x+2)(x+4). 因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=8cm, (2)①x1=-1,x2=6. 所以CD=DF+FQ+CQ=3tem=8cm, ②解x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5. 由三角形的三边关系可知x=5,所以AB=AC=5. 解得：=号，即当P,0两点从出发开输到号秒时，点P,Q, 过点A作AD1BC于点D,图略.则BD=之BC=4 D组成的三角形是等腰三角形； D 在Rt△ABD中，AD=AB2-BD=3. 所以等腰三角形ABC的面积=BC·AD=2, 19.(1)①(50-2x). ②根据题意，得(50-2x)x=92. 图2 图3 整理，得2-25x+46=0. ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 解得x1=2,2=23. 因为AP=CQ=tcm, 当x=2时，50-2x=50-2×2=46>10,不符合题意， 所以QP=QD=CD-CQ=(8-t)cm,DF=AP=tcm, 舍去； 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm, 当x=23时，50-2x=50-2×23=4<10,符合题意 在Rt△PQF中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=(8-t)2, 答：AB的长为23米 解得t=16±4图-8±37 6 31 (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理由如下： ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图3所示， 假设养蜂场的面积可以达到230平方米. 因为AP=CQ=tcm, 因为4B长为x米，所以BC长为48+2+10-2红米=(30 2 所以DP=QD=CD-CQ=(8-t)cm, -x)米 在Rt△ADP中，由勾股定理，得+32=(8-t)2, 根据题意，得(30-x)x=230. 解得4一瓷 整理，得x2-30x+230=0. 因为4=(-30)2-4×1×230=-20<0， 综上所述，当P,Q两点从出发开始到8秒或誉秒 3 所以原方程没有实数根。 所以假设不正确，即养蜂场的面积不能达到230平方米. 政瓷砂或8+瓦秒时，点PQ,D组成的三角形是等腰三角 16 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E,图略. 形 所以∠PEQ=90°. 第2期4版 由题意，得AP=CQ=tcm,所以BE=CQ=tcm,所以PE 几何加油站 =18-2t1cm 1.58. 【提示】以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB 4 初中数学·人教中考第1~4期 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，以PQ为斜边在PQ下方 20.(1)1和4. 作等腰直角三角形PQG,作GW⊥y轴于点W,作PH⊥GW于 (2)因为口ABCD为正方形，所以方程x2-(2m+1)x+2m 点H,设点Q(0,a),G(x,y),则点P(-a-2,0),F(-8,2),可 =0有两个相等的实数根 证得△PGH≌△GQW(AAS),所以PH=GW,GH=QW,进而 所以4=[-(2m+1)]2-4×2m=0. 得出点G(-1,-1),当F,P,G三点共线时，FP+PG最小，进一 1 解得m=m=2 步得出结果。 2.5-1.【提示】连接AF,CE,AC,设AC与EF的交点为 所以m的值为分 点O,得到平行四边形AECF,故点O是AC的中点，连接BD,则 (3)因为口ABCD的一条对角线的长为m-3,所以(m- BD经过点O,且OA⊥OB,取OB的中点H,连接AH,GH,根据 3)2-(2m+1)(m-3)+2m=0. 三角形的三边关系，计算最值即可. 解得m=4或m=-3. 第3期综合测评卷 当m=-3时，m-3=-3-3=-6<0,故此情况不符合 题意，舍去 题号 2345 6 7 89 所以m的值为4. 答案C 21.(1)设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平 二、11.22+x-4=0:12.k≤1且k≠2 13.12; 均增长率为x 由题意，得3(1+x)2=3.63. 14.-2026; 15.7或-号 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去 三、16.：1=-2+25，：2=-2-25.第一步变形的依据 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 是等式的基本性质1. 率为10%。 17.设方程的另一个根为x2: (2)设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人 因为方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-√2， 机的售价为(2.5-a)万元. 所以1-万+5=-2，（1-)=3婴 由题意，得(25-1.5-a)(80+05)=45. 所以5=反+1，m=-子， 整理，得4a2+12a-7=0. 解得a1=0.5,a2=-3.5(不符合题意，舍去) 即方程的另一个根为万+1，m的值为-子 所以2.5-0.5=2（万元） 18.设应邀请的俱乐部个数为n,则比赛总场数为 答：下调后每架无人机的售价为2万元 n(n-1) 五、22.(1)解x2+3x+2=0,得x1=-2,x2=-1. 因为-1-（-2)=1，所以该方程是“邻根方程” 根据题意，得(n,)=21. 2 (2)解x2-(m+2)x+2m=0,得x1=m,x2=2. 解得n=7或n=-6(不符合题意，舍去). 因为该方程是“邻根方程”， 答：应邀请的俱乐部个数为7. 所以m=2-1=1或m=2+1=3. 四、19.（1)解方程x2=2x,得1=0,2=2. 所以m的值为1或3. 因为：1≤2，所以P(0,2) (3)解ar+bx+2=0,得x=二b±-8a 2a (2)设方程x2-(m+√2)x-3=0的两根为x1和2(x 因为该方程是“邻根方程”， ≤x2),则P(x1,x2). 因为点P在直线y=-x上， 所以26+6=80--6--8a-1 2a 2a 所以x+x2=0,即m+√2=0，解得m=-√2. 整理，得b2=a2+8a 初中数学·人教中考第1~4期 因为t=12a-62-4, 所以点B(-1,-4)不在此抛物线上： 所以t=12a-(a2+8a)-4=-a2+4a-4=-(a-2)2. 7.(1)因为二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-4， 因为a>0,所以t的最大值为0. 4),所以4=a·(-4)产，解得a=4 1 23.(1)设剪去的小正方形的边长为xcm. 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600. 所以二次函数的解析式为y=子之。 解得x1=10,x2=60(60>40不符合题意，舍去). (2)将y=1代人y=子2，解得=2=-2 答：剪去的正方形的边长为10cm. (2)不能.理由如下： 所以点M,N的坐标分别为(-2,1)，(2,1). 根据题意，设该收纳盒的高为acm, 所以MN=2-(-2)=4,FM=FN=2. 则收纳盒底面的长为100,2acm=(50-)cm,宽为(40 因为△PMW是等边三角形，MW∥x轴， 2 所以点P在y轴上，且PM=4. 2a)em 所以∠PFM=90°.所以PF=√PM-FM证=25. 根据题意，得(50-a)(40-2a)=608. 因为点F的坐标为(0,1)，所以点P的坐标为(0,1+23) 解得a1=12,a2=58(58>50不符合题意，舍去) 或(0,1-25). 所以50-a=38.40-2a=16, 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 所以收纳盒的高为12cm,长为38cm,宽为16cm. 因为35<38（玩具车长小于收纳盒长），但13>12（玩具 基础训练1.D;2.A；3.A; 4.y=4x2+1;5.<;6.6;7.8. 车高大于收纳盒高)，17>16（玩具车宽大于收纳盒宽），所以 玩具车不能完全立着放入该收纳盒并盖上盖子 8.(1)m. (2)因为a=-1<0,所以该二次函数的图象开口向下. 第4期2版 所以当x<m时，y随着x的增大而增大；当x>m时，y随 着x的增大而减小 26.1二次函数的概念 当m≥1时，根据题意，得x=1时，y取得最大值，即-(1 基础训练1.C；2.B;3.C;4.-4;5.一 -m)2+m2+1=4,解得m=2; r60k+b=80, 6.(1)设y=kx+b,根据题意，得 当-2<m<1时，根据题意，得x=m时，y取得最大值， 50k+b=100. k=-2, 即m2+1=4,解得m=-√3或3（不符合题意，舍去）； 解得 b=200. 当m≤-2时，根据题意，得x=-2时，y取得最大值，即 所以y=-2x+200(30≤x≤70). -(2-m)+m2+1=4,解得m=-子（不符合随意，合 (2)0=(x-30)y-450=(x-30)(-2x+200)-450, 去). 即0=-2x2+260.x-6450(30≤x≤70). 综上所述，m的值为2或-5. 26.2.1二次函数y=a2的图象和性质 能力提高9.(1)由题意，得A(-2,-4). 基础训练1.C;2.B;3.B; 当x=0时，y=4,所以B(0,4) 4.a2>a3>a1;5.m>3. (2)因为过点B平行于x轴的直线交抛物线于点C,该抛 6.(1)因为抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),所以a· 物线的对称轴为直线x=-2,所以0D=2,C(-4,4). (-2)2=-8. 所以BC=4,0B=4. 解得a=-2.所以此抛物线的函数解析式为y=-2x2. (2)这个抛物线的顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口 所以Sem=之(0D+BC)·0B=12. 向下. (3)存在点P. (3)把x=-1代入，得y=-2×(-1)2=-2, ①当BC为边时，有DP=BC=4,且点P必在x轴上， 6 初中数学·人教中考第1~4期 设P(m,0),所以DP=1m+21,所以1m+21=4, 由y=一子(：-2)2+4可得抛物线顶点P的坐标为(2， 解得m1=2,m2=-6,所以P1(2,0),P2(-6,0): 4). ②当BC为对角线时，PD和BC互相平分，BC中点的坐标 为(-2,4)，所以P(-2,8) 对于y=-子+3，令y=0,解得x=2 综上所述，满足条件的点P有三个，P1(2,0),P2(-6,0), 所以C(2,0).所以0C=2. P3(-2,8). 所以PC⊥x轴，且PC=4.所以DE=OC=2, 第4期3版 对于y=-(x-2)2+4,令y=0,得-x-2+4 =0. 题号12345678 答案C D AA C BCC 解得x1=6,x2=-2.所以A(-2,0),所以AC=4. 1 二、9.-2，-1；10.y=-x2+8x-16; 所以Sg边形Aom=Sacn+Sar@=左×4×3+2×4×2 11.-1(答案不唯一)；12.10；13.8； =10. 4.-是≤n≤10， 18(0）当m=2时y=-7(-4-1 三、15.(1)因为抛物线y=2x2+n过点M(2,3),所以2× 因为点A(6,n)在该函数图象上， 22+n=3. 1 所以n=-2×(6-4)2-1=-3. 解得n=-5.所以该抛物线的解析式为y=2x-5. 所以该抛物线的顶点坐标为(0，-5)，对称轴为直线x= (②)直线订=-分+1 0. (3)因为点P(a+1,c),Q(4m-7+a,c)都在该二次函数 (2)因为2>0，所以函数图象开口向上 图象上， 因为对称轴为直线x=0,所以在x≤0时，y随x的增大而 所以对称轴为直线x=4+1+4m-7+0=a+2m-3. 2 减小 所以a+2m-3=2m.所以a=3.所以P(4,c). 16.(1)当x=0时，y=4,即C(0,4). 当y=0时，-x2+4=0,解得x=±2， 所以e=-号(4-2m)2+1-m=-2(m-子2-子 所以B(2,0),A(-2,0). 所以c≤-8 (2)因为AB=4,C(0,4),四边形ABCD是平行四边形， 19.(1)令y=0,则a(x-3)2-4a=0, 所以CD∥AB,CD=AB=4,所以D(-4,4). 解得x1=1,x2=5. 设平移后的抛物线为y=-x2+4+m, 所以A(1,0),B(5,0).所以AB=5-1=4. 则-(-4)2+4+m=4, (2)当a=1时，y=（x-3)2-4,所以顶点C(3,-4) 解得m=16,所以平移后抛物线的解析式为y=-x2+20. 设直线BC的解析式为y=kx+b. 3 17.(1)对于y=-x+3,令x=0,得y=3, 把B(5,0),C(3,-4)代入， 所以D(0,3). 5k+b=0, 解得 k=2, 因为抛物线y=-子(x-2)2+k经过点D(0,3), 3k+b=-4,b=-10. 所以直线BC的解析式为y=2x-10. 所以-子×(0-2)2+长=3，解得长=4， 因为S ARCD=S△ABC,所以AD∥BC. 所以设直线AD的解析式为y=2x+n. 1 所以抛物线的函数解析式为y=-4(x-2)2+4 把A(1,0)代人，得2+n=0,解得n=-2. (2)过点D作DE⊥PC于点E,图略. 所以直线AD的解析式为y=2x-2 初中数学·人教中考第1~4期 y=2x-2, 所以△ABF≌△DAE(AAS). 联立，得 y=(x-3)2-4 所以AE=BF=m,AF=DE=n ”(不特合题意，舍去)， =1, 2=7， 所以m=n2-n-m2. 解得 y1=0 y2=12. 所以m+n=(n-m)(n+m). 所以D(7,12) 因为点B,D在y轴的右侧， 20.(1)设BC交y轴于点E,菱形ABCD的边长为2a, 所以m+n≠0，所以n-m=1.所以n-m为定值. 所以AD∥BC,AB=BC=CD=AD=2a. 第4期4版 因为AD⊥y轴，所以BC⊥y轴，所以B,C关于y轴对称. 重点集训营 所以BE=CE=a,所以B(-a,a2),所以OE=2 1.C;2.D;3.C 在直角三角形ABE中，由勾股定理，得AE=√AB2-BE 几何加油站 =5a, 1.√6.【提示】连接AD,过点A作AG⊥DC交DC延长线 所以OA=OE+AE=a2+5a. 于点G,过点M,D作ED,MW的平行线交于点P,则四边形 MNDP是平行四边形.所以MN=DP,MP=DN.可得AM= 所以D(2a,a2+5a). MP.可知点P的运动轨迹.当DP⊥AP时，DP最小，此时MN= 把D(2a,a2+5a)代入y=x2,得a2+5a=4a2, DP最小.在Rt△ADG中，根据勾股定理求得AD的长，即可求得 解得a,- 3,4=0(不符合题意，舍去). MN的最小值. 所以支形的边长为 2.√5.【提示】过点C作CH上BF于点H,过点B作BK ⊥CM于点K,过点D作DQ⊥MF交MF延长线于点Q,得到CH (2)n-m为定值.理由如下： =HF,△AGB≌△BHC,推出AG=BH,BG=CH,即可得到AG 过点B作BF⊥y轴于点F,过点D作DE⊥y轴于点E,图 1 =FG.易得BG=2GM,根据勾股定理可求得CM的长，再结 略。 由题意得B(m,m2),D(n,n2). 合△BKC≌△CQD即可解决问题. 所以BF=m,OF=m2,DE=n,OE=n2. 3.38.