数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学导学案围绕一元二次方程展开，核心探究方程有公共解的条件及线段分割的数量关系。课堂导入通过“三个方程有公共解的规律”“线段分割的巧合与必然”两个任务引发思考，连接一元二次方程解法旧知与新知，搭建“猜想-验证-推导”的学习支架。 资料特色在于“猜想-验证-推导”的探究过程，提升学生逻辑推理（数学思维）与数形结合（数学眼光）能力。任务驱动的合作探究，如方程公共解问题培养推理意识，线段分割结合尺规作图发展几何直观，当堂反馈强化应用意识（数学语言），激发主动探究兴趣。

第25章 一元二次方程 数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割 【学习目标】 1. 通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割. 2. 经历“猜想一验证一推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力，在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣. 学习重点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割. 学习难点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割. 【复习导入】 如何解决下列两个任务： 任务一：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解”背后藏着什么规律？ 任务二：线段分三段，既要“最长段＝另两段和”，又要满足分式等式，是巧合还是必然？ 【合作探究】 探究点一：探究方程有公共解的条件 活动1：已知 abc≠0，下列方程： ax² + bx + c = 0， ① bx² + cx + a = 0， ② cx² + ax + b = 0. ③ 恰有一个公共解. 给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解. 问题1：要找三个方程的公共解，第一步可以怎么做？ 问题2：将 k 代入三个方程，能得到什么式子？ 问题3：如何处理这三个式子，得到 a，b，c 的关系？ 归纳小结 多个方程公共解问题的通用思路： 设公共解 → 代入方程 →构造关系式→分析系数条件 探究点二：探究方程有公共解的条件 活动2 神奇的线段分割 王芳：李明，我们来做个智力游戏吧. 你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？ 李明：这简单，你来试试这个. 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为 a，b，c，且 a > b > c，你能找到合适的 a，b，c，使 a = b + c 和 同时成立吗？ 思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？ 当堂反馈 1. 已知三个一元二次方程：x² + bx + c = 0、bx² + cx + 1 = 0、cx² + x + b = 0 有唯一公共解，且 b = 2，则 c = . 2. 将一条长为 10 cm 的线段分成三段 m，n，p ( p 为最长段)，满足 p = m + n 且 . n 与 m 的数量关系 . 参考答案 【合作探究】 探究点一：探究方程有公共解的条件 活动1： 问题1：设公共解为 k 问题2： 问题3：将三式相加：(a + b + c)k² + (b + c + a)k + (c + a + b) = 0 提取公因式：(a + b + c)(k² + k + 1) = 0 分析：k²+ k + 1 = 因此必有 a + b + c = 0. 当 a + b + c = 0 时，c = －a－b，代入方程①: ax²+ bx－a－b = 0 因式分解：a(x²－1) + b(x－1) = 0 (x－1) [ a(x + 1) + b] = 0解得 x = 1 或 验证：将 x = 1 代入方程 ②、③，均满足 a + b + c = 0，因此公共解为 x = 1，条件为a + b + c = 0 (abc≠0). 探究点二：探究方程有公共解的条件 活动2 神奇的线段分割 王芳： 依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为 L = a + b + c，当 a = b + c 时，只需在原线段上先截取长为 b 的段，再截取长为 c 的段，剩余部分即为 a (a = L － b － c = b + c )，可实现共线的三段分割. 李明： 思考： 当堂反馈 1. －3 2. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $