第1期：25.1 一元二次方程的概念 25.2.1 配方法 25.2.2 公式法-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（人教版·新教材）

初中数学·人教中考第1~4期 ”发理橘 答案详解 2026~2027学年 初中数学·人教中考 第1~4期(2026年7月) 5.没有. 第1期2版 3 6.(1)=立k=1: 25.1一元二次方程的概念 (2)x1=7=-29 1 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.x=-2. 3 6.填表如下： 能力提高7.(1)证明：4=62-4ac=(k-8)2-4×2 方程 一般形式 二次项系数 次项系数 常数项 2x2=7x 2x2-7x=0 2 -7 0 ×(-4)=(k+8)2≥0， 5-3x2=6x 3x2+6x-5=0 3 6 -5 所以该方程总有两个实数根。 (x+1)(x-3》 x2-5x-7=0 1 -5 -7 (2)解方程，得 =3x+4 能力提高 7.(1)x2+3x-4=0. x=-(k-8),±，h+8y_8-k±1k+81 2×2 4 (2)由条件可知，方程x2-2x+c=0的“倒方程”为cx2一 2x+1=0. 所以x1=4,x=-2 把x=-1代入方程cx2-2x+1=0,得c+2+1=0.解 因为该方程有-个根小于3，所以-左<3.解得k>-6, 得c=-3. (3)2026. 第1期3版 25.2.1配方法 一 题号12345678 基础训练1.C;2.C;3.-2;4.-12;5.-1. 答案DCBDBABB 6.(1)x1=1,x2=-3; 二、9.2-8x-4=0;10.m≥0；11.-2；12.-1； 2-2 13.6或15或12；14.- 3 3=-1-6 55 三、15.(1)x1=-7,x2=1; (4)无实数根. (2)=1+=1- 2； 能力提高7.由题意得，小明解的方程是x2+4x+c+1=0. 把x=-1代入方程x2+4x+c+1=0,得1-4+c+1 (3x1=-影 =0.解得c=2. 16.(1)③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方， 所以原方程为x2+4x+2=0. 而右边没有加， 解得x1=2-2,x2=-2-2. (2)2x2-8x-18=0. 25.2.2公式法 移项、二次项系数化为1，得x2-4x=9. 配方，得x2-4x+4=9+4. 基础训练 1A2D:33;4=7.6 6 (x-2)2=13. 初中数学·人教中考第1~4期 由此可得x-2=±√3， 整理，得AD+a·AD=. 所以x=2+√13，x2=2-√3. 所以形如x2+ax=b2的方程的其中一个正根是线段AD 17.(1)将x=1代入原方程，得(a-1)-2+a2+1=0. 的长 整理，得d2+a-2=0.解得a=1,a2=-2. (2)2x+10,/61-5. 因为a-1≠0，所以a≠1.所以a的值为-2. (3)因为x2+2x-4=0,所以x2+2x=4. (2)将a=-2代入原方程，得-3x2-2x+5=0,即x2+ 方法一：如图1，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC= 2 5 2,BC=1,在斜边AB上截取BD=BC 3x=3 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC=√4+I=5, 配方，得(+宁=兰开方，得+了=±寺 4 则该方程的一个正根为AD的长，即5-1. 所以该方程的解为=1，三一亭 x+2 18.(1)4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)= x+2 x+2 (m-3)2. 2 因为方程有两个不相等的实数根， x+2 图1 图2 所以(m-3)2>0且m≠0. 方法二：如图2，用4个长都是(x+2),宽都是x的矩形拼 所以m的取值范围是m≠3且m≠0. 成如图2所示的正方形， (2)证明：因为4=(m-3)2≥0， 因为x2+2x=4,所以x(x+2)=4. 所以x=-6±公-4ac_3(m-1)±(m-3) 2a 2m 所以一个矩形的面积是4. 所以年=3m-3+m-3=2m-3=2-3 所以(2x+2)2=4×4+22=20. 2m m = 所以(x+1)2=5. 3m-3-m+3=1 2m 所以该方程的一个正根为5-1. 所以无论m为何值(m≠0)，方程总有一个固定的根. 第1期4版 19.(1)一元二次方程2x2+x-1=0是“C方程”.理由如 下： 几何加油站 解2x2+x-1=0,得x1=0.5,x2=-1. 1.3.【提示】过点A作AK1HG于点K,连接AH,AM,证 因为c=-1,所以一元二次方程2x2+x-1=0是“C方 明Rt△ADH≌Rt△AKH,Rt△AKM兰Rt△ABM,得到DH= 程”. KH,BM=KM,根据对称可得QG=QB,将△GQM的周长表示 (2)因为关于x的一元二次方程4x2+bx+c=0(c≠0) 出来，再通过边的转化解答即可. 是“C方程”，所以4c2+bc+c=0. 29 【提示】根据折叠和勾股定理依次求出FG,BG的 又因为c≠0，所以b=-4c-1. 长，过点G作GP⊥AD于点P,求出DE,EM的长，得到EM= 所以8-4c-1=2+6=(b+P-子 DE=2,连接EH,即可证明Rt△EMH兰Rt△EDH,推出DH= 因为(6+)2≥0，所以-4e-1的最小值为-子 HM=HC=4,连接CM交GH于点Q,利用三角形的面积即可 求出CQ的长，过点M作MW⊥CD于点N,最后根据三角形 20.(1)该方程的其中一个正根是线段AD的长.理由如 MCH的面积计算MW即可. 下 第2期2版 在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC2+AC= 25.2.3因式分解法 AB. 基础训练1.C;2.C;3.D;4.14. 所以（号）P+6=(号+AD)月 5.(1)x1=-5,x2=-3; 2 初中数学·人教中考第1~4期 (2)x1=2,x2=14: 整理，得x2-30x+125=0. (6-号=5 解得x1=25,x2=5. 答：每件卫衣降价5元或25元时，平均每天可盈利1050 能力提高6.(1)设x2+x=y,则原方程可化为y2+2y 元 -8=0,即(y+4)(y-2)=0,解得y1=-4,y2=2. (3)不能实现.