【提示】以AD边在AD上方作等边△ADG,连接 因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAB=90°，AD=AB. CG,取CG的中点H,连接AH,DH,EH,过点C作CK⊥AF于K, 所以∠FAB=90°-∠EAD=∠EDA. 过点F作FL⊥AD于L,先证得△ABD≌△ACG(SAS),再证得 ∠AFB=∠DEA=90°， △ABE≌△ACH(SAS),推出DE=BE=HG=DH,再利用等 在△ABF和△DAE中 ∠FAB=∠EDA, 边三角形性质及勾股定理即可求得答案. AB DA. —8—4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 (上接第3版) 20.(14分)如图4，在矩形ABCD中，AB= 19.(10分)如图3，小澜家有一块空地，空8cm,AD=3cm,动点P,Q分别从A,C点同时 地上有一面长为10米的围墙MN,小澜打算利出发，点P以1c/s的速度向点B移动，一直到 几何加油站 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD,已知点B为止，点Q以1cm/s的速度向点D移动， 上接4版参考答案) 木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一 直到点D为止.设运动时间为t秒. 二、9.x2-8x-4 1.如图1，在矩形ABCD中，已知AB=4,AD 扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x (1)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P和 0: 10.m≥0； =8,F为CD中点，点E在AD上，且AE=2,动 11.-2;12.-1; 米 点Q间的距离是5cm? 点P从E点出发沿射线ED运动，动点Q从A点 13.6或15或12； (1)如图3-①，当AD≤MW时， (2)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P, 出发沿射线AB运动，两点同时出发，并且速度 ①AD=米（用含x的代数式表示）；：O,D组成的三角形是等腰三角形？ 相同，连接PF,PQ,当点P,Q运动时，FP+ 14-是 ②若围成的养蜂场的面积为92平方米，求 三、15.(1)x AB的长. 2PQ的最小值为 -7,x2=1: (2)如图3-②，当AD>MN时，养蜂场的 (2)x1=1+号， 面积是否能达到230平方米？请说明理由. 图1 (3=-+ 2 2.如图2，正方形ABCD的边长为22，点E 是AB边上的一个动点，点F是CD边上的一个 动点，且AE=CF,过点B作BG⊥EF于点G,连 16.(1)③，只在方 程的左边加上一次项系 接AG,则AG长的最小值为 数一半的平方，而右边 数理报社试题研究中心 没有加. (参考答案见4期) (2)2x2-8.x-18= 第1期2版参考答案 0.移项、二次项系数化 25.1一元二次方程的概念 为1，得x2-4x=9.配 数理报社试题研究中心 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 方，得x2-4x+4=9+ （参考答案见4期) 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.x=-2. 4.(x-2)2=13.由此可 6.填表如下： 得x-2=±3，所以 专题辅导： 方程 一般形式 二次项系数一次项系数常数项 x1=2+13,62=2 十字相乘巧解方程 2x2=7x 2x2-7x=0 2 -7 0 13. -3x2=6x3x2+6x-5=0 3 17.(1)a的值为-2. x+1)(x-3) ⊙广东韩云骁 =3x+4 x2-5x-7=0 (2)该方程的解为 解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)g)=0. 能力提高7.(1)x2+3x-4=0. =1=- 时，十字相乘法是一种快速、直观的因式分解 (2)c=-3.(3)2026. 5.令每个因式为0，解得x,=- ,x2=- 9 18.(1)m的取值范 法，尤其适用于系数为整数（或可化为整数）的 m 25.2.1配方法 围是m≠3且m≠0. 情况它的核心思想是：将二次项和常数项分 三、典型例题 基础训练1.C;2.C;3.-2; (2)略. 4.-12;5.-1. 解，通过交叉相乘再相加，凑出一次项。 例用十字相乘法解下列一元二次方程： 19.(1)一元二次方 6.(1)x1=1,x2=-3; 一、基本原理 (1)x2-2x=3; 程2x2+x-1=0是“d 对于二次三项式ax2+bx+c,如果能找到 (2)2x2-3x-2=0. 方程”.理由略。 四个整数满足： 解：(1)x2-2x-3=0, (2)62-4c-1的最 ·二次项系数a=m·n, (x-3)(x+1)=0, 小信为一子 x\/-3 ·常数项c=p·9, x-3=0或x+1=0 (4)无实数根 20.(1)该方程的其 ·m·g+n·p=b, 即x=3,2=-1. 能力提高7.原方程的根为x1=√2-2，：2=-2 中一个正根是线段AD x-3=-2x 那么原式可因式分解为： (2)2x2-3x-2=0, -2. 的长.理由略 ax2+bx+c=(mx +p)(nx +g). (2x+1)(x-2)=0, 25.2.2公式法 (2)2x+10,6-5. 画成十字图如下： 2x+1=0或x-2=0, 基础训练1.A;2.D; (3)略. 2x/ 即左上左下凑二次， 1 右上右下凑常数， 即=-2=2 x八-2 3月：4=7告6 5.没有 第1期4版参考答案 6 2xx(-2)+=-3x 60=子= 几何加油站 四、常见错误与技巧 nx 交叉相乘再相加， 结果等于一次项 1.忘记符号：常数项为负时，两因数一正一负 (2)x1=3=-2 1 1.3:29 二、标准步骤 2.分解不唯一：同一个a或c可能有多种分 1.整理方程为一般形式ax2+bx+c=0(a 解方式，需多次尝试 (号+受专 3 3 >0). 3.系数较大时：可先提取公因数，或检验判 能力提高7.(1)略. 2.分解系数：将a分解成两个因数m,n,将c别式A=b2-4ac是否为完全平方数，若不是 (2)k的取值范围为k>-6 分解成两个因数p,9.c>0时，P,9同号，与b的则不能用十字相乘法（有理数范围内）. 第1期3版参考答案 正负一致；c<0时，P,9异号. 4.化分数为整数：若系数含分母，先将方程 题号12345678 3.交叉验证：计算mg+np,看是否等于b. 两边乘以公分母化为整数系数，再尝试使用十 答案D CBDBABB 4.将方程左边分解因式为(mx+p)(x+字相乘法 (下转1,4版中缝) 数理报 2026年7月9日·星期四 初中数学 第 2期总第1198期 人教 中考 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-157 品味方法 即x1=- 3 2,x2=- 5210 3 3 依形选法 速解一元二次方 编者语：(1)切记方程两边不要随意约去含 未知数的代数式.如：x(x-2)=x,若约去x,则 会丢掉根x=0. ⊙山东吴峻宁 (2)当一元二次方程的一次项系数或二次 解一元二次方程时，若能根据方程的外形 三、方程二次项系数为1，一次项系数为偶 项系数为分数时，只需找出所有分母的最小公 特点选择恰当的解法，往往能简化计算步骤，降数时，优先配方法 倍数，将方程两边同时乘以该倍数，即可将系数 低出错率下面结合例题介绍四种常用策略的 方法：将常数项移到右边，两边加上一次 化为整数，再按照常规方法求解即可.需注意常 选用. 项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再 数项也要同步乘以该倍数.若分母含有未知数， 一、形如(x+m)=n,优先直接开平方法 开方 则属于分式方程，需验根 方法：当方程可化为“一个整式的平方等 例3解方程：x2+8x-9=0. 于常数”的形式时，直接开平方即可（其中m 牛刀小试 解：移项，得x2+8x=9. 可以为0，即x2=n也适用) 配方，得2+8x+(8)2=9+( 8 )2 请选择适当的方法解下列方程： 例1解方程：(x+2)2=7. (1)3x2=3x: 解：方程两边开平方，得x+2=±7， (x+4)2=25. (2)4x2-12x+9=0; x+4=±5， (3)x2-6x-3=0: x+2=7,或x+2=-7, 即x1=-9,x2=1. (4)x(2x+1)=8x-3; 即x1=-2+7,2=-2-万 四、以上方法均不便使用时，选用公式法 (5)x2+3x+1=0; 二、方程两边含有公因式或符合乘法公式 (6)x2-9=4(x-3); 优先因式分解法 方法：将方程化为一般形式ax2+bx+c =0(a≠0)，再把各系数代入求根公式x= (7)子--3=0， 方法：若方程缺少常数项，或方程两边含 有相同因式，可先移项使方程右边为0，再提 -b±-4ac求解 2a 取公因式求解 -=x‘E=x(L):I=x‘E=x(9) 例4解方程：3x2+5(2x-1)=0. 例2解方程：x(x-5)=2x-10. 解：整理，得3x2+10x-5=0. -=(s):= 解：原方程可变形为x(x-5)=2(x-5) 因为a=3,b=10,c=-5, 移项，得x(x-5)-2(x-5)=0. 所以4=102-4×3×(-5)=160>0. 白x(hgZ-8=空gZ+9x(名 左边分解因式，得(x-5)(x-2)=0. 方程有两个不相等的实数根 x-5=0,或x-2=0, x=10±0.-5生20 ix=x(): =x‘0='x(I)凿是案 即x1=5,x2=2. 2×3 3 题型空间， ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 当t=4时，点Q和点C重合，不能围成四边 形APQC,应舍去，所以t=2. 藏在图形面积中的方程密码 答：经过2s时，四边形APQC的面积等于 16cm2. 四川卞佳宁 四、围栏问题 一、加框问题 整理，得x2-60x+59=0: 例4如图4，老李 例1四川省优秀非 解得x,=59(不符合题意，舍去)，x2=1. 想用长为70m的栅栏！ 遗工坊—一妙善观音绣 答：所修道路的宽为1m. 再借助房屋的外墙（外 B E F 工坊以针为笔、以线为墨 三、动点问题 墙足够长)围成一个矩 图4 将遂宁民俗文化不断创 例3如图3，在△ABC中， 形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门 新和传承.