25.2.2--25.2.4 公式法+因式分解法+根与系数的关系--导学案--2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程解法及根与系数关系，通过“探究”引导从配方法推导求根公式，衔接判别式知识，再过渡到因式分解法，最后归纳根与系数关系，构建完整知识脉络，并设置例题、练习作为学习支架。 资料以问题链驱动推理，公式推导培养推理意识，错误案例（如约去x丢根）引导批判性思维，实际应用（雕像高度问题）发展模型意识，习题分层设计提升运算能力，结构清晰便于自主学习与教学评估。

25.2.2 降次----解一元二次方程之二（公式法） 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？ ax2+bx+c=0(a≠0) 移项，得 ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得 配方，得 即 ① ∵ a≠0，∴ 4a2＞0.式子b2-4ac的值有以下三种情况： (1) b2-4ac＞0 这时＞0，由①得 方程有两个不等的实数根 ， (2) b2-4ac=0 这时=0，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3) b2-4ac＜0 这时＜0，由①可知 ＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根. · 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. · 归纳 当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. Δ＞0 方程有两个不等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. · 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 例2 用公式法解下列方程： (1) x2-4x-7=0 (2) 2x2-2x+1=0 (3) 5x2-3x=x+1 (4) x2+17=8x 解：(1) a=1，b=-4，c=-7. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0 方程有两个不等的实数根 即 ， 解：(2) a=2，b=-2 ，c=1. Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0 方程有两个相等的实数根 解：(3) 方程化为 5x2-4x-1=0 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程转化为一般形式，再确定a，b，c的值. a=5，b=-4，c=-1. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0 方程有两个不等的实数根 即 x1=1，x2=. 解：(4) 方程化为 x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0 方程无实数根. 本章引言中的问题，雕像下部的高度x(单位：m)满足方程 x2+2x-4=0 用公式法解这个方程，得 即 x1=-1+，x2=-1-. 结果保留小数点后两位，那么x1≈1.24，x2≈-3.24. 这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部高度应设计为约1.24m. 练习1 1.解下列方程： (1) x2+x-6=0 (2) x2-x-=0 (3) 3x2-6x-2=0 (4) 4x2-6x=0 (5) x2+4x+8=4x+11 (6) x(2x-4)=5-8x 25.2.3 降次----解一元二次方程之三（因式分解法） 1.把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式__________. 2.因式分解常用的方法有_________________________. 3.将下列各式分解因式： (1) 7x2-21x (2) 2(a-3)2-a+3 (3) (y+3)2-(2y-3)2 解：(1)原式=7x(x-3) (2)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7) (3)原式=[(y+3)+(2y-3)][(y+3)-(2y-3)]=(y+3+2y-3)(y+3-2y+3)=3y(6-y) 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖、小亮、小明都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x. 但他们的解法各不相同. 他们做得对吗？ 小颖：由方程x2=3x，得x2-3x=0，因此 →x1=0，x2=3，所以这个数是0或3. 小亮：将方程x2=3x两边同时约去x，得x=3，所以这个数是3. (方程两边约去x时，必须确保x≠0，但这里x恰恰能够等于0，所以这种变形是错误的.结果会丢掉一个根.) 小明：由方程x2=3x，得x2-3x=0即 x(x-3)=0于是 x=0，或 x-3=0因此 x1=0，x2=3所以这个数是0或3. 如果a·b=0，那么a=0，或b=0. x2-3x=0 ① 即 x(x-3)=0 于是 x=0，或 x-3=0 ② 因此 x1=0，x2=3 上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 练一练 用因式分解法解下列方程： (1) 4x=5x2 (2) 3x(x+3)-2(x+3)=0 例3 解下列方程： (1) x(x-2)+x-2=0 (2) 5x2-2x-=x2-2x+ 解：(1)因式分解，得 (x-2)(x+1)=0 于是得 x-2=0，或 x+1=0 x1=，x2= 解：(2)移项、合并同类项，得 4x2-1=0 因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0 于是得 2x+1=0，或 2x-1=0 x1=2，x2=-1 可以试用多种方法解本例中的两个方程. 解：(1)方程化为 x2-x-2=0 a=1，b=-1，c=-2. Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9＞0 即 x1=2，x2=-1 解：(2)移项、合并同类项，得 4x2=1 二次项系数化为1，得 直接开平方，得 即x1=，x2= 归纳 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便. 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次. 练习2 1.解下列方程： (1) x2+x=0 (2) x2-x=0 (3) 3x2-6x=-3 (4) 4x2-121=0 (5) 3x(2x+1)=4x+2 (6) (x-4)2=(5-2x)2 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径. 25.2.4、一元二次方程的根与系数的关系 复习：1.一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0) 2.一元二次方程的求根公式是什么？(b2-4ac≥0) 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 解下列方程并完成填空： (1) x2-5x+6=0 (2) x2+3x-4=0 (3) x2+6x+8=0 以上方程有什么共同特点，你从中发现了什么？ 三个方程的二次项系数都是1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. 思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2. 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：(x1+x2)=-p，x1x2=q 思考 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 根据求根公式可知，， 由此可得 因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：，. · 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用时，注意“-”不要漏写. 把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？ x2+px+q=0→(x1+x2)=-p，x1x2=q 解方程2x2-3x+1=0，验证上述关系？ 解：a=2，b=-3，c=1. Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0 方程有两个不等的实数根 即 x1=1，x2= ，. 例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 解：(1) x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15. (2) x1+x2=，x1x2==-3. (3) 方程化为 4x2-5x+1=0. x1+x2==，x1x2=. 练习3 不解方程，求下列方程两根的和与积： (1) x2-3x=15 (2) 3x2+2=1-4x (3) 5x2-1=4x2+x (4) 2x2-x+2=3x+1 答案： 练习1 解：(1) a=1，b=1，c=-6. Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0 方程有两个不等的实数根 即 x1=2，x2=-3. 解：(2) a=1，b=-，c=-. Δ=b2-4ac=(-)2-4×1×(-)=4＞0 方程有两个不等的实数根 即，. 解：(3) a=3，b=-6，c=-2. Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0 方程有两个不等的实数根 即，. 解：(4) a=4，b=-6，c=0. Δ=b2-4ac=(-6)2-4×4×0=36＞0 方程有两个不等的实数根 即，. 解：(5) 移项，合并得 x2=3 直接开平方，得 x= 即，. 解：(6)方程化为 2x2+4x-5=0 a=2，b=4，c=-5. Δ=b2-4ac=42-4×2×(-5)=56＞0 方程有两个不等的实数根 即，. 练一练 解：(1)移项，得 4x-5x2=0 因式分解，得 x(4-5x)=0 于是得 x=0，或 4-5x=0 x1=0，x2= 解：(2)因式分解，得 (x+3)(3x-2)=0 于是得 x+3=0，或 3x-2=0 x1=-3，x2= 练习2 1.解下列方程： (1) x2+x=0 (2) x2-x=0 (3) 3x2-6x=-3 解：x(x-)=0 x=0，或 x-=0 x1=0， x2= 解：x(x+1)=0 x=0，或 x+1=0 x1=0， x2=-1 解：3x2-6x+3=0 x2-2x+1=0 (x-1)2=0 x1=x2=1 解：x(x+1)=0 x=0，或 x+1=0 x1=0， x2=-1 (4) 4x2-121=0 (5) 3x(2x+1)=4x+2 (6) (x-4)2=(5-2x)2 解：(x-4)2-(5-2x)2=0 (x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0 (1-x)(3x-9)=0 1-x=0，或 3x-9=0 x1=1， x2=3 解：3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 2x+1=0，或 3x-2=0 x1=， x2= 解：(2x+11)(2x-11)=0 2x+11=0，或 2x-11=0 x1=，x2= 2、解：设小圆形场地的半径为 r m.依题意，得 π(r+5)2=2πr2 r2-10r-25=0 Δ=(-10)2-4×1×(-25)=200＞0 r1=5+5， r2=5-5 (不合题意，舍去) 答：小圆形场地的半径为(5+5)m. 练习3 解：(1)方程化为 x2-3x-15=0. x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15. (2) 方程化为 3x2+4x+1=0. x1+x2=，x1x2=. (3) 方程化为 x2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1. (4) 方程化为 2x2-4x+1=0. x1+x2==2，x1x2=. 学科网（北京）股份有限公司 $