理由如下： 当y=-4时，x2+x=-4,该方程无实数根； 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1500. 当y=2时，x2+x=2,解得x1=-2,x2=1. 整理，得x2-30x+350=0. 故原方程的根为x1=-2,x2=1 因为4=(-30)2-4×1×350=-500<0， (2)设2士2=y则原方程可化为y+子-3=0， 所以此方程无实数根. 即y2-3y+2=0,解得y1=1,2=2. 所以每天的盈利不可能达到1500元，故店长的愿望不能 当y=1时，3x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的解： 实现 当)=2时，32-2，解得：=-2，经检验是原方程的解 第2期3版 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. 题号12345678 答案B CBC CD C A 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础训练1.C;2.A;3.4;4.11. 二、9.x-6=0;10.10;11.14或-14； 5.因为关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+2= 12.(x-1)(2x-1);13.15;14.(5-2)2. 0有两个实数根， 三=-3=子：(2=-}-平 4 4 所以△=[-(2m-1)]2-4(m2+2)=4m2-4m+1- 4m-8=-4m-7≥0.所以m≤-子 、3 :(6)x=2=2 7 由根与系数的关系，得x1+x2=2m-1,x1·x2=m2+2. 16.(1)设进馆人次的月平均增长率为x 所以x2+x22=(x1+x2)2-2x1·62=(2m-1)2-2(m 根据题意，得7500(1+x)2=10800. +2)=27.解得m1=5,m2=-3. 解得气=20%，4=-号（不符合道意，合去) 又因为m≤-子所以m=-3 答：进馆人次的月平均增长率为20%. 25.3实际问题与一元二次方程 (2)不能.理由如下： 基础训练1.A;2.C;3.1;4.6;5.0.4. 由(1)得，第四个月的进馆人数为： 6.设每轮传染中平均一个人传染了x个人 10800×(1+20%)=12960>12000, 根据题意，得1+x+x(1+x)=225. 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次. 解得x=14,x2=-16(不符合题意，舍去). 17.(1)证明：4=62-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人 -1)=(m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2 7.设这4个数中最小的数为y,则最大的数为y+8. -2m+13=(m-1)2+12>0, 根据题意，得y(y+8)=105. 所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根。 整理，得y2+8y-105=0. (2)设AB,CB的长分别为x1,x2, 解得y=7或y=-15(不符合题意，舍去). 则x1,x2是方程x2-(m+3)x+2m-1=0的两个实数根 答：这4个数中最小的数为7. 根据根与系数的关系，得+龙2=m+3,x12=2m-1. 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x). 因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC=35, (2)根据题意，得(40-x)(20+2x)=1050. 所以x12+x22=AC2=35. 一3 初中数学·人教中考第1~4期 又因为x2+22=(（x1+x2)2-2x12, 在Rt△PQE中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=52. 所以(m+3)2-2(2m-1)=35. 解得t=2或t=6. 解得m=-6或m=4. 所以P,Q两点从出发开始到2秒或6秒时，点P和点Q间 因为AB,CB是△ABC的边长，所以x1>0,x3>0. 的距离是5cm. 所以x1+x2=m+3>0,且x12=2m-1>0. (2)连接PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时， 解得m>分 分三种情况： ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 所以m=4, 所以DF=QF, 即当m=4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形. 因为AP=CQ=tcm,所以QF=DF=AP=tcm, 18.(1)(x+2)(x+4). 因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=8cm, (2)①x1=-1,x2=6. 所以CD=DF+FQ+CQ=3tem=8cm, ②解x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5. 由三角形的三边关系可知x=5,所以AB=AC=5. 解得：=号，即当P,0两点从出发开输到号秒时，点P,Q, 过点A作AD1BC于点D,图略.则BD=之BC=4 D组成的三角形是等腰三角形； D 在Rt△ABD中，AD=AB2-BD=3. 所以等腰三角形ABC的面积=BC·AD=2, 19.(1)①(50-2x). ②根据题意，得(50-2x)x=92. 图2 图3 整理，得2-25x+46=0. ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 解得x1=2,2=23. 因为AP=CQ=tcm, 当x=2时，50-2x=50-2×2=46>10,不符合题意， 所以QP=QD=CD-CQ=(8-t)cm,DF=AP=tcm, 舍去； 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm, 当x=23时，50-2x=50-2×23=4<10,符合题意 在Rt△PQF中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=(8-t)2, 答：AB的长为23米 解得t=16±4图-8±37 6 31 (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理由如下： ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图3所示， 假设养蜂场的面积可以达到230平方米. 因为AP=CQ=tcm, 因为4B长为x米，所以BC长为48+2+10-2红米=(30 2 所以DP=QD=CD-CQ=(8-t)cm, -x)米 在Rt△ADP中，由勾股定理，得+32=(8-t)2, 根据题意，得(30-x)x=230. 解得4一瓷 整理，得x2-30x+230=0. 因为4=(-30)2-4×1×230=-20<0， 综上所述，当P,Q两点从出发开始到8秒或誉秒 3 所以原方程没有实数根。 所以假设不正确，即养蜂场的面积不能达到230平方米. 政瓷砂或8+瓦秒时，点PQ,D组成的三角形是等腰三角 16 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E,图略. 形 所以∠PEQ=90°. 第2期4版 由题意，得AP=CQ=tcm,所以BE=CQ=tcm,所以PE 几何加油站 =18-2t1cm 1.58. 【提示】以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB 4 初中数学·人教中考第1~4期 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，以PQ为斜边在PQ下方 20.(1)1和4. 作等腰直角三角形PQG,作GW⊥y轴于点W,作PH⊥GW于 (2)因为口ABCD为正方形，所以方程x2-(2m+1)x+2m 点H,设点Q(0,a),G(x,y),则点P(-a-2,0),F(-8,2),可 =0有两个相等的实数根 证得△PGH≌△GQW(AAS),所以PH=GW,GH=QW,进而 所以4=[-(2m+1)]2-4×2m=0. 得出点G(-1,-1),当F,P,G三点共线时，FP+PG最小，进一 1 解得m=m=2 步得出结果。 2.5-1.【提示】连接AF,CE,AC,设AC与EF的交点为 所以m的值为分 点O,得到平行四边形AECF,故点O是AC的中点，连接BD,则 (3)因为口ABCD的一条对角线的长为m-3,所以(m- BD经过点O,且OA⊥OB,取OB的中点H,连接AH,GH,根据 3)2-(2m+1)(m-3)+2m=0. 三角形的三边关系，计算最值即可. 解得m=4或m=-3. 第3期综合测评卷 当m=-3时，m-3=-3-3=-6<0,故此情况不符合 题意，舍去 题号 2345 6 7 89 所以m的值为4. 答案C 21.(1)设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平 二、11.22+x-4=0:12.k≤1且k≠2 13.12; 均增长率为x 由题意，得3(1+x)2=3.63. 14.-2026; 15.7或-号 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去 三、16.：1=-2+25，：2=-2-25.第一步变形的依据 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 是等式的基本性质1. 率为10%。 17.设方程的另一个根为x2: (2)设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人 因为方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-√2， 机的售价为(2.5-a)万元. 所以1-万+5=-2，（1-)=3婴 由题意，得(25-1.5-a)(80+05)=45. 所以5=反+1，m=-子， 整理，得4a2+12a-7=0. 解得a1=0.5,a2=-3.5(不符合题意，舍去) 即方程的另一个根为万+1，m的值为-子 所以2.5-0.5=2（万元） 18.设应邀请的俱乐部个数为n,则比赛总场数为 答：下调后每架无人机的售价为2万元 n(n-1) 五、22.(1)解x2+3x+2=0,得x1=-2,x2=-1. 因为-1-（-2)=1，所以该方程是“邻根方程” 根据题意，得(n,)=21. 2 (2)解x2-(m+2)x+2m=0,得x1=m,x2=2. 解得n=7或n=-6(不符合题意，舍去). 因为该方程是“邻根方程”， 答：应邀请的俱乐部个数为7. 所以m=2-1=1或m=2+1=3. 四、19.（1)解方程x2=2x,得1=0,2=2. 所以m的值为1或3. 因为：1≤2，所以P(0,2) (3)解ar+bx+2=0,得x=二b±-8a 2a (2)设方程x2-(m+√2)x-3=0的两根为x1和2(x 因为该方程是“邻根方程”， ≤x2),则P(x1,x2). 因为点P在直线y=-x上， 所以26+6=80--6--8a-1 2a 2a 所以x+x2=0,即m+√2=0，解得m=-√2. 整理，得b2=a2+8a 初中数学·人教中考第1~4期 因为t=12a-62-4, 所以点B(-1,-4)不在此抛物线上： 所以t=12a-(a2+8a)-4=-a2+4a-4=-(a-2)2. 7.(1)因为二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-4， 因为a>0,所以t的最大值为0. 4),所以4=a·(-4)产，解得a=4 1 23.(1)设剪去的小正方形的边长为xcm. 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600. 所以二次函数的解析式为y=子之。 解得x1=10,x2=60(60>40不符合题意，舍去). (2)将y=1代人y=子2，解得=2=-2 答：剪去的正方形的边长为10cm. (2)不能.理由如下： 所以点M,N的坐标分别为(-2,1)，(2,1). 根据题意，设该收纳盒的高为acm, 所以MN=2-(-2)=4,FM=FN=2. 则收纳盒底面的长为100,2acm=(50-)cm,宽为(40 因为△PMW是等边三角形，MW∥x轴， 2 所以点P在y轴上，且PM=4. 2a)em 所以∠PFM=90°.所以PF=√PM-FM证=25. 根据题意，得(50-a)(40-2a)=608. 因为点F的坐标为(0,1)，所以点P的坐标为(0,1+23) 解得a1=12,a2=58(58>50不符合题意，舍去) 或(0,1-25). 所以50-a=38.40-2a=16, 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 所以收纳盒的高为12cm,长为38cm,宽为16cm. 因为35<38（玩具车长小于收纳盒长），但13>12（玩具 基础训练1.D;2.A；3.A; 4.y=4x2+1;5.<;6.6;7.8. 车高大于收纳盒高)，17>16（玩具车宽大于收纳盒宽），所以 玩具车不能完全立着放入该收纳盒并盖上盖子 8.(1)m. (2)因为a=-1<0,所以该二次函数的图象开口向下. 第4期2版 所以当x<m时，y随着x的增大而增大；当x>m时，y随 着x的增大而减小 26.1二次函数的概念 当m≥1时，根据题意，得x=1时，y取得最大值，即-(1 基础训练1.C；2.B;3.C;4.-4;5.一 -m)2+m2+1=4,解得m=2; r60k+b=80, 6.(1)设y=kx+b,根据题意，得 当-2<m<1时，根据题意，得x=m时，y取得最大值， 50k+b=100. k=-2, 即m2+1=4,解得m=-√3或3（不符合题意，舍去）； 解得 b=200. 当m≤-2时，根据题意，得x=-2时，y取得最大值，即 所以y=-2x+200(30≤x≤70). -(2-m)+m2+1=4,解得m=-子（不符合随意，合 (2)0=(x-30)y-450=(x-30)(-2x+200)-450, 去). 即0=-2x2+260.x-6450(30≤x≤70). 综上所述，m的值为2或-5. 26.2.1二次函数y=a2的图象和性质 能力提高9.(1)由题意，得A(-2,-4). 基础训练1.C;2.B;3.B; 当x=0时，y=4,所以B(0,4) 4.a2>a3>a1;5.m>3. (2)因为过点B平行于x轴的直线交抛物线于点C,该抛 6.(1)因为抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),所以a· 物线的对称轴为直线x=-2,所以0D=2,C(-4,4). (-2)2=-8. 所以BC=4,0B=4. 解得a=-2.所以此抛物线的函数解析式为y=-2x2. (2)这个抛物线的顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口 所以Sem=之(0D+BC)·0B=12. 向下. (3)存在点P. (3)把x=-1代入，得y=-2×(-1)2=-2, ①当BC为边时，有DP=BC=4,且点P必在x轴上， 6 初中数学·人教中考第1~4期 设P(m,0),所以DP=1m+21,所以1m+21=4, 由y=一子(：-2)2+4可得抛物线顶点P的坐标为(2， 解得m1=2,m2=-6,所以P1(2,0),P2(-6,0): 4). ②当BC为对角线时，PD和BC互相平分，BC中点的坐标 为(-2,4)，所以P(-2,8) 对于y=-子+3，令y=0,解得x=2 综上所述，满足条件的点P有三个，P1(2,0),P2(-6,0), 所以C(2,0).所以0C=2. P3(-2,8). 所以PC⊥x轴，且PC=4.所以DE=OC=2, 第4期3版 对于y=-(x-2)2+4,令y=0,得-x-2+4 =0. 题号12345678 答案C D AA C BCC 解得x1=6,x2=-2.所以A(-2,0),所以AC=4. 1 二、9.-2，-1；10.y=-x2+8x-16; 所以Sg边形Aom=Sacn+Sar@=左×4×3+2×4×2 11.-1(答案不唯一)；12.10；13.8； =10. 4.-是≤n≤10， 18(0）当m=2时y=-7(-4-1 三、15.(1)因为抛物线y=2x2+n过点M(2,3),所以2× 因为点A(6,n)在该函数图象上， 22+n=3. 1 所以n=-2×(6-4)2-1=-3. 解得n=-5.所以该抛物线的解析式为y=2x-5. 所以该抛物线的顶点坐标为(0，-5)，对称轴为直线x= (②)直线订=-分+1 0. (3)因为点P(a+1,c),Q(4m-7+a,c)都在该二次函数 (2)因为2>0，所以函数图象开口向上 图象上， 因为对称轴为直线x=0,所以在x≤0时，y随x的增大而 所以对称轴为直线x=4+1+4m-7+0=a+2m-3. 2 减小 所以a+2m-3=2m.所以a=3.所以P(4,c). 16.(1)当x=0时，y=4,即C(0,4). 当y=0时，-x2+4=0,解得x=±2， 所以e=-号(4-2m)2+1-m=-2(m-子2-子 所以B(2,0),A(-2,0). 所以c≤-8 (2)因为AB=4,C(0,4),四边形ABCD是平行四边形， 19.(1)令y=0,则a(x-3)2-4a=0, 所以CD∥AB,CD=AB=4,所以D(-4,4). 解得x1=1,x2=5. 设平移后的抛物线为y=-x2+4+m, 所以A(1,0),B(5,0).所以AB=5-1=4. 则-(-4)2+4+m=4, (2)当a=1时，y=（x-3)2-4,所以顶点C(3,-4) 解得m=16,所以平移后抛物线的解析式为y=-x2+20. 设直线BC的解析式为y=kx+b. 3 17.(1)对于y=-x+3,令x=0,得y=3, 把B(5,0),C(3,-4)代入， 所以D(0,3). 5k+b=0, 解得 k=2, 因为抛物线y=-子(x-2)2+k经过点D(0,3), 3k+b=-4,b=-10. 所以直线BC的解析式为y=2x-10. 所以-子×(0-2)2+长=3，解得长=4， 因为S ARCD=S△ABC,所以AD∥BC. 所以设直线AD的解析式为y=2x+n. 1 所以抛物线的函数解析式为y=-4(x-2)2+4 把A(1,0)代人，得2+n=0,解得n=-2. (2)过点D作DE⊥PC于点E,图略. 所以直线AD的解析式为y=2x-2 初中数学·人教中考第1~4期 y=2x-2, 所以△ABF≌△DAE(AAS). 联立，得 y=(x-3)2-4 所以AE=BF=m,AF=DE=n ”(不特合题意，舍去)， =1, 2=7， 所以m=n2-n-m2. 解得 y1=0 y2=12. 所以m+n=(n-m)(n+m). 所以D(7,12) 因为点B,D在y轴的右侧， 20.