如图1，要在 ∠B=90°，AB=6cm,BC= (建在EF处，另用其他材料) 幅长80cm,宽60cm的绣品四周镶嵌宽度相同8cm,点P从点A开始沿边AB (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围 的边框，制成一幅面积是6300cm2的矩形挂图， 向点B以1cm/s的速度移动，点 成一个面积为640m2的羊圈？ 那么边框的宽度为 (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能， cm. Q从点B开始沿边BC向点C以 解：设边框的宽为xcm.根据题意，得(80+2cm/s的速度移动，如果点P,Q 请你给出设计方案：如果不能，请说明理由. 图3 2x)(60+2x)=6300.解得x1=5,x2=-75(不 分别从点A,B同时出发，当点Q运动到点C时， 解：设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC= 符合题意，舍去).所以x的值是5.故填5， (70-2x+2)m=(72-2x)m. 两点同时停止移动，那么经过多长时间，四边形 二、修路问题 (1)根据题意，得x(72-2x)=640. 4PQC的面积等于16cm2? 例2如图2是某 解得x1=16,3=20. 解：由题意得，点P从点A到点B的时间为： 当x=16时，72-2x=72-32=40; 校的一块长方形劳动场 ÷1=6(s),点Q从点B到点C的时间为：8： 当x=20时，72-2x=72-40=32 地，长36m,宽24m,要 =4(s). 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为 求在场地内修同样宽的 设点Q运动的时间为ts(0≤1≤4.所以32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m2的 道路（图中阴影部分） 图2 AP=tcm,BQ=2tcm.所以BP=(6-t)cm. 羊圈. 余下部分作为种植区.若种植区的总面积为 因为四边形APQC的面积等于16cm2, (2)不能.理由如下： 805m2,求所修道路的宽. 根据题意，得x(72-2x)=650 解：设所修道路的宽为xm.则种植区的面 所以SA-Sm=分ABBC-Bp. 整理，得x2-36x+325=0. 积等同于长为(36-x)m,宽为(24-x)m的矩 形的面积 BQ=16cm2,即x6×8-2(6-)21=16 因为4=(-36)2-4×325=-4<0 所以一元二次方程没有实数根. 根据题意，得(24-x)(36-x)=805: 整理，得2-6t+8=0.解得1=2,2=4， 所以羊圈的面积不能达到650m2 素养专练 数理极 5.如图2，在△ABC 之丝眼踪训练 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 中，∠B=90°，AB= 基础训练 6cm,BC=3cm,点P以 25.2.3因式分解法 1.若x1,x2是方程x2-4x-5=0的两个根， 1cm/s的速度从点A开 则 ( 图2 基础训练 始沿边AB向点B移动， A.x1x2=5 B.x1+x2=-4 点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C 1.方程x2=2026x的解是 *1 移动，如果点P,Q分别从点A,B同时出发同时停 A.x=0 B.x=2026 x1x, =-5 D.x1x2=-4 C.x1=0,x2=2026 D.无实数根 止， s后，P,Q之间的距离等于42cm 2.已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两个 2.关于x的一元二次方程的两根为x1=-1, 6.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道 根分别为a,b,且b<a,则a,b两数在数轴上的位 x,=2,则这个一元二次方程可能是 置表示可能是 传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要 A.(x+1)(x+2)=0 表现.在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”， b 0 a 6na06006 B.(x-1)(x-2)=0 如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225 A B D C.(x+1)(x-2)=0 3.已知菱形的两条对角线长分别是方程x2 人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人 D.(x-1)(x+2)=0 12x+32=0的两个实数根，则与该菱形面积相等 传染了几个人？ 3.已知一元二次方程(x+3)2=4x+12的两 的正方形的边长为 根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在( 4.若m,n是方程x2-10x-1=0的两个实数 A.第一象限 根，则代数式m2-9m+n的值为 B.第二象限 5.已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x C.