(1)设BC交y轴于点E,菱形ABCD的边长为2a, 所以m+n≠0，所以n-m=1.所以n-m为定值. 所以AD∥BC,AB=BC=CD=AD=2a. 第4期4版 因为AD⊥y轴，所以BC⊥y轴，所以B,C关于y轴对称. 重点集训营 所以BE=CE=a,所以B(-a,a2),所以OE=2 1.C;2.D;3.C 在直角三角形ABE中，由勾股定理，得AE=√AB2-BE 几何加油站 =5a, 1.√6.【提示】连接AD,过点A作AG⊥DC交DC延长线 所以OA=OE+AE=a2+5a. 于点G,过点M,D作ED,MW的平行线交于点P,则四边形 MNDP是平行四边形.所以MN=DP,MP=DN.可得AM= 所以D(2a,a2+5a). MP.可知点P的运动轨迹.当DP⊥AP时，DP最小，此时MN= 把D(2a,a2+5a)代入y=x2,得a2+5a=4a2, DP最小.在Rt△ADG中，根据勾股定理求得AD的长，即可求得 解得a,- 3,4=0(不符合题意，舍去). MN的最小值. 所以支形的边长为 2.√5.【提示】过点C作CH上BF于点H,过点B作BK ⊥CM于点K,过点D作DQ⊥MF交MF延长线于点Q,得到CH (2)n-m为定值.理由如下： =HF,△AGB≌△BHC,推出AG=BH,BG=CH,即可得到AG 过点B作BF⊥y轴于点F,过点D作DE⊥y轴于点E,图 1 =FG.易得BG=2GM,根据勾股定理可求得CM的长，再结 略。 由题意得B(m,m2),D(n,n2). 合△BKC≌△CQD即可解决问题. 所以BF=m,OF=m2,DE=n,OE=n2. 3.38.【提示】以AD边在AD上方作等边△ADG,连接 因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAB=90°，AD=AB. CG,取CG的中点H,连接AH,DH,EH,过点C作CK⊥AF于K, 所以∠FAB=90°-∠EAD=∠EDA. 过点F作FL⊥AD于L,先证得△ABD≌△ACG(SAS),再证得 ∠AFB=∠DEA=90°， △ABE≌△ACH(SAS),推出DE=BE=HG=DH,再利用等 在△ABF和△DAE中 ∠FAB=∠EDA, 边三角形性质及勾股定理即可求得答案. AB DA. —8—4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话： (上接第3版) :的《勾股圆方图注》中也记载着关于一元二次方 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 19.(10分)定义：如果关于x的一元二次方程的几何解法：以方程x2+10x=36为例，因为 程ax2+bx+c=0(ac≠0)有一个根是x=c,x2+10x=36,所以x(x+10)=36.用4个长都 几何加油站 0351-5271248 那么我们称这个方程为“C方程” 是(x+10),宽都是x的相同矩形拼成如图3所 2026~2027学年 (1)判断一元二次方程2x2+x-1=0是否示的正方形. 本栏目聚焦中考几何核心题型，精选真题 中考数学人教 为“C方程”，请说明理由； 在图3中，大正方形的面积可以表示为 与模拟试题，围绕图形性质变换、逻辑推理、综 上学期编辑计划 (2)已知关于x的一元二次方程4x2+bx+ )2(用含x的代数式表示)；另一方 合证明等高频考点展开专项练习，以帮助同学 第1期 c=0(c≠0)是“C方程”，求代数式62-4-1面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方 25.1一元二次方程的概念 们梳理解题思路，突破难点，稳步提升解题素 25.2.1配方法：25.2.2公式 的最小值 形的面积，即等于4×36+100，故可得原方程的 养，从容备战中考 法 个正根是 第2期 1.如图1，直线1分别交正方形ABCD的对 25.2.3因式分解法；25.2.4 【类比运用】(3)请分别用上述两种几何方边AD,BC于点P,Q,正方形ABCD和正方形 一元二次方程的根与系数 的关系：25.3实际问题与 法直观地求方程x2+2x-4=0的一个正根（请 EFGH组成的图形关于直线l成轴对称，点H在 元二次方程 在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段 CD边上，点A在EF边上，BC,HG交于点M,AB 第3期 的长度) FG交于点N.若CD=5,DH=2,则△GQM的 第二十五章整章复习 第4期 x+10 周长为 26.1二次函数的概念 26.2.1二次函数y=ax2的 图象和性质：26.2.2二次函 数y=a(x-h)2+k的图象 和性质 第5期 x+10 26.2.3二次函数y=ax2+ bx+c的图象和性质；26.3 二次函数与一元二次方程： 20.(14分)综合与实践 图1 图2 26.4实际问题与二次函数 第6期 【初步探索】(1)欧几里得的《几何原本》记 2.如图2，在矩形ABCD中，AB=8,BC= 第二十六章整章复习 载，对于形如x2+ax=b2的方程，可用如图2所 12,点F在线段AB上，AF=5,点E在线段AD 第7期 27.1反比例函数的概念 示的几何解法：作直角三角形ABC,其中∠C= 上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边 27.2反比例函数的图象和 上的点G处，点H在线段CD上，将矩形沿GH折 性质 90°，AC=6,BC=号，在斜边AB上截取BD= 叠，点C恰好落在线段EG上的点M处，则点M 第8期 27.3实际问题与反比例函 BC,则该方程的其中一个正根是哪条线段的长？ 到线段DC的距离为 数；第二十七章整章复习 说明你的理由。 第9期 数理报社试题研究中心 数理报社试题研究中心 28.1图形的旋转；28.2中心 【再次探索】(2)我国数学家赵爽在其所著 (参考答案见下期)】 （参考答案见下期) 对称；第二十八章整章复习 第10期 29.1圆的有关概念：29.2.1 -元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 题型空间： 垂直于弦的直径：29.2.2圆 根的判别式△=b2-4ac是初中数学的高频考 心角 点，考试题型相对固定，主要分为四大类，下面 根的判别式使用指南 第11期 29.2.3圆周角：29.3弧长和 结合典型例题逐一讲解。 扇形面积 ⊙湖南靳杰浩 第12期 题型一：不解方程，判断根的情况 第二十九章整章复习 例2若关于x的方程kx2-2x-1=0有 (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另外 第13期 【解题思路】直接算出判别式的值，根据 30.1直线与圆：30.2三角形 实数根，则k的取值范围是 两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角 正负判断根的个数. 的内切圆 ①4>0，方程有两个不相等的实数根： 解：当k=0时，原方程为-2x-1=0,解形的周长 第14期 得x=-7,所以太=0符合题意： 解：(1)证明：4=[-(3k+1)]2-4(22+ 30.3正多边形与圆；第三十 ②4=0，方程有两个相等的实数根； 章整章复 k)=2+2k+1=(k+1)2 第15期 ③4<0，方程无实数根 九年级上册期末复习 当k≠0时，4=(-2)2-4×k×(-1)≥ 因为(k+1)2≥0，所以4≥0. 第16期 例1已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第 0,解得k≥-1，所以k≥-1且k≠0. 所以此方程一定有两个实数根 31.1图形的相似：31.2.1平 四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 综上所述，k的取值范围为k≥-1 (2)解x2-(3k+1)x+22+k=0,得x 行线分线段成比例；31.2.2 0的根的情况为 三角形相似的判定(1) =k,x2=2k+1. 第17期 A.有两个相等的实数根 故填k≥-1. 若k=5,则2k+1=11,此时等腰三角形的 31.2.2三角形相以的定(2) B.有两个不相等的实数根 例3若关于x的一元二次方程(m-1)x2 31.2.3相似三角形的性质： -4x+1=0有两个相等的实数根，则实数m的 三边长分别为5,5,11,5+5=10<11，不能构 31.3相似三角形的应用 C.没有实数根 第18期 D.无法判断 值是 成三角形，不符合题意，舍去； 31.4位似；第三十一章整章 解：因为点P(a,c)在第四象限，所以a> 解：因为方程(m-1)x2-4x+1=0是关于 若2k+1=5,则k=2,此时等腰三角形的 复习 三边长分别为2,5,5,2+5=7>5，能构成三角 第19期 0,c<0. x的一元二次方程，且有两个相等的实数根， 32.1正弦、余弦与正切 所以ac<0. 所以4=(-4)2-4×(m-1)×1=0且 形，周长为：2+5+5=12； 第20期 若2k+1=k,则k=-1,此时等腰三角形 32.2解直角三角形及其应 所以方程ax2+bx+c=0的判别式A=62 m-1≠0，解得m=5. 用；第三十二章整章复习 -4ac>0. 的边长为负数，不符合题意，舍去， 第21期 故填5. 所以方程有两个不相等的实数根 综上所述，这个等腰三角形的周长为12， 33.1投影：33.2三视图；第 题型三：证明方程总有实数根 三章整章复习 故选B. 易错总结 第22期 题型二：已知根的情况，求参数的值或取值 【解题思路】计算判别式，通过配方证明 1.题目没有明确说明ax2+bx+c=0是一元 34.1随机事件与概率；34.2 用列举法求概率 范围 4恒大于或等于0. 二次方程时，要分a=0和a≠0两种情况讨论. 第23期 2.求参数范围时，有两个实数根对应△≥ 34.3用频率估计概率：第三 【解题思路】根据题意列出关于A的等式 例4已知关于x的一元二次方程x2-(3k0,不能只写大于0. 十四章整章复习 或不等式，同时注意一元二次方程的二次项 第24期 +1)x+2k2+k=0. 3.配方判断△的正负时，要注意完全平方 九年级下册期末复习 系数不为0. (1)证明：此方程一定有两个实数根； 式的非负性 数理招 2026年7月2日·星期四 初中数学 期总第1197期 人教 中考 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-157 入门向导日 配方法是解一元二次方程 的基本方法，也是解决代数中 揭形 元二次方程 有关二次式最值问题的常用方 法之一.下面就让我们一起来 配 ◎山西尹舒然 体会配方法的无限魅力吧！ 元二次方程的概念是学习一元二次方程 注意：(1)在确定一元二次方程各项及其系 一、配方法的基本思路 的前提和基础，现剖析如下，供同学们参考： 数时，一定要先化为一般形式后再确定，且不要 用配方法解一元二次方程 ⑧ 一、一元二次方程的概念 漏掉各项的符号.如：方程2x2=3x+2先化为 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且般形式为2x2-3x-2=0,那么它的二次项为2x2, 的基本思路是将方程转化为 +m2=几的形式，然后利 含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次 直 一次项为-3x,常数项为-2. 数是2，这样的方程叫作一元二次方程 用开平方达到“降次”的目的. (2)形式不完全（即缺一次项或常数项）的 通 一元二次方程必须同时满足三个条件： 元二次方程的各项及其系数需正确叙述.当 当n≥0时，根据平方根的意 (1)方程是整式方程； 缺一次项时，如：方程3x2-12=0,可以说一次 义可求出它的根为x=-m± (2)只含有一个未知数； √n:当n<0时，原方程在实数 (3)未知数的最高次数是2： 项为0x或无一次项，但不能说一次项为0；当缺 常数项时，如：3x2+2x=0,可以说常数项为0， 范围内无解 注意：判断一个方程是不是一元二次方程， 也可以说无常数项 二、配方法的步骤 在确定已知方程是整式方程的前提下，必须把 (3)已知ax2+bx+c=0是一元二次方程， 情况1：如果方程的二次项系数是1，以x2-4x 它化简整理后才能判断，这里的化简指的是去 则隐含a≠0这一条件 +1=0为例，那么一般▣按以下步骤解方程： 分母，去括号、移项、合并同类项如：=x+1, 三、一元二次方程的解（根） (1)移项：使方程的左边为含有未知数的 y+y2=2,x3-x2=1,(x+1)(x-3)=x2 使一元二次方程左右两边相等的未知数的 项（即二次项与一次项），右边为不含未知数的 x+1均不是一元二次方程 值，就是这个一元二次方程的解（根）· 项（即常数项），由此可得x2-4x=-1; 二、一元二次方程的一般形式 注意：(1)一元二次方程不存在只有一个根 (2)配方：在方程两边都加上一次项系数 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c= 的情况，如：方程(x-1)2=0的根不能写为x= + 半的平方，把方程左边写成完全平方的形式， 0(a≠0)，其各项及其系数如图所示： 1,而应写为x1=2=1,即写成两个相等的实数 二次项系数 一次项系数 由此可得2-4+(~-1+(-，(x 根的形式 -2)2=3: a)x 1=0(a≠0】 (2)若一元二次方程无实数根时，要正确叙 述.