第一象限或第三象限 +m2+2=0的两个实数根分别为x1,3,若x2+ D.第二象限或第四象限 x22=27,求m的值. 4.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一 7.如图3，这是一张2026年1月的月历表.在 元二次方程x2-7x+12=0的一个根，则此三角 此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数 形的周长是 (如2,3,9,10).若圈出的4个数中最大的数与最 5.解下列一元二次方程： 小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数. 2026年1月 (1)(x+5)2=2(x+5); 一二三四五六日 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 图3 (2)x2-16x+28=0: 25.3实际问题与一元二次方程 一能力提高 基础训练 8.某童装店销售一款儿童加绒卫衣.经核算， 1.开窗见蓝天、出门迎白云，如今已成为太原 该卫衣进价为40元/件.当销售价定为80元/件 市民的日常.一组数据印证了这份“蓝天幸福 时，平均每天可售出20件.为了迎接元旦，商店决 (3)9(x-3)2=4(x-2)2. 感”：2023年全年太原市空气污染天数为121天， 定采取降价措施，以便达到薄利多销的效果.市场 2025年全年太原市空气污染天数为83天.设连续 调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出 两年太原市空气污染天数的平均减少率为x,则 2件设每件卫衣降价x元(x为非负整数，且售价 面所列方程正确的是 不低于进价) A.121(1-x)2=83 (1)每天可销售 件，每件盈利 一能力提高 B.121(1-x%)2=83 元（用含x的代数式表示）. C.83(1+x)2=121 (2)为了扩大销售量，每件卫衣降价多少元 6.材料：为解方程x4-x2-6=0,可设x2= D.121(1-2x)=83 y,于是原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=-2, 时，平均每天可盈利1050元？ 2.小明在计算正数a的平方时，误算成a与2 (3)店长希望平均每天能盈利1500元，这个 y=3.当y=-2时，x2=-2,不符合题意，舍去； 的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为 愿望能实现吗？请说明理由. 当y=3时，x2=3,解得x1=5,x2=-5故原 ( 方程的根为x,=5,x2=-√5. A.1 B.2-1 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： C.2+1 D.1或2+1 (1)(x2+x)2+2(x2+x)-8=0; 3.如图1，某小区 32m 2)2+322=3 计划在一块长为32m 宽为20m的矩形空地 上修建三条同样宽的 道路，剩余的空地上 1 种植草坪，使草坪的面积为570m2,则道路宽x为 m. 4.《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两 两揖让.礼毕，共揖十五次.问诸侯几何？”译文 为：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数 数理报社试题研究中心 为15次.则诸侯有」 个人 (参考答案见4期) 数理极 素养·测评 3 (3)2x2-5x+2=0. 同出达标检测题 【检测范围：25.2.325.3】 8.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转 (满分：120分) 16.(8分)据统计，云梦县博物馆开馆第一个 化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种 月进馆7500人次，近日，跟随习近平总书记的考察 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 方法，我们可以用因式分解把方程x3+x2-2x=0 足迹，云梦县博物馆受到广泛关注，进馆人数逐月 题号1 2 34 56 7 8 转化为x=0或x2+x-2=0,从而求出方程的三 增加，第三个月进馆10800人次，若进馆人次的月 个根：x1=0,x2=1,x=-2,再如，我们可以用两 答案 平均增长率相同。 边平方的方法把方程√x+I=2转化为x+1= 1.解一元二次方程x2-2x=0,最适合的方法 (1)求进馆人次的月平均增长率； 4,从而求出方程的根：x=3.则通过转化可以求出 (2)因条件限制，该博物馆月接纳能力不能超 是 ( 方程√2x+3=x的根为 A.直接开平方法 B.因式分解法 ）过12000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的 A.x=3 B.x=-1 C.配方法 D.公式法 条件下，该博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？ C.x1=3或x2=-1D.x1=3或x2=1 并说明理由 2.