如：方程x2+3=-2,说它无解或无根均不 (3)开方：根据平方根的意义，直接开平方 项 严谨，而应说“无实数解或无实数根” 得到两个一元一次方程，从而达到“降次”的目 十十十4十 的，由此可得x-2=5或x-2=-5; 专题铺导 (4)求解：解两个一元一次方程，得x,=2 抓住“根”本 巧用定义求值 +5,x2=2-3 情况2：如果一元二次方程的二次项系数不 为1，通常是移项后利用等式的基本性质将其化 ©河北史启恒 若ax+bxo+c=0,则x。是一元二次方程 二次方程cx2-bx+a=0(ac≠0)必有一根为 为1，再按上述步骤解题 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根；反之，若是 例1用配方法解方程：3x2-4x-12=0, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个 A.-m B.、1 C.m D.- 解：移项，得3x2-4x=12. 根，则可得a6+bx0+c=0.这就是一元二次方 m m 程根的定义，利用其解题是中考的常见考点。 解：由题意，得am2+bm+c=0.所以a+ 二次项系数化为1，得x- 3t=4 b +=0.所以c·(-1)2-b(-1)+a 例题呈现 mm m 3t+4 配方，得x2- =4+4 =0.所以x= 是方程cx2-bx+a=0(ac m 例1 若关于x的一元二次方程x2+2x-m (x-子)2=0 0 =0的一个根是x=2,则m= ≠0)的一个根.故选D 解：由题意，得4+4-m=0.解得m=8. 解得=号+2而子-2 3 故填8. 变式训练 三、配方法的应用 例2设x=a是方程x2-2x-2026=0 的一个实数根，则(a-1)2= 1.若关于x的一元二次方程(a-3)x 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还 解：由题意，得a2-2a-2026=0,即a2- a2-9=0的一个根是x=0,则a= 能巧解数学中的很多问题，下面我们就一起欣 2a=2026.所以(a-1)2=a2-2a+1=2026 2.若1-a+b=0,则关于x的一元二次方 赏如何巧用“配方法”解题吧！ +1=2027.故填2027. 程x2+ax+b=0必有一根为 例2用配方法证明：无论x取何值，代数 例3若关于x的一元二次方程ax2+bx+ 3.若x=-1是关于x的一元二次方程x2+bx +1=0的一个根，则2024-2a+2b= 式-2x2+8x-9的值总小于0. 2=0(a≠0)有一根为x=2027,则一元二次 方程a(x+1)2+b(x+1)+2=0必有一根为 4.若关于x的一元二次方程a(x-m)2+n 证明：-2x2+8x-9=-2(x2-4x)-9 =0(a≠0)的解为x1=-3,x2=1,则方程a(x -2(x2-4x+4)-9+8=-2(x-2)2-1. 解：由题意，得x+1=2027.解得x= -m-2)2+n=0的解为 因为(x-2)2≥0，所以-2(x-2)2≤0. 2026.故填2026. 所以-2(x-2)2-1≤-1<0. =x‘I-=1xt 例4若关于x的一元二次方程ax2+bx+ 90乙1-=x乙-T嵩号条 所以无论x取何值，代数式-2x2+8x-9的 =0(ac≠0)有一根为x=m,则关于x的一元 值总小于0 2 素养专练 数理极 丝跟踪训练时 25.2.1配方法 25.2.2公式法 基础训练 基础训练 25.1一元二次方程的概念 1.若关于x的一元二次方程x2+6x+3=0配 1.一元二次方程x2-6x+4=0的根的情况 方后得到(x+3)2=c,则c的值为 是 基础训练 A.0 B.3 C.6 D.9 A.有两个不相等的实数根 1.下列方程是一元二次方程的是 2.用配方法解一元二次方程2x2-5x-1= B.有两个相等的实数根 A.x2-x3+4=0B.2x2-y+1=0 0,配方正确的是 ( C.没有实数根 C.x2-1 0 D.x2+2x=0 33 .9 D.无法判断 16 2.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x 2.把一元二次方程(x+2)(x-2)=4x化成 c-子-8 +2=0有实数根，则k的取值范围是() 般形式，正确的是 () A.x2-4x-4=0 B.x2-4x+4=0 3.若(m-2)x2-2+x-3=0是关于x的 Ak<受 B.k≤ C.x2+4x-4=0D.x2+4x+4=0 元二次方程，则m的值是 3.若方程(m-1)x2+x=1是关于x的一元 4.用配方法解一元二次方程4x2+bx+a=0 Ck<多且k1D表≤子且k≠1 二次方程，则m的取值范围是 得2x-3=±6，则b的值为 3.已知关于x的方程x2-2x+3k-4=0有 4.如图，为助力 两个相等的实数根，那么k的值是 乡村振兴，某村规划 5.定义一种新运算： a c =ad-bc.若 4.关于x的一元二次方程3x2-7x+m=0根 建设“小微特色果蔬 x-2x-1 的判别式的值是6，则此方程的解为 种植园”，计划将一块 =0,则x的值为 5.定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都 长20m,宽15m的矩形荒地改造为种植区，同时 6.解方程： 有a*b=ab+3.例如：3*4=3×4+3=15.若 在四周保留等宽的田间步道.若改造后种植区的 (1)2(x+1)2-8=0: 关于x的方程x*(x+1)=0,则此方程 面积为252m2,设步道的宽度为xm,则可列方程 实数根（填“有两个不相等”“有两个相等”或“没 为 有”). 5.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 6.用公式法解下列一元二次方程： 中的a,b,c满足4a-2b+c=0,则方程必有一根 (1)2x2-5x+3=0: 为 6.