如果x1,x2是一元二次方程-2x2+3x+6= 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 0的两个根，则x1+x2= 9.一元二次方程(3x+2)(x-6)=0可转化 A-3 B.-3 c D.3 为两个一元一次方程，其中一个是3x+2=0,则另 3.小李解方程x2-3x+2=0的步骤如图1所 个是 示，则下列说法正确的是 ) 10.已知矩形相邻两边的长是一元二次方程 x2-5x+6=0的两个根，则这个矩形的周长是 17.(10分)已知关于x的一元二次方程x2 解方程：x2-3x+2=0. (m+3)x+2m-1=0. 解：x2-2x-x+2=0,① 11.如果两个连续偶数的积是48，那么这两个 x2-2x=x-2,② (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相 x(x-2)=x-2,③ 数的和等于 等的实数根； x=1. 12.如果关于x的一元二次方程2x2+mx+1 (2)若△ABC的一条边AC的长为35，另两 图1 =0的两根为1和吃，那么多项式2：+mx+1可边AB,CB的长是该一元二次方程的两个实数根， A.小李解方程的过程正确 因式分解为」 当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角 B.x=2也是该方程的一个解 13.山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤 形？ C.小李解方程的方法是配方法 D.解方程的过程从第②步到第③步时出现 为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一” 的美誉.某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为 错误 80元，售价为110元，每天可销售20箱.春节期间， 4.随着校级足球联赛的持续升温，校园足球 为了让利于顾客，该店铺计划降价销售.根据销售 氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团 经验，单价每降低0.5元，每天可多销售1箱.若要 队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛.第一阶段 使顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润 18.(10分)由多项式乘法，得(x+a)(x+b) 采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需 为750元，则每箱小米应降价元. =x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用，即可 与其他所有球队各进行一场比赛.已知共进行28 14.某园林设计师规划一个矩形花坛ABCD, 得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+ 场比赛，且无任何重复对阵，若设参赛球队总数为 n支，则可列出关于n的方程为 ) 并在其中种植一株景观树（记作点P),要求将矩(a+b)x+山三(x+a)(x+b).示例：分解因式： A.n(n-1)=28 B.n(n+1)=28 形花坛的长边AB分成两段，且满足Ap=AB.t+5x+6=2+(2+3)x+2x3=(x+2): +3) c.nn-1=28 D.nn+12=28 P吸已知该矩形张为4，宽为（长-台，现从树的 (1)尝试：分解因式：x2+6x+8= ； 2 2 位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个 (2)应用： 5.设a,b是两个整数，若定义一种运算“△”， :小矩形区域，那么分割得到的较小矩形的面积是 ①请用上述方法解方程：x2-5x-6=0; a△b=2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数 (用含t的代数式表示). ②在△ABC中，AB=AC,BC=8,且AB的长 根是 ( 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） 是方程x2-9x+20=0的一个根，求等腰三角形 A.x1=x2=1 B.x1=0,x2=1 15.(12分)用适当方法解下列方程： ABC的面积. C.x1=x2=-1 D.x1=1,x2=-2 (1)4x(3+x)=7(x+3): 6.取一张长与宽 之比为5：2的长方形 纸板，剪去4个边长为 5cm的小正方形（如 图2 图2)，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒 要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚度忽略不 (2)2(y-1)2=3-7y; 计)，则这张长方形纸板的周长为 () A.7 cm B.14 cm C.42 cm D.84 cm 7.关于x的方程x2-2mx+m2=4的两个根 x1,x2满足x1=2x2+3且x1>2,则m的值为 ( A.-3 B.1 C.3 D.9 (下转第4版)