填表（要求一般形式的二次项系数为正）： (2)-x2+3x+2=0; 二次项一次项 方程 一般形式 常数项 系数 系数 2x2=7x 5-3x2=6x (2)4x2+1=-4x; (x+1)(x-3) =3x+4 一能力提高 (3)5x2+2x-1=0: 7.新定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次 方程ax2+bx+c=0的“倒方程”，其中a,b,c为 常数，且ac≠0.根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的“倒 (3)-2x-7=0 方程”是 (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c= (4)(x+1)(x+3)=-5. 0的“倒方程”的根，求c的值； (3)若x=m是一元二次方程-6x2+x+1 =0的“倒方程”的一个实数根，则m3+m2-6m +2026的值为 一能力提高 7.已知关于x的一元二次方程2x2+(k-8)x 一能力提高 -4k=0. 7.小明在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a （1)求证：该方程总有两个实数根： ≠0)时，只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根 (2)若该方程有一个根小于3，求k的取值范 是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值 围. 大1.求原方程的根。 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 配方，得x2-4x+4=9.③ 同出达标检侧题 (x-2)2=9. 由此可得x-2=±3，④ x1=5,x2=-1.⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤 【检测范围：25.1-25.2.2】 (填序号)，错误的原因是 ①若a+b+c=0,则62-4ac≥0： (满分：120分) (2)请你写出正确的解答过程. ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根， 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根 题号1 2345 67 P ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则 定有ac+b+1=0成立； 答案 ④若x是一元二次方程ax2+bx+c=0的 1.一元二次方程2x2=x+3的二次项系数为 根，则b2-4ac=(2axo+b)2; 2,则一次项系数和常数项分别是 ( ⑤存在实数m,n(m≠n),使得am2+bm+c A.0,-3 B.0,3 an2 bn +c. C.1,3 D.-1,-3 其中正确的有 ( 2.若x=1是关于x的一元二次方程2x2-3x A.①②④ B.①②④⑤ +a=0的一个解，则a的值为 C.①②③④⑤ D.①②3 A.3B.2 C.1 D.0 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 3.若关于x的一元二次方程的根为x= 9.将一元二次方程(1+3x)(x-3)=2x2+1 1±-1)2-4×3×(-51，则这个方程是 化为一般形式为 17.(10分)已知关于x的一元二次方程(a 2×3 10.已知关于x的一元二次方程(x+1)2=m1)X2-2x+a2+1=0. ( 有实数根，则m的取值范围是 (1)若该方程的一个根是x=1,求a的值： A.3x2+x-5=0 B.3x2-x-5=0 11.若关于x的一元二次方程(3a-6)x2+(a (2)在(1)的条件下，用配方法解该方程 4)x+4+9=0没有一次项，则a= C.x2-3x-5=0 12.当x=时，代数式4x2+2x-1的 D.x2+3x-5=0 值与代数式3x2-2的值相等. 4.用配方法将方程x2-8x-2008=0转化为 (x+m)2=n的形式，则m-n的值为 13.若等腰△ABC的三边长都是方程x2-7x+ ( A.2028 B.-2004 10=0的根，则△ABC的周长是 C.2004 D.-2028 14.已知关于x的两个方程x2-x+5c=0,x2 5.如图1是某地下停车场的平面示意图，停车 +x+c=0(c≠0).若前一个方程中有一个根是后 一个方程某个根的5倍，则实数c的值是」 场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相 等，若停车位的占地面积为595m2,求车道的宽度 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） (单位：m).设停车场内车道的宽度为xm,根据题 15.(12分)解方程： 意所列方程为 (1)x2+6x-7=0: 40m 18.(10分)已知关于x的一元二次方程mx2- 车道宽度一 车位丁 3(m-1)x+2m-3=0. 出口 (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取 图1 值范围； A.(40-2x)(22-x)=595 (2)4x2-8x+1=0(配方法)； (2)求证：无论m为何值(m≠0)，方程总有 B.(40-x)(22-x)=595 一个固定的根 C.(40-x)(22-2x)=595 D.(40-2x)(22-2x)=595 6.关于x的一元二次方程2x2-mx-2+m= 0的根的情况，下列说法正确的是 A.有两个实数根 B.有两个不相等的实数根 (3)2x2+3(2x+1)=0(公式法). C.有两个相等的实数根 D.无实数根 7.对于两个不相等的实数α，b,我们规定符号 max(a,b)表示a,b中的较大值.例如：max(3,5) =5,max(-3,-5)=-3.按照这个规定，若 maxx,-x=x2-3x-5,则x的值是( A.5 B.5或1-6 16.(8分)阅读下列关于解方程2x2-8x-18 C.-1或1-6 D.5或1+6 =0的过程，并解决问题 8.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 解：移项，得2x2-8x=18.① 0),有下列说法： 二次项系数化为1，得x2-4x=9.② (下转第4版)